数据立方体计算与数据泛化
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我们可以看到，在计算BC方体中，我们已经扫描了64块中的每一块。那么 我们在计算其他方体，如AC、AB等的时候，就可以避免重新扫描所有的 块。这也就是“多路计算”和“同时聚集”思想。
接下来，我们要讨论的问题是，不同的块扫描和方体计算次序对整个数 据立方体的计算效率的影响。这个计算效率主要指在内存的占用方面。
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子树方体总都包含的维成为子树共享维。 共享维的引入有利于共享计算。由于共享维在树扩展之前识别，可以避 免以后重新计算。如：ABD扩展的方体AB实际上被剪枝，因为AB已经在 ABD/AB中计算。类似地，由AD扩展的方体A也被剪枝，因为AB已经在 ABD/AB中计算。 如果冰山立方体度量是反单调的，则共享维允许类Apriori剪枝。也就是 说，如果共享维的聚集值不满足冰山条件，则沿该共享维向下的所有单 元也不可能满足冰山条件。 为了解释star-cubing算法如何工作，我们需要解释更多的概念，即方体树、 星节点和星树。
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5、为快速高维OLAP预计算壳片段 数据立方体有利于多维数据空间的快速联机分析。然而，高维的完全数据 立方体需要海量存储空间和不切实际的计算时间。冰山立方体提供了一个更 可行的替代方案，正如我们已经看到的那样，其中冰山条件用来指定只计算 完全立方体单元的一个子集。然而冰山立方体有如下的一些缺点： 第一、冰山立方体本身的计算和存储的开销仍然可能很高；第二，很难确 定合适的冰山阙值；第三，冰山立方体不可能增量的更新，一旦一个聚集单 元低于冰山阙值，就被剪枝，它的度量值就丢失，任何增量更新都需要从头 重新计算。 一种可能的替代方法是计算一个薄的立方体外壳。例如，可以计算一个60维 的数据立方体中的具有3维或更少维的所有方体，导致厚度为3的立方体外壳。 然而，这种方法有两个缺点。第一：需要计算的方体其实很多的。第二，这 种方体不支持高维OLAP。
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ALL 剪裁： A/A 剪裁： B/B AD/A C/C D/D
J剪裁： AB/AB
AC/AC BD/B BC/BC CD
ABD/AB
ACD/A
BCD ABC/ABC
ABCD
Star-cubing方法如上图所示。如果我们只遵循自底向上 模型，则star-cubing标记为被剪裁的方体仍然被考察。 Star-cubing能够剪裁指示的方体，因为它考虑共享维。
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为了系统的压缩数据立方体，需要引入闭覆盖的概念。一个单元c 是闭 单元，即如果不存在单元d使得d是单元c的特殊化（后代）（即d通过将 c中的*值用非*值替换），并且d与c具有相同的度量值。闭立方体是一个 仅由闭单元组成的数据立方体。 部分物化的另一种策略是仅预计算涉及少数维（如3到5个维）的方体， 这些方体形成对应数据立方体的外壳，对附加的维组合的查询必须临 时计算。
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第一节 数据立方体计算的有效方法
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1、不同类型立方体物化的路线图 数据立方体有利于多维数据的联机分析处理。本节将完全立方体物 化与部分立方体物化的各种策略进行比较。为完整起见，我们首先回 顾设计数据立方体的基本术语。 ■ 立方体物化 数据立方体是方体的格。每个方体用一个group-by表示。基本方 体是数据立方体中泛化程度最低的方体，泛化程度最高的方体是顶点 方体，通常用all表示。它包含一个值，对于存放在基本方体中的所有 元组聚集度量M。对立方体下钻，就是从顶点方体沿方体格向下移动； 上卷就是从基本方体向上移动。 本章讨论的目的是使用术语数据立方体的格而不是单个方体。 基本方体的单元是基本单元，非基本方体的单元是 聚集单元。聚集单元在一个或多个维聚集。
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为了进行划分，BUC扫描输入，聚集元组得到all的计数，对应于单元（*，*， *，*）。使用维A将输入分为4个划分，每个对应于A的一个不同值。A的每个 不同值的元组数（计数）记录在datacount中。 在搜索满足冰山条件的元组时，BUC使用Apriori性质节省搜索时间。从维的 值a1开始，聚集a1的划分为A的分组创建一个元组，对应于单元（a1,*,*,*,). 假设这个满足最小支持度，此时再在这个划分上进行递归调用。通过在每次 递归使用之前检查冰山条件，只要单元计数不满足最小支持度，BUC就节省 大量处理时间。
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3、BUC：从顶点方体向下计算冰山立方体 BUC是一种计算稀疏冰山立方体的算法。与Multiway不同，BUC从顶 点方体向下到基本方体，构造立方体。这允许BUC分担数据划分开销。 这种处理次序也允许BUC在构造立方体时使用Apriori性质进行剪枝。 BUC代表“自底向上构造”（Bottom-UP construction),然而，BUC的 处理次序实际上是自顶向下！BUC的作者以相反的次序观察方体的格， 顶点方体在底部，而基本方体在顶部。从这种角度，BUC确实是自底向 上构造。然而，由于我们采用应用观点，下钻表示从顶点方向下到基本 方体，因此BUC的探查过程视为自顶向下。 我们来解释下BUC算法。初始，用输入关系（元组集）调用该算法。 BUC聚集整个输入并输出结果总数。对于每个维，输入沿维划分。检查 划分的最小支持度。也就是说，如果划分中的元组数满足最小支持度。
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聚集单元在一个或多个维聚集，其中每个聚集维用单元记号中的＊指示。 聚集的维数不同，单元之间可能存在祖先-子孙关系。 为了确保联机分析处理，有时希望预计算整个立方体，但是，预计算 整个立方体需要海量空间，常常超过存储容量。尽管这样，完全立方 体计算的算法仍然很重要。部分物化则在存储空间和OLAP的响应时间 之间提供了有趣的折衷。冰山立方体就是一种部分物化的方法，这种 方法只对满足阙值的方体物化。 冰山立方体的SQL查询： computer cube sales_iceberg as Select month,city,customer_group,count(*) From salesinfo Cube by month,city,customer_group Having count(*) ﹥﹦min_sup
第四章 数据立方体的计算与数据泛化
本章，我们将更详细的考察描述性数据挖掘。描述性数据挖掘，它以简洁 和汇总的方式描述数据，并提供数据有趣的一般性质。 本章内容主要包括三节： 第一节：考察如何有效地在不同的抽象层计算数据立方体，深入考察 数据立方体计算的具体方法。 第二节：提供OLAP和数据立方体的进一步探查方法。 第三节：介绍另一种数据泛化方法，面向属性的归纳。
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2、完全立方体计算的多路数组聚集 多路数组聚集 方法使用多维数组作为基本数据结构，计算完全数据立 方体。它是一种使用数组直接寻址的典型MOLAP方法，其中维值通过位 置或对应数组位置的下标访问。因此，多路数组聚集不能使用任何基于 值的重新排序作为优化技术。 所使用的一种不同的方法是为基于数组的立方体结构开发的： ●将数组分成块。块是一个子立方体，其大小能够放入立方体计算 时可用的内存。分块是一种将n维数组划分成小的n维块的方法，其中每 块作为一个对象存放在磁盘上。 ●通过访问立方体单元（即存取立方体单元的值）计算聚集。 由于分块设计“重叠”某些聚集计算，称该技 术为多路数组聚集，它进行同时聚集——即同 时对多个维计算聚集。
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我们现在通过一个具体的例子来说明多路数组立方体计算。考虑一个包 含维A、B、C的3-D数组。维A组织成4个相等划分的a0、a1、a2、a3。 维B、C类似地划分成4部分。 ●基本方体 记作ABC（其他方体间接或直接的由它计算）。该方体业已 计算，并对应于给定的3-D数组。 ●2-D方体AB,AC和BC 分别对应于按AB，AC和BC分组。这些方体必 须计算。 ●1-D方体A，B和C,分别对应于按A，B和C分组。这些方体必须计算。 ●0-D方体，记作all，即没有分组。该方体必须计算。它包含一个值。 现在，我们来看一看如何用多路数组技术进行这种计算， 假设我们想计算BC方体中的b0c0块。在块内存中为该 块分配内存，通过扫描ABC的1-4块，计算出b0c0。即 b0c0单元在a0-a3上聚集。然后，块内存分给下一个块 b1c0，在扫描ABC紧接着的4个块5-8后完成b1c0的计 算。如此继续下去。
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■立方体计算的一般策略 一般，有两种基本数据结构用于存储方体。关系表是关系OLAP实现的 基本数据结构，而多维数组是多维OLAP实现的基本数据结构。尽管 ROLAP和MOLAP可能使用不同的立方体计算技术，但是某些“优化” 技巧可以在不同的数据表之间共享。 下面介绍一些数据立方体有效计算的一般优化技术： ●排序、散列和分组 应当对维属性使用排序、散列和分组操作，以便 对相关元组重新定序和聚类。在立方体计算中，聚集对共享一组相同的 纬值的元组（或单元）进行。这样，重要的是利用排序、散列和分组操 作一起访问和分组这样的数据，以利于聚集的计算。 ●同时聚集和缓存中间结果 在立方体计算中，由先 前计算的较低层聚集计算叫高层聚集，而不是由基 本事实表计算。此外，从缓存的中间计算结果同时 聚集可以减少开销很大的磁盘I/O操作。
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● 当存在多个子女方体时，由最小的子女聚集 当存在多个子女立方体时， 由最小的，先前计算的子女方体计算父母方体（即更泛化的方体）通常更 有效。 ●可以使用Apriori剪枝方法有效地计算冰山立方体 Apriori性质表述如下： 如果给定的单元不满足最小支持度，则该单元的后代也都不满足最小支持 度。使用这个性质可以显著地降低冰山立方体的计算量。
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方体树：方体树的每一层代表一个维，每个节点代表一个属性值。每个节点有 4个字段：属性值、聚集值，指向可能后代的指针和指向可能兄妹的指针。方 体中的元组逐个插入树中。一条从根到树叶节点的路径代表一个元组。这种表 示合并了公共前缀，节省内存并允许聚集内部节点的值。利用内部节点的聚集 值，可以进行基于共享维的剪枝。 如果单个维在属性值p上的聚集不满足冰山条件，则在冰山立方体计算中识别 这样的节点没有意义。这样的节点可以用*替换，使方体树可以进一步压缩。 如果单个维在p上的聚集不满足冰山条件，则称属性A的节点p是星节点。 使用星节点压缩的方体树称为星树。
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4、Star-cubing：使用动态星形树结构计算冰山立方体 star-cubing结合了我们已经研究过的其他方法的优点。它集成自顶向下和 自底向上立方体计算，并利用多维聚集。它从一个称作星形树的数据结构操 作，进行无损数据压缩，从而降低计算时间和内存需求量。 star-cubing算法利用自底向上和自顶向下的计算模型如下：对全局计算次 序，它使用自底向上模型。然而，它下面还有一个基于自顶向下的子层，利 用共享维的概念。这种集成允许算法在多个维上聚集，而仍然划分父分组并 剪裁不满足冰山条件的子女分组。
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现在，我们用一个例子解释BUC是如何工作的 用SQL表达的冰山立方体： computer cube iceberg_cube as select A，B，C，D，count(*) from R cube by A,B,C,D having count(*) ﹥﹦3 让我们来看看BUC如何构造维A B C D的冰山立方体，其中最小支持度计数为3. 假设维A有4个不同值a1 a2 a3 a4;B有4个不同值 b1 b2 b3 b4;C有2个不同值 c1 c2;而D有两个不同值d1 d2.如果将每个分组看成一个划分， 则必须计算分组属性的满足最小支持度（即有3个元组） 的每个组合。
我们可以看到，在计算BC方体中，我们已经扫描了64块中的每一块。那么 我们在计算其他方体，如AC、AB等的时候，就可以避免重新扫描所有的 块。这也就是“多路计算”和“同时聚集”思想。
接下来，我们要讨论的问题是，不同的块扫描和方体计算次序对整个数 据立方体的计算效率的影响。这个计算效率主要指在内存的占用方面。
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子树方体总都包含的维成为子树共享维。 共享维的引入有利于共享计算。由于共享维在树扩展之前识别，可以避 免以后重新计算。如：ABD扩展的方体AB实际上被剪枝，因为AB已经在 ABD/AB中计算。类似地，由AD扩展的方体A也被剪枝，因为AB已经在 ABD/AB中计算。 如果冰山立方体度量是反单调的，则共享维允许类Apriori剪枝。也就是 说，如果共享维的聚集值不满足冰山条件，则沿该共享维向下的所有单 元也不可能满足冰山条件。 为了解释star-cubing算法如何工作，我们需要解释更多的概念，即方体树、 星节点和星树。
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5、为快速高维OLAP预计算壳片段 数据立方体有利于多维数据空间的快速联机分析。然而，高维的完全数据 立方体需要海量存储空间和不切实际的计算时间。冰山立方体提供了一个更 可行的替代方案，正如我们已经看到的那样，其中冰山条件用来指定只计算 完全立方体单元的一个子集。然而冰山立方体有如下的一些缺点： 第一、冰山立方体本身的计算和存储的开销仍然可能很高；第二，很难确 定合适的冰山阙值；第三，冰山立方体不可能增量的更新，一旦一个聚集单 元低于冰山阙值，就被剪枝，它的度量值就丢失，任何增量更新都需要从头 重新计算。 一种可能的替代方法是计算一个薄的立方体外壳。例如，可以计算一个60维 的数据立方体中的具有3维或更少维的所有方体，导致厚度为3的立方体外壳。 然而，这种方法有两个缺点。第一：需要计算的方体其实很多的。第二，这 种方体不支持高维OLAP。
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ALL 剪裁： A/A 剪裁： B/B AD/A C/C D/D
J剪裁： AB/AB
AC/AC BD/B BC/BC CD
ABD/AB
ACD/A
BCD ABC/ABC
ABCD
Star-cubing方法如上图所示。如果我们只遵循自底向上 模型，则star-cubing标记为被剪裁的方体仍然被考察。 Star-cubing能够剪裁指示的方体，因为它考虑共享维。
源自文库湘潭大学商学院 管理科学与工程 韦波
为了系统的压缩数据立方体，需要引入闭覆盖的概念。一个单元c 是闭 单元，即如果不存在单元d使得d是单元c的特殊化（后代）（即d通过将 c中的*值用非*值替换），并且d与c具有相同的度量值。闭立方体是一个 仅由闭单元组成的数据立方体。 部分物化的另一种策略是仅预计算涉及少数维（如3到5个维）的方体， 这些方体形成对应数据立方体的外壳，对附加的维组合的查询必须临 时计算。
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第一节 数据立方体计算的有效方法
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1、不同类型立方体物化的路线图 数据立方体有利于多维数据的联机分析处理。本节将完全立方体物 化与部分立方体物化的各种策略进行比较。为完整起见，我们首先回 顾设计数据立方体的基本术语。 ■ 立方体物化 数据立方体是方体的格。每个方体用一个group-by表示。基本方 体是数据立方体中泛化程度最低的方体，泛化程度最高的方体是顶点 方体，通常用all表示。它包含一个值，对于存放在基本方体中的所有 元组聚集度量M。对立方体下钻，就是从顶点方体沿方体格向下移动； 上卷就是从基本方体向上移动。 本章讨论的目的是使用术语数据立方体的格而不是单个方体。 基本方体的单元是基本单元，非基本方体的单元是 聚集单元。聚集单元在一个或多个维聚集。
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为了进行划分，BUC扫描输入，聚集元组得到all的计数，对应于单元（*，*， *，*）。使用维A将输入分为4个划分，每个对应于A的一个不同值。A的每个 不同值的元组数（计数）记录在datacount中。 在搜索满足冰山条件的元组时，BUC使用Apriori性质节省搜索时间。从维的 值a1开始，聚集a1的划分为A的分组创建一个元组，对应于单元（a1,*,*,*,). 假设这个满足最小支持度，此时再在这个划分上进行递归调用。通过在每次 递归使用之前检查冰山条件，只要单元计数不满足最小支持度，BUC就节省 大量处理时间。
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3、BUC：从顶点方体向下计算冰山立方体 BUC是一种计算稀疏冰山立方体的算法。与Multiway不同，BUC从顶 点方体向下到基本方体，构造立方体。这允许BUC分担数据划分开销。 这种处理次序也允许BUC在构造立方体时使用Apriori性质进行剪枝。 BUC代表“自底向上构造”（Bottom-UP construction),然而，BUC的 处理次序实际上是自顶向下！BUC的作者以相反的次序观察方体的格， 顶点方体在底部，而基本方体在顶部。从这种角度，BUC确实是自底向 上构造。然而，由于我们采用应用观点，下钻表示从顶点方向下到基本 方体，因此BUC的探查过程视为自顶向下。 我们来解释下BUC算法。初始，用输入关系（元组集）调用该算法。 BUC聚集整个输入并输出结果总数。对于每个维，输入沿维划分。检查 划分的最小支持度。也就是说，如果划分中的元组数满足最小支持度。
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聚集单元在一个或多个维聚集，其中每个聚集维用单元记号中的＊指示。 聚集的维数不同，单元之间可能存在祖先-子孙关系。 为了确保联机分析处理，有时希望预计算整个立方体，但是，预计算 整个立方体需要海量空间，常常超过存储容量。尽管这样，完全立方 体计算的算法仍然很重要。部分物化则在存储空间和OLAP的响应时间 之间提供了有趣的折衷。冰山立方体就是一种部分物化的方法，这种 方法只对满足阙值的方体物化。 冰山立方体的SQL查询： computer cube sales_iceberg as Select month,city,customer_group,count(*) From salesinfo Cube by month,city,customer_group Having count(*) ﹥﹦min_sup
第四章 数据立方体的计算与数据泛化
本章，我们将更详细的考察描述性数据挖掘。描述性数据挖掘，它以简洁 和汇总的方式描述数据，并提供数据有趣的一般性质。 本章内容主要包括三节： 第一节：考察如何有效地在不同的抽象层计算数据立方体，深入考察 数据立方体计算的具体方法。 第二节：提供OLAP和数据立方体的进一步探查方法。 第三节：介绍另一种数据泛化方法，面向属性的归纳。
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2、完全立方体计算的多路数组聚集 多路数组聚集 方法使用多维数组作为基本数据结构，计算完全数据立 方体。它是一种使用数组直接寻址的典型MOLAP方法，其中维值通过位 置或对应数组位置的下标访问。因此，多路数组聚集不能使用任何基于 值的重新排序作为优化技术。 所使用的一种不同的方法是为基于数组的立方体结构开发的： ●将数组分成块。块是一个子立方体，其大小能够放入立方体计算 时可用的内存。分块是一种将n维数组划分成小的n维块的方法，其中每 块作为一个对象存放在磁盘上。 ●通过访问立方体单元（即存取立方体单元的值）计算聚集。 由于分块设计“重叠”某些聚集计算，称该技 术为多路数组聚集，它进行同时聚集——即同 时对多个维计算聚集。
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我们现在通过一个具体的例子来说明多路数组立方体计算。考虑一个包 含维A、B、C的3-D数组。维A组织成4个相等划分的a0、a1、a2、a3。 维B、C类似地划分成4部分。 ●基本方体 记作ABC（其他方体间接或直接的由它计算）。该方体业已 计算，并对应于给定的3-D数组。 ●2-D方体AB,AC和BC 分别对应于按AB，AC和BC分组。这些方体必 须计算。 ●1-D方体A，B和C,分别对应于按A，B和C分组。这些方体必须计算。 ●0-D方体，记作all，即没有分组。该方体必须计算。它包含一个值。 现在，我们来看一看如何用多路数组技术进行这种计算， 假设我们想计算BC方体中的b0c0块。在块内存中为该 块分配内存，通过扫描ABC的1-4块，计算出b0c0。即 b0c0单元在a0-a3上聚集。然后，块内存分给下一个块 b1c0，在扫描ABC紧接着的4个块5-8后完成b1c0的计 算。如此继续下去。
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■立方体计算的一般策略 一般，有两种基本数据结构用于存储方体。关系表是关系OLAP实现的 基本数据结构，而多维数组是多维OLAP实现的基本数据结构。尽管 ROLAP和MOLAP可能使用不同的立方体计算技术，但是某些“优化” 技巧可以在不同的数据表之间共享。 下面介绍一些数据立方体有效计算的一般优化技术： ●排序、散列和分组 应当对维属性使用排序、散列和分组操作，以便 对相关元组重新定序和聚类。在立方体计算中，聚集对共享一组相同的 纬值的元组（或单元）进行。这样，重要的是利用排序、散列和分组操 作一起访问和分组这样的数据，以利于聚集的计算。 ●同时聚集和缓存中间结果 在立方体计算中，由先 前计算的较低层聚集计算叫高层聚集，而不是由基 本事实表计算。此外，从缓存的中间计算结果同时 聚集可以减少开销很大的磁盘I/O操作。
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● 当存在多个子女方体时，由最小的子女聚集 当存在多个子女立方体时， 由最小的，先前计算的子女方体计算父母方体（即更泛化的方体）通常更 有效。 ●可以使用Apriori剪枝方法有效地计算冰山立方体 Apriori性质表述如下： 如果给定的单元不满足最小支持度，则该单元的后代也都不满足最小支持 度。使用这个性质可以显著地降低冰山立方体的计算量。
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方体树：方体树的每一层代表一个维，每个节点代表一个属性值。每个节点有 4个字段：属性值、聚集值，指向可能后代的指针和指向可能兄妹的指针。方 体中的元组逐个插入树中。一条从根到树叶节点的路径代表一个元组。这种表 示合并了公共前缀，节省内存并允许聚集内部节点的值。利用内部节点的聚集 值，可以进行基于共享维的剪枝。 如果单个维在属性值p上的聚集不满足冰山条件，则在冰山立方体计算中识别 这样的节点没有意义。这样的节点可以用*替换，使方体树可以进一步压缩。 如果单个维在p上的聚集不满足冰山条件，则称属性A的节点p是星节点。 使用星节点压缩的方体树称为星树。
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4、Star-cubing：使用动态星形树结构计算冰山立方体 star-cubing结合了我们已经研究过的其他方法的优点。它集成自顶向下和 自底向上立方体计算，并利用多维聚集。它从一个称作星形树的数据结构操 作，进行无损数据压缩，从而降低计算时间和内存需求量。 star-cubing算法利用自底向上和自顶向下的计算模型如下：对全局计算次 序，它使用自底向上模型。然而，它下面还有一个基于自顶向下的子层，利 用共享维的概念。这种集成允许算法在多个维上聚集，而仍然划分父分组并 剪裁不满足冰山条件的子女分组。
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现在，我们用一个例子解释BUC是如何工作的 用SQL表达的冰山立方体： computer cube iceberg_cube as select A，B，C，D，count(*) from R cube by A,B,C,D having count(*) ﹥﹦3 让我们来看看BUC如何构造维A B C D的冰山立方体，其中最小支持度计数为3. 假设维A有4个不同值a1 a2 a3 a4;B有4个不同值 b1 b2 b3 b4;C有2个不同值 c1 c2;而D有两个不同值d1 d2.如果将每个分组看成一个划分， 则必须计算分组属性的满足最小支持度（即有3个元组） 的每个组合。