第六章 扭转分析
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A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为N千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W N 1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
eΒιβλιοθήκη Baidu
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
6.2 扭转构件横截面上的内力
6.2.1外力偶矩的计算
在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的 往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没 有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分 析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力 偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外 力偶矩 Me的大小。
m
从上述3—3截面上扭矩的两种计算方法所获得的计算结果 可以看到，两个结果虽在数值上相等，但是在转向上却相反， 由于二者均为同一截面处的内力，故其在正负号上应该一致， 为了使二者的正负号一致。因此我们有必要进行正负号的规定。
3、扭转正、负号的规定：
（1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵 向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反 之为负。
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
N n
（N·m）
如果功率N以瓦为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
3 MD
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
MB
MC
M
＝
A
637
N
y
955N m
477.5N m x
0
637N m
如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平 线之上为正，在水平线之下为负。
6.3纯剪切 剪应力互等定理 剪切虎克定律
一、纯剪切 1、扭转实验
实验结果: 于截面mm对截面nn的相对转动，使方格的左右两 边发生相对错动，但两对边之间的距离不变, 圆筒 的半径长度也不变。
t dydx
z
y
dx
dy
x
t
推测：为了维持单元体的平衡，在上、下两个面上一定有剪应
力的作用，分别记为 '、 ' '，二者组成的力偶正好与 t dy dx
大小相等，方向相反，从而保持单元体处于平衡状态。
由
X 0 'd x t ''d x t ' ''
由 M Z 0 ( dx t)dy (t dy) dx
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
应用截面法将在横截面I-I处假想的截开为二，如图，并保留 左半部分为研究对象
1
MB
T1
x
1
Mx 0 MB T1 0 T1 MB＝477.5N m
1
MB
MC
2 T2 x
B1
C2
Mx 0 MB MC T2 0 T2 MB MC＝477.52 955N m
6.1 扭转的概念
一、引例
F F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作 用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会 发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面 垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。
例3、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，试绘出各段轴的扭矩图。
解： 从例2中可知，BC、CA、AD各段横截面上的扭矩分别为：
T1 477 .5N m T2 955 N m T3 637 N m
由于圆周方向各点情况相同——圆周各点的应力相等。
由
M X 0 2 r t r M e
Me
2 r 2t
二、剪应力互等定理
用两组互相垂直的平面从薄壁筒中取出一个单元体，如 图所示。
由上面的分析可知：在 单元体的两侧面上分别受有 一对大小相等，方向相反的 剪应力。两面上的剪应力之 合力组成了一个力偶：
（2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Tn表示为矢量，当矢 量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
扭矩图的作法同轴线图的作法完全一样。如图所示：以x 轴表示杆件各横截面的位置，以垂直向上的纵轴表示T的大小。
MB
MC
MA
MD
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
外力偶矩转向的确定：
主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同，
从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。 6.2.2扭矩的计算和扭矩图：
1、扭矩：横截面上的内力： (T)
T T T=T
2、扭矩的计算
例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩。
1
MB
MC
2 MA
3 MD
1
B
2
C
3
A
D
解： 根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：
结论：圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵面
截面上也无正应力——对这种只有剪切应力而无 正应力的 情况，称为纯剪切。
平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的 剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
2、横截面上剪应力的计算
nm
Me
ab
Me
cd
nm
nm
Me
Me
nm
用一平面从mm截面处假想的把杆件分成两部分，留左 边部分为研究对象，由于筒壁的厚度很小——可认为沿壁厚 剪应力不变 。
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为N千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W N 1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
eΒιβλιοθήκη Baidu
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
6.2 扭转构件横截面上的内力
6.2.1外力偶矩的计算
在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的 往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没 有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分 析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力 偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外 力偶矩 Me的大小。
m
从上述3—3截面上扭矩的两种计算方法所获得的计算结果 可以看到，两个结果虽在数值上相等，但是在转向上却相反， 由于二者均为同一截面处的内力，故其在正负号上应该一致， 为了使二者的正负号一致。因此我们有必要进行正负号的规定。
3、扭转正、负号的规定：
（1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵 向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反 之为负。
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
N n
（N·m）
如果功率N以瓦为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
3 MD
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
MB
MC
M
＝
A
637
N
y
955N m
477.5N m x
0
637N m
如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平 线之上为正，在水平线之下为负。
6.3纯剪切 剪应力互等定理 剪切虎克定律
一、纯剪切 1、扭转实验
实验结果: 于截面mm对截面nn的相对转动，使方格的左右两 边发生相对错动，但两对边之间的距离不变, 圆筒 的半径长度也不变。
t dydx
z
y
dx
dy
x
t
推测：为了维持单元体的平衡，在上、下两个面上一定有剪应
力的作用，分别记为 '、 ' '，二者组成的力偶正好与 t dy dx
大小相等，方向相反，从而保持单元体处于平衡状态。
由
X 0 'd x t ''d x t ' ''
由 M Z 0 ( dx t)dy (t dy) dx
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
应用截面法将在横截面I-I处假想的截开为二，如图，并保留 左半部分为研究对象
1
MB
T1
x
1
Mx 0 MB T1 0 T1 MB＝477.5N m
1
MB
MC
2 T2 x
B1
C2
Mx 0 MB MC T2 0 T2 MB MC＝477.52 955N m
6.1 扭转的概念
一、引例
F F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作 用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会 发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面 垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。
例3、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，试绘出各段轴的扭矩图。
解： 从例2中可知，BC、CA、AD各段横截面上的扭矩分别为：
T1 477 .5N m T2 955 N m T3 637 N m
由于圆周方向各点情况相同——圆周各点的应力相等。
由
M X 0 2 r t r M e
Me
2 r 2t
二、剪应力互等定理
用两组互相垂直的平面从薄壁筒中取出一个单元体，如 图所示。
由上面的分析可知：在 单元体的两侧面上分别受有 一对大小相等，方向相反的 剪应力。两面上的剪应力之 合力组成了一个力偶：
（2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Tn表示为矢量，当矢 量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
扭矩图的作法同轴线图的作法完全一样。如图所示：以x 轴表示杆件各横截面的位置，以垂直向上的纵轴表示T的大小。
MB
MC
MA
MD
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
外力偶矩转向的确定：
主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同，
从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。 6.2.2扭矩的计算和扭矩图：
1、扭矩：横截面上的内力： (T)
T T T=T
2、扭矩的计算
例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩。
1
MB
MC
2 MA
3 MD
1
B
2
C
3
A
D
解： 根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：
结论：圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵面
截面上也无正应力——对这种只有剪切应力而无 正应力的 情况，称为纯剪切。
平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的 剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
2、横截面上剪应力的计算
nm
Me
ab
Me
cd
nm
nm
Me
Me
nm
用一平面从mm截面处假想的把杆件分成两部分，留左 边部分为研究对象，由于筒壁的厚度很小——可认为沿壁厚 剪应力不变 。