第三十届“希望杯”全国数学邀请赛 高一Ⅰ试

)
A. 3
B. 8
C. 10
D. 256
解:
a
=
log23, a
=
log311, c
=
log11256
⇒
abc
=
ln 3 ln 2
·
ln 11 ln 3
·
ln 256 ln 11
=
log2256
=
8.
7. 已知
x2 f (x) = 1 + x2 ,
Ä√
ä Ä√
ä
则 f a2 + 1 + a + f a2 + 1 − a 的值是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · (
或 (
1 2
,
)
当 a ̸= ±1 时,∆ = 4a2 − 4a2 1 − a2 = 4a4 = 0 ⇒ a = 0,
故 a ∈ [−1, 1] .
13.
在
△ABC
中,
已知
∠A
=
30◦ ,C D、B E
分别是边
AB、AC
上的高,
则
DE BC
=
.
LATEX
图1 第 II 页
2019 年 5 月 26 号
)
A. 1 解:
B. 0
C.
1 2
D. 2
Åã 1
x2
1
f (x) + f x = 1 + x2 + 1 + x2 = 1.
8. 如果一个直角三角形的三条边的长都是正整数, 并且周长的数值是面积的数值的 2 倍, 则这样的直角三角形有· · · (
)
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
解: 设直角边为 a, b, 则 移项平方化简得:
1 |P A| = |P B|
t
恒成立, 则点 (s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · (
Zy
第三十届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 第 I 试
1.
若命题
P
:
∃x0
∈
(−∞, 0) , 2x0
<
3x0 ;
命题
Q
:
∀x
∈
( 0,
π 2
)
,
tan
x
>
sin x,
则以下结论中,
正确的有 . . . . . . . · · · (
)
⃝1 P ∨ Q 是真命题. ⃝2 ¬P ∧ Q 是真命题. ⃝3 P ∨ ¬Q 是假命题. ⃝4 ¬P ∧ Q 是假命题.
..... (11)
.
.
.
.
... D.
.. f
... (c
2
. )
... <
...... f (11)
..· <
f· ·((3b
)
)
解:f (x + 1) = f (x − 3) ⇒ f (x) = f [(x − 1) − 3] = f (x − 4) ⇒ T = 4,
f (−6) = f (−6 + 4) = f (−2) ⇒ f (−4) = −13,
1
Vmax
=
. 3
19. 若等差数列 {an} 满足 3a5 = 8a12 > 0, 数列 {bn} 满足 bn = anan+1an+2 (n ∈ N+) , 则当 {bn} 的前 n 项和最大
时,n =
.
解: 由 3a5 = 8a12 > 0,
76d a1 = − 5 , a1 > 0, d < 0,
=1+
sin θ cos θ
·
sin
θ 2
cos
θ 2
=1+
2
sin
θ 2
cos
θ 2
cos θ
·
sin
θ 2
cos
θ 2
=
1
+
2sin2
θ 2
cos θ
,
Å cot
θ 2
−
tan
ãÅ θ
1 2
+
tan θ tan
ã θ 2
=
2 cos θ sin θ
Ç 1
+
2sin2
θ 2
cos θ
å
=
2 sin θ
LATEX
第 III 页
2019 年 5 月 26 号
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
5. 若集合 A = { x| |x| ≤ 2, x ∈ Z} , B = { x| 2x ∈ A} , 则集合 B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · (
)
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 非奇非偶函数
D. 奇偶性不确定的函数
3. 某班有 30 个学生订阅数、理、化三种报刊共 50 份, 每种报刊 1 人最多订阅 1 份, 其中三种报刊都订阅的有 5 人, 则
只订阅一种报刊的有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · (
=
1 5
,
则
Å
ãÅ
ã
cot θ − tan θ 1 + tan θ tan θ
2
2
2
的值为 解:
故
.
cot θ − tan θ
2
2
=
cos
θ 2
sin
θ 2
−
sin
θ 2
cos
θ 2
=
cos2
θ 2
−
sin2
θ 2
sin
θ 2
cos
θ 2
=
2 cos θ sin θ ,
1 + tan θ tan θ 2
)
A. 8
B. 10
C. 15
D. 20
4. 方程 |x| + |x + 1| = |x + 2| 的根的个数是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · (
Zy
解: 作 F C⊥AC, 则
CF ∥ EB, ∠BF C = ∠DCE = 120◦, CE = CD = cos 30◦, BF CF
即 △CDE ∼ △F CB, 有 ∠AED = ∠ABC,△ADE ∼ △ACB,
√
DE = BC ⇒ DE = AD = cos 30◦ =
3 .
AD AC BC AC
( f A.
b 3
)
,
f
(
c 2
)
,
f (11) < f
f (
(11)
b 3
)
<
的大小关系是
f
(
c 2
)
B.
... (
f
... b)
3
.. <
.. f
.... (c)
2
.... <f
..... (11)
.
.
.
.
..... C. f
.. (
.
c 2
.... )
<
... (
f
... b)
3
.. <
.. f
(
)
⃝3 y = lg x2 + 2x − 2 ;
(
)
⃝4 y = lg x2 − 3x − ln x.
解:2 个.
16.
在平面直角坐标系
xOy
中,
若
x
∈
[0, 3] ,
函数f(x)=源自2sin(
π 3
x
+
π)
6
的图像的最高点为
A,
最低点为
B,
则
△OAB
的面积为
.
解: 7
S= . 2
17.
若
sin θ
{
17t2 = s2 + 1
⇒
16t4
−
17t2
+
1
=
(16t2
−
) 1
(t2
−