向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边 平方和的两倍•

思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得 到什么结论呢？

对于上述恒等式，用向量运算显然容易证 明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的 几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量 为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对 角线”平方差的丄.

4

即：；b = 4〔AC 2

-DB 2】(平行四边形模式)

极化恒等式

引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明： 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍• 证明：不妨设AB = a, AD = b,

贝V AC 二 a b,DB =a —b, ___ , 2 AC 二 AC 二 a b (1

)

.2 DB r 2 a ___ 2 ・ ■ 2 =DB 二 a — b • r r 2 -2a b + b

(1) (2)两式相加得:

ab =

;_a b

极化恒等式

思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？

因为AC=2AM，所以ai=|AMp-1|DB|2（三角形模式）

例1. （2012年浙江文15）在ABC中川是BC的中点

AM =3,BC =10，则AB T

AC =

BMC

目标检测

（2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 是AB 边上的动点，贝V DE DA 的值为 _______________________________________ .

例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是 _________________ .

目标检测

2 2

（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆 中 上 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆

上的任意一点，则OP FP 的最大值为（）

A2 B.3 C.6 D.8

例3. （2013浙江理7）在ABC 中,P o

是边AB 上一定

点，满足P

°

B*AB ，且对于边AB 上任一点

4 7

PB 卩C HRB PC 。贝

( )

A . NABC =90’

B . NBAC=90‘

C .

AB = AC

c

AC 二BC

例4. （20仃全国2理科12）已知ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，贝U

PA （PB PC）的最小是（）

A. 2

C. D. i

课后检测

1.在ABC 中，BAC =60 若AB = 2 , BC「3 , D 在线段AC

上运动，DB DA的最小值为____________________

2.已知AB是圆0的直径，AB长为2, C是圆0上异于

AB的一点，P是圆。所在平面上任意一点，则

（PA+PB）‘PC的最小值为 _______________

3. 在ABC 中，AB =3 , AC =4 , . BAC = 60：, 若P 是ABC所在平面内一点，且AP=2，则PB PC的最大值为__________

2

4

-若点0和点F"0)分别是双曲线p-y^1(a 0)的中

心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点则

OP FP的取值范围是 __________ . ______

5•在Rt ABC，AC二BC=2，已知点P 是ABC 内一点，贝廿PC (PA PB)的最小

值是 ________ .

6.已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且

AOB =120o ,MN 是圆

O 的一条直径，点C 在圆内，且满 足0C

「0A (― )OB(0 — 1)，则CM CN 的取值范围是

7.正ABC 边长等于3，点P 在其外接圆上运动，

则AP PB 的取值范围是(

)

取值范围是 ____________

B . |-1,1

C 4,0

D . '-1,0

A •迟 3 B.

-2'2

C.

&在锐角ABC 中，已知B 二, 3

AB - AC = 2 , 则AB AC 的

A

丄纠

(2008折江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足9. (a — c) (b — c) =0,则c的最大值是()

<2

A.1

B.2

C..2

D.——

2

平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研 究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】

(一) 平面向量共线定理

已知若汕也=1，则A ,B ,C 三点共线； 反之亦然 (二) 等和线

平面内一组基底才A "O 及任一向量OP ， Ot=C A 門(0冷阻，若点P 在直线AB 上或者在平行 于AB 的直线上，贝

I 」•」=k (定值)，反之也亠' 我们把直线AB 以

及与直线AB 平行的直线 (2) 当等和线在0点和直线AB 之间时,

k (0,1)；

(3) 当直线AB 在点O 和等和线之间时, (4) 当等和线过O 点时，k=0 ；

(5)

若两等和线关于o 点对称，则定值k 互 为相

反数；

和线。

(1)

当等和线恰为直线AB 时，