初高中数学衔接教材(已整理)(可编辑修改版)
初高中数学衔接教材(已整理)-之欧阳地创编
2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
我们会不断的研究新课程及其体系。
将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
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第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
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第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
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初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
我们会不断的研究新课程及其体系。
将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
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2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
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初高中数学连接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：（ 1）平方差公式(a b)(a b)a2b2；（ 2）完整平方公式(a b)2a22ab b2．我们还能够经过证明获得以下一些乘法公式：（ 1）立方和公式(a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 2）立方差公式(a b)( a2ab b2 )a3b3；（ 3）三数和平方公式(a b c)2a2b2c22(ab bc ac) ；（ 4）两数和立方公式(a b)3a3 3a2b3ab2b3；（ 5）两数差立方公式(a b)3a3 3a2b3ab2b3．对上边列出的五个公式，有兴趣的同学能够自己去证明．例 1 计算： ( x1)(x1)(x2x1)(x2x1) ．解法一：原式 = ( x21) ( x21)2x2= ( x2 1)(x4x21)= x61．解法二：原式 = ( x1)(x2x 1)(x 1)(x2x1)= ( x3 1)(x31)= x61．例 2 已知a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求a2b2c2的值．解： a2b2c2( a b c)22(ab bc ac)8 ．练习1．填空：（ 1）1a2 1 b2(1b1a) （）；9423（ 2）(4m)216m24m() ；(3 ) (a2b c)2a24b2c2() ．2．选择题：1mx（ 1）若x2k 是一个完整平方式，则k 等于（）2（ B）1m2（ C）1m2（ D）1m2（A ）m24316（ 2）无论a，b为什么实数，a2b22a 4b8 的值（）（A ）老是正数（B ）老是负数（C）能够是零（D ）能够是正数也能够是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，此外还应认识求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋ 2；2（ 3） x ( a b) xy aby2；（2）x2＋ 4x－12；（4） xy 1 x y ．初中高升中数学教材变化剖析2 分解成解：（）如图．－，将二次项2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项11 1 1x－1 与－ 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是 x2－3x＋ 2 中的一次项，因此，有x2－3x＋2＝(x－ 1)(x－2)．x－ 11－ 11－ 2x－ ayx－ 21－ 216x－ by图 1．1－ 1图 1．1－2图 1． 1－3图 1． 1－4说明：此后在分解与本例近似的二次三项式时，能够直接将图1．1－1 中的两个 x 用 1来表示（如图1． 1－ 2 所示）．（ 2）由图 1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋ 6)．（ 3）由图 1．1－4，得x2(a b) xy aby2＝ ( x ay)( x by)x－ 1（ 4） xy 1x y ＝xy＋ (x－ y)－1y1＝(x－ 1) (y+ 1)（如图 1．1－5 所示）．图 1．1－ 5讲堂练习一、填空题：1、把以下各式分解因式：（1）x25x6__________________________________________________ 。
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初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x ______________________________________________－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5（2）=+-652x x __________________________________________________。
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2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
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初高中数学衔接教材(完整版)
初高中数学衔接教材(完整版)篇一：初高中衔接教材数学《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？提几点建议：一、“信心”是源泉。
人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。
二、“恒心”是保障。
人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。
三、“巧心”是支柱。
人无巧心，就缺乏灵气和创造力。
最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。
主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学？A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。
（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。
（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
b.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
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目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1. 1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V 0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x；③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3,x>4.综上所述，原不等式的解为x v0,或x>4.解法二：如图1. 1-1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离I PA，即I PA = |x- 1| ; |x-引表示x轴上点P到坐标为2的点B 之间的距离| PB，即| PB = |x- 3| .所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为| PA +1 PB >4.由| AB = 2,可知点P在点q坐标为0)的左侧、或点P在点学习参考P C A B D丄L丄L Lx0134x V|x- 3||x- 1|图1. 1- 1D(坐标为4)的右侧.x v0,或x>4.练习1.填空：(1)若x5，则x=；若x4，贝y x= .(2)如果la b5,且a 1 11，则b= ；若|1 c 2 ,则C =2.选择题：1 1下列叙述正确的是( )(A)若a b则a b(B) 若a b，则 a b(C)若a b , 则a b(D) 若a 1),则 a b3.化简：| x- 5| - |2x —13|(x > 5).1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a b)(a b) a2b2；(2)完全平方公式(a b)2 a22ab b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1) 立方和公式(a 2 2b)(a ab b ) 3a b3；(2)立方差公式(a b)(a2 ab b2) 3 a b3；(3)三数和平方公式(a b c)2a2 b2 2 c2(ab bc ac)；(4)两数和立方公式(a b)3 a3 3a 2b3ab2.3b ；(5)两数差立方公式(a b)3 a3 3a 2b3ab2b3.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1). 解法一：原式= (x21) (x21)2x2—(x21)(x4x21)=6 x 1 .解法二原式=(x1)(x2x21)(x 1)(x x 1) =(x31)(x31)=x61.例2已知a b c 4 , ab bc ac 4，求a2 b2c2的值解： 2a b2c2 ( ab c)22(ab bc ac) 8 .练习1. 填空：(1) 12 a1b2Qb 如( )；9423(2) (4 m)216m24m ()(3 )(a2b c)2 2 2 2a 4bc ().2. 选择题:1.1.3 .二次根式一般地，形如.a(a 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为无理式.例如3a2b ,.产号等是无理式，而 -、2x 2 2x 1 , x 2 . 2xy y 2，-. a 2 等是有理式.21. 分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做 分母(子)有理化.为了进行分母(子) 有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2与 .2 , 与' a ，-. 3 与 '一3 & , 2.3 与 2、、3 3 &，等等. 一般地，a /X 与x , a 、、x b.,$与a 、、x b y , a . x b 与a. x b 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式.a ,b ab(a 0,b 0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-07的意义a, a 0, aa, a 0.例1 将下歹 J 式子化为最简一次根式：(1) 施； (2) VOb(a 0); (3) J 4x 6y(x 0).解： (1)2屈；(2) Ja 2b a 虑 aVb(a 0)；(3) J4x 6y 2x 3 &2X 3T7(X 0).例2 计算 :爲 (3晶.(1 ) 21若 x -mx 2k 是——一个 ()(A )m 2(B ) 1 2 m4(2 ) 不论a ,b为 何 ( )(A 总是正数(C 可以是零数则k 等于(C )討2(D ) 4b 81 2m16的值(B )总是负数(D )可以是正数也可以是负完全平方式，实数，a 2 b 2 2a解法一：再(3、③=' 3_3典=.3 (3 . 3) (3 .3)(3 3)=3灵3 9 3=3“ 1)6=s/3 12解法二：.3 (3、、3) = —33罷.3 1 .3 1 ( 3 1)G 3 1).3 12例3 试比较下列各组数的大小：（1）A2 .仃和,n .10 ；解: (1) V，.^ 吊』111.不吊1(2)./ 4(、、12 .11)612 .11)和2逗_、、6 .(11 .10)(. 11 10);11 「101.12 、11 ，1、11 ■10，又,12 .11 .亍帀,二、、12 ..右V .11 .,10 .(2)・.・2运—76 2应-V6 (^2-46)(242+46)1又 4 >2 2,6 + 4> . 6+ 2 2,r2V 2、2-66 4化简：(、、3 J) 2004 ( 3、、2)20052、2+,6'例4解: 0.3 , 2 ) 2004(、3 ；2严=2 ) 2004 (G 2 ) 2004(、、3 .2) = 0 3 ' 2) 0-3 、.2) ^.3 . 2)=12004(..3 例5 化简: 、2) =、3 2 .(1).9 4；5 ；(2) 12 2(0 x 1).x解：（1）原式.(5)22 2 5 22、.(2 、5)245 45 2.（2）原式=,5 4 54-x1 x，所以，原式=-X已知x 律2,y J J ，求5xy 3/的值• ’x y 3 : '3 :（、3、2）2（ 3、②210，xy 32歸 1 ,二 3x 2 5xy 3y 23(x y)2 11xy 3 1 0211 289 .1.1. 4 .分式1 .分式的意义形如A 的式子，若 BB 中含有字母，且B'则称13为分式.当心时，分式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M ，B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2. 繁分式a像_^ , m n P 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. cd 2m1.习填空： 11若,(5 x)(x 3)2 (x 3) •.厂x ，则x 的取值范围是 4、/24 6.54 ^.96 2.1502(1) 2.选择题: 爪［| J X 1 J x1，则 x 1x1 x 、、x ■■■ x 2 厂2.立) (A ) x 23 .若ba 1_4.比较大小：2— 3(B ) x 01 a，求a b 的值._____ >/5—萌(填“〉”(C xV”)(D ) 0x2例6解：5例1若汙2）彳三，求常数A ，B 的值.A B 5, 2A 4,(1)试证: (2) 计算: 解得 A1 1n(n 1) n1 1 122 31又n >2’且n 是正整数」市一定为正数'1 n(n 1)例 3 设e c ，且 e > 1, 2c 2— 5ac + 2a 2= 0,求 e 的值. a 解：在2c 2— 5ac + 2a 2 = 0两边同除以a 2,得2 e 2 — 5e + 2=0,/. (2e —1)( e — 2) = 0,1二e = 2 v 1,舍去；或 e = 2. e = 2.练习1. 填空题：对任意的正整数n ,1__L 11);n(n 2)n n 22 选择题：解:A(x 2) Bx (A B)x 2A x(x 2)x(x 2)5x 4 x(x 2)（3）证明：对任意大于1的正整数n ，1 n(n 1). 1 1 1・ ・n(n 1) n n 1 （其中n 是正整数）成立.（2）解：由（1）可知1 1 1 1 1 1 1 1L(1 : > ( )L ( ) 1 2 2 39 102 23 9 10 （3）证明：v -1 1L1 =11 11 1 (--)(--)L(-(1)证明：••• 1 丄 e I 1 -n n 1 n(n 1) n(n 1)2 3 3 4 n(n 1)2 3 3 4n1110 101)若2x yx y2 3,则( )(A )1(B ) 5(C )-453.正数x,y 满足x 2 y 22xy ，求x y的值.x y(D )丄（其中n 是正整数）；n 11 9 101 2 31 99 100习题1. 1A 组(1) x 1 3 ；(2)x 3⑶ x 1 x 16 .解不等式: 3xy 的值. 3y x 2 71，求 x 3.已知x y填空：(1) (2) (3)(2 J)18(2 ...3)19 = 若(112填空: (1) a (2)若 已知：x 选择题:( ) (A )a)2.(1 12 .3.3；4a)2 2 , 1___ ?则a 的取值范围是1 .4；5xy1 2，y3a 2 23a 5ab 2b 0,则 Jxy yx1 求 N 3， x y ab 22y 2 (B )22 _ ---------------------------y的值.x yC 组b 2、ab 、、b a(C) a b 0(D ) b) _(A ) ■ "a 2) x 1 2 4解方程2(x 2计算：九3(x 丄)x试证：对任意的正整数 (B )(C ) (D )n ,1 9 11 .有V n(n 1)( n 2) 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法.4.1. 2 3. 1.2. 1. ((2. 3. 4.7x 10 1十字相乘法例1分解因式：(1) X 2— 3x + 2; (2) X 2 + 4x — 12; (3) x 2 (a b)xy aby 2 ；(4) xy 1 x y .解：(1)如图1. 1 — 1,将二次项X 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2 — 3x + 2中的一次项， 所以，有x 2— 3x + 2 = (x —1)( x — 2).x —:1—:1- — 6x，. —ayx —by图 1. 1— 1 图 1 . 1—2 图 1. 1 — 3图 1 . 1 — 4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1. 1 — 1中的两个x 用1来表示(如图1. 1 — 2所示).(2) 由图1. 1 — 3,得2x + 4x — 12 = (x — 2)( x + 6). (3) 由图1. 1 — 4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y = xy +(X — y ) — 1=(x — 1) ( y+1)(如图 1. 1 — 5 所示).课堂练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 _(2) 2 x 5x 6 _ (3) 2 x 5x 6 _ (4) 2 x 5x 6 _ (5) x 2 a 1 x a _ (6) 2 x 11x 18_ (7) 6x 2 7x 2 _ (8) 4m 2 12m 9 _ (9) 5 7x 6x 2_(10) 12x 2 xy 6y 2_x 2 4x ______________ x 3 x ________________3、若 x 2ax b x 2 x 4 贝卩 a _________________ , b _____________二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)7x 6 (2) x 2 4x 3 (3) x 2 6x 8 (4) 15x 44中，有相同因式的是(B 、只有(3) (4) 1、在多项式(1) x 2(5) x 2 A 、只有(1) (2) C 只有(3) (5)D (1)和(2); (3)和(4); (3)和(5)3、2 y2 4 y 62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2 b 5 a 5 b(2) x393x23x解：(1) . a2 b 5 a 5 b ：=a(b5)(a1)(2) x39 3x2 3x =(x3 3x2)(3x9) =x2(x3)3(x3)(x 3)(x2 3).或3 2 3 2 3 3 3x 9 3x 3x = (x 3x 3x 1) 8 = (x 1) 8 = (x 1) 22 2 2=[(x 1) 2][(x 1) (x 1) 2 2 ] = (x 3)(x 3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2y 2xy2 4xyz中各项的公因式是___________________ 。
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（3）三数和平方公式
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) ；
（4）两数和立方公式
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ；
（5）两数差立方公式
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、例题
（2） (4m +
)2 = 16m2 + 4m + (
)；
（3） (a + 2b − c)2 = a2 + 4b2 + c2 + (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 + 1 mx + k 是一个完全平方式，则 k 等于 2
（
）
（A） m2
（B） 1 m2 4
（C） 1 m2 3
（D） 1 m2 16
（2）不论 a ， b 为何实数， a2 + b2 − 2a − 4b + 8的值
（1）平方差公式
(a + b)(a − b) = a2 − b2 ；
（2）完全平方公式
(a b)2 = a2 2ab + b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3 ；
（2）立方差公式
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3 ；
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初高中数学连接教材 【1 】我们在初中已经进修过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2）完整平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以经由过程证实得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+; （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-;（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式,有兴致的同窗可以本身去证实． 例1 盘算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值． 解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111()9423a b b a -=+（ ）; （2）(4m +22)164(m m =++); (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完整平方法,则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）老是正数 （B ）老是负数（C ）可所以零 （D ）可所以正数也可所以负数2．因式分化因式分化的重要办法有：十字相乘法.提取公因式法.公式法.分组分化法,别的还应懂得求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分化因式：（1）x2－3x ＋2; （2）x2＋4x －12; （3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1,将二次项x2分化成图中的两个x 的积,再将常数项2分化成－1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x,就是x2－3x ＋2中的一次项,所以,有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．解释：往后在分化与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3,得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4,得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．教室演习 一.填空题：1.把下列各式分化因式：（1）=-+652x x __________________________________________________. （2）=+-652x x __________________________________________________.－1 －2 x x 图1．1－1－1 －21 1图1．1－2 －2 61 1图1．1－3－ay －byx x图1．1－4－1 1x y图1．1－5（3）=++652x x __________________________________________________. （4）=--652x x __________________________________________________. （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________. （7）=++2762x x __________________________________________________. （8）=+-91242m m __________________________________________________. （9）=-+2675x x __________________________________________________. （10）=-+22612y xy x __________________________________________________. 2.()() 3 42++=+-x x x x3.若()()422-+=++x x b ax x 则 =a , =b .二.选择题：（每小题四个答案中只有一个是准确的）1.在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中,有雷同因式的是（ ） A.只有（1）（2） B.只有（3）（4）C.只有（3）（5）D.（1）和（2）;（3）和（4）;（3）和（5）2.分化因式22338b ab a -+得（ ）A.()()3 11-+a a B.()()b a b a 3 11-+ C.()()b a b a 3 11-- D.()()b a b a 3 11+- 3.()()2082-+++b a b a 分化因式得（ ）A.()()2 10-+++b a b a B.()()4 5-+++b a b a C.()()10 2-+++b a b a D.()()5 4-+++b a b a 4.若多项式a x x +-32可分化为()()b x x --5,则a .b 的值是（ ）A.10=a ,2=bB.10=a ,2-=bC.10-=a ,2-=bD.10-=a ,2=b5.若()()b x a x mx x ++=-+ 102个中a .b 为整数,则m 的值为（ ） A.3或9 B.3± C.9± D.3±或9± 三.把下列各式分化因式1.()()3211262+---p q q p 2.22365ab b a a +-3.6422--y y 4.8224--b b2．提取公因式法例2 分化因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++ 教室演习： 一.填空题：1.多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________. 2.()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________. 3.()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4.()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5.()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6.523623913x b a x ab --分化因式得_____________________. 7．盘算99992+=二.断定题：（准确的打上“√”,错误的打上“×” ）1.()b a ab ab b a -=-24222…………………………………………………………（ ） 2.()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ） 3.()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4.()111+=+--x x xx n n n……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分化因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++教室演习一.222b ab a +-,22b a -,33b a -的公因式是______________________________. 二.断定题：（准确的打上“√”,错误的打上“×” ）1.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （ ） 2.()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ） 3.()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ） 4.()()()y x y x yx y x -+-=--=-- 2222…………………………………………（ ） 5.()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五.把下列各式分化1.()()229n m n m ++-- 2.3132-x 3.()22244+--x x 4.1224+-x x 4．分组分化法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．教室演习：用分组分化法分化多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分化．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x .2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分化为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分化因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分化因式：（1）x2＋6x ＋8; （2）8a3－b3;（3）x2－2x －1; （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分化因式：（1） 31a +; （2）424139x x -+;（3）22222b c ab ac bc ++++; （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数规模内因式分化：（1）253x x -+ ; （2）23x --;（3）2234x xy y +-; （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ,b ,c 知足222a b c ab bc ca ++=++,试剖断ABC ∆的外形． 4．分化因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验测验题）已知abc=1,a+b+c=2,a²+b²+c²=,求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值.1.一元二次方程.一元二次不等式与二次函数的关系2.一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设响应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各类情形如下表：二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅例1 （1）x2＋2x －3≤0; （2）x －x2＋6＜0; （3）4x2＋4x ＋1≥0; （4）x2－6x ＋9≤0; （5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x 若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或,可知0a <,且方程20ax bx c ++=的两根分离为2和3,∴5,6bca a -==, 即5,6bcaa=-=． 因为0a <,所以不等式20bx ax c ++>可变成20b cx x a a++< , 即 －2560,x x ++<整顿,得2560,x x -->所以,不等式20bx ax c +->的解是 x ＜－1,或x ＞65．解释：本例应用了方程与不等式之间的互相关系来解决问题．练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0; （2）x2－x －12≤0; （3）x2＋3x －4＞0; （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）． 功课：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a1)<0的解是 ( )A.a<x<a1B.a1<x<aC.x>a1或x<a D.x<a1或x>a2.假如方程ax2＋bx ＋b ＝0中,a ＜0,它的两根x1,x2知足x1＜x2,那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0; （2）3x2－4＜0; （3）2x －x2≥－1; （4）4－x2≤0． (5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）． 5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质心坎： 性质： 外心： 性质： 重心： 性质： 垂心：例1 求证：三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知D.E.F 分离为△ABC 三边BC.CA.AB 的中点, 求证AD.BE.CF 交于一点,且都被该点分成2：1. 证实 贯穿连接DE,设AD.BE 交于点G,D.E 分离为BC.AE 的中点,则DE//AB,且12DEAB , GDE ∽GAB ,且类似比为1：2,2,2AGGD BGGE .设AD.CF 交于点'G ,同理可得,'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合,AD.BE.CF 交于一点,且都被该点分成2:1.例2 已知ABC 的三边长分离为,,BC a AC b AB c ,I 为ABC 的心坎,且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分离为D E F 、、,求证：2bc aAE AF. 证实 作ABC 的内切圆,则D E F 、、分离为内切圆在三边上的切点,,AE AF 为圆的从统一点作的两条切线,AE AF ,同理,BD=BF,CD=CE.22b c a AF BF AE CE BD CDAFAEAF AE即2b c aAE AF.例3 若三角形的心坎与重心为统一点,求证：这个三角形为正三角形. 已知O 为三角形ABC 的重心和心坎. 求证 三角形ABC 为等边三角形. 证实 如图,连AO 并延伸交BC 于D.O 为三角形的心坎,故AD 等分BAC ,AB BDAC DC（角等分线性质定理） O 为三角形的重心,D 为BC 的中点,即BD=DC.1AB AC,即AB AC .同理可得,AB=BC.ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中,,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CHAB .证实 以CH 为直径作圆,,,90,o AD BC BE AC HDCHECD E 、在以CH 为直径的圆上,FCB DEH .同理,E.D 在以AB 为直径的圆上,可得BED BAD .BCHBAD ,又ABD 与CBF 有公共角B ,90o CFBADB。
初高中数学衔接教材(已整理)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
初高中数学衔接教材(已整理)-之欧阳语创编
2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
我们会不断的研究新课程及其体系。
将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
初高中数学衔接教材(已整理)【范本模板】
初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节"：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用;3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平.而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一;9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
我们会不断的研究新课程及其体系。
将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
初高中数学衔接教材(精编整理)
初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.（备选）几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目录第一章：数与式的运算和因式分解1.1 数与式的运算1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.4.分式1.2 分解因式第二章：方程、函数、方程组、不等式组2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程组不等式2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。
初高中数学衔接教材(已整理)之欧阳理创编
初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
我们会不断的研究新课程及其体系。
将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
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（2） (4m
)2 16m2 4m (
学习参考
）； )；
.
..
..
.
(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于
（
2
）
（A） m2
（B） 1 m2
4
（C） 1 m2
3
（2）不论 a ， b 为何实数， a2 b2 2a 4b 8 的值
学习参考
|x－3|
PCA x 01
BD
34
x
|x－1| 图 1．1－1
.
..
|PA|＋|PB|＞4．
..
.
由|AB|＝2，可知
点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧．
x＜0，或 x＞4．
练习
1．填空：
（1）若 x 5，则 x=_________；若 x 4 ，则 x=_________.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式 a b ab(a 0,b 0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成 分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
..
.
例 2 计算： 3 (3 3) ．
解法一： 3 (3 3) ＝ 3
3 3
＝ 3 (3 3)
(3 3)(3 3)
＝3 33
93
＝ 3( 3 1)
6
＝ 3 1．
2
解法二：
3 (3 3) ＝ 3 ＝
3
3 3
3( 3 1)
＝1＝
3 1 ＝
2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章 相似形、三角形、圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定
3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）
2(0
x
1) ．
解：（1）原式 5 4 5 4
( 5)2 2 2 5 22 (2 5)2 2 5
52．
学习参考
.
..
..
.
（2）原式= (x 1)2 x 1 ，
x
x
∵ 0 x 1，∴ 1 1 x ，所以，原式＝ 1 x ．
x
x
例 6 已知 x 3 2 , y 3 2 ，求 3x2 5xy 3y2 的值 ．
1 3
___；
（2）若 (5 x)(x 3)2 (x 3) 5 x ，则 x 的取值范围是_ _
___；
（3） 4 24 6 54 3 96 2 150 __
___；
（4）若 x 5 ，则 x 1 x 1 x 1 x 1 ______
2
x 1 x 1 x 1 x 1
2．选择题：
1 2 23
9 10
（3）证明：对任意大于 1 的正整数 n，
有 1 1 1 1 ．
23 34
n(n 1) 2
（1）证明：∵ 1 1 (n 1) n 1 ，
n n 1 n(n 1) n(n 1)
∴ 1 1 1 （其中 n 是正整数）成立．
n(n 1) n n 1
（2）解：由（1）可知
（D） 1 m2
16பைடு நூலகம்
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是
负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如 a(a 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a a2 b 2b ， a2 b2 等是无理式，而
2x2 2 x 1， x2 2xy y2 ， a2 等是有理式．
1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1 ＝ 9 ．
1 2 23
9 10
2 23
9 10
10 10
（3）证明：
∵ 1 1 1 ＝(1 1) (1 1) (1 1 ) ＝ 1 1 ，
23 34
n(n 1) 2 3 3 4
n n1 2 n1
1
又 n≥2，且 n 是正整数，∴n＋1一定为正数， 1
∴ 1 1 1 ＜2．
23 34
n(n 1)
例 3 设 e c ，且 e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值．
a
解：在 2c2－5ac＋2a2＝0 两边同除以 a2，得
B
B
分式 A 具有下列性质：
B
A AM ；
B BM
A AM ．
B BM
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
学习参考
.
..
..
.
a
像 b ， m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
cd
2m
n p
例 1 若 5x 4 A B ，求常数 A, B 的值．
x(x 2) x x 2
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ； (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ； (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ； (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ； (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
1
11 10
11 10
又 12 11 11 10 ，
∴ 12 11 ＜ 11 10 ．
（2）∵ 2 2－ 6 2 2－－+ 6 (2 2 6)(2 2
1
2 2++ 6
又 4＞2 2，
∴ 6＋4＞ 6＋2 2，
∴ 2 ＜ 2 2－ 6 .
64
6)
2 ,
22 6
例 4 化简： ( 3 2)2004 ( 3 2)2005 ．
3 2
3 2
解： ∵ x y 3 2 3 2 ( 3 2)2 ( 3 2)2 10 ，
3 2 3 2
xy 3 2 3 2 1，
3 2 3 2
∴ 3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3102 11 289 ．
练习
1．填空：
（1） 1 3 ＝__
目录
第一章 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系
2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用
（2）如果 a b 5 ，且 a 1，则 b＝________；若 1 c 2 ，则
c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是
（）
（A）若 a b ，则 a b
（B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b
（D）若 a b ，则 a b
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
解： ( 3 2)2004 ( 3 2)2005 ＝ ( 3 2)2004 ( 3 2)2004 ( 3 2) ＝ ( 3 2) ( 3 2)2004 ( 3 2)
＝12004 ( 3 2) ＝ 3 2 ．
例 5 化简：（1） 9 4 5 ；
（2）
x2
1 x2
离．
例 1 解不等式： x 1 x 3 ＞4．
解法一：由 x 1 0 ，得 x 1；由 x 3 0 ，得 x 3 ； ①若 x 1，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4 ，
即 2x 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1， ∴x＜0； ②若1 x 2 ，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4 ， 即 1＞4， ∴不存在满足条件的 x； ③若 x 3 ，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4 ， 即 2x 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3， ∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为 x＜0，或 x＞4．
解法二：如图 1．1－1， x 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点
A 之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3| 表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式 x 1 x 3 ＞4 的几何意义即 为
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例 1 计算： (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ．
解法一：原式= (x2 1) (x2 1)2 x2
= (x2 1)(x4 x2 1)
= x6 1． 解法二：原式= (x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)
3 1 ( 3 1)( 3 1)
3 1．
2
例 3 试比较下列各组数的大小： （1） 12 11 和 11 10 ； （2） 2 和 2 2－ 6 .
64
解： （1）∵ 12 11 12 11 ( 12 11)( 12 11) 1 ，
1
12 11
12 11