鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校联考文数试卷
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学(附解析版)
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题A ．5162a b+ B ．23a C ．5163a b+ D ．23a 3．已知直线1:20l x y -=，直线2:30l x ay --=，若A ．455B ．355C ．754．若圆221:2440C x x y y -+++=与圆22:(2)(C x ++A ．1B ．128．锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角的面积1S =，则()(a c b +-二、多选题A ．PA PC ⋅为定值B ．OB OD ⋅的取值范围为[]25,7--C ．当AC BD ⊥时，如图以O 为原点，OP 为x 轴，则AB 中点M 22380x y x +--=D ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 面积的最大值为4012．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面和上底面分别是边长为4和（ ）A．侧棱1CC上一点E，满足B．若E为1CC的中点，过A 三、填空题四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，90ABC ∠= ，1.AA AB =(1)D 为棱BC 上一点，证明：11AB A D⊥(2)在棱11B C 中是否存在一点E ，使得1AB //面1A EC ，若存在，指出E 点位置，并证明.若不存在，说明理由.18．（1）写出点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=（,A B 不全为零）的距离公式;（2）当()00,P x y 不在直线l 上，证明()00,P x y 到直线():00l Ax By C AB ++=≠距离公式.（3）在空间解析几何中，若平面α的方程为：0Ax By Cz D +++=（,,A B C 不全为零），点()000,,P x y z ，试写出点P 到面α的距离公式（不要求证明）19．如图，等腰梯形ABCD 中，()40A -，，()40B ，，4CD =，//AB CD ，AB 与CD 的距离为6.(1)求等腰梯形ABCD 的外接圆E 的方程;(2)已知直线20x y m ++=与圆E 相交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，求实数m 的值.20．某电信运营公司为响应国家5G 网络建设政策，拟实行5G 网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过(kGB 一种流量计算单位)的部分按0.8元/GB 收费，超过kGB 的部分按2元/GB 收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为31.(1)求表中的;n (2)若k 为整数，依据本次调查为使85%以上用户在该月的流量价格为0.8元/GB ，则k 至少定为多少?(3)为了进一步了解用户使用5G 流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在[)20,30和[)30,40两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知[)20,30组用户平均年龄为30，方差为36，流量在[)30,40组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，侧面PAB ⊥面ABCD ，2PA AB AD ===，4BC =，E 为PD 的中点.(1)求证：面PBC ⊥面PDC ；(2)若二面角P AD B --的大小为60︒，求BE 与面PBC 所成角的正弦值；(3)若平面PDC 与平面PAB 所成的锐二面角大小为60︒，求四棱锥P ABCD -的体积.22．如图，在平面直角坐标系中，P 为直线4y =上一动点，圆22:4O x y +=与x 轴的交点分别为,M N 点，圆O 与y 轴的交点分别为,S T 点.(1)若MTP △为等腰三角形，求P 点坐标;(2)若直线,PT PS 分别交圆O 于,A B 两点.①求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT 面积的最大值.。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．所有无理数C ．2024年高考数学难题D ．小于π的正整数2．已知集合103x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = （）A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<3．已知函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A ．2B ．1-C ．4D ．2或1-4．已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，且()()113f x f x -<-，则x 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若0a >，0b >，23a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．96．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A ．()11f x x =-B ．()11f x x =-C ．()311f x x =+D ．()211f x x =+7．已知函数22()24f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．(),8-∞-B ．[]8,6--C ．(],6∞--D ．(),6-∞-8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数()[]f x x =称为高斯函数，其中x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]21.1-=-，[]2.52=，则方程][[21]4x x x ++=的所有大于零的解之和为（）A ．12B ．34C ．32D ．74二、多选题9．有下列四种说法，正确的说法有（）A ．奇函数图象不一定过坐标原点B ．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ，210x x ++<”C ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D ．定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()y f x =在R 上是增函数10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．0ax c +>的解集为{}6x x <C ．8430a b c ++>D ．20cx bx a ++<的解集为11{|}23x x -<<11．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+，且()10f =.当0x >时，()1f x <.则下列选项正确的是（）A ．()01f =B ．()21f =-C ．()1f x -为奇函数D ．()f x 为R 上的增函数三、填空题12．函数()()01f x x =+的定义域为.13．已知集合,,1y A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B x x y =+，若A B =，则2x y +=.14．设函数22,2()26,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则123223x x x ++的取值范围是.四、解答题15．设全集U =R ，已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1B x m x m =≤≤+.(1)若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.16．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.17．函数()f x 的定义域为{}0D x x =∈≠R ，且满足对于任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当1x >时，()0f x >.(1)证明：()f x 是偶函数；(2)如果()41f =，解不等式()23f x -<.18．已知函数()322x ax bf x x --=+为R 上的奇函数，且()21f -=.(1)求实数,a b 的值；(2)试判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并说明理由；(3)求函数()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦（其中33x -≤≤）的值域.19．已知n 为正整数，集合(){}{}12,,,0,1,1,2,,n niM x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于nM中任意两个元素()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅和()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ-=--⋅⋅⋅-；()1122,n nd a b a b a b αβ=-+-+⋅⋅⋅+-(1)当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，写出αβ-，并计算(),d αβ；(2)若集合S 满足3S M ⊆，且,S αβ∀∈，(),2d αβ=，求集合S 中元素个数的最大值，写出此时的集合S ，并证明你的结论；(3)若,n M αβ∈，且(),d k αβ=，任取n M γ∈，求(),d αγβγ--的值.。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024届5月联考数学含答案解析
3． 已知向量 a (1,0) ， b (0,1) ， a c b c 1，则向量 a 在向量 c 上的投影向量为
A．
1 2
,
1 2
B．
2, 2
2 2
4． 22024 被 9 除的余数为
A．1
B． 4
C．
-
1 2
,
1 2
C． 5
D．
2, 2
2 2
D． 8
5． 已知数列{an} 为等差数列， {bn} 为等比数列， a4 b4 3 ，则
题目要求的． 1． 已知复数 z 满足 z i2024 （ i 为虚数单位），则 | z |
1 3i
A． 3
B． 10
C． 4
D． 5
2．
已知集合 M
x
x
n 2
1 4
,
n
Z
，
N
x
x
n 4
1 2
,
n
Z
，则下列表述正确的是
A． M N B． M N R
C． M N
D． N M
C．若 M ， N 分别为直线 AC ， BD 上的动点，则 M ， N 两点的距
离最小值为 2 2
D．与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10 个 11． 已知 f (x) sin(x )( 0) ，下列结论正确的是
A．若 ， f (x) 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 可以等于 5
0
，若 |
AF
||
AD
|
，|
BF
|
1 2
，则
C
的方程为
A． y2 2 x 3
B． y2 4 x 3
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()2024(1i)1i z =++，则z 的虚部为（）A.2iB.2i- C.2D.-22.已知三点(2,1),(1,2),(1,1)A B C --，则过点C 的直线l 与线段AB 有公共点时，直线l 斜率的取值范围为（）A.3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,[2,)2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C.3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 3.已知(2,1,3),(1,3,4),(4,1,3)A B C -，则A B 在AC方向上的投影向量的坐标为（）A.(2,2,0)- B.33,,022⎛⎫-⎪⎝⎭ C.(1,2,1)- D.33,,022⎛⎫-⎪⎝⎭4.圆224x y +=与圆224440x y x y +--+=的公共弦长为()C.D.5.已知平面向量,a b满足||4,|2|a b a b ==+= .则向量a与向量b 的夹角为（）A.π3B.π4C.π6D.π126.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于3”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）A.事件1A 与事件2A 是相互独立事件B.事件1A 与事件3A 是对立事件C.事件12A A 与事件3A 是互斥事件D.事件13A A 与事件23A A 是互斥事件7.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11122,,,23AB A B AE AB DF DA === 1114A G A A =.直线1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =（）A.623 B.316 C.319D.12178.阅读材料：空间直角坐标系-O xyz 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(,,)n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为430x y z ++-=，直线l 是平面:230x y β+-=与平面:210y z γ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.12B.22C.33D.32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αB.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式C.1a =是直线(1)20ax a y +--=与直线(1)20a x ay -++=垂直的充要条件D.12a =是直线(1)20ax a y +--=与直线(1)20a x ay -++=平行的充要条件10.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，F 为正方形11C CDD 内的一个动点（包括边界），且1//B F 平面1A BE ，则下列说法正确的有（）A.1||B F DF +的最小值为32B.当1B F 与1A B 垂直时，直线1A F 与平面ABCD 所成的角的正切值为15C.三棱锥1F B DE -体积的最小值为13D.当三棱锥11B D DF -的体积最大时，其外接球的表面积为25π11.已知曲线()222:248C x y xy +-=-，点()00,P x y 为曲线C 上任意一点，则（）A.曲线C 的图象表示两个圆B.22001x y ++的最大值是9+C.0042y x +-的取值范围是(,1][7,)-∞-⋃+∞ D.直线20x y ++=与曲线C 有且仅有2个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点(1,2)P ，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线方程为______.13.在平面直角坐标系Oxy 中，圆222:220C x y ax y a +--+=上存在点P 到点(2,0)的距离为2，则实数a 的取值范围为______.14.已知实数1212,,,x x y y 满足2222112212124,4,2x y x y x x y y +=+=+=，则112222x y x y +-++-的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在A B C 中，已知点(4,5),C AC 边上的高线所在的直线方程为110x y +-=，角A 的平分线所在的直线方程为330x y -+=.（1）求直线AC 的方程；（2）求直线AB 的方程.16.记A B C 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A BA B=++，()(sin sin )()sin b c C B a b A +-=+.（1）求B ；（2）若A B C的面积为4，求BC 边上中线的长.17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组[70,80)，第四组[8090)，，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）求出频率分布直方图中a ，b 的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB 为等边三角形，AB BC BD ==，2,120,6,AD CD ADC PD F ︒==∠==为AD 的中点.（1）求证：平面AB ⊥平面ABCD ；（2）若点E 在线段PC 上运动（不包括端点），设平面PAB 平面PCD l =，当直线l 与平面BEF 所成角取最大值时，求平面BEF 与平面CEF 夹角的余弦值.19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数(0λλ>且1)λ≠，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知(1,0),2)R Q -直线1:230l tx y t -++=，直线2:320l x ty t +++=，点P 为1l 和2l 的交点.（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）点M 为曲线C 与x 轴正半轴的交点，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 与A ，B 两点不重合，直线MA 、MB 的斜率分别为12k k 、，且1212k k =-，证明直线l 过定点，并求出该定点；（3）当点P 在曲线C 上运动时，求31||||22PR PQ +的最小值.2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案1234567891011CBDCADAB ACDABCACD12.20xy -=或240x y +-=13.[22-+14.4+部分小题详解：7.依题意，113,34AF AD AG AA ==，在四棱台中，111111111111432232AC AA A C AA A B A D AA AB AD AG AE AF =+=++=++=++ ，设1AM AC λ= ，则43,,,32AM AG AE AF M G E F λλλ=++∴四点共面，4361,3223λλλλ∴++=∴=.8.依题意，平面α的法向量为(1,1,4)m = ，平面β的法向量为(1,2,0)a =，平面γ的法向量为(0,2,1)b = ，设直线l 的方向向量为(,,),,,n x y z l l l βγβγ==∴⊂⊂ ，则有020200n a x y y z n b ⋅=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，令2,(2,1,2),sin |cos ,|2x n m n θ=∴=-∴=〈〉=.10.对A ，将平面1B MN 和平面DMN 展开到一个平面内，1||BF DF +的最小值即1B 点和D 点连线的距离，1B D =，故选项A 正确；对B ，如图，令1CC 中点为1,M CD 中点为N ，连接MN ，又正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，可得1111//,////B M A E MN CD BA ，1//B M ∴平面1,//BA E MN 平面1BA E ，又1B M MN M = ，且1,B M MN ⊂平面1,B MN ∴平面1//B MN 平面1BA E ，又1//B F 平面1A BE ，且1B ∈平面11,B MN B F ∴⊂平面1B MN ，又F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），F ∴∈平面1B MN 平面11C CDD ，而MN =平面1B MN 平面11,C CDD F MN ∴∈，即F 的轨迹为线段1.MN A F 与平面ABCD 所成的角即1A F 与平面1111 A B C D 所成的角，F 点到平面1111 A B C D 的距离为1,2F 点在平面1111 A B C D 的射影P 在11C D 上靠近1C 点的四等分点，152A P =，故直线1A F 与平面ABCD 所成的角的正切值为15，故选项B 正确；对C ，由正方体侧棱11B C ⊥底面11C CDD ，所以三棱锥1F B DE -体积为11111233D FE D FE V B C S S =⋅= ，所以1D FE 面积1D FE S 最小时，体积最小，如图，F M N ∈ ，易得F 在N 处时1D FE S 最小，此时1111122D FE S ND D E =⋅= ，所以体积最小值为13，故选项C 正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥11B D DF -的体积最大时，由已知得此时11FD FD FB ===，所以F 在底面11B DD的射影为底面外心，11112,DD B D DB ===，所以底面11B DD 为直角三角形，所以F 在底面11B DD 的射影为1B D 中点，设为1O ，如图，设外接球半径为R ，由22221111113,R OO O B OO R OO FO =+=++==，可得外接球半径4R =，其外接球的表面积为25π2，故选项D错误．11.对于A ，由()222248x y xy +-=-得()22224()0x yx y +--=，即()()222222220xy x y x y x y ++-+-+=，所以22220x y x y ++-=或22220x y x y +-+=，所以曲线C 表示以(1,1),(1,1)M N --对于2200B,1x y ++表示到原点距离的平方再加1，故最大值为2(19NO ++=.对于004C,2y x +-表示点P 与点(2,4)Q -连线的斜率.设过点Q 且与圆N 相切的直线为4(2)y k x +=-，则由直线与圆相切可得1k =-或0047.(,1][7,);2y kx +=∴∈-∞-+∞-对于D ，由C 知直线20x y ++=与圆M ，N 都相切，故直线与曲线C 有且仅有两个交点.13.圆C 的标准方程为22()(1)1C x a y -+-=，故圆C 是以(,1)C a 为圆心，1为半径的圆，P 的轨迹是以(2,0)D 为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则221||21,1(2)19,22CD a a -≤≤+≤-+≤-≤≤+14.设()()11221212,,,2,||||2A x y B x y OA OB x x y y OA OB ∴⋅=+===，1πcos ,,23||||OA OB AOB AOB AOB OA OB ⋅∴∠==∴∠=∴为正三角形.112222x y x y +-++-表示点A 和点B 到直线:20l x y +-=倍.设点M 是线段AB的中点，则||OM =，故点M 在圆223x y +=上.11222222(24A B M d d d x y x y ∴+=≤∴+-++-≤+=+15.解：（1）AC 边上的高线所在的直线方程为110x y +-=，AC ∴边可设为0x y m -+=.…………………………………………………………………………2分又点(4,5)C 在AC 边上，450m ∴-+=，求得1m =……………………………………………4分∴直线AC 的方程为10x y -+=……………………………………………………………………5分（2）由10330x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得1,(1,0)0x A y =-⎧∴-⎨=⎩…………………………………………………7分设C 点关于直线330x y -+=对称的点()00,C x y '000053144533022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得002,(2,7)7x C y '=-⎧∴-⎨=⎩……………………………………………10分又点C '在直线AB 上，7AB k ∴=-……………………………………………………………………12分求得直线AB 的方程为：770x y ++=………………………………………………………………13分16.解：（1）由题设得2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++于是cos cos sin sin sin A B B B A=+故cos()sin A B B +=……………………………………3分由正弦定理得2222221,cos 222a b c ab a b c ab C ab ab +--+-=-∴===-………………………………5分又2π(0,π),3C C ∈∴=……………………………………………………………………………………6分π1sin cos()cos(π)cos 32B A BC ∴=+=-==…………………………………………………………7分故π6B =………………………………………………………………………………………………………8分（2）由（1）知2ππππ366A =--=所以A B C 是顶角为2π3，底角为π6的等腰三角形，即a b=2212πsin ,234s a a a ==∴=分设BC 边上中线的长为d ，则有22231212cos 32224224a a d a a C ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯=+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.………………………………14分2d ∴=……………………………………………………………………………………………………15分17.（1）由题意可知：10100.310(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨++=⎩，解得0.005,0.025a b =⎧⎨=⎩………………………………2分可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数等于550.05650.25750.45850.2950.0574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………………4分（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为221212,,,x x s s ，且两组频率之比为0.2550.204=，成绩在第二组、第四组的平均数655834739x ⨯+⨯==……………6分成绩在第二组、第四组的方差()()22222112254400993s s x x s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故估计成绩在第二组、第四组的方差是4003．…………………………………………………………9分（3）设“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，“丙解出该题”为事件C ，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件D ，由题意得221(),()()()()332P A P AC P A P C P C ===⋅=，所以331(),()()()()(1())()1448P C P BC P B P C P B P C P B ⎛⎫===-=⋅-= ⎪⎝⎭，所以1()2P B =，所以乙、丙各自解出该题的概率为12 34，.…………………………………………11分则D ABC =，因为213(),(),()324P A P B P C ===，所以111(),(),()324P A P B P C ===，因为A B C 、、相互独立，所以11123()1()1()1()()()132424P D P D P ABC P A P B P C =-=-=-=-⨯⨯=.所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为2324.……………………………………………15分18.（1）证明：连,BD BA BD BC == ，又2,AD CD ABD CBD ==∴≅ 即1602ADB CDB ADC ︒∠=∠=∠=,BAD BCD ∴ 均为等边三角形，2BA BD BC AD DC ∴=====所以四边形ABCD 为菱形．……………………………………………………………………………2分取AB 中点O ，连OP ，OD,ABD PAB 为等边三角形，2,3,AB PO OD PO AB=∴==⊥又2226PD PO OD PD =∴+=，即P O O D⊥又,,AB OD O AB OD =⊂ 平面ABCD PO ∴⊥平面ABCD又PO ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面ABCD.……………………………………………………7分（2）解：//,AB CD AB ⊂/ 平面,PCD CD ⊂平面//PCD AB ∴平面PCD 又平面PAB 平面//PCD l l AB =∴，建立如图的空间直角坐标系，易得(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,0,3),(0,3,0)A B C P D --13,,022F ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭令(3,3)(23,3),01PE PC λλλλλλ==-=--<<(2)E λ∴-，令平面BEF 法向量为(,,)n x y z =3(2),,,0,(2,0,0)22BE BF BA λ⎛⎫∴=-+== ⎪ ⎪⎝⎭(12))03022x y z x y λλ⎧-++-=⎪∴⎨+=⎪⎩解得),3(1),51)n λλλ=--- (10)分||sin |cos ,|||||BA n BA n BA n θ⋅∴=〈〉== ………………………11分令1,1,(0,1)t t t λλ=-∴=-∈=====当4415,1,55t t λλ===-∴=max 1(sin )2θ==…………………………………………………………………………………13分所以平面BEF的法向量(1,0)n =21,,,055522E F ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，95,,,,,01010522EF FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFC 的法向量(,,)m x y z =5022 933430,10105x y x y z ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪+-=⎪⎩解得=……………………………………………………15分设二面角B EF C --的夹角为αcos |cos ,|37n m α∴=〈〉= …………………………………………………………………………17分19.（1）当0t =时，12:30,:20l y l x -=+=，此时12l l ⊥，交点为(2,3)P -当0t ≠时，由1:230l tx y t -++=，斜率为t ，由2:320l x ty t +++=，斜率为121,l l t -∴⊥，综上，12l l ⊥.直线1l 恒过(2,3)E -，直线2l 恒过(2,3)F --，若P 为12,l l 的交点，则PE PF ⊥，设点(,)P x y ，所以点P 的轨迹是以EF 为直径的圆，除去F 点，则圆心为EF 的中点(2,0)C -，圆的半径为||32AB r ==，故P 的轨迹方程为22(2)9(3)x y y ++=≠-……………………………………5分（没有3y ≠-扣1分）（2）(1,0)M ，设()()1122,,,A x y B x y ，当斜率存在时，直线L 的方程为y kx m =+，故()()()()()()22121212121212112121212121212,1111kx m kx m k x x km x x m y y y y k k x x x x x x x x x x x x x x -+++++====--++-++-++……6分将直线方程与圆的方程进行联立，()22222,1(24)50(2)9y kx m k x km x m x y =+⎧++++-=⎨++=⎩得：212122242km 5,11m x x x x k k+-+=-=++.……………………………………………………………………8分将其带入12k k 中可得：22221222541,3690,3 22m k km k k m km k m k m km k --==---==++或m k =-，由于M 与A ，B 不重合，则直线L 的方程为3(3)y kx k k x =+=+恒过定点（3,0-）………………………10分当直线L 的斜率不存在时，设()()111112121,,,,,2A x yB x y k k k k -=-=-，则12,22k k ==-，故可得(3,(3,A B ---，即则直线L 仍恒过定点()3,0-，综上可得，则直线L 恒过定点()3,0-…………………………………………11分（3）(1,0),R Q -，易知R 、Q 在该圆内，又由题意可知圆C 上一点(1,0)P 满足||2PR =，取(7,0)D ，则||6PD =，满足113P DP R =.下面证明任意一点1(,)p x y ，都满足||3||PD PR =，即||3||PD PR =，3||PR ===||PD ===即3||||PR PD =,所以3||||||||,||||||PR PQ PD PQ DQ PD PQ +=+≤+⋅…………………………15分||DQ ==D ，P ，Q 三点共线，且P 位于D ，Q 之间时，等号成立.即31||||22PR PQ +的最小值为.2…………………………………………………………………17分。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
(1)判．断．并．证．明．函数 f x 在 0, 上的单调性： (2)若 f 4 4 ，求不等式 f x 1 1 f 2x 3 的解集.
2 21．为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括 1 张床和 2 个床 头柜）.根据大数据预测，家具厂应先制作 1013 套网红床以应对本次抢购.为了尽快完成 订单，该厂将 100 名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜.已知每 张床和每个床头柜制作的工作量分别为 3 人 1 天和 1 人 1 天.若两组同时开工，问如何 安排两组人数才能使得工期最短？
13．已知全集U x x 是小于 9 的自然数} ， A 1, 2,3 ， B 3, 4,5, 6 ，则
ðU A B
.
14．已知函数
f
x
满足
f
1 x
x2 2x2 1
，则函数
f
x
值域为
.
15．已知函数 f x x 2 x ，若关于 x 的不等式 f x2 af x 0 恰有 1 个整数解，
D． C D
10．已知关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为x 1 x 3 ，则（ ）
A．函数 y ax2 bx c有最大值
B． 5a 5b c 0
C． 6b 5c
D． bx2
a
x
c
0
的解集为
,
3 2
3 2
,
11．已知条件
p
:“函数
f
x
x2 a 1
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2023-2024 学年高一上学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025届高三上学期期中联考语文试卷(含答案)
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025届高三期中联考语文试卷考试时间: 2024年11月4日上午09: 00——11: 30 试卷满分: 150分一、现代文阅读 (35 分)(一) 现代文阅读Ⅰ (本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5小题。
材料一：2024年7月10日，“萝卜快跑”连然登上热搜。
武汉市交通运输局向媒体表示，“萝卜快跑”在武汉投放了400多辆无人车。
支持者为AI技术的运用欢呼，反对者则对无人车的高歌猛进表现出不安和抵触情绪，有出租车司机联名求助“给一条活路”。
10公里3.9元、L4级自动驾驶技术、不拒载、车内无异味……“萝卜快跑”着实不简单。
但随着时间的推移，在出租车司机或网约车司机群体里，嘲讽“萝卜快跑”无人车不善“变通”的声音也高了起来，甚至盖过了最初的“恐惧感”。
7月16日前后，网传“萝卜诀跑”停运，但官方回应称，武汉系订单被自动取消，而合肥系技术原因需要调整。
短短十几天工夫，情绪的落差之大，观点的纷繁复杂，也折射着“萝卜快跑”无人车在极速发展过程中的一丝“震颤”。
但显然，当无人车恪守规则意识“不争不抢”“安全第一”却让不少人类司机感到不适应时，我们应该展开的思考显然超越了技术层面。
首先，无人车是新质生产力的典型代表。
不必讳言，它在一定程度上直接冲撞了传统产业，对于传统产业的劳动者形成直接的“威胁”。
有人说，对于新技术，就该无条件地欢迎，“有什么好嚎的?”理由是，火车和汽车代替马车时，人的感受并不重要。
这当然是一种事实，但另一个事实是，被類覆的传统产业的劳动者在短暂的病苦之后，从各个方面适应了残酷的现实，并重新找到了生存所需要的岗位。
争议开启的思考是有益的：发自传统产业深处的痛感，是在“呼唤”一种良性的关系。
这就是：在新技术力量“攻城掠地”之时，也要允许和倡导温情的力量进行某种改善和修补。
具体而言，关键是在政策层面保持开放和引导的态度。
既要允许“先行先试”，从基础设施建设等方面提供帮助，也要抓紧完善相关规则，加强监管，让无人车在公共交通领域里规范地发挥作用，不至于“裸奔”。
2024—2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考数学试卷
2024—2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知，，则（）A．B． 2C．D．(★★★) 3. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（）（注：）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A．与互为共轭复数B．点在第二象限C．复数的虚部是D．(★★★) 10. 已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（）A．B．C．D．三、填空题(★★★) 12. 已知函数的最小正周期是，则的值为______ .(★★★) 13. 已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为 ______ . (★★★) 14. 设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 ______ .四、解答题(★★★) 15. 记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.(1)求和；(2)若，求数列的前20项和.(★★★) 16. 记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.(1)求的面积；(2)若，求(★★★) 17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，.(1)若，求的取值范围；(2)在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值.(★★★) 18. 已知为函数的极小值点.(1)求的值；(2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. (★★★★★) 19. 已知正实数构成的集合(1)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.(2)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.。
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题(含解析)
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一数学试题考试时间：2024年10月14日上午8：00—10：00 试卷满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定为（ ）A. B.C. D.3.已知集合，则集合A 的所有非空子集的个数为（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个4.下列各组函数表示相同函数的是（ ）A. B.C. D.5.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，则正确的结论是（ ）A. B.C.D.与的大小不确定7.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.，或C. D.{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣A B ⋂={1,0}-{1,0,1}-{0,1}{0,1,2}2[1,3],320x x x ∀∈--+≤2000[1,3],320x x x ∃∈--+≥2[1,3],320x x x ∃∈--+>2[1,3],320x x x ∀∈--+≥2000[1,3],320x x x ∃∉--+≥86A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈∈-N N ()1,()|1|f x x g x x =+=+0()1,()f x g x x ==2()()f m g n ==32(),()1x xf xg x xx +==+x ∈R |32|3x -≤(2)0x x -≤1,c a b >==a b <a b>a b =a b x 20ax bx c ++>{23}xx <<∣x 20bx ax c ++<615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-∣6}5x >213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭213x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭，或8.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.10.若，且，则下列说法正确的是（ ）A.有最大值有最大值2C.有最小值5 D.11.下列命题正确的有（）A.若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为B.设，若且，则C.设，命题是命题的充分不必要条件D.若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.,x y 24x y +=212131m m x y +>++m 4,13⎛⎫-⎪⎝⎭4,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()U ()B A C ⋂⋃ðU (()())A B B C ⋂⋃⋂ð()()U A C B⋃⋂ð()()()()U UA BC B ⋂⋃⋂ðð0,0a b >>41a b +=ab 1161a a b +2216a b +2210ax x -+=a (0,1),a b ∈R 12a b -……24a b +……54210a b -……,a b ∈R :p a b >:||||q a a b b >{}{}2220,220,A xx x a B x x ax A =+-==++=∣∣B a a (1)a -…()y f x =[3,2]-(21)1f x y x +=+13.已知为二次函数，满足，则函数______.14.设集合，函数，已知，且，则的取值范围为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.17.（15分）已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为或，求的值；（2）求关于的不等式的解集.18.（17分）某公司销售甲､乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图（2）所示，（1）分别将甲､乙两种产品的利润表示为投资额的函数；（2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲､乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？19.（17分）设，其中，记.（1）若，求的值域；()f x 2()(1)2f x f x x ++=()f x =[0,1),[1,3]M N ==21,()63,x x Mf x x x N+∈⎧=⎨-∈⎩a M ∈(())f f a M ∈a {68},{123}A xx B x m x m =-<=++∣∣………1m =()A B ⋂R ðA B A ⋃=m p [0,1]x ∈2234x m m --…q [1,1]x ∈-2210x x m -+-…p m p q m x 31,1ax x a x +->∈-R {1xx <∣2}x >a x y x y x (0)a a >a 22()21,()41f x x tx g x x tx =-+=-++0t >()min{(),()}F x f x g x =1t =()F x（2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一数学参考答案0t >2()()1h x f x tx t =+-+1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,22m t t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()h x m =t 13[0,3],()22x F x ∀∈-≤t一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.2.【答案】B【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为：故选：B 3.【答案】C 【详解】由题设，，即8可被整除且，故集合A 的所有非空子集的个数为4.【答案】D【解答】解：与的对应关系不同，不是同一函数：定义域不同，不是同一函数：，而的定义域为，不是同一函数：与的定义域都为，对应关系相同，是同一函数.故途：D.5.【答案】D【解答】根据题意，不等式，则，即，解集为不等式，即，解集为，因为且，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.6.【解新】方法一：特值法取特殊值，令，则易知，排除B ，C ，还不能排除D ，猜测选A.方法二：作差法，分析法{1,0,1,2,3),{12}A Bxx =-=-<≤∣{}0,1,2A B ⋂=2000[1,3],320x x x ∃∈--+>86x∈-N 6x -60,x x ->∈N {2,4,5},A ∴=3217-=()1f x x =+()1g x x =+0()1,()f x g x x ==()f m =R 2()g n =[0,)∞+32()1x xf x x +=+()g x x =R 323x -...3323x -- (15)33x -≤≤15,33⎤-⎥⎦()20x x -…02x ……[]0,2[]15,0,233-⊂[]150,2,33⎤⊄-⎥⎦324x -…()20x x -…2c =1a b ==-a b <要比较比较与的大小（遇到二次根式可考虑平方去掉恨号）比较的大小与的大小..，故.故选：A.方法三：有理化法，故选A.7.【答案】A【解答】因为不等式的解集为，所以2和3是方程的两个实数解，且；由根和系数的关系知，所以；所以不等式可化为，叫，解得，所求不等式的解集为故选：A.8.【答栥】B 【详解】由a b -=-=-,a b +⇔24c ⇔2c +4c ⇔c c <<a b <====1100.c c ∴+>->⇒>⇒>>1.c ∀><a b <20ax bx c ++>{23}xx <<∣20ax bx c ++=0a <2323b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩5,6b a c a =-=20bx ax c ++<2560ax ax a -++<2560x x --<615x -<<615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，仅当，即时等号成立.要使不等式有解，只需.所以.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为或.故选：AD.10.【答案】AC【解答】解：对于A ，，当且仅当且，当时取等号，不以有最大值故A 正确，对于B.因为.，当且仅当时取等号，，故B 错误对于C ，，当且仅当且叫且，即时取等号，所以有最小值5，故C 正确()()412112111421441616163y x x y x y x y x y ⎡⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢+=+++=⨯++≥⨯+=⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎢⎝⎭⎣⎦⎣()411y x xy +=+13,2x y ==212131m m x y +>++()()221434341033m m m m m m +>⇒+-=+->()4,1,3m ∞∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭()()U B A C ⋂⋃ð()()()()U UA B C B ⋂⋃⋂ðð211(4)1444416a b ab ab +=⨯≤⨯=4a b =41a b +=11,82b a ==ab 1,1624442a b a b a b +=++≤+++=+≤142a b ==+144115a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=4b a a b =41,a b +=2a b =41a b +=11,36a b ==1aa b+对于D.因为.所以，所以，当且仅当且，即时取等号，所以有最小值，故错误.故选：AC 11.【答案】ABD 【解答】选项A ：函数有两个两点，，而且一个大于1另一个小于1.则或，解得.实数的取值范围为，故A 正确；选项B ：令，则.由解得所以.因为，所以，则.故B 正确；选项C ：若既有；若显然有；若，则，而，所以，故可以推出若，当时，如果，不等式显然成立，此时有如果，则有，因而当时，，此时有.因而，敬可以推出，综合知是的充要条件221624a b ab +⨯…()222222161624(4)a b a b ab a b +++⨯=+ (22)2(4)11622a b a b ++≥=4a b =41a b +=11,82b a ==2216a b +12D ()()221f x x x x α=-+∈R 0a ∴≠()01210a f a >⎧⎨=-+<⎩()01210a f a <⎧⎨=-+>⎩01a <<∴a ()0,1,a b u a b v +=-=24,12u v …………a b u a b v +=⎧⎨-=⎩22u v a u v b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩424222322u v u v a b u v u v u v +--=⋅-⋅=+-+=+24,336u v ............5310u v +......54210a b - (22)0,a b a b >≥>a a b b >0,a b ≥>0a a b b >>0a b >>22a b <22,a a a b b b =-=-a a b b >a b >||||a ab b >a a b b >0b <0a ≥1a b >0a <22a b ->-1a b >0b ≥0a >22a b >a b >a a b b >a b >p q故C 不正确；选项D ：假设两个方程无实根（即均是空集），则有.所以当或时，两个方程至少有一个方程有实根，即两个集合至少有一个不是空集.故填或，故D 正确三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是.13.【答案】【解答】解：设，满足，所以，解得则函数.14.【答案】【解答】解：因为.所以，则，由，可得，解得.,A B 1221Δ440Δ480a a a a ⎧<-⎧=+<⎪⎪⇒⎨⎨=-<<<⎪⎪⎩⎩1a <<-a ≤1a -…a ≤1a ≥-[)12,11,2⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦3212x -≤+≤122x -≤≤10+≠x 1≠-x [)12,11,2⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦()2f x x x=-()2f x ax bx c =++()()212f x f x x ++=()()()2221(1)12f x f x ax bx c a x b x c x ++=+++++++=2212201200a a ab b a bc c ⎧==⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()2f x x x =-11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦a M ∈()[)211,3f a a =+∈()()()632136f f a a a =-+=-()()ff a M ∈0361a -< (1132)a <≤故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）【解答】解：（1）时，，则或，则或（2），等价于，当，则，船得，符合题意当.则，解得.综上，实数的取值范围为16.（15分）【解析】（1）因为为真命题，所以对任意不等式恒成立，所以其中，所以，解得，有以的取值范围，（2）若为真命题，即存在.使得不等式成立，则，其中，1]，而，所以，故：因为一真一假.所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，若为真命题，为假命题，则，所以；若为假命题，为真命题.则或，所以.综上，或，所以的取值范围为.17.（15分）【解答】解：（1）不等式可化为，原不等式的解集为或.故；11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦1m ={25}B xx =<∣…{2R B x x =<∣ð5}x >(){62A A B xx ⋂=-<<∣ð58}x <…A B A ⋃=B A ⊆B =∅123m m +>+2m <-B ≠∅12316238m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+≤⎩522m -≤≤m 5,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦p [0,1],x ∈2234x m m -- (2)min (23)4x m m -≥-[]0,1x ∈234m m --…13m ……m []1,3q []1,1x ∈-2210x x m -+-…()2min210x x m -+-…[1x ∈-()2min212x x m m -+-=-+20m -+…2m ….p q p q p q p q 132m m ≤≤⎧⎨>⎩23m <≤p q 12m m <⎧⎨≤⎩32m m >⎧⎨≤⎩1m <1m <23m <…m ()(],12,3∞-⋃ 311ax x x +->-()()210ax x -->{1xx <∣2}x >1a =（2）①当时，不等式为，解得：②当时，方程的两根分别为，（i ）当时，，故不等式的解为：（ii ）当时，若，即时，不等式的解为或.若，即时，不等式的解为；考，即时，不等式得解为或.综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.18.（17分）【解答】解：（1）由题知，甲产品的利润函数为乙产品的利润函数为.由题知，函数经过d 点，有，所以.函数经过点，有由，所以.（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产的投资金额为万元.所获得总利润为万元，则，0a =220x -+>1x <0a ≠()2220ax a x -++=21,a0a <21a <21x a<<0a >21a >02a <<1x <2x a >21a=2a =1x ≠21a <2a >2x a <1x >0a <21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a ={}|1x x <02a <<{1xx <∣2}x a >2a ={}1x x ≠∣2a >{1xx >∣2}x a <()(0)f x kx x =…())0g x x =>()f x ()1.8,0.4510.45 1.8,4k k ==()()104f x x x =…()g x ()9,3.75 3.75=54k =())0g x x =…(0)x x a <…()a x -y ()1,(0)4y a x x a =+-<…令，则，函数图象开口问上，对称轴为，所以当时，函数在上单调递增，当，即时，.时，函数在上递增，在上递减，当，即时，有最大值.综上得：时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元.时，乙产品投资万元：时，乙产品投资万元，印产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元19.【解答】（1），即作图可知，函数的最大值为值域为.（2）由题意，只需在上的值域为的子集即可，因为，所以，对称轴为，由得，t =2x t =()2251151.44444y t a t t t a =+-=-++5541224t =-=-⨯502<⎡⎣t =x a =y 52>50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦52⎛ ⎝52t =254x =y 42516a +52>254254a ⎛⎫- ⎪⎝⎭42516a +52a 52>254254a ⎛⎫- ⎪⎝⎭42516a +()()2221,41f x x x g x x x =-+=-++ ()()()22623,f xg x x x x x ∴-=-=-()()(),03,,3,f x x F x g x x ⎧≤≤⎪∴=⎨>⎪⎩()[]()()2221,0,3,41,,03,.x x x F x x x x ∞∞⎧-+∈⎪=⎨-++∈-⋃+⎪⎩()F x ()()3 4.F F x =(],4∞-()h x 1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,22t t⎡⎤⎢⎥⎣⎦0t >()2222324t h x x tx t x t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭2t x =1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1t >①当，即在的图象可知，，由题意得由（时取等号.放第一个式子成立，由第二个式子得故此时②当，即时，在递减，在上递增.此时最小值为，最大值为，所以，综上，所求的范围为.（3）.①当时，无解，②当时，解得.12t t ≤1t <≤()h x 1,t t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2221()1,h x r t t ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦22211122t t t t t⎧≤+-⎪⎨⎪≥⎩221111t t +-≥=1t =02t <…1t <≤12t t >1>()h x 1,2t t ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,2t t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2324t t h ⎛⎫= ⎪⎝⎭2()h t t =2231422t t t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩2t ≤≤2t <≤t (1,2]()()131222F x F x -≤⇔-≤≤()()()22623,f xg x x tx x x t -=-=- ∴01t <≤()()[]()(]()()()1,,0,3,32,,3,3.31,f t f x x t F x f t g x x t g ⎧⎧≥-∈⎪⎪=∴≤⎨⎨∈⎪⎪≥-⎩⎩13t <<()()[]()()1,,0,3,32,f t F x f x x f ⎧≥-⎪=∈∴⎨≤⎪⎩43t ≤≤③当时，，解得，舍去.综上，3t ≥()()[](),0,3,31F x f x x f =∈∴≥-116t ≤413≤≤。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题含答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷（答案在最后）命题学校考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，再根据集合的交集运算求解.【详解】由2log 1x ≤，解得02x <≤，{}02B x x ∴=<≤，又{}0,1,2,3A =，{}1,2A B ∴= .故选：B.2.已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A.2-B.2C.12-D.12【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sin sin αβ即可得解.【详解】由()1cos 2αβ+=，得2si c n i 1o n s cos s αβαβ-=，而1cos cos 3αβ=，因此1sin sin 6αβ=-，所以2sin si 1tan tan cos cos n αααβββ==-.故选：C3.设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.【详解】由10b a>>可得0,0,1a b ab >><，由1a b <可得1100ab ab b b<⎧-<⇒⎨>⎩或10ab b >⎧⎨<⎩，故10b a >>能得到1a b <，同时1a b <也无法推出10b a >>，故“10b a>>”是“1a b <”的充分不必要条件，故选：A.4.已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,54⎛⎫⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,4【答案】B 【解析】【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数()f x 在哪个区间存在零点.【详解】因为151,4xy y x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均单调递减，则()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，对A ，可得()01510010104f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭.因为幂函数15y x =在()0,∞+上单调递增，所以1155111(()()0545f =->，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故A 错误；对B ，因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则1154111()(()0444f =-<，则11()()054f f <，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，故()f x 在11,54⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，故B 正确；对C ，因为13(1)1044f =-=-<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故C 错误；对D ,计算114455111(4)(4(0)()444f --=-=<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在()1,4上无零点，故C 错误；故选：B.5.在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE =，则BF =（）A.1126BA BC +B.13BA BC+C.2133BA BC +D.1123BA BC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，12DE BC = ，而2DF FE =，所以12112323BF BD DF BA DE BA BC =+=+=+故选：D6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合求得3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，进而根据3100tan10RBC R ==︒即可求解.【详解】如图，设球的半径为R，则3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，所以由题3100tan10RBC ==︒，又cos100.985︒≈，故1001001cos10cos103sin1013332cos10sin10tan10sin1022R ===︒⎛⎫︒-︒-︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭()()100sin10100sin10100sin10100sin102cos60cos10sin 60sin102cos 60102cos702sin 20︒︒︒︒====︒︒-︒︒︒+︒︒︒100sin10252522sin10cos10cos100.985︒==≈⨯︒︒︒，所以50250.760.985R =≈，即该球体建筑物的高度约为50.76m .故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得,tan 30tan1033OA RAB AC ====︒︒，进而由100tan10RBC ==︒求出球的半径R 得解.7.已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11603B.5803C.5603D.2803【答案】B 【解析】【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.【详解】解：由π1sin π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ2π66x k -=+或52ππ6k +，k ∈Z 解得123x k =+或21k +，k ∈Z 所以113a =，21a =，373a =，43a =，…，19553a =，2019a =所以()()()201155101191017135528058021351910033333233S ⨯+⨯+⨯⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=+= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A.()20240f =B.()7102f f ⎛⎫+>⎪⎝⎭C.()()232log 48f f >D.()14sin1ln9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由条件证明()()8f x f x =+，函数()y f x =的对称中心为()2,0，对于A ，结合单调性证明()()02f f >，再证明()()20240f f =，由此判断结论；对于B ，结合对称性可得()()130f f +=，结合单调性可得()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，由此判断结论；对于C ，结合性质()()8f x f x =+，可得()()222log 48log 9f f =，再由单调性比较大小判断结论；对于D ，由条件可得1ln2.1989≈-，2.1984sin14<<，再结合单调性比较大小判断结论.【详解】解：()()()422f x f x f ++=-，故()()()8422f x f x f +++=-所以()()8f x f x =+，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，函数()2y f x =-往左平移2个单位得到函数()y f x =，故函数()y f x =的对称中心为()2,0，所以()()220f x f x ++-=，取0x =可得，()20f =，对于A ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，故()()020f f >=，且()()8f x f x =+，所以()()202400f f =>，故A 错误：对于B ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，对称中心为()2,0，故()()130f f +=，且()f x 在区间[]2,4上单调递减，则()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()7102f f ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()()()()2222log 482log 488log 93f f f f =-=<，故C 正确：对于D ，因为()()()422f x f x f ++=-，取2x =-可得()()()2222f f f +-=-，又()20f =，所以()()220f f -==，所以()()40f x f x ++=，因为函数()y f x =的对称中心为()2,0，故()()40f x f x ++-=，所以()()f x f x -=因为1ln2ln32 1.099 2.1989=-≈-⨯=-，故()()1ln 2.198 2.1989f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且ππ4sin4sin14sin 43<<，4sin1∴<< 2.1984sin14<<，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()14sin1ln 9f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-+，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A.1z 与2z 互为共轭复数B.点3Z 在第二象限C.复数12z z 的虚部是35- D.14OZ OZ ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】首先需要求出这四个复数在复平面内的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念来判断前面ABC 选项，再根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识来判断D 选项.【详解】对于13i z =+，其对应点1(3,1)Z .对于22i(13i)i 3i 3i z =+=+=-+，其对应点2(3,1)Z -.对于32z =-+，其对应点3(Z -.对于43i(0)z a a =->，其对应点4(,3)Z a -.对于选项A,13i z =+，23=-+z i ，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A 错误.对于选项B，对于3(Z -，所以点3Z 在第二象限，选项B 正确.对于选项C,13i z =+，23=-+z i ，21223i (3i)(3i)93i 3i i 86i 43i 3i (3i)(3i)9i 1055z z ++--------=====---+-+---.其虚部是35-，选项C 正确.对于选项D ，1(3,1)Z ，2(3,1)Z -，3(Z -，4(,3)Z a -在同一个圆上.设圆的方程为222()()x m y n r -+-=.将1(3,1)Z 代入方程得222(3)(1)m n r -+-=，即2226210m m n n r -+-+=①.将2(3,1)Z -代入方程得222(3)(1)m n r --+-=，即2226210m m n n r ++-+=②.将3(Z -代入方程得222(2))m n r --+=，即222410m m n r ++-+=③.用②-①可得：2222226210(6,210)m m n n m m n n r r ++-+--+-+=-即120,m =解得0m =.将0m =代入①和③，①变为22210n n r -+=，③变为2210n r -+=.用③-①可得：222210(210)n n n r r -+--+=-，解得0n =.将0,0m n ==代入222(3)(1)m n r -+-=，可得222319110r =+=+=.所以圆的方程为2210x y +=.将4(,3)Z a -代入2210x y +=，得到22(3)10a +-=，即2910a +=，21(0)a a =>，解得1a =.1(3,1)OZ = ，4(1,3)OZ =-.则140OZ OZ ⋅=，即14OZ OZ ⊥ ，所以选项D 正确.故选：BCD.10.已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A.11a b -=-B.224a b +≥ C.1lg lga b≥ D.241b a-<-【答案】ABD 【解析】【分析】变形等式判断A ；利用基本不等式判断B ；举例说明判断C ；作差与0比较大小判断D.【详解】对于A ，由2a b +=，得11a b -=-，因此11a b -=-，A 正确；对于B ，由2a b +=，得224a b +≥==，当且仅当1a b ==时取等号，B 正确；对于C ，取31,22a b ==，满足2a b +=，而31lg lg lg 2lg 2a b =<=，C 错误；对于D ，由2a b +=，得2,02a b b =-<<，则224411(2)b b a b -+=-+-22222(44)(44)4(3)0(2)(2)b b b b b b b b b -++-+--==<--，D 正确.故选：ABD11.已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a 的值可以为（）A.3227-B.1627-C.2-D.1-【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，按0,0a a ≥<分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象可得当0a <，01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.【详解】依题意，函数(1)=-y f x 的图象恒在()y f x =的图象及上方，作函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，当0a ≥时，如上左图所示，观察图知(1)()f x f x -≥在 上不恒成立，不合题意；当0a <时，如上右图所示，观察图知，当且仅当01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，即当01x <≤时，312x a x -≤，令312()x g x x -=，01x <≤，求导得443()x g x x -'=，当304x <<时，()0g x '<，当314x <≤时，()0g x '>，函数()g x 在3(0,)4上递减，在3(,1]4上递增，因此min 73()32()42g x g =-=，所以实数a 的取值范围是3227a ≤-，a 的值可以为AC.故选：AC【点睛】关键点睛：分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象确定求解条件是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为______.【答案】2【解析】【分析】k 利诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可.【详解】解：()πππsin sin 626f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1πsin cos sin 26623x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2ππ22T ω==，2ω=.故答案为：2.13.已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为______.【答案】π6【解析】【分析】由条件结合数量积运算律可求a b ⋅，再求()2a b a -⋅ ，2a b - ，根据向量夹角公式求结论.【详解】因为向量a ，b为单位向量，所以1a = ，1b = ，又1a b -=r r ，所以2221a b a b +-⋅=，所以12a b ⋅= ，所以()23222a b a a a b -⋅=-⋅= ，2a b -==所以()322cos 2,22a b a a b a a b a-⋅-==-⋅，又[]2,0,πa b a -∈ ，所以π2,6a b a -= .故答案为：π6.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是______.【答案】1[,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出nS ，再利用等差数列通项的特征分析求解即得.【详解】依题意，(1)2n n n S an -=+=由数列为等差数列，得2212()2a t -=，21||22a n -=+是n的一次式而对任意正整数n ，2102a n -+≤不恒成立，因此2102a n -+≥对n *∈N 恒成立，即21102a -+≥，解得12a ≥-，所以实数a 的取值范围是1[,)2-+∞.故答案为：1[,)2-+∞【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得2212()2a t -=是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.（1）求n a 和n S ；（2）若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .【答案】（1）2n a n =；()1n S n n =+（2）204021T =【解析】【分析】（1）设出等差数列的公差d ，由给定条件列出方程求出d ，利用等差数列前n 项和公式求解即可.（2）由（1）的结论求出n b ，利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，由2324(4)(2)(6)a a a -=--，得2(22)(34)d d d -=-，即2440d d -+=，解得2=d ，所以2n a n =，()()112n n n a a S n n +==+.【小问2详解】由（1）知，()1n S n n =+，又2n n b S =，则2112()(1)1n b n n n n ==-++因此1111111112[()()()(2(112233411n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-++，所以201402(12121T =-=.16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b 【答案】（1）24；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得2224a c b +-=，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得sin b B =即可.【小问1详解】在ABC V 中，依题意，221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则222123444S S S a b c -+=-+=，即2224a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 2ac B =，cos 0B >，由1sin 3B =，得22cos 3B ==，则132cos 2ac B ==，所以ABC V 的面积12sin 24ABC S ac B ==△.【小问2详解】由正弦定理sin sin sin b a c B A C ==，得223292sin sin sin sin sin 223b ac ac B A C A C =⋅===，则sin b B =，所以sin 22b B ==.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点 ，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点 ，()12f x x α=-，()12g xx α=⋅.（1）若π[0,]2α∈，求()fα的取值范围；（2）在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.【答案】（1）；（2）3m =-或4m =+.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出12,x x ，进而求出()f α，利用正弦函数的性质求出范围.（2）利用（1）的信息，求出()F α，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.【小问1详解】由三角函数定义，得1cos x α=，2πcos(2x α=+，12ππ()cos cos()cos sin )24f x x αααααα=-=-+=+=+，由π[0,2α∈，得ππ3π444α≤+≤，则2πsin(124α≤+≤，因此π1)4α≤+≤，()f α的取值范围是.【小问2详解】由（1）及已知，得2()sin cos (sin cos )2m F m ααααα=-⋅++-，π[0,2α∈，令πsin cos )[1,4t ααα+=+=∈222111()())2222t m F G t mt t m α-==-+-=--+，t ∈，①当1m ≤时，()G t 在上单调递减，2max 15()(1)22m G t G m ==-=-，则3m =-；②当1m <<时，()G t 在[1,]m 上单调递增，在[m 上单调递减，max 115()()22G t G m ==≠-，不符合题意；③当m ≥()G t 在单调递增，2max115()222m G t G ==-+-=-，则4m =+，所以3m =-或4m =+.18.已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.（1）求c 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.【答案】（1）2c =；（2）(,1](0,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出c 并验证即可得解.（2）由（1）求出()f x 在(0,)+∞上的最小值，再按0,0,0k k k >=<分类，并借助导数讨论()g x 值即可求解.【小问1详解】函数21()()ef x x x c =--的定义域为R ，求导得()()(3)f x x c x c '=--，依题意，(2)(2)(6)0f c c '=--=，解得2c =或6c =，当2c =时，()(2)(32)f x x x '=--，当23x <或2x >时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点，符合题意，则2c =；当6c =时，()(6)(36)f x x x '=--，当2x <或6x >时，()0f x '>，当26x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极大值点，不符合题意，所以2c =.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在2(0,)3+∞上单调递增，在2(,2)3上单调递减，因此min 1()(2)ef x f ==-，①当0k >时，对1(0,)x ∀∈+∞，21x k ∃=-，使得121)11()(e 1(ek g x g f x k =-=-<-<-≤，因此12()()0f x g x -≥，符合题意，则0k >；②当0k =时，()0g x =，取12x =，对2x ∀∈R ，有12()()0f x g x -<，不符合题意；③当0k <时，函数()ex kxg x =，求导得()(1)e x g x k x -'=-，当1x <时，()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，则()min ()1ek g x g ==，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-，所以k 的取值范围为(,1](0,)-∞-⋃+∞.19.已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N（1）若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.（2）若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析；②集合A 具有性质P ，理由见解析；（2）存在，最大值为4.【解析】【分析】（1）①写出,A A B B ++中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出A A +中的元素个数即可判断.（2）根据新定义得在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，得到3221n n a a a a --+=+，由此分类讨论，可确定n 的取值，可得答案.【小问1详解】①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ：{}2,3,4,5,6A A +=，A A +中元素个数()33152+=≠不具有性质P ；{}2,3,4,5,6,8B B +=，B B +中元素个数()33162+==具有性质P .②若集合A 具有性质P ，设1112(0)n n a a a -=>，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有2221j i k i l i ---=+-，等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则i j l k a a a a +=+不成立，因此A A +中元素个数()121C C 2n n n n +=+=，所以集合A 具有性质P .【小问2详解】不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则()()()()131212n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，于是3221n n a a a a --+=+，当5n >时，2321,,,n n a a a a --是集合A 中互不相同的4项，从而A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，当5n =时，3242a a a =+，即234,,a a a 成等差数列，且公差也为d ，则A A +中的元素从小到大的前三项为121314,,a a a a a a +++，且第四项只能是15a a +或23a a +，（i ）若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾；（ii ）若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，有122a d a +=，而()4512()9a a a a d +-+=，即517a a d =+，于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，因此A A +中元素个数小于()12n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，则4n ≤，取{1,3,4,5}A =，{}4,5,6,7,8,9A A +=，则集合A 具有性质Ω，所以集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题.。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，若与轴交于点B ，AF 与抛物线的一个交点为（异于点），则的面积为（ ）A ．4B．C．D ．62. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的两条渐近线4x ±3y ＝0分别交于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、二象限），若四边形F 1F 2AB 的面积为32，则双曲线的焦距为（ ）A ．5B ．10C．D ．44.已知函数，则的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．5. 若抛物线与圆有公切线，则称抛物线与圆相切．已知抛物线与圆相切于点A ，B ，且抛物线的焦点为F ，则的周长为（ ）A．B．C．D．6. 在直三棱柱中，，，E 为棱上一点，且，则与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78. 某种货物的进价下降了x %，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率（）由原来的15%增加到25%，则x 的值等于（ ）A ．8B ．15C ．25D ．209. 小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍C ．小王一家2021年的家庭收入比2018年增加了1倍湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题三、填空题四、解答题D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同10. 中央广播电视总台《2023年春节联欢晩会》以温暖人心的精品节目､亮点满满的技术创新､美轮美奂的舞美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大䝳.某机构随机调查了18位观众对2023年春晩节目的满意度评分情况，得到如下数据：.若恰好是这组数据的上四分位数，则的值可能为（ ）A ．83B ．84C ．85D ．8711. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与事件为互斥事件B ．事件与事件是相互独立事件C．D．12.三棱柱中，棱长均为2，顶点在底面上的投影为棱的中点，为的中点，是上的动点，则（ ）A ．三棱柱的体积为1B．与平面所成的角为C．D ．异面直线与所成角为13. 已知复数z 的虚部为1，且，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为___________.14.函数的定义域为D ，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．①； ②；③；④．15.在的展开式中的系数为____________．16. 已知函数．(1)求证：函数在上单调递增；(2)当时，恒成立，求实数k 的取值范围．17.已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.18. 为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.(1)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；(2)用表示某位嘉宾抽奖的次数，求的分布列和期望．19. 如图，经典的推箱子是一个古老的游戏，在一个狭小的仓库中，该游戏要求把木箱放到指定的位置，稍不小心就会出现箱子无法移动或者通道被堵住的情况，所以需要巧妙地利用有限的空间和通道，合理安排移动的次序和位置，才能顺利地完成任务，某学习小组在课外活动中为了培养组员的逻辑思维能力，开展了推箱子的小游戏，已知组员小明在前四关中，每关通过的概率都是，失败的概率都是，且每关通过与否互不影响.假定小明只有在失败或四关全部通过时游戏才结束，表示小明游戏结束时通过的关数.(1)求小明游戏结束时至少通过三关的概率；(2)求X的分布列和数学期望.20. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．21. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水（单位：千克）清洗蔬菜千克后，蔬菜上残留的农药（单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量与是正相关还是负相关；（2）若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，令，计算平均值与，完成以下表格，求出与的回归方程（保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到，参考数据：）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.。
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试语文试题(含答案)
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一语文试卷考试时间：2024年10月14日下午14：30—17：00试卷满分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：在中国共产党领导的革命斗争和社会主义建设时期，优秀的革命者、建设者们常常以笔为犁，以梦为马，用革命的诗词记录着伟大的理想信念、革命实践与战斗情怀，表现出昂扬的浪漫主义激情和英雄主义气概。
毛泽东诗词就是其中最杰出的代表。
毛泽东诗词以革命浪漫主义的精神，充分抒发了共产党人崇高的理想主义情怀。
1925年前后，大革命高潮风起云涌，青年毛泽东在橘子洲上以一篇《沁园春·长沙》讴歌壮丽的秋景，发出了时代之问：“问苍茫大地，谁主沉浮？”又无比坚定地回答，是“风华正茂”的“同学少年”，因为他们是理想的象征，是新世界的开创者。
1936年2月指挥红军东征的毛泽东，在陕北的一个小山沟里又写下《沁园春·雪》。
北国的茫茫寒雪，在他如椽的巨笔下，气势恢宏，气象万千；北国的晴日，在他浪漫的想象中，“红装素裹，分外妖娆”。
当时，红军困难重重，但毛泽东对革命斗争充满激情，对革命胜利充满信心。
秦皇汉武、唐宗宋祖，俱往矣，那么，到底谁才是主宰历史浮沉的人？谁才是这个时代的风流人物？毛泽东回应了十年前自己的时代之问：“数风流人物，还看今朝。
”千百万劳动人民，无产阶级大众，才是历史和时代的真正主人。
这是以毛泽东同志为代表的共产党人的历史观、英雄观、时代观。
毛泽东诗词以革命现实主义的风格，深情书写了中国革命与建设波澜壮阔的历史进程与内在精神。
毛泽东的诗词创作好似一幅长卷，浓墨重彩地记录了中国革命斗争与建设事业的伟大实践，特别是记录了若干具有重大历史意义的标志性事件，堪称一代诗史、史诗。
比如大革命时期的《沁园春·长沙》、五次反“围剿”时期的《西江月·井冈山》、红军长征时期的《七律·长征》、抗日战争时期的《五律·挽戴安澜将军》、人民解放战争时期的《七律·人民解放军占领南京》、社会主义建设时期的《水调歌头·游泳》等等，随着岁月的流转。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}12．已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,45．在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE = ，则BF =（）A ．1126BA BC+B ．13BA BC+C ．2133BA BC+D ．1123BA BC+6．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A ．45.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m7．已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A ．11603B ．5803C ．5603D ．28038．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A ．()20240f =B ．()7102f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭C ．()()232log 48f f >D ．()14sin1ln 9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭二、多选题9．设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A ．1z 与2z 互为共轭复数B ．点3Z 在第二象限C ．复数12z z 的虚部是35-D ．14OZ OZ ⊥10．已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A ．11a b -=-B ．224a b +≥C ．1lg lga b≥D ．241b a -<-11．已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a的值可以为（）A ．3227-B ．1627-C ．2-D ．1-三、填空题12．已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为.13．已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.(1)求n a 和n S ；(2)若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .16．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.(1)求ABC V 的面积；(2)若2sin sin 3A C =，求b 17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点1,1，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点2,2，()12f x x α=-，()12g x x α=⋅.(1)若π[0,]2α∈，求()f α的取值范围；(2)在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.18．已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.(1)求c 的值；(2)设函数()e xkxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.19．已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N (1)若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.(2)若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A 具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考语文试卷
2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二语文试卷命题学校：黄石二中试卷满分：150分一、现代文(35分)(一)现代文阅读I (本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：今年夏天，全国各地博物馆的火热程度较之往年更甚。
从研学团的学生，到亲子游的家长，再到慕名而来的游客，都把博物馆作为暑期出游的首选之地。
曾经小众冷门的风雅之地，如今成为大众青睐的热门之选。
常州博物馆副馆长路亚北认为，一方面青少年博物馆研学热确实带动了部分“博物馆热”，吸引更多的青少年群体走进博物馆。
另一方面，大多数博物馆类的研学产品质量参差不齐，很多机构以盈利为目的，最后将博物馆研学产品做得流于形式，消耗了青少年的热情。
博物馆最大的观众群体是亲子家庭观众，说明博物馆的教育力得到观众的普遍认可，博物馆已经成为公众学习和教育、进行文化旅游、知识提升的最佳目的地之一。
中国国家博物馆策展人罗翔表示：“博物馆提供了生动的学习环境，为学生和教育者提供了宝贵的资源。
学生可以通过观察和互动来更好地理解历史、科学、艺术等领域的知识。
博物馆还经常举办教育计划、工作坊和导览活动，帮助学生和教育者深入研究特定主题。
”博物馆作为公共文化服务的关键组成部分，在教育方面发挥着重要作用。
2008年，国家对国有博物馆实行免费开放政策。
这是导致博物馆持续升温的最大的初始推动力。
这一政策非常有助于公众文明素养、文化素养的提升。
加上《国家宝藏》《如果国宝会说话》《上新了，故宫》等节目的兴起，在整个社会上掀起了“博物馆热”。
可以说，近年来的“博物馆热”是国家政策的结果和成果，反映了公众文化消费的升级。
“博物馆持续升温是我们新时代文化强国建设取得历史性成就、发生历史性变革的一个具体体现。
”李文初表示。
博物馆作为承载文明、传承文化、沟通古今的重要场所，在坚定文化自信、增强民族凝聚力方面有着重要作用，传承和弘扬中华优秀传统文化已经成为今天我们全社会的共识，越来越多的人特别是年轻人，愿意走进博物馆，近距离了解文化遗产。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处的导数为6，则()()000lim 3x f x f x x x∆→-+∆=∆（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．62．在等差数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，41356a a a +=+，则23S =（ ） A ．118B ．128C ．138D ．1483．函数()cos sin f x x x x =+在[]0,π上的最大值为（ ） A ．0B ．π4C ．π2D ．π4．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()1ln f x x x x=+-，则曲线()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．1y =D ．1y =-5．式子922210C C n nn n --+的值为（ ）A ．27B ．127C ．5160D ．与n 的取值有关6．2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（ ） A ．240B ．360C ．420D ．5407．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足：11a =，()()1112n n n a na n ---=≥，记不超过x 的最大整数为[]x ，则202411i n S =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．对任意的1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式()22e e 2ln 10axa x x -+≥恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．eB ．1 CD二、多选题9．现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A ．没有空盒子的方法共有6种 B ．所有的放法共有21种C ．恰有1个盒子不放球的方法共有9种D ．没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 10．已知数列{}n a 满足113,322n n a a a +==+，则（ ）A ．3229a =B ．数列()32log 2n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等差数列C ．{}2n a 的前n 项和为641259nn ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．数列132n n a +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最小项为411．已知函数()f x 和()g x 的定义域为R ，()g x 为偶函数，()()()()4,1g x g x f x g x =-=-'，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x '关于()2,0对称B ．()20220g '=C ．()f x 关于点()2,0对称D ．20241()2024k f k ==∑三、填空题12．若函数()f x 的导函数为．()f x '，且满足()π2cos sin 4f x f x x ⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．13．已知函数()()3e x tf x t x -=-∈R 在()0,∞+内单调递增，则t 的最小值为．14．计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数()*n n ∈N 表示为1200122222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⨯++⨯L ，其中01a =，{}()0,11,2,3,,i a i k ∈=L 则其二进制为()()0122k a a a a k ∈N L ，例如：自然数1在二进制中就表示为2(1)，2表示为2(10)，3表示为2(11)，4表示为2(100)，7表示为2(111)．记()f n 为012,,,,k a a a a L 中0的个数，如()()()21,42,70f f f ===，则()127f =；从1到127这些自然数的二进制表示中()2f n =的自然数有个．四、解答题15．已知2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为1-．(1)求正整数数n 和实数a 的值；(2)求2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数．16．已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且1121,1a b b ==+是1a 和4a 的等差中项，2b 是1a 和5a 的等比中项．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若n S 为数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：13n S ≤<．17．已知函数()2e 2xf x a x a =-+（e 为自然常数，e 2.71828≈）．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()2ln 2f x a >+．18．已知函数()()3220f x x ax a x a =+->．(1)当1a =时，以点()()1,1T f 为切点作曲线()f x 的切线，求切线方程； (2)证明：函数()f x 有3个零点；(3)若()f x 在区间()5,3a a --上有最小值，求a 的取值范围．19．如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数q ，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数q 叫做类等比数列的类比． (1)若数列{}n a 是一个类等比数列，且111,3a q ==，证明13n n a >；(2)对于一个正项数列{}n a ，且首项11a =，满足11n n a an a e e +=-；①证明：数列{}n a 为递减数列；②证明：12n na ．。
湖北鄂东南2024年高一10月联考(起点考试)化学试题+答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一化学试卷命题学校：鄂南高中 命题教师：汪细兰 审题学校：蕲春一中审题教师：胡长青考试时间：2024年10月15日上午08：00－09：15试卷满分：100分 可能用到的相对原子质量：H －1C －12N －14O －16Na －23一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一项符合题目要求。
1．下列对常见物质的分类正确的是（ ）选项 酸 碱 盐 混合物 A HCI KOH AgCI 冰水混合物 B NaHSO 4 Mg(OH)2 CaF 2 干冰C HNO 3 Ba(OH)2 K 2CO 3 纯净的氢氧化铁胶体DH 2S 纯碱CaCO 3空气A ．AB ．BC ．CD ．D2．美国科学家用某有机分子和球形笼状分子60C 制成了“纳米车”（如下图所示），每辆“纳米车”是由一个有机分子和4个60C 分子构成，直径约69nm −。
“纳米车”可以用来运输单个的有机分子。
下列说法正确的是（ ）A ．人们用肉眼可以清晰看到“纳米车”的运动B ．用激光笔照射“纳米车”，可产生丁达尔效应C ．形成该“纳米车”时，发生了氧化还原反应D ．60C 与石墨、金刚石互为同素异形体 3．下列离子能大量共存的是（ ）A ．使酚酞溶液呈红色的溶液中可大量存在：2Mg +、4NH +、24SO −、3HCO −B ．强酸性溶液中可大量存在：24SO −、Cl −、Na +、2Ca−C ．澄清透明的溶液中可大量存在：3Fe +、2Mn +、24SO −、Cl −D ．使紫色石蕊试液呈红色的溶液中可大量存在：Na +、K +、2S −、3NO −4．下列说法正确的是（ ）①溶于水能导电的化合物一定是电解质 ②仅由一种元素组成的物质是单质 ③金属氧化物都是碱性氧化物④酸性氧化物都是非金属氧化物⑤NaOH 是强碱，因此钠盐的水溶液不会呈酸性 ⑥不能跟酸反应的氧化物一定能跟碱反应 ⑦酸性氧化物在一定条件下都能与碱发生反应⑧中和反应有盐和水生成，有盐和水生成的反应一定是中和反应⑨与水反应生成酸的氧化物不一定是酸性氧化物，与水反应生成碱的氧化物不一定是碱性氧化物 ⑩根据酸分子中含有H 原子个数将酸分为一元酸、二元酸等 A ．⑦⑨B ．①②⑤⑥⑨C ．①⑧⑨⑩D ．全部5．物质结构决定性质，性质决定用途。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷一、单选题1．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）A ．1:1B ．3:2C ．π:3D ．4:π2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A 表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ） A ．A 与B 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与B 相互独立D ．A 与C 相互独立3．下列说法中正确的是（ ）A ．若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B ．已知a ，b ，c 为三条直线，若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面C ．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4．已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且1324MN ON AP AN ==，，以,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为基底，则OP u u u r 可以表示为（ ）A ．111244OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rB ．111233OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rC ．111433OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111444OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r5．已知向量a r ，b r 不共线，满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r 方向上的投影向量为（ ）A ．a rB ．b rC ．12b -rD ．b -r6．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75s x ==D ．270,75x s <>7．在平面四边形ABCD 中，ABC V 为正三角形，AD CD ⊥，AD CD =1，将四边形沿AC 折起，得到如图2所示的四面体B ACD -，若四面体B ACD -外接球的球心为O ，当四面体B ACD -的体积最大时，点O 到平面ABD 的距离为（ ）A BC D 8．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，2||AP AQ PQ ⋅=u u u r u u u r u u u r，则1AP 的最大值为（ ）A ．1BC D二、多选题9．衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）A ．该次数学史知识测试及格率超过90%B ．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C ．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D ．若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名10．已知O 是坐标原点，平面向量a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，c OC =r u u u r，且a r 是单位向量，2a b ⋅=r r ，12a c ⋅=r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．c a c =-r r r B ．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b c =+r r rC ．若向量b a -r r 与c a -r r垂直，则2b c a +-r r r 的最小值为1D ．向量b a -r r 与b r11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，,AC BD的交点为O ，顶点1,,A B C 到α，则（ ）A ．//BC 平面αB ．O 到平面α的距离为1C ．平面1A AC ⊥平面αD ．正方体的棱长为三、填空题12．已知向量()2,3,1a =-r ，()1,2,1b m =-r ，且a b ⊥r r，则m =．13．设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为．四、解答题15．已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=． (1)求3z +；(2)设复数zz ，2z z +，10z在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ,AB BC u u u r u u u r ．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB AC =，12AA AB =，点1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点O ，M 为11B C 的中点．(1)求证：1A M ⊥平面1A BC ；(2)求二面角11A BC B --的平面角的正弦值．17．在锐角ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22233b c a =-． (1)求tan tan BC的值； (2)若tan 3A =，3a =，求△ABC 的面积．18．辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为 []80,100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有,,,,A A B C D +五个等级. 若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得,,,,A A B C D +的概率分别为21113,,,,5612520；乙在每科笔试中取得,,,,A A B C D +的概率分别11211,,,,4551020；甲、乙在面试中通过的概率分别为15,516.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线P A ，PB ，PC 构成的三面角P-ABC ，记APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A-PC-B 的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，11A A AC ==2AB =，且11A AD A AB ∠=∠．(1)在图2中，用三面角余弦定理求1cos A AB ∠的值；(2)在图2中，直线1AA 与平面ABCD 内任意一条直线的夹角为φ，证明：ππ32ϕ≤≤； (3)在图2中，过点B 作平面η，使平面//η平面11AC D ，且与直线1CC 相交于点P ，求11C PC C的值．。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题
(1)若存在实数 x ，使 f (x) 1成立，求实数 m 的取值范围； (2)若 f (x) 有两个不同零点 x1, x2 ，求证： 2 x1 x2 e .
试卷第 4页，共 4页
15
15
4．已知
G
为
ABC
的重心，
A
2π 3
，
AB
AC
2
，则 |
uuur AG
| 的最小值为（
）
A．
1 8
B． 4 9
C．
1 9
D．
2 3
5．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为 60mm ，满盘时直径为100mm ，
已知卫生纸的厚度为 0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约为（ ）（ π 3.14 ，结果精
a
(2,
)
，
b
(
,1)
，若向量
a
与向量
b
共线，则实数
的值为
.
14．已知函数 f x log2 3x
9x2 1
2 ，若 2x 1
f
a 1
f a 2 2 ，则实数 a 的
解集为 .
15．已知数列{an}
的首项
a1
3 5
，且
an1
3an 2an 1
，
1 a1
1 a2
1 an
2024 ，则满足条
A．若 f (x) f (x) ，则 f (x) f (x)
B．若 f (x) 为偶函数，则 f (x) 为奇函数
C．若 f (x) 是周期为 T（T 0）的函数，则 f (x) 也是周期为 T 的函数
D．已知 f (x) f (x) 2x 且 f (1 x) f (1 x) 0 ，则 f (0) f (1) 1
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷2024.4.17
2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数2iz 13i+=+的虚部是（ ） A ．12−B ．12C ．1i 2−D ．1i 22．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠B ．若//a b 且||||a b =，则a b =C ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量3．已知平面向量(1,2)a =，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）A ．34,2525−B ．68,55 −C ．34,55 −D ．34,55 −4．已知tan 121tan αα−=+，则cos 24πα+的值为（ ）A．B． CD5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−（m 为常数），则PD 的长度是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．若实数x ，y 满足332x y+=，21133xy n − =+，则n 的最小值为（ ） A ．2B ．8C ．9D ．127．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则22BC PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−，且函数4y f x π=+为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）A ．()()0f A fB +>B ．()()0f A f B +<C ．()()0f A f B +=D ．()()f A f B +的符号无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin ||62f x x ππϕϕ =+< ，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期12T =B ．6πϕ=−C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减D ．函数(2)y f x =+是奇函数10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=，则下列结论正确的是（ ）A ．若3(1,2)a π= ，则||a =B ．若44,(3,a b ππ==− ，则a b ⊥C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−最小值为52，则6πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=−，则角A =若I 为ABC △的内心，且AIIC λ=+，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b，||2a =，||3b =，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−=，则||||a b a b −++的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量(1,2)a −，||b = ．（1）若//a b，求b 的坐标；（2）若(5)()a b a b +⊥−，求a 与b 夹角的余弦值．16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1sin 7C =，求ABC △的面积．17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R，1()2f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，4c =，23A π=．（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．且AE xAB = ，AF y AC =，1x y +=，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n nππ=+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，因为111=，2(1)1−=，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；例如24()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1110()nn n n n x a x a xa x a −−Φ=++++ 的形式）（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅的取值范围．鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年春季期中联考高一数学参考答案一、二选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A DCBBBCAACBCDABD8．【答案】A【详解】由题可知，()f x 在区间,4π +∞上单调递增，且函数4y f x π=+为奇函数，则44f x fx ππ−+=−+，故()2f x f x π =−− ，当0x =时，有44f f ππ =−，即04f π=， 又因为4y f x π=+ 图象关于原点(0,0)对称，则()f x图象关于点,04π对称，所以，()f x 在R 上单调递增．()()()2f A f B f A f B π+=−−，而ABC △为锐角∆，故2A B π+>，则2A B π>−，所以()02f A f B π−−>，即()()0f A fB +>，选A ．11、【答案】ABD【详解】3||(1,2)a π==A 正确；()()12123340a b e e ⋅=+⋅−=−+−= ，即a b ⊥ ，故B 正确；125e e λ−最小值为52可知15e 在2e cos θ=，可得6πθ=或56π，C 错误；1212e e e e λ−≥−两边平方得212cos 22cos λλθθ+−≥−对(0,)θπ∀∈成立，则212(1)cos λλθ−≥−，即22(1)cos 10λθλ−−+≤，由于(0,)θπ∀∈，cos (1,1)θ∈−，故222(1)1102(1)(1)10λλλλ −⋅−+≤ −⋅−−+≤ ，解得3λ≤−或1λ≥，综上所述(,3][1,)λ∈−∞−+∞ ，故D 正确 三、填空题12．5813．3A π=；λ=2分，全对给5分） 14．【详解】设a OA =，b OB = ，c OC = ，点C 在单位圆上，点,A B 也在圆上， 则a c CA −= ，b c CB −= ，由()()0a c b c −⋅−=，可得：CA CB ⊥，作矩形ACBD ，则||||||a b OA OB BA −=−= ．下证：2222||||||||OA OB OC OD +=+ ． 设AB ，CD 交于点P ，连接OP ，因OA OP PA =+ ，则2222OA OP PA OP PA =++⋅ ，同理可得：2222OB OP PB OP PB =++⋅，两式左右分别相加得：2222222222212222244BA DC OA OB OP PA PB OP BA OP OP+=++=+=+=+2222222OC OD OC OD OC OD +− =+=+． 即2222||||||||a b c OD +=+，故||OD = ．又||||||2||||2||2||2||2||a b a b BA OP CD OP PD OP OD −++=+=+=+≥，故||||a b a b −++的最小值是四、解答题15．【答案】（1）(2,4)b − 或(2,4)b =−（2）18【详解】（1）由题意，设(,2)b a λλλ−，||b =，2λ∴=±，(2,4)b ∴=− 或(2,4)b =− ．（2）(5)()a b a b +⊥−，(5)()0a b a b ∴+⋅−= ，22540a a b b ∴−⋅−= ，54a b ∴⋅= ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 8||||a ba b θ⋅==． a ∴ 与b 的夹角θ的余弦值为18．16．【答案】（1）3π；（2）S =． 【详解】（1）在ABC △中，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+−，又222b c bc a +−=，则1cos 2A =，而0A π<<，则3A π=． （2）由1sin 7C =得cos C =，若cos C =，那么1113sin sin()sin cos cos sin 2714B AC A C A C =+=+=+×=， 由正弦定理，sin sin a b A B =，则sin sin b Aa B=，因此21sin sin sin 22sin b A C Sab C B ==，若cos C =，那么1111sin sin()sin cos cos sin 2714B AC A C A C =+=++×=− （舍），因此S =． 注：也可以通过角的大小关系，由1sin sin 7CA =<，得到C A <，故直接判断出cos C =，若无判断且无讨论扣3分．17．【答案】（1）()sin 216f x x π=−−（2）50,,6312πππ【详解】（1）211()cos cos2cos21sin21226f x x x x x x xπωωωωωω=−−=−−=−−，由()f x的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π，有22Tππω==，得1ω=，故()sin216f x xπ=−−，（2）方法一：()sin216f x xπ=−−，由于(,2)x a a∈，则22,4666x a aπππ−∈−−，又22Ta a−<得到0,2aπ∈，故52,666aπππ−∈−，则2,4,6622a aππππ−−⊆−或32,4,6622a aππππ−−⊆．解得0,6aπ∈或5,312aππ∈，所以a的取值范围50,,6312πππ．方法二：()sin216f x xπ=−−，令2()262k x k kπππππ−+≤−≤+∈Z，解得单调区间为()622k kx kπππ∈−+∈Z，故(,2),()6232k ka a kππππ⊆−++∈Z，62232kakaππππ≥−+≤+，6264k kaππππ−+≤≤+，()k∈Z由于6264k kππππ−+≤+，故0k=或1k=．当0k=时0,6aπ∈，当1k=时，5,312aππ∈，所以a的取值范围50,,6312πππ注：两个区间漏写一个扣3分18．【答案】（1）43；（2）[3,3]−．【详解】（1）在ABC △中，ABCABD ADC S S S =+△△△， 因此1211sin sin sin 232323AB AC AB AD AD AC πππ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 即43bc AD b c ==+． （2）由D 为BC 中点得：1122AD AB AC =+， 故1111()()2222DE DF DA AE DA AF x AB AC AB y AC⋅=+⋅+=−−⋅−+−2211111112222224x AB y AC x y AB AC =−−−−+−−+⋅ 1111111164(4)2222222x y xy x y =⋅−−+⋅−−+−⋅−−+ 22113463423444xy x y y y=−−+=+−=+−又[0,1]y ∈，2113444DE DF y⋅=+−在[0,1]上单调递增； 因此1y =时，max ()3DE DF ⋅= ；0y =时，min ()3DE DF ⋅=−．即[3,3]DE DF ⋅∈−．19、【解析】（1）610z −=的解为cos isin(0,1,2,3,4,5)33k k z k ππ=+=， 故6次单位根为11111,1,2222−−−+−−，6次本原单位根为12+和12−． （6次单位根3分，有漏写酌情扣1-2分，有错误0分，6次本原单位根1个1分） （2）2611()122x x x x x Φ=−−+=−+ 又2311()122x x x x x Φ=+++=++ ；2()1x x Φ=+，1()1x x Φ=−， 因此()()()()223366321()()()()(1)(1)11111x x x x x x x x x x xx x ΦΦΦΦ=+−++−+=+−=−，猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−．（3）方法一：设12次单位根分别为0111,,z z z ，其中cos isin 66k k k z ππ=+， 则不难发现：15711,,,z z z z 为12次本原单位根，3z 和9z 为4次本原单位根，其余的根分别为1，2，3，6次本原单位根，因此()()()1212643211211()()()()()()1z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ=−−−=− ，12121311124()()m PA PA PA PB PB z z z z z z z z ⋅⋅⋅=−⋅−−=ΦΦ．又126126432112466321()()()()()()1()()1()()()()1z z z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ−ΦΦ===+ΦΦΦΦ−，又666111z z z −≤+≤+，且66||8z z ==，故61[7,9]z +∈，即[]12127,9m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈．（若直接使用第二问的猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−扣2分） 方法二：求出四个12次本原单位根分别为11i 2z =+，21i 2z +，31i 2z −，41i 2z =， 两个4次本原单位根分别为5i z =，6i z =−，123412123456PA PA PA PA PB PB z z z z z z z z z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−()()()()()()61234561z z z z z z z z z z z z z =−−−−−−=+ 又666111z z z −≤+≤+，且66||8z z ==，故[]617,9z +∈． 即1212[7,9]m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈．。