二阶常系数线性微分方程.ppt
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二阶常系数线性微分方程的解法.ppt
设 y2 / y1 u( x) , 即 y2 u( x)e1x ,
代入方程(2),并约去 e1x ,得
u (21 a)u (12 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
故有 12 a1 b 0 , 21 a 0 ,
u 0 , 取特解 u x , 即得 y2 x e1x ,
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
1
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
9
例3
求微分
方
程
d2 dt
s
2
2
ds dt
而 ex 0 ,于是有
2 a b 0 (3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
二阶常系数线性微分方程
表9.2
f(x)的类型 f(x)=exPm(x) 为常数. f(x)=ex(Acosωx +Bsinωx) ,ω,A,B为常数. 取试解函数条件 试解函数y*的形式 y*=exQm(x) 不是特征根 是单特征根 是重特征根 iω ±iω不是特征 根 ±iω是特征根 y*=xexQm(x) y*=x2exQm(x)
注
y*=ex(Acosωx+Bsin ωx) y*=xex(Acosωx+Bsi nωx) Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am为已 知m次多项式 Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm为待 定m次多项式
例9.14 求方程 y'' 7y' +10y =12的通解. 解 例9.11已求出对应齐次方程的通解为 yc=C1e2x+C2e5x 下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应 于表9.2中=0(不是特征根),Pm(x)=12(零次多 项式).故设特解为y*=A,A为待定常数.将y*=A 代 入 所 给 方 程 的 A=6/5. 因 此 , 所 求 特 解 为 y*=6/5.于是,所给方程的通解为 y=yc+y*=C1e2x+C2e5x+6/5 其中C1,C2为任意常数.
其中C1,C2为任意常数.
2x
二,二阶常系数非齐次线性方程的通解 根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的 通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次 方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上 面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下 的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特 解.
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
y y3 C1 y3 y2 C2 y3 y1
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
§4.4.2二阶常系数线性微分方程_东南大学高等数学解析
a ib 是特征方程的单根 ②
。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2 x 3 的特解。
解： f (x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f (x) Pm (x)e ax 型（m 1, a 0 ） ，
特征方程为r 2 5r 6 0 ， r1 2 ，r2 3 ，
④
a 不是方程①的特征根时， （1）当 aa 2 ba c 0 ，即
∵ p m ( x ) 是一个m 次多项式，要使方程④的两端恒等，
m 次多项式 Q m (x) ， 则 Q( x ) 必定是另一个
∴设 Qm (x) A x m A1x m1 A m1x A m 。
ax 故方程 ay by cy e [Pm (x)cosbx Pn (x)sin bx]
具有如下形式的特解：
y
k (aib) x k (aib) x y1 y2 x QLe x QLe .
y x QLe
k ax
k
(aib) x
x QLe
]
Pm Pn (aib) x Pm Pn (aib) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f ( x ) P ( x )e
(aib) x
P ( x )e
(aib) x
,
Pm Pn Pm Pn Pm Pn Pm Pn i ， P(x) i， 其中 P( x ) 2 2i 2 2 2 2i 2 2 m, n} 。 是互成共轭的 L 次 多项式,而 L max{
并用同样的方法来确定Q m ( x ) 中的系数A i (i 0, 1, , m) 。
二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
Q( x) 6Ax 2B 代入（*）式
6Ax 2B 5x A 5 , B 0
6
y 5 x3e3x 6
非齐通解为
y
(c1
c2 x
5 6
x3
)e3 x
6
二、f ( x) Pm ( x)ex cosx型
f ( x) Pm ( x)ex sinx型及其组合型
f ( x) Pm ( x)ex cosx f ( x) Pm ( x)ex sinx
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2 ( x)均是m次实系数多项式 7
解 相应齐方程 y y 0
特征方程 r 2 1 0 r1,2 j
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
k
0, 1,
j不是特征方程的根 j是特征方程的单根
由分解定理
Re y xkex[Q1( x)cosx Q2( x)sinx] Im y xkex[Q1( x)sinx Q2( x)cosx]
大学课件高等数学二阶常系数非齐次线性微分方程
(2) 求非齐次方程的特解 x 设 y x 1A e ( 1 是单根 ) A 2 即 y 2 xe x 解得
x
1 特征根 r1 1
所以原方程通解为 y C1e C 2e
2x
2 xe
x
(3) 求原方程的特解 (求函数y的解析表达式)
2 由 y x x 1, 得 y 2 x 1, 且 y ( 0 ) 1,
设y xAe
3 x
将 y , y , y 代入方程,得
A 1 4 ,
y
1 4
xe
3 x
2x
1
C1 e C 2 e
x
2x
2x x( x 1)e
1
2
10
2002年考研数学二, 3分 设 y y ( x ) 是二阶常系数微分方程 py qy e 3 x 满足初始条件 y (0) y (0) 0 y 的特解, 则当 x 0时 , 函数 (A) 不存在. (B) 等于1.
ln( 1 x )
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y( x )
的极限
(D) 等于3.
0 0
(C) 等于2.
2
0 0
解 lim
ln( 1 x )
2
x 0
y( x )
2x lim lim x 0 y( x ) x 0 y ( x ) 2 2 lim x 0 y ( x )
y py qy 0
难点 如何求非齐次方程特解？ 方法 待定系数法.
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy Pm ( x )e
二阶常系数线性微分方程
E-mail: xuxin@
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
第五节 二阶常系数线性微分方程
( B ) C 1 y1 C 2 y 2 ( C 1 C 2 ) y 3 ;
(C ) C1 y1 C 2 y 2 ( 1 C1 C 2 ) y 3 ;
(89 考研 )
例3.已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三
x 2x y x , y e , y e , 求此方程满足初始条件 个解 1 2 3
第五节 二阶常系数线性 微分方程
二阶线性微分方程解的结构 常系数齐次线性微分方程的解 常系数非齐次线性微分方程的解
一、二阶线性微分方程解的结构 1、二阶线性微分方程
特点：关于未知函数及其各阶导数都是一次的. 1． n 阶线性微分方程的一般形式：
y
( n)
p1 ( x ) y
( n 1 )
y Y
y*
非齐次方程特解
对应齐次方程通解
关键: 求特解y*.
求特解的方法 — 待定系数法： 1. 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式；
2. 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
1、
f ( x ) e λ x Pm ( x ) 型
其中 为实数 ,
Pm ( x ) 为已知 m 次多项式 .
有特征重根：r1 r2 1 ,
t s ( C C t ) e 因此原方程的通解为 1 2
利用初始条件得
C1 4,
C2 2
于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
解： 特征方程为 r 2r 5 0 ,
2
2 4 20 1 2i , r1， 2 2 故所求通解为 y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
(C ) C1 y1 C 2 y 2 ( 1 C1 C 2 ) y 3 ;
(89 考研 )
例3.已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三
x 2x y x , y e , y e , 求此方程满足初始条件 个解 1 2 3
第五节 二阶常系数线性 微分方程
二阶线性微分方程解的结构 常系数齐次线性微分方程的解 常系数非齐次线性微分方程的解
一、二阶线性微分方程解的结构 1、二阶线性微分方程
特点：关于未知函数及其各阶导数都是一次的. 1． n 阶线性微分方程的一般形式：
y
( n)
p1 ( x ) y
( n 1 )
y Y
y*
非齐次方程特解
对应齐次方程通解
关键: 求特解y*.
求特解的方法 — 待定系数法： 1. 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式；
2. 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
1、
f ( x ) e λ x Pm ( x ) 型
其中 为实数 ,
Pm ( x ) 为已知 m 次多项式 .
有特征重根：r1 r2 1 ,
t s ( C C t ) e 因此原方程的通解为 1 2
利用初始条件得
C1 4,
C2 2
于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
解： 特征方程为 r 2r 5 0 ,
2
2 4 20 1 2i , r1， 2 2 故所求通解为 y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
二阶常系数线性微分方程
3. f ( x) A1 cos x A2 sin x
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
(
x
),
y x2Qm ( x)ex .
综上讨论
0 不是根
设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
y
2
A
p
q
e x
A xex
2 p
,
A x2ex 2
不 是 特 征 方 程 的 根 是特征方程的单根 , 是 特 征 方 程 的 重 根
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例3 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
k
0 1
j不是根 j是单根,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例4 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
作辅助方程 y y 4e jx , j 是单根, 故 y* Axe jx ,
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y* ,
其中 是常数，Pm ( x)是x的m次多项式.
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
二阶常系数线性微分方程
目录 上一页 下一页 退 出
例5
的一个特解.（补充题）
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
目录 上一页 下一页 退 出
2. 指数函数的情形 f x Aex
这时二阶常系数线性非齐次方程为 y p y qy A eαx ，
目录 上一页 下一页 退 出
例 1 验证 y1 ex , y2 2ex 是方程 y y 0
的解，但 y C1y1 C2y2 不是方程的通解. 证 将 y1 ex , y2 2ex 代入，易知其均为方程的解，
从而 y C1y1 C2y2 也是方程的解.
又C1 y1 C2 y2 C1ex 2C2ex (C1 2C2 )ex Cex (C C1 2C2 )
第六章
第五节 二阶线性微分方程
(Higher linear differential equation)
一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 三、非齐次线性方程与
其对应齐次方程解的关系 四、小结与思考练习
目录 上一页 下一页 退 出
定义1 形如 y" P x y ' Q x y f x
其中α，A 为常数．
推测 y p y qy A eαx 的特解具有形式 y Bx keαx ，
其中 B 为待定常数．k 的取值由α是否为特征方程的根
的情况而定，具体方法如下：
(1) 当α不是特征方程的根时，取 k 0 ． (2) 当α是特征方程的单根时，取 k 1 ． (3) 当α是特征方程的重根时，取 k 2 .
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例5
的一个特解.（补充题）
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
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2. 指数函数的情形 f x Aex
这时二阶常系数线性非齐次方程为 y p y qy A eαx ，
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例 1 验证 y1 ex , y2 2ex 是方程 y y 0
的解，但 y C1y1 C2y2 不是方程的通解. 证 将 y1 ex , y2 2ex 代入，易知其均为方程的解，
从而 y C1y1 C2y2 也是方程的解.
又C1 y1 C2 y2 C1ex 2C2ex (C1 2C2 )ex Cex (C C1 2C2 )
第六章
第五节 二阶线性微分方程
(Higher linear differential equation)
一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 三、非齐次线性方程与
其对应齐次方程解的关系 四、小结与思考练习
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定义1 形如 y" P x y ' Q x y f x
其中α，A 为常数．
推测 y p y qy A eαx 的特解具有形式 y Bx keαx ，
其中 B 为待定常数．k 的取值由α是否为特征方程的根
的情况而定，具体方法如下：
(1) 当α不是特征方程的根时，取 k 0 ． (2) 当α是特征方程的单根时，取 k 1 ． (3) 当α是特征方程的重根时，取 k 2 .
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《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
第三节
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
8.5二阶常系数线性微分方程
= er1x (2r1 + p) + xer1x (r12 + pr1 + q) = 0 , 即 xe r1x 是方程的解; xer1x = x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er1x
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1=r2 有一对共轭复根: r1, 2=α±iβ 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x y = C1er1x + C2 xer1x y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
− p±
p 2 − 4q , 2
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x
简要证明: 这是因为 函数 e r1x 和 er2 x 都是方程的解; er1x = e(r1 −r2 ) x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er2 x
y = e− x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
由初始条件 y ( 0 ) = 1 , 得C1 = 1
y ′ = (e − x cos 2 x )′ + C 2 (e − x sin 2 x )′
= − e − x (cos 2 x + 2 sin 2 x ) + C 2 e − x ( − sin 2 x + 2 cos 2 x )
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
二阶常系数线性微分方程
可设 Q( x) = x2Qm ( x), y = x2Qm ( x)ex .
综上讨论 设 y = xkexQm ( x) ,
0 不是根 k = 1 是单根,
2 是重根
例5 求方程 y − 3 y + 2 y = xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 − 3r + 2 = 0,
特征根 r1 = 1，r2 = 2，
故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x .
例3 求方程 y + 2 y + 5 y = 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 ,
解得 r1，2 = −1 2i ,
故所求通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
例 4 求微分方程 y − 2y −8y = 0 的通解
m = maxl, n，
特别地
0 k = 1
i不是根 i是单根.
当f ( x) = Aex cosx或Bex sin x时
设y = xkex[D1 cosx + D2 sinx]
例7 求方程 y + y − 2 y = −2sin x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y = C1e x + C2e−2x ,
2) 有两个相等的实根( = 0)
特征根为
p r1 = r2 = − 2 ,
一特解为 y1 = e r1x ,
设另一特解为 y2 = u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u + (2r1 + p)u + (r12 + pr1 + q)u = 0,
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2.有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
考察 y2 xer1x ,验证
1.是否为根？ 2.线性无关？
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例2 求微分方程 y 2 y y 0
满足条件 y 4, y 2 的特解。
x0
x0
x0 (C2 C1 2 C2 2
y (4 2x)ex
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y1 e( i ) x ,
y2 e( i ) x ,
欧拉公式 ei cos i sin
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
一、二阶线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
注意: y C1 y1 C2 y2不一定是通解
例2 求微分方程 y 2 y y 0
满足条件 y 4, y 2 的特解。
x0
x0
解：特征方程为 r 2 2r 1 0
特征根
r1,2 1
特解为 y1 e x , y1 xe x
通解为 y (C1 C2 x)e x
y x0 C1 4
y x0
(C2 C1 C2 x)e x
1.求下列微分方程的通解
y 3 y , y 1, y 2
x0
x0
y 4 y 0
2.思考：为什么 y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的通解可以表示成 y y y 其中 y 是 y P( x) y Q( x) y 0 (1) 的通解
y 是(2)的通解
复习： 几种特殊类型的高阶方程 一、 y(n) f ( x) 型的微分方程
那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
通解.
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y1*
与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
x0
x0
y 4 y 0
y ( x 1)4 2
y C1 C2e4x
§10.5 二阶常系数线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) 二阶线性微分方程
当 f ( x) 0时， y P( x) y Q( x) y f ( x) 二阶线性非齐次微分方程
当 f ( x) 0时， y P( x) y Q( x) y 0 二阶线性齐次微分方程
f ( x) 不是常函数 0
y py qy f ( x)
三、 y f ( y, y) 型的微分方程 二阶,缺 x y p( y), y dp dp dy p dp dx dy dx dy
p dp f ( y, p) dy
y p ( y,C1),
dy dx
( y,C1)
(
dy y,C1 )
x
C2
1.求下列微分方程的通解
y 3 y , y 1, y 2
定义：设 y1 , y2 , , yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得
当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
称线性无关
特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)
的通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,
连续积分 n 次
y(n1) f ( x)dx C1
y(n2) f ( x)dx C1 dx C2 L L
二、 y f ( x, y) 型的微分方程 二阶,缺 y
y f ( x, y)
设 y P(x)
y P, P f ( x, P) 求解
dy dx
P
( x,C1)
积分
y ( x,C1)dx C2
Ex.1 求下列微分方程的通解:
1、4 d 2 x 20 dx 25x 0
dt 2
dt
5t
x (C1 C2t )e 2
2、 y 6 y 13 y 0 y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x) p,q 为常数特征ຫໍສະໝຸດ 程特征根r1,2 p
p2 4q , 2
1.有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
r2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
所以通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
例1 求微分方程 y 2 y 3y 0 的通解
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
解的叠加原理
二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
(
y1
y2
)
ex sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
例3 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i , 故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).