次序统计量及其分布 PPT
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d F k ( x ) n C n k 1 1 ( F ( x ) ) k 1 ( 1 F ( x ) ) n k f ( x ) d x fk (x ) (k 1 )n !( ! n k )!(F (x ))k 1 (1 F (x ))n kf(x )
大家应该也有点累了，稍作休息
定 理 3： (X(1),X(n))的 联 合 分 布 密 度 为 （ 连 续 型 )
n(n1)(F(y)F(x))n2f(x)f(y),xy
fX(1),X(n)(x,y) 0
xy
证明：当x y时，显然成立。
当x y时{X(n) y} {X(1) x, X(n) y} {X(1) x, X(n) y}
样本极差定义为 R X(n) X(1) max Xi min Xi 它的值为 r xn x1 max xi min xi
大家有疑问的，可以询问
10
证法2
n
Fk(x) P{Xk x} Cni (F(x))i(1F(x))ni ik
n!
F(x) tk1(1t)nkdt
(k1)!(nk)! 0
fk(x)
(Fk (x))'
n!
(F(x))k1(1F(x))nk
(k 1)!(nk)!
f
(x)
当k 1,k n时,可得 f1(x) n(1 F(x))n1 f (x) fn(x) n(F(x))n1 f (x)
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本, X(i) 称为 该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测 值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中
X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量，
X(n)=maxX1, X2, …, Xn 称为该样本的最大次序统计量。
三、多个次序统计量的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布， 以两个为例说明：
定理3 次序统计量 (x(i), x(j)), (i j) 的联合分 布密度函数为
pij(y,z)=(i1)!(jin !1)!(nj)![F (y)]i1[F (z)F (y)]ji1 [1F (z)]njp(y)p(z), yz
一 般 地 ,用 P{xX(k)xx}表 示 X1,X2,L,Xn中 有 一 个 落 在 (x,xx],k1个 落 在 ( ,x],nk个 落 在 (xx, )的 概 率 ,则 Fk(x)P{xXkxx}
Cn 1F(x)Cn k 11(F(x))k1(1F(xx))nk nCn k 11(F(x))k1(1F(x))nkf(x)dx
1, n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
fk(x )(k 1 )n !(!n k )!(F (x ))k 1 (1 F (x ))n kf(x )
证 明 :k1,n时 ,直 接 可 得 F 1(x)P(X(1)x)1P(m in(Xi)x)1(1F(x))n F n(x)P(X(n)x)P(m ax(Xi)x)(F(x))n
0
样本中位数和样本极差
• 设(X1,X2,L,Xn)T是来自总体 X 的样本，(X(1),X(2),L,X(n))T
是次序统计量，则样本中位数定义为
X n1 ,
X%
1
2
2
(X
n 2
X
), n
2
1
它的值为
n为 奇 数 n为 偶 数
x n1 ,
x%
1
2
2
(xn
2
x
n 2
1
)
,
n为 奇 数 n为 偶 数
X(1)X(2)
0
1
2
0 7/27 9/27 3/27
1
0
4/27 3/27
2
0
0
1/27
因为 P(X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，
因为 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ， 而
P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，
样本X1, X2,…,Xn 是独立同分布的，而次序统计 量 X(1), X(2),…, X(n) 则既不独立，分布也不相同。
例 设总体X 的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布,分 布列为
x 012
p 1/3 1/3 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种，下表列出了这些值，由此
y)
F( x))n2
f
wenku.baidu.com
(x)
f
(
y)
对n个次序统计量也可给出其联合分布，
定理：设总体 X的密度函数为 f分( x布)
函数为F(x), (X1,X为2,L样,X 本n)，T 则次序
统计量 (X(1),X(2),L的,X 联(n)合)T分布密度函数为
n
f(y1,y2,L,yn) n!i1
f(yi),y1y2Lyn
F1n( x, y) P{X(1) x, X(n) y}
P{X(n) y} P{x X(1) L X(n) y}
n
(F( y))n P{x Xi y} (F( y))n (F( y) F(x))n i 1
f1n( x,
y)
2F1n( x, xy
y)
n(n 0
1)(F (
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1) 0 1 2
p
19 7 1 27 27 27
X (2) 0 1 2
p
7 13 7
27 27 27
X (3) 0 1 2
p
1 7 19
27 27 27
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如: X(1) 和X(2) 的联合分布列为
二者不等，由此可看出 X(1) 和 X(2)是不独立的。
定理1：次序统计量是充分统计量. 证明：
P ( X i 1 x ( 1 ) , L , X i n x ( n ) | X ( 1 ) x ( 1 ) , L , X ( n ) x ( n ) )
P (X i1x (1 ),L ,X inx (n )) P (X (1 )x (1 ),X (2 )x (2 )L ,X (n )x (n ))
大家应该也有点累了，稍作休息
定 理 3： (X(1),X(n))的 联 合 分 布 密 度 为 （ 连 续 型 )
n(n1)(F(y)F(x))n2f(x)f(y),xy
fX(1),X(n)(x,y) 0
xy
证明：当x y时，显然成立。
当x y时{X(n) y} {X(1) x, X(n) y} {X(1) x, X(n) y}
样本极差定义为 R X(n) X(1) max Xi min Xi 它的值为 r xn x1 max xi min xi
大家有疑问的，可以询问
10
证法2
n
Fk(x) P{Xk x} Cni (F(x))i(1F(x))ni ik
n!
F(x) tk1(1t)nkdt
(k1)!(nk)! 0
fk(x)
(Fk (x))'
n!
(F(x))k1(1F(x))nk
(k 1)!(nk)!
f
(x)
当k 1,k n时,可得 f1(x) n(1 F(x))n1 f (x) fn(x) n(F(x))n1 f (x)
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本, X(i) 称为 该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测 值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中
X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量，
X(n)=maxX1, X2, …, Xn 称为该样本的最大次序统计量。
三、多个次序统计量的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布， 以两个为例说明：
定理3 次序统计量 (x(i), x(j)), (i j) 的联合分 布密度函数为
pij(y,z)=(i1)!(jin !1)!(nj)![F (y)]i1[F (z)F (y)]ji1 [1F (z)]njp(y)p(z), yz
一 般 地 ,用 P{xX(k)xx}表 示 X1,X2,L,Xn中 有 一 个 落 在 (x,xx],k1个 落 在 ( ,x],nk个 落 在 (xx, )的 概 率 ,则 Fk(x)P{xXkxx}
Cn 1F(x)Cn k 11(F(x))k1(1F(xx))nk nCn k 11(F(x))k1(1F(x))nkf(x)dx
1, n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
fk(x )(k 1 )n !(!n k )!(F (x ))k 1 (1 F (x ))n kf(x )
证 明 :k1,n时 ,直 接 可 得 F 1(x)P(X(1)x)1P(m in(Xi)x)1(1F(x))n F n(x)P(X(n)x)P(m ax(Xi)x)(F(x))n
0
样本中位数和样本极差
• 设(X1,X2,L,Xn)T是来自总体 X 的样本，(X(1),X(2),L,X(n))T
是次序统计量，则样本中位数定义为
X n1 ,
X%
1
2
2
(X
n 2
X
), n
2
1
它的值为
n为 奇 数 n为 偶 数
x n1 ,
x%
1
2
2
(xn
2
x
n 2
1
)
,
n为 奇 数 n为 偶 数
X(1)X(2)
0
1
2
0 7/27 9/27 3/27
1
0
4/27 3/27
2
0
0
1/27
因为 P(X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，
因为 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ， 而
P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，
样本X1, X2,…,Xn 是独立同分布的，而次序统计 量 X(1), X(2),…, X(n) 则既不独立，分布也不相同。
例 设总体X 的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布,分 布列为
x 012
p 1/3 1/3 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种，下表列出了这些值，由此
y)
F( x))n2
f
wenku.baidu.com
(x)
f
(
y)
对n个次序统计量也可给出其联合分布，
定理：设总体 X的密度函数为 f分( x布)
函数为F(x), (X1,X为2,L样,X 本n)，T 则次序
统计量 (X(1),X(2),L的,X 联(n)合)T分布密度函数为
n
f(y1,y2,L,yn) n!i1
f(yi),y1y2Lyn
F1n( x, y) P{X(1) x, X(n) y}
P{X(n) y} P{x X(1) L X(n) y}
n
(F( y))n P{x Xi y} (F( y))n (F( y) F(x))n i 1
f1n( x,
y)
2F1n( x, xy
y)
n(n 0
1)(F (
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1) 0 1 2
p
19 7 1 27 27 27
X (2) 0 1 2
p
7 13 7
27 27 27
X (3) 0 1 2
p
1 7 19
27 27 27
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如: X(1) 和X(2) 的联合分布列为
二者不等，由此可看出 X(1) 和 X(2)是不独立的。
定理1：次序统计量是充分统计量. 证明：
P ( X i 1 x ( 1 ) , L , X i n x ( n ) | X ( 1 ) x ( 1 ) , L , X ( n ) x ( n ) )
P (X i1x (1 ),L ,X inx (n )) P (X (1 )x (1 ),X (2 )x (2 )L ,X (n )x (n ))