2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测卷数学(理)试题(解析版)

漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测卷数学（理科）一、选择题：1.已知集合{}2|40A x x =->，102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =U （ ） A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求出集合A B U .【详解】{}{2402A x x x x =->=<-Q 或}2x >，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因此，{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭.故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A.65B. 25-C.25i D.25【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法求出复数z ，利用共轭复数的概念可得出复数z ，由此可得出复数z 的虚部. 【详解】()505202041ii ==Q ，在等式()202033z i i+=+两边同时除以3i +得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-，6255z i ∴=+，因此，复数z 的虚部为25. 故选：D.【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题. 3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( ) A. 35 B. 45C. 60D. 80【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样每人被抽到的概率相同，计算可得. 【详解】解：由高一年级抽调15人，可知150010015=，即每100人中选1个人，则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=（人）， 故选：C ．【点睛】本题考查统计的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力，属于基础题． 4.已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，可以断定αβ∥的条件是（ ）A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥r rC. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂【答案】C 【解析】根据线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理对选项分别分析得答案． 【详解】解：由a α⊥，b β⊥无法得到//αβ，A 错误； 由,a α⊥,b β⊥a b ⊥r r可得αβ⊥，B 错误；由,a α⊥,b β⊥//a b ，可得a α⊥，a β⊥，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C 正确；由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ，α，β还可能是相交，D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于基础题．5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.6.已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（ ）A.43B. 43-C. 83-D. 4-【答案】B【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，根据等比中项的性质可得64a =，即74b =，又610S S =则789100b b b b +++=，由下标和性质得7100b b +=，即可求出10b ，求出公差即可求得9b . 【详解】解：设等差数列{}n b 的公差为d ，21064a a a =Q2664a a ∴=解得64a =，610S S =Q789100b b b b ∴+++=，则7100b b +=674a b ==Q 104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查等比数列与等差数列的通项公式与性质、等差数列的求和公式，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.7.若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，观察该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最大， 此时z x y =+取得最大值，即max 022z =+=. 故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是（ ） A.B.C.D.【答案】D的【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数即()g x 的解析式，可判断函数为奇函数，即可排除AB ，再由特殊值可排除C ，即可得解.【详解】解：()sin cos 2020,f x x x x =++Q()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-Q()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D【点睛】本题考查函数的求导、函数图象的判断，考查推理论证能力，属于基础题. 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n a S n +=+，则n a =（ ） A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D. 1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】当1n =时，求得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，得到11122n n a a -=+，即可得到{}1n a -是以1为首项，12为公比的等比数列，求出{}1n a -的通项公式，即可得解. 【详解】解：3n n a S n +=+Q ①， 当1n =时，1113a S +=+解得12a =， 当2n ≥时，1113n n a S n --+=-+②，①减②得，()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴则{}1n a -是以111a -=为首项，12为公比的等比数列， 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查递推数列、等比数列的定义与通项公式，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于基础题．10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，斜率大于0的直线l 过点(1,P -和点F ，且交抛物线于A ，B 两点，满足||2||FA FB =，则抛物线的方程为（ ） A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消去x ，列出韦达定理，由||2||FA FB =则122y y =-即可求出k ，又由直线过点(1,P -，代直线方程求出p ，即可求出抛物线方程. 【详解】解：由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=，222440p k p ∆=+>， 则122p y y k+=，212y y p =-， ||2||FA FB =Q122y y ∴=-，则22p y k-=，2222y p -=-，解得k =k =-，所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -，代入可得5p =，则抛物线的方程为210y x =故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．11.已知函数2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当02πα<<时，1()3f α=，则cos2=α（ ）A. 36±-B.36-D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化简为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为1()3f α=，得到1sin 233πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的基本关系求出cos 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭，再用两角差的余弦公式求出cos2α.【详解】解：由题可知2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2cos sin x x x =+1sin 2cos 2)2x x =++sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<，所以22333ππαπ-<-<， 所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=， 则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323=-36=-， 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、三角恒等变换，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题.12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ ） A.143B.134C.72D.163【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，由勾股定理可得2224(4)h ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，则22183h h a -=，三棱锥的体积)238V h h =-，对其求导，分析其单调性与最值即可得解. 【详解】解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知2224(4)h ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又Q 正三棱锥的体积2134V a h =⨯)284h h h =-)2384h h =-，则)2163V h h '=-， 令0V '=，则163h =或0h =（舍去），∴函数)2384V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值， 故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的关系、三棱锥的体积公式、导数的综合应用，考查空间想象能力及运算求解能力，属于难题.二、填空题：13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=______.【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出()()1114f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出+a b 的值.【详解】()2ln f x a x bx =+Q ，则()2af x bx x'=+， 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用切线方程求参数的值，解题时要抓住以下两点：①切点处的导数值等于切线的斜率；②切点为函数与切线的公共点.考查计算能力，属于基础题.14.已知二项式()na b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)nx +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则0a =________.【答案】1 【解析】【分析】根据二项式系数求出n ，得二项式为6(21)x +，令1x =-即可求出0a 的值. 【详解】解：由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64 可知264,n=解得6n =，则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，令1x =-， 则01a =. 故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.15.已知等边ABC V 的边长为2，点G 是ABC V 内的一点，且0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 在ABC V 所在的平面内且满足||1PG =u u u r ，则||PA u u u r的最大值为________.1 【解析】 【分析】由0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r，可知点G 为ABC V 的重心，以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出,,A B G 的坐标，设(,)P x y ，由||1PG =u u u r可知P 在以G 为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出||PA u u u r的最大值. 【详解】解：由0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r，可知点G 为ABC V 的重心. 以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0),B G ⎛ ⎝⎭. 设(,)P x y ，由||1PG =u u u r 可知P为圆2213x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的动点， 所以||PA u u u r的最大值为||113AG +==+u u u r .1 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形重心的性质、圆的性质，考查数形结合思想与运算求解能力.16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且||||PA PF =，则双曲线的离心率e =________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知(c,0)F ，则以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，取其中一条渐近线b y x a =，联立直线与圆的方程，求出P 的坐标，再由||||PA PF =即可得到a 、c 的关系式，求出双曲线的离心率. 【详解】解：由题可知(,0),A a -(c,0)F ，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可取by x a=， 以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =，222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=，即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=，解得2e =或1e =-（舍去）， 故双曲线的离心率2e =. 故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的定义与性质、圆的方程、直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想及运算求解能力.三、解答题：17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：（1）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望.参考公式：1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）120分, （2）分布列见解析，期望为95【解析】 【分析】（1）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b $和$a 的值，可求出回归直线方程，然后将11x =代入回归直线方程计算即可；（2）由5次模拟考试的数学成绩有2次与平均成绩一致，即可得随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，分别计算出概率，列出分布列求出数学期望. 【详解】（1）由表可知1234535x ++++==，901001051051001005y ++++==，511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=，522222211234555ii x==++++=∑，则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=，a y bx =-$$100 2.5392.5=-⨯=，故回归直线方程为$ 2.592.5y x =+. 当11x =时，$ 2.51192.5120y =⨯+=， 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.（2）由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则212335C C 3(1)C 10P ξ===； 122335C C 3(2)C 5P ξ===；3335(3)110C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 【点睛】本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A+=++.（1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC V 的周长.【答案】（1）78，（2）4 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将sin(2)22cos()sin A C A C A+=++化简为sin 2sin C A =，再由正弦定理将角化边，最后利用余弦定理即可求出cos A 的值.（2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-，在BDC ∆和BDA ∆中，分别利用余弦定理求出边a ，即可求出三角形的周长. 【详解】解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =Q 2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=222(2)(2)222a a a a a +-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC V 和BDA V 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅，2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-，两式相加可得2516a =，即5a =，故ABC V 的周长244l a a =++=+【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理，考查化归与转化的思想及运算求解能力，属于中档题．19.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角D -PC -B 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析，（2）12【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD ，证明四边形ABED 为正方形，得到AE BD ⊥，再由线面垂直可得PD AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PBD ，再证四边形ABCE 为平行四边形，即可得证.（2）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .2,CD AB =Q AB DE ∴=.又,AB AD =Q AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥.PD ⊥Q 平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PD AE ∴⊥.,PD BD D =Q I PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =Q //AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .（2）PD ⊥Q 平面ABCD ，PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBD ︒∠=，则PD BD =.设1AD =，则1,AB =2,CD =PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),D (1,0,0),A P (1,1,0)B ，(0,2,0)C .Q DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r.设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =u r，(1,1,PB =u u u r Q (1,1,0)BC =-u u u r，则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u vv 1111100x y x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩， 取11x =，则m =u r.设二面角D -PC -B 的平面角为θ，cos ||||m DA m DA θ⋅∴=u r u u u ru r u u ur =12=.由图可知二面角D -PC -B 为锐角， 故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角和二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题．20.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =，过点1F的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分为A ，B ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=，（2）6 【解析】 【分析】（1）依题意可得c ，即可求出过点1F的直线的方程，设以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得. （2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消去x ，列出韦达定理，四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-，又12y y -=S =，t =，则2413S t t=+即可求出函数的最大值. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，故由题可知22c =，则椭圆的左焦点1(1,0)F -，故直线方程为1)y x =+， 以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，则221b a b =-=⎩，220a a ⇒--=， 解得2a =或1a =-（舍去），故24,a =23b =，∴椭圆方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，显然>0∆，则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+，12y y -== 故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-234m =+. 1t =≥，则22431t S t =+2413t t=+， 可设函数1()3f t t t=+，则21()30f t t '=->， ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则134t t +≥，则2464S ≤=， 当且仅当0m =时等号成立，四边形APBQ 的面积取得最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函数与方程的思想及运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）()22ln 2,(ln 2)e -- 【解析】【分析】（1）求出函数的定义域、导函数，当1a =时，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '的一个零点，要使()f x '在(1,4)上有三个零点，即方程220ln 2x a x x +=在(1,4)上有2个不同的实数根，参变分离将问题等价转化为函数2ln 2()x g x x ⋅=-与直线y a =有2个交点，利用导数分析2ln 2()x g x x⋅=-的单调性与最值，即可得到a 的取值范围.【详解】解：（1）()22()log xf x a x x x=+-Q 22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭ 22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当1a =时，221()(ln 21),ln 2x f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞， 令()0f x '=，得ln 210x -=，则2log e x =，故当()20,log e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2log ,x e ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '一个零点， 则方程220ln 2x a x x +=在(1,4)上有2个不同的实数根， 即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根， 问题等价于函数2ln 2()x g x x ⋅=-与直线y a =有2个交点， ()22ln 22ln 2()x x x g x x ⋅⋅-'=-Q 22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=， 令()0g x '=，则2log x e =，∴当()21,log e x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()2log e,4x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 的max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-. (1)2ln 2,g =-Q (4)4ln 2g =-，且(1)(4)g g >，22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-，故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，属于难题． 22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.【答案】（1）()()22125x y -+-=；（2.【解析】【分析】 （1）在曲线C 的极坐标两边同时乘以ρ得22cos 4sin ρρθρθ=+，再由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，列出韦达定理，由此可计算出1212t t t t PA B P =+-+==.【详解】（1）Q 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式，可得22240x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=； （2）把直线l的参数方程122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中，得240t t --=，显然>0∆，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则124t t =-，121t t +=，因为点()0,2P 在直线l 上， 所以1212P t t t t A PB =+=-=+==【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--.（1）求不等式()23f x x ≥-的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且正实数a 、b 满足a b m +=，求1111a b +++的最小值. 【答案】（1）[)0,+∞；（2）23. 【解析】【分析】（1）去绝对值，分3x <-、31x -≤≤-、1x >-三种情况解不等式()23f x x ≥-，由此可得出该不等式的解集；（2）由题意可得出4a b +=，进而得出()()1116a b +++=，然后将代数式1111a b +++与代数式()()116a b +++相乘，展开后利用基本不等式可求出1111a b +++的最小值. 【详解】（1）因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，当3x <-时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤-，解得2x ≥，此时x ∈∅；当31x -≤≤时，由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤，解得23x ≥-，此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞；（2）根据（1）可知，函数()y f x =的最大值为4，即4a b +=， 所以()()1116a b +++=. ()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为23. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.的。