相似三角形与圆综合题

相似三角形与圆综合

第一部分：例题分析

例1、已知:如图,ＢC为半圆O的直径，AD⊥BＣ，垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点E,交半圆O于点F,弦AC与BF交于点H，且AＥ＝ＢE. 求证:(1)错误!=错误!；（2）AＨ·ＢC=2AB·BE.

例2、如图，PA为圆的切线，A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AC于点E，求证：(1)AD=AE;（2）AB·ＡＥ=AC·ＤB．

例3、AB是⊙O的直径,点C在⊙Ｏ上，∠BAＣ=６0°,P是OB上一点,过P作ＡB的垂线与AＣ的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OＣ交ＰQ于点D．

（1)求证:△CDQ是等腰三角形； (2）如果△CDＱ≌△COB，求BP∶ＰＯ的值．

例4、△ＡBC内接于圆O,∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线ＢE于Ｆ，连结BD，ＣＤ. 求证：(１)BＤ平分∠ＣBＥ;(2)AB·BF=AF·DＣ.

例3、⊙Ｏ内两弦AＢ,CD的延长线相交于圆外一点Ｅ，由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ，作切线FＧ,G为切点，求证：EF＝ＦG．

第二部分:当堂练习

１．如图，AB 是⊙O 直径，E Ｄ⊥A Ｂ于D ，交⊙Ｏ于G ,EA 交⊙O 于C ,CB 交E Ｄ于Ｆ，求证:DG 2=DE •ＤＦ

2．如图，弦EF ⊥直径M Ｎ于Ｈ,弦M Ｃ延长线交EF 的反向延长线于A ，求证:ＭA •MC =MB •M Ｄ

D

C

B

A

O

M

N E

H

3．如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦,点D 为劣弧A Ｃ上一点,弦ＥD 分别交⊙O 于点E ，交A Ｂ于点H ,交AC 于点F ,过点C 的切线交ＥＤ的延长线于点Ｐ． (1)若ＰC ＝ＰF ，求证:AB ⊥ED ；

(２)点D 在劣弧ＡC 的什么位置时，才能使AD 2=D Ｅ·DF ,为什么？

４．如图(1)，ＡＤ是△ＡBC 的高,A Ｅ是△ＡBC 的外接圆直径,则有结论:AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明.如果把图(1）中的∠A ＢC 变为钝角,其它条件不变，如图（２),则上述结论是否仍然成立?

5．如图,A Ｄ是△ABC 的角平分线，延长A Ｄ交△ABC 的外接圆O 于点Ｅ,过点C 、D 、E 三点的⊙Ｏ1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ．

(1)求证：△AEF ∽△FE Ｄ； （2）若AD =8，DE =4,求E Ｆ的长． 6．如图，ＰＣ与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠BA Ｐ．

(1)求证:ＰＡ是⊙O 的切线. (2)△AB Ｐ和△C ＡＰ相似吗？为什么? (3)若P Ｂ:ＢC =２:3，且ＰC =20,求P A 的长．

D

C

B

A

O

E

７.已知:如图, AD 是⊙O 的弦,O Ｂ⊥ＡＤ于点Ｅ，交⊙Ｏ于点Ｃ,ＯE ＝1,ＢＥ=８,ＡE :AB ＝1:3. (1)求证：AB 是⊙Ｏ的切线；

（2)点F 是ＡCD 上的一点，当∠ＡOF =２∠B 时，求ＡF 的长.

A

C

P

E

D H F

O

8．如图，⊿ＡＢC 内接于⊙O ，且ＢC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于Ｄ,F 是弧BC 中点，且AF 交ＢC 于E ，AB =6，AC ＝８，求ＣＤ，DE ,及EF 的长．

9. 已知：如图，在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =

，以AC 为直径的

O 交AB

于点D ,点E 是BC 的中点,连结O Ｄ，O Ｂ、DE 交于点F .

(1）求证:DE 是O 的切线； (2）求ＥＦ:FD 的值．

A

B

D E F

O

10．如图,A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ,过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点

E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点

F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P .

(１）求证:BF EF =； (2)求证:PA 是O 的切线；

(3)若FG BF =，且

O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度.

第三部分 课后作业

１.已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米.⊙Ｏ与⊙O '相交于点D 、Ｅ.若两圆的公共弦D Ｅ的长是6厘米（圆心Ｏ、O '在公共弦ＤE 的两侧)，则两圆的圆心距O O '的长为( ) (A ）2厘米 （B)1０厘米 (Ｃ）2厘米或10厘米 (D ）4厘米

2．如图,两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线O Ａ、OB ，A 、B 是切点，则∠ＡOB 等于 ( ） (A)

30 （B ）

45 （C ） 60 (Ｄ）

90

O

D G

C

A

E

F

B

3．如图，在△AB Ｃ中,∠ＢA Ｃ= 90，AB =ＡC =2，以A Ｂ为直径的圆交BC 于Ｄ,则图中阴影部分的面积为 （ ） （A ）1 （B)2 (C)1+

4π （Ｄ）2-4

π

4．已知圆的内接正六边形的周长为１８,那么圆的面积为 （ ) （A ）18π (B)9π （C ）６π (D ）3π

5、如图△ＡBC 是等边三角形,被一平行于B Ｃ的矩形所截 AB 被截成三等分则图中阴影部分的面积是△AＢC 的

面积的 ( )

６．已知,如图，以△AB Ｃ的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、ＢＣ于点D 、E ，弦FG ∥A Ｂ,S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4,DE =5c

ｍ,F Ｇ=8cm ，求梯形ＡFGB 的面积.

7．如图,在两个半圆中,大圆的弦M Ｎ与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ,M Ｎ＝ａ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

８．如图,在Rt ABC △中,斜边1230BC C =∠=，°,D 为BC 的中点,ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点，过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点．

(１)求证:AE DE ⊥; （2）计算:AC AF ·的值.

9．如图,在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=,ＡB =AD ,∠ＢA Ｄ的平分线交BC 于E ,连接DE . (１）说明点D 在△ABE 的外接圆上;

(2）若∠A ＥＤ=∠CED ,试判断直线ＣＤ与△ＡBE 外接圆的位置关系，并说明理由．

10、 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出

A

B C

D

E

R

P

H Q

A

E F

O

D

B