高考数学二项式定理专题复习专题训练)(最新整理)

二项式定理
1.二项式定理：.)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n
n n n ∈++⋅⋅⋅++=+---2.二项式定理的说明：
（1）的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从逐项减到()n a b +n 0）、b 的升次幂（数从逐项减到）排列的，其顺序不能更改，且各项0n 关于a 、b 的指数之和等于。

所以与的二项展开式是不同n ()n a b +()n b a +的。

（3）二项式项数共有项，是关于与的齐次多项式。

(1)n +a b （4）二项式系数：展开式中各项的系数为，.1-r n C 1,...,3,2,1+=n r （5）二项式通项：展开式中的第项记作，
r r T ，共有项。

）（1,...,3,2,11
11+==--+-n r b a C T r r n r n r (1)n +（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是
012,,,,,,.
r n
n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是与的系数（包括二项式系数）。

a b 如：的n
n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---第2项的二次项系数为，而第2项的系数为.
1n C 1
n C -（7）常见二项式：
令；1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n
n n n n n n
n n ∈++⋅⋅⋅++=+--令.1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n
n n ∈-+⋅⋅⋅++-=-3.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：
即.
k n n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110（2）二项式系数和：令，则二项式系数的和为：
1a b ==，变形有：.n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-12321-=+⋅⋅⋅+++n n
n n n n C C C C （3）；15
314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n n
n n n C C C C C C （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知，则
n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2
++++=+奇数项的系数和：=_______________________________；n a a a a 2420...+++偶
数
项
的
系
数
和
：
1
2531...-+++n a a a a =_______________________________；
（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数是偶数时，则中间项为
n 第项的二项式系数取得最大值；如果二项式的指数是奇数时，）（12+n 2n
n C n 则中间项有两项，分别为第项和第项，对应的二项式系数，
21+n 23
+n 1
2n n C -同时取得最大值。

1
2n n
C
+，，.
2
2
21
2n n n n
n b a C T =12
12
1-22
1n n n n
n b
a
C T ++=12
1-2122
3++=n n n n
n b
a C T （6）系数的最大、最小项的求法：求展开式中最大、最小项，()n a bx +一般采用待定系数
法。

设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应
121,,,n A A A +⋅⋅⋅1r +有：
且；如果设第项系数最小，应有，r r A A ≥+121++≥r r A A 1r +211+++≤≤r r r r A A A A 且从而解出的范围。

r 4.怎么求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数，其中,,,N r q p ∈且n r q p =++？
解：把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r
n
C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含
r q p c b a 的项为：
r
q p q r n r n c b a C C -，其系数为r
r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=
!
!!!)!(!)!()!(!!.
5.近似计算的处理方法：
当的绝对值很小（趋近于0）且不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，a n 因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略n n n n n n n n a C a C a C a C ++⋅⋅⋅++--113322不计。

类似地，有na a n -≈-1)1(.但使用这两个公式时应注意的条件，以a 及对计算精确度的要求。

若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：
2
2
)1(1)1(x n n nx x n -+
+≈+.二项式定理常考题型
题型一：二项式定理的逆用题型二：求二项展开式的特定项（1）求单个二项式指定幂的系数
（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（3）利用通项公式求常数项（4）求有理项（5）求中间项
题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项（1）一般的系数最大或最小问题（2）特殊的系数最大或最小问题（3）系数绝对值最大的项（4）二项式系数最大的项题型四：赋值法求值题型五：整除性
题型六：证明不等式
题型七：利用二项式定理求近似值
例1.已知C ＋2C ＋22C ＋…＋2n C ＝729，则C ＋C ＋C 的值等于0
n 1n 2n n 1n 3n 5n _________
例2.二项式（x +32）n （n ∈N *）展开式中只有一项的系数为有理数，3则n 可能取值为（ ）A.6?????? B.7?????? C.8?????? D.9
例3.若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系791
(2)2
n x +数最大的项。

例4.已知等式x 4=（x +1）4+b 1（x +1）3+b 2（x +1）2+b 3
（x +1）+b 4，则b 1，b 2，b 3，b 4的值分别为______________
例5.若n 是正整数，则除以9的余数是
122117777---⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n n n n n n n C C C ________
例6.证明：（1） ()N n n n n ∈≥>,322（2）当且>1，求证：N n ∈n 3
11(2<+<n n
例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）A.115000亿元
B.120000亿元
C.127000亿元
D.135000
亿元变式训练：
1.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的
1n x
p 和为，若
s
，则等于______________
272p s +=n 2.在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2007的展开式中，x 3的系数等于_____________
3.把1+(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则等于______________2
31
2lim 2n +-+∞
→n n a 4.（2016浦东新区一模）二项式的展开式前三项系数成等差
n x
x )21(+数列，则n =_____
5.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________
6.
若n
⎛
⎝ 5.在n
的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 (
1x ＋51x
3)
024，则中间项系数是______
7.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________
8.n
展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________
(x ＋2x
2)
9.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展
0>a 26(1)(1)x ax ++开式中项的系2x 数为___________
10.(2011上海十三校二模)在二项式(＋)n
的展开式中，各项系数之和
x 3x 为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________
11.
（2015闸北区二模）若二项式n
x ⎛
⎝
展开式中只有第四项的系数
最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________12.（2010辽宁）261(1)()x x x x
++-的展开式中的常数项为_________13.（2000北京）求103)1
(x x -的展开式中有理项共有________项。

14.（2015全国）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为__________ 15.（2x -1）（x +y ）5的展开式中，x 3y 3的系数为_______________16.(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为（ ）A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D.a ＝1，b ＝2，n ＝5
17.已知，
则
的值是__________
18.多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为_________
19.若多项式，则1010221010)1(...)1()1()2(+++++++=+x a x a x a a x 820...a a a +++的值为（ ）A.509
B.510
C.511
D.1022
20.设，10
992210101022101020)1()1()21(x x b x b x b b x a x a x a a x x ++⋅⋅⋅++++
+⋅⋅⋅+++=++则________
=9a 21.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：（1）a 1＋a 2＋…＋a 7；（2）a 1＋a 3＋a 5＋a 7；（3）a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
（4）|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
21._____________=++++⋅⋅⋅+++=0
101
102
103
107
108
109
101098732C C C C C C C S 22.(2012湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝_______
23.数除以88的余数是_________
10
101031032102110909090901C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-24.求的近似值（精确到小数后第三位）。

6998.2。