高三数学函数综合题训练(含详解)

高三函数综合题

1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．

（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；

（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．

2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．

（1）若a=-1，解方程f（x）=1；

（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．

（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；

（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；

（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．

（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；

（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

答案详解

1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．

（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；

（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，

则有t-t -1

=4，即t 2

-4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x

=2+5，可得x=log 2(2+5)．

当t=2-5时，有2x

=2-5，此方程无解．故所求x 的值为log 2(2+5)．

（2）设x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1＞x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=(2x

1+2

-x 1

a)-(2x 2+2

-x 2

a)=(2x 1-2x

2)+

2

11

2

2

2

2

x x x x +-a=

2

12

1

2

2

2

x x x x +-(2

x 1+x

2

-a)

由x 1＞x 2，可得2x

1＞2x 2，即2x

1-2x

2＞0，由x 1，x 2∈[1，+∞），x 1＞x 2，得x 1+x 2＞2，故2x 1+x

2＞4＞0，

又a≤4，故2x 1+x 2＞a ，即2x 1+x

2-a ＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数．

（3）因为函数f （x ）=2x +2-x

a ，存在x ∈[0，1]，

f （2x ）＞[f （x ）]2⇔22x +2-2x a ＞22x +2a+2-2x a 2⇔2-2x （a 2

-a ）+2a ＜0 设t=2-2x

，由x ∈[0，1]，可得t ∈[

4

1，1]，由存在x ∈[0，1]使得f （2x ）＞[f （x ）]2

， 可得存在t ∈[

4

1，1]，使得（a 2-a ）t+2a ＜0，令g （t ）=（a 2

-a ）t+2a ＜0， 故有g(

41)=4

1(a 2-a)+2a ＜0或g （1）=（a 2

-a ）+2a ＜0， 可得-7＜a ＜0．即所求a 的取值范围是（-7，0）．

2.已知函数f （x ）=x 2

+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1，解方程f （x ）=1；

（2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；

（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．

解析：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2

+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ⎩⎨⎧-<-≥-11

1

122x x x ，

当x≥-1时，由f （x ）=1，有2x 2

-1=1，解得x=1，或x=-1． 当x ＜-1时，f （x ）=1恒成立， ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．

（2）f(x)= ⎩⎨⎧<-+≥++-a x a x a a

x a x a x )1()1(22

若f （x ）在R 上单调递增，则⎪⎩

⎪

⎨⎧>+≤+014

1

a a a ，解得a≥

31，∴当a≥3

1

时，f （x ）在R 上单调递增． （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3），则g(x)=⎩

⎨⎧<+--≥+++-a x a x a a

x a x a ,3)1(,3)3(2x 2，

不等式f （x ）

≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x ∈R 恒成立．∵a ＜1，

∴当x ∈（-∞，a ）时，g （x ）单调递减，其值域为（a 2-2a+3，+∞），∵a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g （x ）≥0成立．