平方差和完全平方公式教学与拓展

第一章 整式的乘除

一、平方差公式

教学目标

平方差公式的特征 平方差公式

利用平方差公式简便计算

复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的

计算下列各题：

(1) ()()22-+x x ； (2) ()()a a 3131-+； (3) ()()y x y x 55-+； (4) ()()z y z y -+22. 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现 再举两例验证你的发现. 1、平方差公式：

（1）平方差公式的推导：()()2222b a b ab ab a b a b a -=++-=-+

（2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （3）符号语言：()()22b a b a b a -=-+.

例1 利用平方差公式计算：

（1）()()x x 6565-+； （2）()()y x y x 22+-； （3）()()88-+ab ab .

（4）面积表示：

例2如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b

的小正方形，再沿着线段AB 剪

开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．

(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a ，b 的代数式表示S1，S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．

2、公式变形:

()()22b a b a b a -=--+-

注：（1）这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等；

（2）逆运算也是成立的.

例3 利用平方差公式计算：

（1）()()n m n m --+- . （2）⎪⎭

⎫

⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 4

141

；

（3）()()()1112+-+x x x （4）⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-2141212x x x

例4 利用平方差公式计算：

（1）()()z y x z y x ++-+-

（2）()()z y x z y x -+++-

（3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x

3、利用平方差公式简便计算

(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律

(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗

例5 用平方差公式进行计算：

(1)103×97； (2)118×122.

例6 运用平方差公式计算：

(1) 2 014×2 016－2 0152； (2) ×； (3) 3

1393

2

40⨯. 拓展提高

相同为a

合理加括号

7×9=

8×8=

11×13= 12×12= 79×81=

80×80=

b

1．计算：

（1）（2+1）（22

+1）（24

+1）…（n

22+1）+1（n 是正整数）； （2）（3+1）（32

+1）（34

+1）…（3

2008

+1）－4016

32

．

3.已知02,62

2

=-+=-y x y x ，求5--y x 的值． 4.计算：129798991002

2

2

2

2

-++-+-Λ ．

5.求值：)1011)(911()411)(311)(211(2

2222-----

Λ ． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082

． （1）利用平方差公式计算：

22007

200720082006

-⨯．

（2）利用平方差公式计算：2

2007200820061

⨯+．

7．解方程：()()()()35121222+=-+++x x x x x ．

8．（规律探究题）已知1≠x ，计算()()2111x x x -=+-，()()3

2111x x x x -=++-，

()()432111x x x x x -=+++-．

（1）观察以上各式并猜想：

()()

=

+++-n x x x x Λ211______．（n 为正整数）

（2）根据你的猜想计算：

①()()=+++++54322222212-1______． ②=++++n 222232Λ______（n 为正整数）． ③()()=++++++-112979899x x x x x x Λ_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①()()b a b a +-= ． ②()()22b ab a b a ++-= ．

③()()3223b ab b a a b a +++-= ．

④()()n n n n n b b a b a b a a b a +++++----12221Λ= .

二、完全平方公式

教学目标

完全平方公式的特征 完全平方公式

完全平方公式的应用及逆应用 引入

计算下列各式，你能发现什么规律

(1) ()()()=++=+1112

p p p .

(2) ()=+2

2m = .

(3) ()()()=--=-1112

p p p .

(4) ()=-2

2m = .

根据规律，直接写出下列下列两式子的结果，并用多项式乘多项式运算法则进行验算. （1）()2

b a += .

（2）()2

b a -= .

1、完全平方公式 （1）文字叙述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. （2）数学表达式：

()2

22

2b ab a b a ++=+

注：公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 例1 利用完全平方公式计算：

（1）()2

32-x ； （2）()2

54y x +； （3）()2

a mn -.

例2 利运用完全平方公式计算：

（1）()2

52+-x ； （2）()2

2n m --； （3）2

324

3

⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x

（3）面积表示法

例 3 如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为( )

D ．()()ab b a b a 42

2

--=+

例4、利用完全平方公式计算：

首平方，尾平方，积的2倍在中央