由三视图还原对应几何体的一个有效方法

用“去顶点法”处理三视图问题
几何体的三视图从本质上来说，可看成是将一个几何体放在某个对应的长(正)方体中，再分别投影到该长(正)方体的里面、右侧面和下底面后，所形成的三个平面图形(其中，侧视图还要将其向右翻折).因此对于较复杂的三视图还原出对应几何体的问题，可将其放到相应的长(正)方体中进行考察，根据题目中给出的正、侧、俯视图，然后通过排除长(正)方体的顶点——“去顶点法”，可以较快捷地确定原几何体的形状.
例1. (1)如图1—1(1)，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，
则该多面体的各条棱中，最长棱的长度为( ) . A.6√2. B.4√2. C..6. D.4. (2)一个几何体的三视图如图1—2(1)所示.则该几何体的全面积为( ).
A.48+12√2.
B.48+24√2.
C.36+12√2.
D. 36+24√2.
(3)一个几何体的三视图如图1—3(1)所示，则该几何体的各面面积中的最大值为( ). A.16. B.8. C.2√13. D.6.
解:(1)如图1—1(2)所示，作一棱长为4的正方体，由正视图知顶点A 、D 应去掉；又由俯视
图知顶点A 1应去掉；再由侧视图知顶点B 、B 1应去掉.由于正视图中含有高的中点且为实线，从而应有棱BB 1的中点E ，这样一来可确定原几何体为D 1—ECC 1.其中，D 1C 1=CC 1=4，
D 1C=4√2,EC=EC=2√5，D 1E=√(4√2)2+4=6，∴ 最长棱的长度为 D 1
E =6，故应选C.
(2)如图1—2(2)所示，作一棱长为6的正方体，由正视图和侧视图知顶点A 1、B 1、C 1、D 1
应去掉；又由俯视图顶点C 应去掉；再由正视图和侧视图知应有上底面的中心O 1.从而可知原几何体为三棱锥O —ABD.其中，AB=AD=6，BD=6√2，OA=OB=OD=√34.从而可求得三棱锥O —ABD 的全面积为48+12√2.应选A.
(3)如图1—3(2).作一棱长为4的正方体.由正视图知点A 1、D 1应去掉；由侧视图知点A 、
B 、A 1、B 1应去掉；结合俯视图知所对应的几何体为三棱锥E —DC
C 1，其面积最大的侧面 为三角形DCC 1，易求得其面积为8，应选B.
例2(1).一个几何体的三视图如图2—2所示.则该几何体的体积为( ).
A.12.
B.1.
C. 3
2. D.2. (2).如图2—2某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ). A.8
3. B. 4
3. C.
8√2
3
. D.
4√23
.
1 3 4
2 图1—1(1) 6
4 3 6 4 3
6 3 图1—2(1) 图1—3(1) 图1—1(2) A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 A B C D A 1 B 1
D 1 C 1 图1—2(2)
E O A B C D A 1 B 1
D 1 C 1 图1—3(2) × × × × × × × × × × × × × × × E
解:(1)作长、宽、高分别为√3、2、√3的长方体ABCD—A1B1C1D1.由正视图可去掉点B1、C1；由侧视图可去掉点A1、D1；再由俯视图可去掉点B、C. 结合正视图、侧视图和俯视图还原出几何体为多面体AEDFO1，其中，E、F分别为BC和A1D1的中点，O1为上底面的中心.如图2.—1(1).将多面体AEDFO1分成三棱锥O1—ADE和O1—ADF，
∵V O
1—ADE
=1
3
×1
2
×2×√3×√3=1， V O
1—ADF
=1
3
×1
2
×2×√3×√3
2
=1
2
，
可得其体积为3
2
.故应选C.
(2)作棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1.由侧视图可去掉点A、B；当有点C1时，正视图
中就没有虚对角线，故应去掉点C1.结合正、侧和俯视图可得原几何体为四棱锥D1—
A1B1C D，如图2—(2).∴V D
1—A1B1CD
=1
3
×1
2
AD1×2√2×2=8
3
.故应选A.
例3(1).某几何体的三视图如图3—1所示.则该几何体的体积为( ).
A.2.
B.8
3
. C.3. D.4.
(2).某几何体的三视图如图3.—2所示.且该几何体的体积为2√3
3
.则正视图中x的值为( ).
A.√3.
B.2 √3.
C.√3
2
. D.2.
解:(1)作棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1.由正视图可去掉点B1、C1；由侧视图(注意，要向右翻折)，可去掉点C1、D1、C、D.结合正、侧和俯视图可得原几何体为四棱锥A1—ABEF，2
2
1
2 图3—1
2
1 1 1
x
2
图3—2
侧视图
俯视图
√3
2
正视图
1
1
图2.—1
正视图侧视图
俯视图
图2—2
2
2
2
F O1
C
A
D
图.2—1(1)
B
E
A1 B
1
C1
D1 ×
×
×
×
××
D1
A1 B1
C
D
图.2—2(2)
A B
××
×C
1
其中E 、F 分别为CC 1、DD 1的中点， 如图3—1(1)， 易求得其体积为8
3
. 故应选B.
(2)作长、宽、高分别为3、√3、x 的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1. 由正视图可去掉点B 1、C 1；由俯视图可去掉点D 、D 1、B 、B 1.结合正、侧和俯视图可得原几何体为三棱柱 AEA 1 —FCG ，如图3—2(2). ∵ V AEA 1—FCG =S ∆AEA 1×AD =1
2×2x ×√3=2
3√3 易求得x= 2
3.故应选D.
另外对于一些三视图没有全部给出的问题，也可以通过构造对应的正(长)方体来处理. 例4.(1)在如图4-1所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2），
(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).
A.①和②.
B.③和①.
C.④和③.
D.④和②. (2)某几何体的一条棱长为√7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为√6的线段，
在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a+b 的最大值为( ).
A.2√2.
B. 2√3.
C.4.
D. 2√5.
解:(1)如图4—1(1)所示，作一正方体并建立对应的空间直角坐标系，作出题中对应的点，
则易知应选D.
(2)由三视图与长方体的对应关系，可将长度为√7的线段看成是某长方体的体对角线，其三视图可看成长方体对应的三个面的面对角线.设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，
不失一般性可得{x 2+y 2+z 2=7,
x 2+z 2=6, a +b =√x 2+y 2+√y 2+z 2,
∴ a+b=√x 2+y 2+√y 2+z 2≤√2√(x 2+y 2)+(y 2+z 2)=√2×√8=4.故应选C.
综上所述，处理与三视图有关的问题时，要用好其对应的长(正)方体这个模型，同时要注意三视图中各线段的虚实对几何体还原的影响.只要熟练、准确地掌握了上述方法，处理此类问题就会得心应手了.
图4—1
图4—1(1) z x
y A 1
A
B E 图3—1(1)
F C
D B 1
C
1 D 1 A
B A 1 G F
D 图1.2—5
E B 1
C
C 1
D 1 × × × × ×
× × × × ×。