元一次方程的整数解
二元一次方程组的整数解问题、无解问题(解析版)
二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题1、若关于x，y的方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m为（）．A. 0，1B. 1，3，7C. 0，1，3D. 1，3答案：D解答：26x ymx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②得，（m+1）x=8，∴x=81 m+，8的因数1、2、4、8，∵m为正整数，∴m+1≥2，情况1，m+1=2，x=4，y=2，情况2，m+1=4，x=2，y=0，情况3，m+1=8，x=1，y=-1（舍），∴m=1或3．选D.2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2的值为（）．A. 4B. 4，49C. 1，4，49D. 无法确定答案：A解答：()()2101 3202 mx yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2）得，（3+m）x=10，所以x=103m +，将x=103m+代入（2）得y=153m+，当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，所以3+m=±1或3+m=±5，即m=-2或m=-4或m=2或m=-8，又∵m是正整数，∴m=2，则m2=4．选A.3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组()112x a yx y⎧+-=⎨-+=⎩的解是整数．答案：1或3解答：y=3a，a=1或3．4、422ax yx y+=⎧⎨-=⎩（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．答案：2；2解答：整理方程组得：（a+2）x=6，x=62a+，此时a+2=3或6才为正整数，a=1或4．当a=1时，x=2，代入解得y=2，方程组的正整数解为22 xy=⎧⎨=⎩；当a=4时，x=1，代入解得y=0，舍弃．5、当整数m=______时，方程组21148x myx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数．答案：3解答：消去x可得y=58 m--，∴m=7或3，又∵m=7时x=-12与题设矛盾，故舍去，综上，m=3．6、正整数a取______时，方程组52x yax y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数．答案：6解答：()()5122x yax y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2），得：（a+1）x=7，解得：x=71a+，由于解为正整数，故（a+1）必为7的正约数，故a+1=1或7，解得a=0或6，由于a为正整数，故a=6，此时14 xy=⎧⎨=⎩．7、请回答下列问题：（1）当方程组2520x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a的值为______．（2）m为正整数，已知二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2=______．答案：（1）-3或1（2）4解答：（1）解方程得：10454xaya⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴a+4=1，2，5，10；a+4=1，5，∴a=-3或1．（2）解方程得：103153xmym⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴m+3=5，10；m+3=5，15．得m=2，m2=4．8、关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数，求非负整数a的值．答案：a=1．解答：解关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩①②，由①×3-②得：10y=15-5a，∴y =32a-， 把y =32a -代入到①得：x =2，∵x ，y 是正整数，且a 是非负整数， ∴只有a =1时，y =1符合题意． ∴a =1．9、当关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩的解为正整数时，求整数m 的值．答案：m =-5或-4或-3或-2或0或6．解答：由21230x my x y +=⎧⎨-=⎩解得：366126x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵解为正整数，∴ m ≥-5，又∵x 、y 均为正整数，36、12的公约数为：1、2、3、4、6、12， ∴m =-5或-4或-3或-2或0或6． 10、已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩，当方程组的解是正整数时，求整数m 的值，并求出方程的所有正整数解． 答案：m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩解答：2x +my =4①，x -2y =0②， ①-②*2得my +4y =4， ∴y =()44m +，x =()84m +∵x ，y 为正整数，m 为整数， 所以m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩11、若m 为正整数，且已知关于x 、y 的二元一次方程组220520mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解为一组整数，求m 2的值． 答案：25．解答：（m +5）x =20， ∵m 为正整数， ∴m +5＞5， ∴0＜x ＜4， ①x =1，m =15，y =52（舍）； ②x =2，m =5，y =5； ∴m =5，m 2=25． ③当x =3时，m =53，不为正整数，故舍去． 12、m 取什么整数值时，方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数？并求它的所有正整数解．答案：m =0或-2或-3；84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．解答：目测x 系数不含参数，故消掉x 瞬间得到： （m +4）y =4当m ≠-4时，即y =44m + 故m +4所有可能取值为1，2，4， ∴m =0或-2或-3 因为y =44m +，所以y =4或2或1 ∴x =8，y =4或x =4，y =2或x =2，y =1； ∴84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．二、二元一次方程组的无解问题关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种：①当12a a ≠12b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12c c 时，方程组有无数多解； ③当12a a =12b b ≠12cc 时，方程组无解． 即：①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解； ②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解； ③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．13、方程组423634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（ ）．A. 有唯一解B. 无解C. 有两解D. 有无数解答案：D解答：第一个方程两边同时乘以3得：6x +3y =4，与第二个方程相同，故方程组有无数解． 选D.14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）． A. 10x +2y =4 B. 4x -y =7C. 20x -4y =3D. 15x -3y =6答案：D解答：15x -3y =6化简得：5x -y =2，则15x -3y =6与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解． 选D. 15、若方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（ ）．A. m =6，n ≠10B. m ≠6，n ≠10C. m =6，n =10D. 无法确定答案：C解答：根据题意，消去x 得，（m -6）y =n -10，∴当m =6，n =10时，原方程组无数解． 16、若方程组()1332k x y k x y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 不存在这样的值答案：B 解答：11k -=33--=2k∴k =2．17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）．A. -6B. 6C. 9D. 30答案：A解答：∵3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩.无解∴2a =31-≠91∴a =-618、方程组373921x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______答案：方程组有无穷多解 解答：373921x y x y +=⎧⎨+=⎩∵13=39=721， ∴方程组有无穷多解. 19、若二元一次方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数组解，则m =______；n =______．答案：6；10 解答：2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩①②，②-①×2得：（m -6）y =n -10．故答案为6，10．20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩有无数组解，求a +k =______．答案：14解答：()()23211452ax y k x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩由（1）-3×（2）可得（2a -12）x =2k -16，故2a -12=0，2k -16=0可得a =6，k =8， 进而a +k =14．21、关于x 、y 的方程组4410841x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．答案：-2 解答：整理得441481x ky x y +=-⎧⎨-+=⎩，所以44-=48k =11-，∴k =-2．22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩．（1）无解． （2）唯一解． （3）有无数多解． 答案：（1）m =1，n ≠4． （2）m ≠1，n 取任意值． （3）m =1，n =4． 解答：（1）()214mx y n m x y -=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩①②由②-①，得：（m -1）x =n -4，当m -1=0，n -4≠0，即m =1，n ≠4时，无解． （2）当m -1≠0，即m ≠1，n 取任意值，有唯一解． （3）当m -1=0，n -4=0时，即m =1，n =4时，有无数多解．23、关于x ,y 的二元一次方程组8328ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？答案：当a =4，k =7时，有无数组解；当a ≠4时，方程组有唯一解．解答：当1a -=82-=38k k --时，方程组有无数组解， 解得a =4，k =7． 当1a -≠82-时，方程组有唯一解， 所以a ≠4时，方程组有唯一解．24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y ak x y -=⎧⎨+-=-⎩的解满足：（1）有唯一一组解． （2）无解． （3）有无数组解．答案：（1）k ≠-1，a 取任意值． （2）k =-1，a ≠-1． （3）k =-1，a =-1． 解答：（1）唯一解：42k k +≠12--，即k ≠-1，a 取任意值． （2）无解：42k k +=12--≠2a-，即k =-1，a ≠-1． （3）无数解：42k k +=12--=2a-，即k =-1，a =-1．25、已知关于x ，y 的方程组1ax y ax y -=⎧⎨-=⎩．（1）当a ≠1时，解这个方程组． （2）若a =1，方程组的解的情况怎样？ （3）若a =1，方程组2ax y ax y -=⎧⎨-=⎩的解的情况怎样？答案：（1）10x y =⎧⎨=⎩．（2）方程组有无数多个解． （3）原方程组无解．解答：（1）两式相减，整理得（a-1）x=a-1，∵a≠1，∴x=1，y=0．∴方程组的解为10 xy=⎧⎨=⎩．（2）当a=1时，方程（a-1）x=a-1的解是一切实数，方程组有无数多个解．（3）方程组整理得（a-1）x=a-2，当a=1时，0≠-1，∴原方程组无解．。
《一元一次不等式的整数解》专题训练及答案
《一元一次不等式的整数解》专题训练一．选择题（共10小题）1．关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 2．不等式2x﹣1≥3x﹣3的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．不等式+1＜的负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．使不等式4x+3＜x+6成立的最大整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．以上都不对5．下列说法中错误的是（）A．不等式x+1≤4的整数解有无数个B．不等式x+4＜5的解集是x＜1C．不等式x＜4的正整数解为有限个D．0是不等式3x＜﹣1的解6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．不等式＞﹣1的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．不等式3（x﹣2）＜7的正整数解有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．使不等式x﹣2≥﹣3与2x+3＜5同时成立的x的整数值是（）A．﹣2，﹣1，0 B．0，1 C．﹣1，0 D．不存在10．不等式4（x﹣2）＞2（3x+5）的非负整数解的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共10小题）11．如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是．12．不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为．13．不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是．14．不等式2x﹣7＜5﹣2x的非负整数解的个数为个．15．如果不等式2x﹣m≥0的负整数解是﹣1，﹣2，则m的取值范围是．16．不等式4﹣x＞1的正整数解为．17．已知满足不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6的最小整数解是方程：2x﹣ax=3的解，则a的值为．18．不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是．19．不等式3x﹣4＜x的正整数解是．20．不等式﹣4x≥﹣12的正整数解为．三．解答题（共10小题）21．已知不等式5﹣3x≤1的最小整数解是关于x的方程（a+9）x=4（x+1）的解，求a的值．22．解不等式＜1﹣，并求出它的非负整数解．23．x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？24．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．25．解不等式：，并写出它的所有正整数解．26．求不等式≥的正整数解．27．解不等式：1﹣≥，并写出它的所有正整数解．28．求不等式组的最小整数解．29．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解．30．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•兴化市校级一模）关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2【分析】解不等式可得x≥b，根据不等式的两个负整数解为﹣1、﹣2即可得b 的范围．【解答】解：解不等式x﹣b≥0得x≥b，∵不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，∴不等式的两个负整数解为﹣1、﹣2，∴﹣3＜b≤﹣2，故选：B．【点评】本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围．2．（2017春•南安市期中）不等式2x﹣1≥3x﹣3的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．【解答】解：移项，得：2x﹣3x≥﹣3+1，合并同类项，得：﹣x≥﹣2，则x≤2．则正整数解是：1，2．故选B．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．3．（2017春•蚌埠期中）不等式+1＜的负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母，得：x﹣9+2＜3x﹣2，移项、合并，得：﹣2x＜5，系数化为1，得：x＞﹣，∴不等式的负整数解为﹣2、﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．（2017春•诸城市校级月考）使不等式4x+3＜x+6成立的最大整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．以上都不对【分析】移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，总而得出答案．【解答】解：∵4x﹣x＜6﹣3，∴3x＜3，∴x＜1，则不等式的最大整数解为0，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（2017春•禹会区月考）下列说法中错误的是（）A．不等式x+1≤4的整数解有无数个B．不等式x+4＜5的解集是x＜1C．不等式x＜4的正整数解为有限个D．0是不等式3x＜﹣1的解【分析】根据不等式的基本性质分别判断可得．【解答】解：A、由x+1≤4得x≤3知不等式的整数解有无数个，故此选项正确；B、不等式x+4＜5的解集是x＜1，故此选项正确；C、不等式x＜4的正整数解有1、2、3，为有限个，故此选项正确；D、由3x＜﹣1可得x＞﹣知0不是该不等式的解，故此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查不等式的解集和整数解，掌握不等式的基本性质是解题的关键．6．（2016•怀化）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据解不等式得基本步骤依次去括号、移项、合并同类项求得不等式的解集，在解集内找到非负整数即可．【解答】解：去括号，得：3x﹣3≤5﹣x，移项、合并，得：4x≤8，系数化为1，得：x≤2，∴不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故选：C．【点评】本题主要考查解不等式得基本技能和不等式的整数解，求出不等式的解集是解题的关键．7．（2016•南充）不等式＞﹣1的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5，故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．8．（2016•临沭县二模）不等式3（x﹣2）＜7的正整数解有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【解答】解：不等式的解集是x＜，故不等式3（x﹣2）＜7的正整数解为1，2，3，4，共4个．故选C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．9．（2016•山西模拟）使不等式x﹣2≥﹣3与2x+3＜5同时成立的x的整数值是（）A．﹣2，﹣1，0 B．0，1 C．﹣1，0 D．不存在【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的公共部分，从而确定整数值．【解答】解：解不等式x﹣2≥﹣3得x≥﹣1，解2x+3＜5得x＜1．则公共部分是：﹣1≤x＜1．则整数值是﹣1，0．故选C．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．10．（2016秋•贵港期末）不等式4（x﹣2）＞2（3x+5）的非负整数解的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【解答】解：解不等式4（x﹣2）＞2（3x+5）的解集是x＜﹣9，因而不等式的非负整数解不存在．故选A．【点评】正确解出不等式的解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二．填空题（共10小题）11．（2017•仁寿县模拟）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m 的范围是9≤m＜12．【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可．【解答】解：解不等式3x﹣m≤0得到：x≤，∵正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得9≤m＜12．故答案为：9≤m＜12．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．12．（2017•南雄市校级模拟）不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为4．【分析】移项，合并同类项，系数化成1，即可求出不等式的解集，即可得出答案．【解答】解：∵2x＜4x﹣6，∴2x﹣4x＜﹣6，∴﹣2x＜﹣6，∴x＞3，∴不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式，关键是求出不等式的解集．13．（2017•新城区校级模拟）不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是5．【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解．【解答】解：﹣x+2＞0，移项，得：﹣x＞﹣2，系数化为1，得：x＜6，故不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是5．故答案为：5．【点评】本题考查解不等式的能力，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．（2017•呼和浩特模拟）不等式2x﹣7＜5﹣2x的非负整数解的个数为3个．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，从而得出答案．【解答】解：∵2x+2x＜5+7，∴4x＜12，∴x＜3，则不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案为：3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．15．（2017春•宝丰县期中）如果不等式2x﹣m≥0的负整数解是﹣1，﹣2，则m 的取值范围是﹣6＜m≤﹣4．【分析】首先解不等式，然后根据不等式有负整数解是﹣1，﹣2即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的范围．【解答】解：解不等式得：x≥，∵负整数解是﹣1，﹣2，∴﹣3＜≤﹣2．∴﹣6＜m≤﹣4．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确确定关于m的不等式是关键．16．（2016•中山市一模）不等式4﹣x＞1的正整数解为1，2．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【解答】解：不等式的解集是x＜3，故不等式4﹣x＞1的正整数解为1，2．故答案为1，2．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．17．（2016•乌审旗模拟）已知满足不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6的最小整数解是方程：2x﹣ax=3的解，则a的值为．【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．【解答】解：解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6，去括号，得：3x﹣6+5＜4x﹣4+6，移项，得3x﹣4x＜﹣4+6+6﹣5，合并同类项，得﹣x＜3，系数化成1得：x＞﹣3．则最小的整数解是﹣2．把x=﹣2代入2x﹣ax=3得：﹣4+2a=3，解得：a=．故答案是：．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．18．（2016•新县校级模拟）不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是6．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出所有正整数解即可．【解答】解：移项，得：5x﹣3x＜5+3，合并同类项，得：2x＜8，系数化为1，得：x＜4，∴不等式所有正整数解得和为：1+2+3=6，故答案为：6．【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．19．（2016•嵊州市一模）不等式3x﹣4＜x的正整数解是1．【分析】先求出不等式的解集，再找出答案即可．【解答】解：3x﹣4＜x，3x﹣x＜4，2x＜4，x＜2，所以不等式3x﹣4＜x的正整数解是1，故答案为：1．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．20．（2016春•德州期末）不等式﹣4x≥﹣12的正整数解为1，2，3．【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．【解答】解：不等式﹣4x≥﹣12的解集是x≤3，因而不等式﹣4x≥﹣12的正整数解为1，2，3．故答案为：1，2，3．【点评】正确解不等式，求出解集是解诀本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．三．解答题（共10小题）21．（2017春•崇仁县校级月考）已知不等式5﹣3x≤1的最小整数解是关于x的方程（a+9）x=4（x+1）的解，求a的值．【分析】解不等式求得不等式的解集，然后把最小的整数代入方程，解方程即可求得．【解答】解：解不等式5﹣3x≤1，得x≥，所以不等式的最小整数解是2．把x=2代入方程（a+9）x=4（x+1）得，（a+9）×2=4×（2+1），解得a=﹣3．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解方程，关键是根据题意求得x 的最小整数．22．（2017春•萧山区校级月考）解不等式＜1﹣，并求出它的非负整数解．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定解集中的非负整数解即可．【解答】解：去分母得：2x＜6﹣（x﹣3），去括号，得2x＜6﹣x+3，移项，得x+2x＜6+3，合并同类项，得3x＜9，系数化为1得：x＜3．所以，非负整数解：0，1，2．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．23．（2016•十堰）x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？【分析】根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确定两不等式解集的公共部分，即可得整数值．【解答】解：根据题意解不等式组，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤1，∴﹣＜x≤1，故满足条件的整数有﹣2、﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．24．（2016•门头沟区一模）解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．【分析】首先分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化成1即可求得x的范围，然后确定最小整数解即可．【解答】解：去分母，得3（x+1）≤4x﹣6，去括号，得3x+3≤4x﹣6，移项，得3x﹣4x≤﹣6﹣3，合并同类项，得﹣x≤﹣9，系数化为1得x≥9．，最小的整数解是9．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．25．（2016•顺义区一模）解不等式：，并写出它的所有正整数解．集，然后确定正整数解即可．【解答】解：去分母，得3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，去括号，得3x+9﹣4x+2＞6，移项，得3x﹣4x＞6﹣9﹣2，合并同类项，得﹣x＞﹣5，系数化成1得x＜5．则正整数解是1，2，3，4．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．26．（2016•雅安校级模拟）求不等式≥的正整数解．【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得不等式的解集，从而可以解答本题．【解答】解：≥去分母，得2﹣8x≥6﹣6x﹣9移项及合并同类项，得﹣2x≥﹣5系数化为1，得x≤2.5故不等式≥的正整数解是1，2．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法．27．（2016•南京联合体二模）解不等式：1﹣≥，并写出它的所有正整数解．集，然后确定正整数解即可．【解答】解：去分母，得：6﹣2（2x﹣1）≥3（1﹣x），去括号，得：6﹣4x+2≥3﹣3x，移项，合并同类项得：﹣x≥﹣5，系数化为1得：x≤5．它的所有正整数解1，2，3，4，5．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．28．（2016•江西模拟）求不等式组的最小整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，结合解集即可得最小整数解．【解答】解：解不等式x﹣1≥0，得：x≥1，解不等式1﹣x＞0，得：x＜2，∴不等式组的解集为：1≤x＜2，则该不等式组的最小整数解为x=1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．29．（2016•杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解．【分析】两方程相减，即可得出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案．【解答】解：由方程组的两个方程相减得：x﹣y=﹣0.5m﹣2∴﹣0.5m﹣2＞﹣3.5，∴m＜3，∴满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能得出关于m的不等式是解此题的关键．30．（2016春•兴化市校级期末）解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，将解集表示在数轴上后可知其负整数解．【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，合并同类项，得：﹣5x≤10，系数化为1，得：x≥﹣2，将不等式解集表示在数轴上如下：由数轴可知该不等式的负整数解为﹣2、﹣1．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．。
一元一次方程的解法
2013 2015 2015
解得：
x 1 1007
3.解方程：
x x x
x
2016
1 2 1 23
1 2 3 2016
解：由原方程整理得：x
(1
x 2)
பைடு நூலகம்
2
(1
x 3) 3
(1
x 2016) 2016
2016
2
2
2
2x 2x 2x
2x
2016
2 (1 2) 2 (1 3) 3
注： （1）去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘 （2）去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘 （3）移项的时候要变号’ （4）方程的解的形式要写成x在等号左边的形式
解一元一次方程的常用技巧 （1）小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性 质将分子分母同时扩大若干倍，使分子分母化为整数后再计算 （2）整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体 （3）裂项:若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后清项，把方程化为简 单形式后再求方程的解 （4）凑项
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1 2
1 3
1 3
1 4
1 2016
20117
2016
去括号： 整理得： 化简得：
x 1 1 1 1 1 1 1 2016
2234
2016 2017
x1 1 2016 2017
x=2017
2.解方程： x x x
一元一次方程的解的情况与整数解
一元一次方程的解的情况与整数解二、方法剖析与提炼例1．（2020娄底）已知关于x 的方程2x +a ﹣5=0的解是x =2，求a 的值．【解答】∵x =2是方程2x +a ﹣5=0的解2×2+a ﹣5=0∴a =1 【解析】（1）把方程的解x =2代入方程。
（2）解关于a 的方程2×2+a ﹣5=0得4+a ﹣5=0，解出a 的值.【解法】一元一次方程的解，解一元一次方程。
【解释】本题主要考查学生对方程的解的理解。
关于x 的方程2x +a ﹣5=0中未知数是x ，把a 看做待定的常数，根据一元一次方程的解的定义，把x =2代入方程后，求出关于a 的一元一次方程。
例2．解关于x 的方程（mx -n ）(m +n )=0【解答】（1）把方程化为最简形式：m ²x +mnx -mn -n ²=0整理，得m (m +n )x =n (m +n )（2）讨论：①当m +n 0，且m 0时，方程有唯一解 x =mn ； ②当m +n 0，且m =0时，方程无解；③当m +n 0时，方程有无数多个解。
【解析】（1）这个方程中未知数是x , 而m 、n 是可以取不同实数的常数。
因此需要讨论m 、n 不同值时方程解的情况。
（2）对含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围。
解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论。
用方程解的定义寻求关于a 的等式（3）对于不是最简形式的方程，通常情况下要先化为最简方程。
【解法】通过化简，转化为最简方程ax=b 的形式，然后分三种情况进行讨论。
【解释】对于含有字母系数的方程，学生一般不太理解，不是简单形式的方程，通常情况下要化简为最简方程，在解题过程中通过去括号，化繁为简转化为最简方程m (m +n )x =n (m +n )的形式时，有的学生往往会两边同除以m +n ，得到mx =n 的形式，这样就会漏掉m +n 0的情况。
一元一次方程的解法(去括号)
ax = -b x = -b / a
如何检查答案
为了检查方程的解是否正确，将求得解代入原方程，并验证等式是否成立。 整数解与最简分数解的区别： 整数解是指方程的解为整数，而最简分数解是指方程的解为最简分数。
如何变形方程
为了解决特定问题，我们可能需要变形方程来使其更适合求解或者更易于理解。 如何同时去掉分母： 为了同时去掉方程中的分母，可以将方程两边乘以分母的最小公倍数。 如何解决含有绝对值符号的方程： 当方程含有绝对值符号时，需要考虑绝对值的取正负两种情况，分别列出两个方程并求解。
如何根据题目判断方程的变形 方式
在变形方程时，需要根据题目的具体要求和条件来确定选择的变形方式。 常用的变形方式包括去括号、消项、合并同类项等。
如应用方程组解决实际问题
当问题涉及多个未知数和多个方程时，我们可以使用方程组的方法来求解问题。 应用实例1：两个人赛跑问题 应用实例2：两条船追及问题 应用实例3：游泳池注水和排水问题 应用实例4：订货和运输问题
数字的代数意义
在代数中，数字可以表示一元一次方程中的系数、常数项以及解的值。 在线求解方程工具的使用 为了方便求解一元一次方程，我们可以使用在线求解方程工具。
用图像解释一元一次方程的含义
通过图像可以更直观地理解一元一次方程的含义。图像表示了方程的解的几何意义。 如何应用一元一次方程求解实际问题： 通过将实际问题转化为一元一次方程，我们可以使用数学方法求解并得到问题的答案。
如何将题目转换成一元一次方程的形式
为了将题目转换成一元一次方程的形式，我们需要先理解问题中的关键信息，并确定未知数。 根据问题的描述和条件，我们可以将其转换成一个等式，然后进行求解。
一元一次方程的整数解问题(解析版)
一元一次方程的整数解问题专题练习一、选择题1、若关于x的方程|2|x-3|-1|=a有三个整数解，则a的值为（）．A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解答：|2|x-3|-1|=a，2|x-3|-1=±a，2|x-3|=±a+1，当a=0时，2|x-3|=1，x不为整数，当a=1时，2|x-3|=±1+1，可得①2|x-3|=2，x=4，2．②2|x-3|=0，x=3，此时有3个整数解，当a=2，3时，同a=0时，x不符合题意．2、若关于x的方程（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）．A. 5B. 3C. 6D. 2答案：C解答：（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）（k-2019）x=6-2019x-2019+2017（k-2019）x+2019x=4kx=4x=4k，∵方程的解是整数，∴4k为整数，∴k=1，-1，2，-2，4，-4．共有6个．选C.二、填空题3、若k为自然数，关于x的方程kx-4=x+3的解是整数，则k=______．答案：0，2，8解答：kx-4=x+3，kx-x=7，（k-1）x=7，x=71 k-，∵x是整数，k是自然数，∴k-1=±1，7，∴k=0，2，8．4、关于x的方程ax+4=4x+1的解为正整数，则整数a的值为______．答案：1或3解答：ax+4=4x+1（a-4）x=-3x=34 a--x=3 4a -∵方程的解为正整数∴4-a=1或4-a=3∴a=1或3．5、若方程9x-3=kx+14有正整数解，则k的整数值为______．答案：8或-8解答：解方程，得x=17 9k -∵方程得解为正整数，k为整数，∴9-k=1或17∴k=8或-8．6、k为整数，关于x的方程kx+5=3x的解为整数，k的值为______．答案：2，4，8，-2解答：由原方程得x=53k--，∵k、x为整数，∴k-3=±1，±5，∴k=2，4，8，-2．7、关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解为整数，则m的整数值为______．答案：0，2，-2，4解答：由题意得x =31m -，∵方程的解为正整数，且m 为整数， ∴m -1=±1或m -1=±3，∴ m 的值为0，2，-2，4．8、若关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数，则整数k 的值为______．答案：±8解答：由题意得x =179k-，∵方程的解为正整数，且k 为整数， ∴9-k =1或9-k =17，解得k =±8． 9、当x 满足______时，关于k 的方程k -2k x -=2-33k +的解是正数． 答案：x ＜2解答：解方程得，k =635x -， ∵解为正数， ∴635x -＞0， ∴x ＜2．10、回答下面问题（1）若关于x 的一元一次方程kx -6=0的解为整数，则整数k 的值为______．（2）若关于x 的一元一次方程（k -1）x -2k +1=0的解为正整数，则整数k 的值为______． 答案：（1）±1，±2，±3，±6（2）2或0解答：（1）解方程x =6k（k ≠0）， ∵一元一次方程的解为整数，∴整数k 的值为±1，±2，±3，±6．（2）解方程得：x =211k k --=()1211k k -+-=2+11k -， ∵关于x 的一元一次方程（k -1）x -2k +1=0的解为正整数，∴k -1≠0且k -1=±1，∴k =2或0．11、k 为整数，关于x 的方程kx +5=3x +2k 的解为整数，k 的值为______答案：2，4解答：由原方程得x=253kk--=2+13k-，∵k、x为整数，∴k-3=±1，∴k=2，4．12、若关于x的方程ax+3=4x+1的解为整数，则整数a的值为______．答案：2，3，5，6解答：ax+3=4x+1，（a-4）x=-2，x=24a -．∵方程的解是整数，∴4-a=±1，±2，∴a=3，5，2，6．13、在等式（a+1）x=2+3x中，若x是负整数，则整数a的取值是______．答案：0或1解答：∵（a+1）x=2+3x，∴（a+1）x-3x=2．∴（a-2）x=2．当a-2=0，即a=2时，0·x=2有0=2不成立，舍．当a-2≠0，即a≠2时，x=22 a-．∵x是负整数，∴a-2=-1或-2．∴a=1或0．14、已知关于x的方程3x=3kx-的解是正整数，且k为整数，则k的值=______．答案：-2或6解答：3x=3kx-，3（3-x）=kx，9-3x=kx，-3x-kx=-9，（-3-k）x=-9，x=93k---，x=93k +，∵方程的解为正整数，k为整数，∴3+k可取的值为1，3，9，∴k可取的值为-2，0，6，又∵x≠0且x≠3，∴3+k≠3，∴k≠0，∴k可取-2，6，∴k的值为-2或6．三、解答题15、已知关于x的方程3（x-1）=ax有整数解，求正整数a的值．答案：a=2或6或4．解答：原方程整理得3x-3=ax，3x-ax=3，（3-a）x=3，x=33a -，∵a为正整数，x为整数，则3-a=±1，±3，a=2或6或4．16、若关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解是正整数，求整数m的值．答案：m=2或4．解答：（m-1）x-3=0，将：x=31 m-，∵解是正整数，∴m-1=1或3，解得：m=2或4．故整数m的值为2或4．17、已知关于x的方程16ax+32=526x-的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．答案：a=4，方程的解为x=11．解答：16ax+32=526x-ax+9=5x-2 ax-5x=-2-9（a-5）x=-11x=115a -．∵方程的解是正整数，∴5-a=1或11，∴a=4或-6，∵a为正整数，∴a=4，∴方程的解为x=1154-=11．18、关于x的方程（m-2）x||=n-5=0是一元一次方程．（1）则m、n应满足的条件为：m______，n______．（2）若此方程的解为整数，求整数m的值．答案：（1）≠2；=1（2）7，-3，3，1解答：（1）≠2，=1（2）由（1）知：（m-2）x=5，∴x=52m-，若x为整数，则25252121 mmmm-=⎧⎪-=-⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得，7331mmmm=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩．19、已知a为正整数，关于x的方程52x-a=85x+142的解为整数，求a的最小值．答案：a的最小值为2．解答：方法一：x=1014209a+=7 915799 a a+⨯++=a+157+79a+，由于a为正整数，x为整数，故a的最小值为2．方法二：解方程52x-a=85x+142，解得x=1420109a+=()101429a+，即当142+a可以被9整除时满足题意，则a的最小值为2．20、已知关于x的方程14ax+52=734x-的解是正整数，求正整数a的值．答案：a=6．解答：去分母，得：ax+10=7x-3，移项、合并同类项，得：（a-7）x=-13，系数化成1得：x=-137a-，∵x是正整数，∴a-7=-1或-13，∴a=6或-6，又∵a是正整数，∴a=6．21、设m为整数，且关于x的一元一次方程（m-5）x-3=0．（1）当m=2时，求方程的解．（2）若该方程有整数解，求m的值．答案：（1）x =-1．（2）m =6，8，4，2．解答：（1）当m =2时，方程即为-3x -3=0，解得x =-1，∴原方程的解为x =-1．（2）∵方程有整数解，∴m ≠5，∴x =35m -， 由题知m -5为3的因数，∴m -5=1，3，-1，-3，∴m =6，8，4，2．22、已知x =2m 是方程54x -x +m -7=27836x x m --+-的解． （1）求m 的值．（2）关于y 的方程ay -m =y -4有正整数解，请求出所有符合题意的整数a 的值．（3）若ab =10m ，求代数式1a a ++1b b +的值． 答案：（1）m =10．（2）a =2，3，4，7．（3）1．解答：（1）将x =2m 代入54x -x +m -7=27836x x m --+-， 则104m -2m +m -7=47836m m -+-， 52m -m -7=47836m m -+-， 同乘6，15m -6m -42=2（4m -7）-（m +8），9m -42=8m -14-m -8，9m -7m =42-22，2m =20，m =10．（2）m =10代入ay -m =y -4得：ay -10=y -4，（a -1）y =6，y =61a -，∵y 有正整数解，∴a -1=1，2，3，6，∴a =2，3，4，7．（3）ab =1代入1a a ++1b b +=a a ab ++1b b +， =()1a a b ++1b b +， =11b b ++， =1．。
一元一次方程 的解法(提高)__一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解．b x a=不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：ax b c +=(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原0c <0c =0ax b +=0c >方程可化为：或.ax b c +=ax b c +=-2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0bx a=时，方程无解．【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．（2014秋•新洲区期末）关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B ．【解析】解：由2x ﹣4=3m 得：x=；由x+2=m 得：x=m ﹣2由题意知=m ﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x ＝2+5，合并得10x ＝7．，系数化为1得．710x =【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x -7x ＝5-2， 合并得-4x ＝3，系数化为1得．34x =-类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：．112[(1)](1)223x x x --=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：．11122[]22233x x x -+=- 再去中括号得：．1112224433x x x -+=-移项，合并得：．5111212x -=- 系数化为1，得：．115x =解法2：两边均乘以2，去中括号得：．14(1)(1)23x x x --=- 去小括号，并移项合并得：，解得：．51166x -=-115x =解法3：原方程可化为： ．112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号，得．1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=- 移项、合并，得．51(1)122x --=- 解得．115x =【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x -1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x -1)后，把(x -1)视为一个整体运算．3．解方程：．1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号．111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭去中括号．11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭去大括号．11111016842x ----= 移项、合并同类项，得，系数化为1，得x ＝30．115168x =解法2：(层层去分母)移项，得．111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭两边都乘2，得．1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项，得．111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 两边都乘2，得．1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项，得，两边都乘2，得．111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=移项，得，系数化为1，得x ＝30．1152x =【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程．111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案】解：方程两边同乘2，得．1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项、合并同类项，得．111162345x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦两边同乘以3，得．1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭移项、合并同类项，得．111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭两边同乘以4，得．1105x -=移项，得，系数化为1，得x ＝5．115x =类型三、解含分母的一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】4．解方程：．4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x----=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解法1：将分母化为整数得：．40155081210521x x x----=约分，得：8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-解法2：方程两边同乘以1，去分母得： 8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．举一反三：【变式】解方程．0.40.90.30.210.50.3y y++-=【答案】解：原方程可化为．4932153y y++-= 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y )＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15．移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得．32y =类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x |-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值．【答案与解析】解：原方程可化为： ．223x =当x ≥0时，得，解得：，223x =13x = 当x ＜0时，得，解得：，223x -=13x =-所以原方程的解是x ＝或x ＝．1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分ax b c +=ax b +类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A.B. 2C.D.3【答案】B解：∵|x ﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣），解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程： x 1mx nx -=【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当，即时，方程有唯一解为：；0m n -≠m n ≠1x m n=-当，即时，方程无解．0m n -=m n =【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零ax b =x a 进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，64x k =-4k -4k -6∴为：5，6，7，10k 答：自然数k 的值为：5，6，7，10.。
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
一元一次方程的解法(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 一元一次方程的解法（六大类型）【题型1 解一元一次方程】【题型2 一元一次方程的整数解问题】【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【题型4 错解一元一次方程的问题】【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【题型1 解一元一次方程】1．解方程1﹣2（2x﹣1）＝x，以下去括号正确的是（）A．1﹣4x﹣2＝x B．1﹣4x+1＝x C．1﹣4x+2＝x D．1﹣4x+2＝﹣x 2．若与互为相反数，则a的值为（）A．﹣6B．2C．6D．123．解方程3﹣4（x﹣2）＝1，去括号正确的是（）A．3﹣4x+2＝1B．3﹣4x﹣2＝1C．3﹣4x﹣8＝1D．3﹣4x+8＝1 4．解方程：（1）3x+7＝22﹣2x；（2）．5．解方程：＝1﹣．6．解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．7．解方程：（1）；（2）．8．解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．9．解方程：﹣＝﹣1．10．（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．11．（2022秋•零陵区期末）解方程：（1）2（x﹣1）＝3x﹣3；（2）．【题型2 一元一次方程的整数解问题】12．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是．13．（2022秋•通川区校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】14．（2023春•新乡期末）若和3﹣2x互为相反数，则x的值为（）A．﹣3B．3C．1D．﹣1 15．（2022秋•柳州期末）已知代数式5a+1与a﹣3的值相等，那么a＝．16．（2023春•通许县期末）设M＝2x﹣2，N＝2x+3，若2M﹣N＝1，则x的值是．【题型4 错解一元一次方程的问题】17．王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2 18．小明在解方程3a﹣2x＝11（x是未知数）时，误将﹣2x看成了+2x，得到的解为x＝﹣2，请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（）A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣3D．x＝119．某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2，则a的值为（）A．3B．C．2D．1 20．（2022秋•莱州市期末）某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8 21．（2022春•唐河县月考）某同学解方程4x﹣3＝□x+1时，把“□”处的系数看错了，解得x＝4，他把“□”处的系数看成了（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4 22．（2022秋•咸丰县期末）海旭同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把“（）”看成了（）23．某同学在解方程5x﹣1＝■x+3时，把■处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把■看成了（）A．3B．﹣3C．﹣8D．824．小明同学在解方程：5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝1，则该同学把m看成了（）A．7B．﹣7C．1D．﹣1【题型5 一元一次方程的解与参数无关】25．（2021春•伊春期末）若代数式（a、b 为常数）的值与字母x、y的取值无关，则方程3ax+b＝0的解为．26．（1）先化简，后求值3（3a2﹣b）﹣2（5a2﹣3b），其中a＝﹣3，b＝﹣1．（2）解方程：．（3）已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a b的值．27．定义：若A﹣B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A﹣B＝2，则称A与B是关于2的关联数；（1）若3与a是关于2的关联数，则a＝．（2）若2x﹣1与3x﹣5是关于2的关联数，求x的值．（3）若M与N是关于m的关联数，M＝3mn+n+3，N的值与m无关，求N 的值．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】28．定义a*b＝ab+a+b，若5*x＝35，则x的值是（）29．定义：“*”运算为“a*b＝ab+2a”，若（3*x）+（x*3）＝22，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2 30．（2022秋•东明县校级期末）规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 31．（2022秋•滕州市校级期末）对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x ﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．132．新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m 的值为．33．对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为．34．对于数a，b定义这样一种运算：a*b＝2b﹣a，例如1*3＝2×3﹣1，若3*（x+1）＝1，则x的值为．35．用符号※定义一种新运算a※b＝ab+2（a+b），若﹣3※x＝2022，则x的值为．36．（2022秋•泗水县期末）对于有理数a，b，定义运算“★”；a★b＝2ab﹣b，例如：2★1＝2×2×1﹣1＝3，所以，若（x+2）★3＝27，则x＝．37．（2022秋•松原期末）已知a，b为有理数，定义一种运算：a*b＝2a﹣3b，若（5x﹣3）*（﹣3x）＝29，则x值为．38．（2023春•巴州区期中）定义一种新运算“※”：a※b＝ab﹣a+b．例如3※1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）※2＝（2a）×2﹣2a+2＝2a+2．（1）计算：5※（﹣1）的值为；（2）已知（2m）※3＝2※m，求m的值．。
人教版七年级上数学：3.3 解一元一次方程(二) ——去括号与去分母
锦囊妙计
航行或飞行问题的解题方法 (1)抓住水流速度(风速)、静水航行速度(无 风飞行速度)、顺水 航行速度(顺风飞行速度)、 逆水航行速度(逆风飞行速度)的关系, 确 定船航 行速度(飞机飞行速度), 即： 顺水(顺风)速度=静水(无风)速度+水流速 度(风速)； 逆水(逆风)速度=静水(无风)速度-水流速 度(风速). (2)结合题意, 灵活应用路程、时间、速度 之间的关系, 建立方 程求解.
求a的值, 并正确地求 出方程的解.
分析 根据“由此求得的解为x=4”, 可知x=4 是方程2(2x-1)+1=5(x+a)的 解.
解 因为去分母时, 左边的1没有乘10, 所以小明去分母后的方程是2(2x-1)+1= 5(x+a). 把x=4代入, 可求得a=1. 所以原方程为 去分母, 得2(2x-1)+10=5(x-1). 去括号, 得4x-2+10=5x-5. 移项、合并同类项, 得-x=-13. 系数化为1, 得x=13.
例题2 解方程：
解 去分母, 得2(x-2)-(2x-3)=6+3(x-1). 去括号, 得2x-4-2x+3=6+3x-3. 移项, 得2x-3x-2x=6+4-3-3. 合并同类项, 得-3x=4. 系数化为1, 得x=
锦囊妙计
去分母解一元一次方程的方法 (1)在方程的两边都乘各分母的最小公倍数, 不要漏乘不 含分母的项； (2)若分子是多项式, 去分母后要把分子用括 号括起来.
锦囊妙计
行程问题中常用的相等关系 (1)相遇问题： 甲的行程+乙的行程=A, B两地间的路程.
(2)追及问题： 同地不同时出发, 前者行程=追及者的行 程； 同时不同地出发, 前者行程+初始相距的路 程=追及者的行程.
解一元一次方程之去分母-化小数系数为整数系数
确保分母不为0否则会导致无意义的情况。
需要注意符号问题尤其是负数的平方根要谨慎处理。
不要忽略方程两边的常数项否则会导致解的不准确。
在化小数系数为整数系数时要特别注意数值的变化避免出现计算错误。
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汇报人：
去分母在解方程中的作用是关键的能够使方程的解更加清晰明了。
化小数系数为整数系数的必要性
方便计算：将小数系数化为整数系数可以简化计算过程减少误差。
统一标准：将小数系数化为整数系数可以统一数学表达式的标准形式方便后续的数学处理和计算。
避免精度问题：在数学计算中小数系数的精度可能会影响计算结果。将小数系数化为整数系数可以避免这种精度问题。
示例：如方程 3x/4 + 2 = 5x/6最小公倍数为12两边乘以12得9x + 24 = 10x进一步求解得到x=24
消除分母得到整式方程
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将方程两边同时乘以最小公倍数
将方程两边的分母统一为最小公倍数
消去分母后整理得到整式方程
解整式方程得到原方程的解
03
化小数系数为整数系数
应用广泛：在许多数学问题中需要将小数系数化为整数系数才能得到正确的解。例如在解一元一次方程时常常需要将小数系数化为整数系数来找到方程的解。
02
去分母的方法
找出最小公倍数
定义：最小公倍数是两个或多个整数公有的倍数中最小的那一个。
单击此处添加项标题
作用：在解一元一次方程时通过找出最小公倍数可以将方程中的分母消除简化方程。
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举例：解方程 0.5(x - 1) + 0.2(x + 3) = x通过去分母化简系数为整数系数得到方程 5x - 5 + 2x + 6 = 10x进一步解得 x = 1。
二元一次方程的整数解
二元一次方程的整数解二、方法剖析与提炼例1.求方程1115=+y x 的整数解.【解答】（1）原方程变形y y x 251--=① （2）设k k y (51=-是整数），则k y 51-=②. 把②代入①得211)51(2-=--=k k k x .∴原方程所有的整数解是是整数）k ky k x (51211⎩⎨⎧-=-= 【解析】(1)若方程c by ax =+有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）.k 叫做参变数.（2）一般情况下，先找到一个未知数用k 表示，然后根据两个未知数的关系，另一个未知数也用k 表示，最后用参数k 表示方程的所有整数解.【解法】将x 和y 都转化为用参数k 的代数式来表示。
【解释】从整除的角度将方程经过变形，得到用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
由于x 和y 的值都是整数，所以将整除后剩余的部分通过第三个量k （为整数）来表示，将x 和y 都化为用含k 的代数式来表示，从而确保了x 和y 都是整数。
例2.求方程5x +6y =100的正整数解．【解答】（1）原方程变形得52056100y y y x --=-=，① 设)(5为整数k k y =，则k y 5=，②把②代入①得k x 620-=。
（2）因为方程10065=+y x 有正整数解，所以⎩⎨⎧>>00y x 即⎩⎨⎧>>-050620k k 得6200<<k ，k 的整数解是1,2,3. （3）方程10065=+y x 的正整解是⎩⎨⎧==514y x ，⎩⎨⎧==108y x ，⎩⎨⎧==152y x 。
【解析】（1）首先求出方程的通解，y x ,都用参数k 表示⎩⎨⎧=-=k y k x 5620。
（2）根据题意，y x ,是正整数，所以应该满足0,0>>y x ，然后求出k 的范围及k 的取值.（3）用k 的不同取值代入y x ,，求出方程的解.【解法】将x 和y 都转化为用参数k 表示的代数式，然后讨论出k 的取值范围，根据k 的不同取值求出方程的解。
一元一次方程的整数解问题(学生版)
一元一次方程的整数解问题专题练习一、选择题1、若关于x 的方程|2|x -3|-1|=a 有三个整数解，则a 的值为（ ）．A. 0B. 1C. 2D. 32、若关于x 的方程（k -2019）x -2017=6-2019（x +1）的解是整数，则整数k 的取值个数是（ ）．A. 5B. 3C. 6D. 2二、填空题3、若k 为自然数，关于x 的方程kx -4=x +3的解是整数，则k =______．4、关于x 的方程ax +4=4x +1的解为正整数，则整数a 的值为______．5、若方程9x -3=kx +14有正整数解，则k 的整数值为______．6、k 为整数，关于x 的方程kx +5=3x 的解为整数，k 的值为______．7、关于x 的一元一次方程（m -1）x -3=0的解为整数，则m 的整数值为______．8、若关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数，则整数k 的值为______．9、当x 满足______时，关于k 的方程k -2k x -=2-33k +的解是正数． 10、回答下面问题（1）若关于x 的一元一次方程kx -6=0的解为整数，则整数k 的值为______．（2）若关于x 的一元一次方程（k -1）x -2k +1=0的解为正整数，则整数k 的值为______．11、k 为整数，关于x 的方程kx +5=3x +2k 的解为整数，k 的值为______12、若关于x 的方程ax +3=4x +1的解为整数，则整数a 的值为______．13、在等式（a +1）x =2+3x 中，若x 是负整数，则整数a 的取值是______．14、已知关于x 的方程3x =3k x-的解是正整数，且k 为整数，则k 的值=______． 三、解答题15、已知关于x 的方程3（x -1）=ax 有整数解，求正整数a 的值．16、若关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解是正整数，求整数m的值．17、已知关于x的方程16ax+32=526x的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．18、关于x的方程（m-2）x||=n-5=0是一元一次方程．（1）则m、n应满足的条件为：m______，n______．（2）若此方程的解为整数，求整数m的值．19、已知a为正整数，关于x的方程52x-a=85x+142的解为整数，求a的最小值．20、已知关于x 的方程14ax +52=734x -的解是正整数，求正整数a 的值．21、设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m -5）x -3=0．（1）当m =2时，求方程的解．（2）若该方程有整数解，求m 的值．22、已知x =2m 是方程54x -x +m -7=27836x x m --+-的解． （1）求m 的值．（2）关于y 的方程ay -m =y -4有正整数解，请求出所有符合题意的整数a 的值．（3）若ab =10m ，求代数式1a a ++1b b +的值．。
几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。
(完整版)解一元一次方程的九种技巧
解一元一次方程的九种技巧初一同学在刚刚学习解一元一次方程时，为牢固掌握其解法,按照课本上所总结的五个步骤来做是完全必要的．而在较熟练后就要根据方程的特点灵活安排求解步骤．现以义务制初中《代数》第一册（上)的部分题目为例介绍解一元一次方程的一些技巧，供同学们参考．1．巧用乘法例1 方程0.25x=4。
5．分析 0.25·4=1,故两边同乘以4要比两边同除以0.25简便得多．解两边同乘以4，得x=18．2．巧用对消法分析不要急于去分母,注意到632155x x---=，两边消去这一项可避免去分母运算。
3．巧用观察法例3解方程分析原方程可化为1233234y y y+++++=,不难发现,当1y=时，左边=右边。
又原方程是一元一次方程,只能有一解，故原方程的解是y=1．解(略）4．巧用分数加减法法则∴ z=-1．5．逆用分数加减法法则解 原方程化为∴ x=0．6．逆用乘法分配律例6 解方程278(x —3)＋463（6—2x)—888（7x-21)=0．分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x —3而逆用分配律可巧解本题．解 原方程可化为278(x —3)—463·2(x —3)—888·7(x —3）=0，即 （x —3)(278-463·2—888·7）=0,∴ x-3=0，于是x=3．7．巧用去括号法则去括号一般是从内到外,但有时反其道而行之即由外到内却能巧辟捷径．分析 注意到23132-⋅=，则先去中括号可简化解题过程。
8．巧用分数基本性质例8 解方程分析 直接去分母较繁，观察发现本题有如下特点：①两个常数项移项后合并得整数;②0.0220.02x -的分子、分母约去因数2后，两边的分母相同， 解 原方程可化为460.0110.010.01x x --=-。
去分母，得460.010.01x x -=--。
例9 解方程分析 根据分数基本性质，本题可将化分母为整数和去分母同时完成．解 由分数基本性质，得即 8x-3—25x ＋4=12-10x ，思考 例8可以这样解吗？请不妨试一试．9．巧用整体思想整体思想就是指从全局着眼,注重问题的整体结构的特殊性，把某些表面看来毫不相关而实质紧密相联的数或式看成一个整体来解决问题的一种思想方法．例10 解方程3｛2x —1-［3(2x-1)+3]｝=5(第244页第1③题)解 把2x —1看作一个整体，去大、中括号，得 3（2x-1）-9(2x —1）-9=5，整体合并，得-6（2x-1）=14,即64x -=，故23x =-.。
二元一次方程求正整数解的方法
二元一次方程求正整数解的方法嘿，咱今儿就来唠唠二元一次方程求正整数解这事儿哈！你说这二元一次方程，就好像是个调皮的小精灵，有时候藏得挺深，让咱得费点心思去找它的正整数解呢！咱先得明白啥是二元一次方程呀，不就是有两个未知数，而且这未知数的最高次数是一嘛。
那怎么求正整数解呢？咱就拿个具体例子来说吧，比如 3x + 2y = 11。
咱可以先从一个未知数下手呀，就好比先抓住一只小蚂蚱。
比如说，咱让 x 从 1 开始试起。
当 x = 1 时，那 3×1 + 2y = 11，算一下，2y = 8，y = 4，嘿，这就是一组正整数解嘛！那咱接着试 x = 2 呢，一算，y 就不是正整数啦。
再试试 x = 3，哎呀，又找到一组解啦！你想想看，这是不是就像在一个大宝藏里找宝贝呀，得一个一个地方去翻找。
有时候一下子就找到了，有时候得费点功夫呢。
还有个办法呢，就是把方程变个形。
就像给它变个魔术一样。
比如刚才那个例子，变成 y = (11 - 3x) / 2。
然后咱就根据这个式子来找合适的 x 值，让算出的 y 也是正整数呀。
这就好像是走迷宫，咱得找到那条正确的路才能走出去。
找二元一次方程的正整数解不也是这样嘛，得找到那个最合适的搭配。
有时候啊，找着找着还挺有意思的呢。
就好像在玩一个解谜游戏，你得开动脑筋，想各种办法去找到答案。
咱再举个例子哈，2x + 5y = 20。
你就按照咱刚才说的方法去试试，是不是能找到正整数解呀。
总之呢，求二元一次方程的正整数解，就得有耐心，有方法。
不能瞎碰运气，得动脑子去分析。
这就好比做饭，得掌握好火候，调料放得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
咱求正整数解也是一样，方法对了，就能顺利找到啦！你说是不是这个理儿呀？咱可别嫌麻烦，多试试，多想想，总能找到那些藏起来的正整数解的！加油吧！。
解一元一次方程之去分母-化小数系数为整数系数
• 最终解得
$x = frac{3}{8}$
Part
05
注意事项与常见错误
去分母的注意事项
确定公分母
在去除分母之前，首先要确定所有项 的最小公倍数作为公分母，确保每一 项都能整除。
扩大倍数
简化过程
在去除分母后，要对方程进行简化， 合并同类项，使方程更易于求解。
将每一项都乘以公分母，从而将分数方程转 化为整式方程。注意在扩大倍数时要确保每 一项都乘以相同的数，以保持方程的平衡。
将方程两边同时乘以该整数，从而消去小数系数。
最小公倍数法
找出方程中所有小数系数的分母，并求出它们的最小公倍数 。
将方程两边同时乘以该最小公倍数，从而将小数系数化为整 数系数。
分数的基本性质法
利用分数的基本性质，即分数的 分子和分母同时乘以或除以同一 个不为零的数，分数的值不变。
将方程中的小数系数写成分数的 形式，并找到分子和分母的最大
单一去分母的示例
• 分析
方程中有分母，需要先去除分母。 找到分母4和3的LCM，即12，然后
将方程两边都乘以12。
• 解法
$12 times frac{3x+2}{4} - 12 times frac{2x-1}{3} = 12 times 2$
• 化简得
$9x + 6 - 8x + 4 = 24$
忽略简化过程
在去除分母或化小数系数为整数系数后，学生可能会忽略简化方程的步骤。纠正方法是强调简化方程的 重要性，并指导学生如何合并同类项和进行其他必要的简化操作。
Part
06
总结与拓展
去分母和化小数系数为整数系数的意义
简化计算过程
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题
一元一次方程指的是形如ax+b=c的方程，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
当a、b、c都是整数时，称之为一元一次方程整数解问题。
这个问题的解法通常是通过移项把x的系数移到一边，把常数移到另一边，从而解出x的值。
需要注意的是，解出来的x可能是一个分数，但是若我们只考虑整数解，那么需要特别关注x是否为整数。
常常出现这样的问题：给定一个一元一次方程，要求求出它的所有整数解。
如果方程的系数和常数很小，可以通过手算或者列举的方式解决。
但是当系数和常数较大时，就需要用到更高效的算法，比如通过质因数分解来求解。
一元一次方程整数解问题在数学中有广泛的应用，比如在代数、几何等领域都有涉及。
同时，它也是计算机算法设计中的一个重要问题，因为在实际应用中，需要通过计算机程序来解决这类问题。
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（9）二元一次方程的整数解
【知识精读】
1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，
若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解
显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2、 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=
5111y -=y y
y y 2515101--=-- (1) , 设k k y
(5
1=-是整数），则y=1－5k (2) ,
把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2 ∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k
y k x 512
11（k 是整数）
方法二：公式法：
设ax+by=c 有整数解⎩
⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk
x x 00（x 0,y 0可用观察法）
3、 求二元一次方程的正整数解：
i. 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii.
用观察法直接写出。
【分类解析】
例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解：x=
5
3235310155918y
y y y y -+
+=-++=+
设
k y
=-5
3（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨
⎧-=-=k
y k
x 5399 （k 为整数）
又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨
⎧-==2
y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2 求方程5x+6y=100的正整数解 解：x=5
2056100y
y y --=-(1)， 设
k y
=5
(k 为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20－6k ，
∵⎩
⎨⎧>>00y x 解不等式组⎩⎨⎧>>-050620k k 得0＜k<620
,k 的整数解是1，2，3，
∴正整数解是⎩⎨
⎧==514y x ⎩⎨⎧==108y x ⎩⎨
⎧==15
2y x 例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本
解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38 （x,y 都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴⎩⎨
⎧==7
1
y x 是一个整数解
∴通解是⎩
⎨
⎧-=+=k y k
x 3751（k 为整数）
解不等式组⎩⎨
⎧>->+0
37051k k 得解集是37
51<<-k ∴整数k=0，1，2
把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解⎩⎨
⎧==71
y x ⎩⎨
⎧==46y x ⎩⎨⎧==1
11
y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
【实战模拟】，
1、求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2,、求方程的正整数解：①5x+7y=87；②5x+3y=110
3、一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛
坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材
4、兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5、下列方程中没有整数解的是哪几个答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
①4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同
学得48分，他最多得几分
7、用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
参考答案
1. 公式法①由特解⎩⎨
⎧==0
4
y x 得通解⎩⎨⎧-=+=k y k x 074（k 为整数）
②由特解⎩
⎨⎧==25
y x 得通解⎩⎨⎧-=-=k y k x 52115（为k 整数）
整除法①∵x=
3101y -=31y
-－3y,……∴通解是⎩⎨⎧-=-=k
y k x 31310（k 为整数） ②通解是⎩
⎨⎧-=-=k y k x 1151
3（k 为整数）
2. ①⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==11669112y x y x y x ②⎩⎨
⎧-=+=k
y k x 50322 －0322
＜＜k …… 3. 有6种截法⎩⎨⎧345乙＝甲＝⎩⎨⎧2810乙＝甲＝⎩⎨⎧2215乙＝甲＝⎩⎨⎧1620乙＝甲＝⎩
⎨
⎧1025乙＝甲＝⎩⎨⎧519乙＝甲＝
4. 16，13
5. A ，D.
6. 12
7.（略）。