人教新课标版数学高二人教A版选修2-2 2.3 数学归纳法 导学案

2.3数学归纳法 导学案
【学习目标】
知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；
过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；
情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品
质与数学理性精神。

【重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。

【难点】 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【学习过程】
知识链接：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。

它包括完全归纳法和不完全归纳法 探究一、创设问题情境，启动学生思维（A 级）
问题1：已知数列{}n a 的通项公式为22)55(+-=n n a n
（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
问题2：已知数列{}n a 的通项公式为n
n
n a a a a +==+1,111
（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
通过对上述两个情况的探究可以发现什么问题
探究二、搜索生活实例，激发学习兴趣（B 级）
问题：在“多米诺骨牌”游戏中,能使骨牌全部倒下的条件是什么?
条件②的作用是什么：
类比“多米诺骨牌”的原理来验证问题2中对于通项公式n
a n 1
=的猜想。

（学生探讨后展示）
数学归纳法的概念（展示）
探究三、巩固认知结构，充实认知过程（C 级） 例1.用数学归纳法证明6
)
12)(1(3212
2
2
2
++=++++n n n n
小结：通过该例题你认为用数学归纳法应注意哪些事项? （先由学生完成，老师再加以补充强调）
练习：用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=2
n
例2：已知数列
,)
1(1,,431,321,211+⨯⨯⨯n n 设S n 为数列前n 项和， 计算S 1, S 2 ,S 3 ,S 4,根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

（由一个学生展示，另外的学生总结规律）
【当堂检测】
1. 用数学归纳法证明：<-++++1
21
31211n )1(>n n ，
在验证2=n 成立时，左式是( ) (A)1 (B)211+
(C)31211++ (D)41
31211+++ 2.设n
n n n f 21
2111)(+
++++= ，那么)()1(k f k f -+等于 A
121+k B 221+k C 221121+++k k D 2
21121+-+k k 3．试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确，若不正确，请改正。

0121*222...221()n n n N -++++=-∈
证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=1
211-=，左边=右边，等式成立。

（2）假设当n k =时，等式成立，即0121
222...221k k -++++=-
那么当1n k =+时， 1
1
2
1
12222 (2)
22112
k n n
k +--+++++==--
这表明，当1n k =+时，等式也成立。

根据（1）和（2）可以断定，等式对任何正整数n 都成立。

【归纳小结】
1、数学归纳法适用范围：
2、用数学归纳法证明命题的步骤：
3、注意事项
【能力提升】
1、用数学归纳法证明)1(1112
1
2
≠--=++++++x x
x x x x n n 成立时，在验证n=1的过程中，
左边的式子是 2、用数学归纳法证明不等式)1(1
2131211><-++++
n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ） A 1 B k 2 C 12-k D 12+k
3、用数学归纳法证明：n n n
n
)1()12()1(531-=--++-+-
【学后反思】
数学归纳法导学案答案
探究一：问题1（1）1,1,1,1,14321=====n a a a a a 猜想
（2）不正确，255=a 问题2（1）n
a a a a a n 1,41,31,21,14321====
=猜想 （2）不一定
探究二：问题：全部倒下的条件是：1、第一块骨牌倒下 2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下
条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K+1块也倒下
证明：（1）当n=1时，11=a ∴猜想成立
（2）假设当n=k 时猜想成立，即 ，则当
n=k+1时
∴n=k+1时猜想也成立。

由（1）（2）知，对任意的正整数n ，猜想都成立。

数学归纳法的概念：一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：
k a k 1
=
1
111k
1k 1
1
+=
+
=+=+k a a a k k k
先证明当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或n0=2) 时命题成立，然后假设当n =k (k ∈N , k ≥n 0)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 数学归纳法的两个步骤：
(Ⅰ)（归纳奠基）证明当n ＝n 0 (如n 0 ＝1或2等)时，结论正确；
(Ⅱ)（归纳递推）假设n ＝k (k ∈N *且k ≥n 0)时结论正确，并应用此假设证明n ＝k ＋1时结论也正确．
探究三：例1：（1）当n=1时，左边=112=，右边=1，等式成立。

（2）假设当n=k 时等式成立,即 则当n=k+1时
即当n=k+1等式也成立
由(1)和(2),可知等式对任何 *
N n ∈都成立. 注意事项：（1）两步一结论
（2）第二步必须使用上归纳假设
（3）完成（1）（2）步的证明后，要对命题成立进行总结 练习：证明（1）当n =1时，左边=1，右边=1，等式成立 （2）假设当n=k 时，等式成立，即 则当n=k+1时，
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1）和（2），可知等式对任何正整数n 都成立．
6
)
12)(1(3212222++=
+•••+++k k k k =
+++•••+++22222)1()321(k k 6
)12)(1(++=k k k 2
)1(++k 6
)1(6)12)(1(2++++=
k k k k 6
)672)(1(2
+++=
k k k 6
)
32)(2)(1(+++=k k k 6]
1)1(2][1)1)[(1(+++++=
k k k 2135(21).
k k +++
+-=2
2
2
135(21)[2(1)1][(2(1)1]21(1)k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+
例2：1
,54,43,32,214321+=
====
n n
s s s s s n 猜想 证明：（1）当n=1时，左边=21，右边=2
1
111=+，猜想成立。

（2）假设当n=k 时，猜想成立，即1
+=k k
s k ，则当n=k+1时，
1
)1(1
21)2)(1()1()2)(1(1)2()
2)(1(1
1)2)(1(12
1+++=
++=+++=++++=
+++
+=+++=+k k k k k k k k k k k k k k k k k s s k k
即当n=k+1时，猜想也成立．
由（1）和（2），可知猜想对任何正整数n 都成立． 当堂检测：CD
3、没用上假设。

改正：122122)2222(11
2
1
-=+-=++++++-k k k k k
能力提升：2
1x x ++，B
3、（1）当n=1时，左边=1-，右边=11)1(1
-=-，等式成立。

（2）假设当n=k 时，等式成立，即k k k
k
)1()12()1(531-=--++-+-
则当n=k+1时，
)
1()
1()12()
1()12()1()1()12()1()]12()1(531[1
1
11+-=++--=+-+-=+-+--++-+-++++k k k k k k k k k k k k k
∴则当n=k+1时，等式成立。

由（1）和（2）可知，对任何正整数n 等式都成立。