点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案：

一.判断题(每小题2分)

1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )

2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × )

、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × )

5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ）

6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ）

7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ )

8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( × )

9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ）

10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ）

11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ）

12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ）

二．填空题：(每空格3分)

1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中

Z n ={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z

包含3的所有闭集为 ,...,,,/

6/5/41Z Z Z Z

包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ⋃

设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=∅

3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____.

4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;

答案： ({})U A x φ⋂-≠

5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ;

答案：X ；X

6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ;

答案：X ；X

7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;

答案：{2}

三、单项选择题（每题2分）

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T

④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③

2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④

3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的

个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

5、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

6、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①

7、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④

8、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①

9、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②

10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③

11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是

（ ）

① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③

12、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的

是（ ）

① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①

13、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正

确的是（ ）

① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④

14、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）

① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}

② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}

④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答

案：①

15、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③

16、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④

17、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②

18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,4

1,……},则A ＝（ ）

①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③

19、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①