由三视图还原对应几何体的一个有效方法

用“去顶点法”处理三视图问题

几何体的三视图从本质上来说，可看成是将一个几何体放在某个对应的长(正)方体中，再分别投影到该长(正)方体的里面、右侧面和下底面后，所形成的三个平面图形(其中，侧视图还要将其向右翻折).因此对于较复杂的三视图还原出对应几何体的问题，可将其放到相应的长(正)方体中进行考察，根据题目中给出的正、侧、俯视图，然后通过排除长(正)方体的顶点——“去顶点法”，可以较快捷地确定原几何体的形状.

例1. (1)如图1—1(1)，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，

则该多面体的各条棱中，最长棱的长度为( ) . A.6√2. B.4√2. C..6. D.4. (2)一个几何体的三视图如图1—2(1)所示.则该几何体的全面积为( ).

A.48+12√2.

B.48+24√2.

C.36+12√2.

D. 36+24√2.

(3)一个几何体的三视图如图1—3(1)所示，则该几何体的各面面积中的最大值为( ). A.16. B.8. C.2√13. D.6.

解:(1)如图1—1(2)所示，作一棱长为4的正方体，由正视图知顶点A 、D 应去掉；又由俯视

图知顶点A 1应去掉；再由侧视图知顶点B 、B 1应去掉.由于正视图中含有高的中点且为实线，从而应有棱BB 1的中点E ，这样一来可确定原几何体为D 1—ECC 1.其中，D 1C 1=CC 1=4，

D 1C=4√2,EC=EC=2√5，D 1E=√(4√2)2+4=6，∴ 最长棱的长度为 D 1

E =6，故应选C.

(2)如图1—2(2)所示，作一棱长为6的正方体，由正视图和侧视图知顶点A 1、B 1、C 1、D 1

应去掉；又由俯视图顶点C 应去掉；再由正视图和侧视图知应有上底面的中心O 1.从而可知原几何体为三棱锥O —ABD.其中，AB=AD=6，BD=6√2，OA=OB=OD=√34.从而可求得三棱锥O —ABD 的全面积为48+12√2.应选A.

(3)如图1—3(2).作一棱长为4的正方体.由正视图知点A 1、D 1应去掉；由侧视图知点A 、

B 、A 1、B 1应去掉；结合俯视图知所对应的几何体为三棱锥E —DC

C 1，其面积最大的侧面 为三角形DCC 1，易求得其面积为8，应选B.

例2(1).一个几何体的三视图如图2—2所示.则该几何体的体积为( ).

A.12.

B.1.

C. 3

2. D.2. (2).如图2—2某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ). A.8

3. B. 4

3. C.

8√2

3

. D.

4√23

.

1 3 4

2 图1—1(1) 6

4 3 6 4 3

6 3 图1—2(1) 图1—3(1) 图1—1(2) A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 A B C D A 1 B 1

D 1 C 1 图1—2(2)

E O A B C D A 1 B 1

D 1 C 1 图1—3(2) × × × × × × × × × × × × × × × E

解:(1)作长、宽、高分别为√3、2、√3的长方体ABCD—A1B1C1D1.由正视图可去掉点B1、C1；由侧视图可去掉点A1、D1；再由俯视图可去掉点B、C. 结合正视图、侧视图和俯视图还原出几何体为多面体AEDFO1，其中，E、F分别为BC和A1D1的中点，O1为上底面的中心.如图2.—1(1).将多面体AEDFO1分成三棱锥O1—ADE和O1—ADF，

∵V O

1—ADE

=1

3

×1

2

×2×√3×√3=1， V O

1—ADF

=1

3

×1

2

×2×√3×√3

2

=1

2

，

可得其体积为3

2

.故应选C.

(2)作棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1.由侧视图可去掉点A、B；当有点C1时，正视图

中就没有虚对角线，故应去掉点C1.结合正、侧和俯视图可得原几何体为四棱锥D1—

A1B1C D，如图2—(2).∴V D

1—A1B1CD

=1

3

×1

2

AD1×2√2×2=8

3

.故应选A.

例3(1).某几何体的三视图如图3—1所示.则该几何体的体积为( ).

A.2.

B.8

3

. C.3. D.4.

(2).某几何体的三视图如图3.—2所示.且该几何体的体积为2√3

3

.则正视图中x的值为( ).

A.√3.

B.2 √3.

C.√3

2

. D.2.

解:(1)作棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1.由正视图可去掉点B1、C1；由侧视图(注意，要向右翻折)，可去掉点C1、D1、C、D.结合正、侧和俯视图可得原几何体为四棱锥A1—ABEF，2

2

1

2 图3—1

2

1 1 1

x

2

图3—2

侧视图

俯视图

√3

2

正视图

1

1

图2.—1

正视图侧视图

俯视图

图2—2

2

2

2

F O1

C

A

D

图.2—1(1)

B

E

A1 B

1

C1

D1 ×

×

×

×

××

D1

A1 B1

C

D

图.2—2(2)

A B

××

×C

1