阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》ppt要点
数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》
数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》模仿只会仿制他所见到的事物，而想象则能创造他所没有见过的事物。
——阿波罗尼奥斯佩尔加古城遗址古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～190年），生于小亚细亚西北部的佩尔加（Perga，今属土耳其安纳托利亚）。
他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，也到过以弗所（Ephesus），嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。
在当时及后世，他都以“大几何学家”和天文学家闻名。
阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学，撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的：先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理十分严格。
尽管在他之前已有人研究圆锥曲线，但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作，另有非常独到的创见，而且写得巧妙、灵活。
《圆锥曲线》前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。
卷1 论述圆锥曲线的定义和性质阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人。
如上图，给定一个圆直径BC，以及该圆所在平面外的一个点A。
过A点且沿圆周移动的一根直线便生成一对锥面。
直径BC圆叫该圆锥的底。
圆锥的轴（未画出）若垂直于底，这就是正圆锥（直角圆锥），否则就是斜圆锥（锐角圆锥和钝角圆锥）。
设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE，该直线和底圆直径BC相互垂直。
于是，三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形，也因此被称作为“圆锥轴三角形”。
该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P，P`。
PP`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径；Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦，且和直线DE平行。
因此，连线QQ`和连线PP`虽然相交于V 点，但是未必和连线PP`垂直。
阿波罗尼随即证明了QQ`被PP`所平分，从而VQ=1/2QQ`。
圆锥曲线论
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通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。 椭圆的通径： 双曲线的通径： 抛物线的通径：2p
中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程： 1、联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次 方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求 出该弦的方程。 2、点差法（代点相减法） 设出弦的两端点坐标(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得 [ ( x ₁ + x ₂ ) ( x ₁ - x ₂ ) ] / a ²+ [ ( y ₁ + y ₂ ) ( y ₁ - y ₂ ) / b ²] = 0 由斜率为(y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）
极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中l表示半径，e表示离心率； 2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex(PF1>PF2)； |PF2|=a-ex(PF2<PF1)。 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex； P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex； P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey； P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。 抛物线
圆锥曲线PPT课件
4
双曲线的定义
平面内到两定点 F1 F2的距离之差的 绝对值为常数（小 于F1 F2的距离）
2020年10月2日
Y
F1
0
p F2 X
5
对于第三种情形平面与圆锥的截线由两支曲线 构成，交线上任意一点到平面内两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于常数．
一般的：
平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线
两个定点F1，F2叫做双曲线的叫焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距
2020年10月2日
6
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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2020年10月2日
1
椭圆图图象 双曲线的图象 抛物线的图象
和定义
和定义
和定义
课堂练习
2020年10月2日
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2020年10月2日
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椭圆的定义
平(大于F1 F2距离）的点的轨 迹叫椭圆，两个定
点叫椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做
椭圆的焦距 2020年10月2日
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线圆锥曲线，自古以来就一直是数学界的重要领域之一。
它所包含的椭圆形、双曲线和抛物线，既具有独特的数学性质，也广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。
虽然这些曲线的概念在数学上已有数百年的历史，但它们的应用范围仍在不断扩大，并被用于解决很多现实中的问题。
在众多圆锥曲线的研究者中，有一个人的名字不可忽视，他就是古希腊数学家阿波罗尼奥斯。
阿波罗尼奥斯活跃于公元1世纪，是古希腊数学的杰出代表。
他出生在柏拉图的故乡雅典，曾留学于亚历山大港，在那里学习了古代数学家欧多克索斯的学说，并慕名求教于亚历山大港的天文学家帕菲鲁斯。
他的学问颇丰，不但擅长纯数学，还对物理学、几何学、天文学等方面有不少研究。
不过，他最著名的成就是他对圆锥曲线的研究。
圆锥曲线的研究，是阿波罗尼奥斯一生的工作。
他在这方面的创新之处在于，他以圆锥形状来定义这些曲线，同时还建议使用切割法来研究它们。
具体来说，他设想利用一个圆锥体和一个平面相交，将圆锥体分为两部分，一部分为三角锥，另一部分为四边形锥。
当平面倾斜于圆锥体时，所得的曲线便是圆锥曲线，具体类型取决于平面与圆锥体的交角。
通过这种方法，阿波罗尼奥斯成功地分析了椭圆形、双曲线和抛物线，在不同的交角条件下，他得出了这些曲线的数学性质。
例如，他证明了椭圆形是一个闭合曲线，双曲线则是开放曲线，无法闭合。
他还发现双曲线的两支是互相关联的，抛物线则给出了一些现实世界中的模型，例如炮弹的弹道。
阿波罗尼奥斯在圆锥曲线的研究中，还发挥了很大的几何直觉。
他用圆锥体的三角形侧边来构建椭圆曲线和双曲线的属性。
他还提供了一个关于圆锥体的体积操作的综合性命题，由此解决了圆锥曲线中许多问题。
在阿波罗尼奥斯的创新性工作推动下，圆锥曲线的研究迅速发展。
圆锥曲线不仅是一种有趣的几何形态，更是许多学问领域的重要工具。
例如，在建筑学中，拱形的设计可以用双曲线的数学原理来构建；在船舶设计中，用双曲线构建的船体可以大大减小船体拖曳力，提高航行效率。
圆锥曲线课件
圆锥曲线的分类和特点
椭圆是所有与两个焦点距离之和为常数的点的集合，拥有一对对称轴和两个 焦点。
抛物线是所有与一个焦点距离等于到直线的距离的点的集合，拥有对称轴和 焦点。
双曲线是所有与两个焦点距离之差为常数的点的集合，拥有两个分离的极限 以及一对对称轴。
椭圆的性质和方程
焦点定理
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长度。
2
Hale Waihona Puke 中心和极限双曲线有两个分离的极限和一个中心。
3
方程表达
双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴的长度。
圆锥曲线在实际应用中的应用
天体轨道
行星和卫星的轨道通常是 圆锥曲线。椭圆轨道用于 行星运行，而抛物线轨道 用于发射卫星。
天体旅行
太空探索任务中，航天器 的轨迹也遵循圆锥曲线的 某种形式，以实现特定的 目标和任务。
圆锥曲线ppt课件
本课件将带您深入了解圆锥曲线，包括定义、概念、分类和特点。我们还会 探讨椭圆、抛物线和双曲线的性质、方程以及实际应用。
圆锥曲线的定义和概念
圆锥曲线是平面解析几何学中的重要概念，是指在平面上由一个动点P和两个 定点F1、F2（称为焦点）决定的点集。
根据动点P到焦点F1、F2的距离之和的大小关系，可以分为椭圆、抛物线和双 曲线。
通信天线
圆锥曲线形状的抛物面天 线可实现定向和增强信号 接收和传输。
总结和重点系统回顾
在本课程中，我们全面了解了圆锥曲线的定义、分类和特点。我们还探索了椭圆、抛物线和双曲线的性 质和方程，以及它们在不同领域的应用。
方程表达
椭圆的标准方程为(x/a)²+ (y/b)²= 1，其中a和 b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
圆锥曲线知识点汇总 ppt课件
M F 1M F 2 2a2c
6 4
定义
不 图形 同 点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
x2
y2 +
=1a>b>0
b2 a2
1
3.抛物线只有一个顶点、一个
焦点、y一2=条2准x线
;
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
4.抛物线的离心率是-3 确定的,为1;
-4
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
31
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
13
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
阿波罗尼斯圆和圆锥曲线
阿波罗尼斯圆和圆锥曲线阿波罗尼斯圆和圆锥曲线1.引言数学是一门古老而又深奥的学科，经历了无数数学家的探究和推演。
而其中，圆锥曲线是数学中的重要一环。
本文将着重讲解阿波罗尼斯圆和圆锥曲线这两个数学概念，带领读者一起了解这些深奥又神奇的数学魅力。
2.圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是一个既古老又经典的数学研究对象，定义如下：圆锥曲线是由一个直角圆锥和一个割平面在圆锥下部分得到的曲线。
圆锥曲线的三种类型包括：椭圆、双曲线和抛物线。
1)椭圆：是一个呈现封闭形状的曲线，其两个焦点的距离小于椭圆长轴长度一半；2)双曲线：是一个不封闭的曲线，其两焦点距离小于双曲线两支的距离之和；3)抛物线：是一个仅有一个焦点，其两端向外散开的曲线。
3.阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆，又称为等离子圆，是与椭圆有关的一种曲线（当然，并不仅仅于此）。
具体来说，阿波罗尼斯圆的定义如下：在任意椭圆中，连接任意两点P、Q，并垂直于两点间中点连线的垂线交于定点F，其所构成的圆称作椭圆的阿波罗尼斯圆。
另外，阿波罗尼斯圆还具有以下几个重要性质：1)阿波罗尼斯圆的中心点与椭圆的中心点相同；2)阿波罗尼斯圆的半径为‘c’；3)阿波罗尼斯圆与椭圆的两点公共弦同样平分圆的两点弦。
4.圆锥曲线在几何和物理中的应用圆锥曲线不仅在数学中有重要地位，而且在几何和物理学中也有广泛应用。
1)几何中的应用：圆锥曲线可用于描述各种几何绘图，如建筑设计、平面制图、游戏设计等；2)物理中的应用：圆锥曲线在物理学中也有着广泛的应用。
例如，牛顿的万有引力定律就是建立在双曲线上的。
这个定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比例，与它们的距离平方成反比，等于一个常数。
在理论物理学中，尤其是广义相对论中，圆锥曲线的应用更为深入。
5.结尾总之，圆锥曲线是一个具有深厚历史背景和广泛应用的数学领域。
在阐述圆锥曲线历史和应用的过程中，本文也一并介绍了阿波罗尼斯圆的应用及其性质。
因此，在理解圆锥曲线的同时，也应该尝试探究圆锥曲线应用的其他领域。
(修改)第十一讲：阿波罗尼奥斯与圆锥曲线
•
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转抛物 面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴 上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直 线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。 这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面 的道理。 由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面， 它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内 母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在 设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻 巧又坚固。 由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不 会估计过高。
• 考察不同倾斜角的平面截圆锥其切口所 得到的曲线，也就是说如果切口与底面 所夹的角小于母线与底面所夹的角，则 切口呈现椭圆；若两角相等，则切口呈 现抛物线；若前者大于后者，则切口呈 现双曲线。
• 阿波罗尼奥斯将圆锥曲线的性质总结得 如此全面，以致使得后人在很长一段时 间里没有可以突破的余地，直到17世纪， 帕斯卡、笛卡尔创立解析几何，用新的 方法进行研究才打破了这一僵局，将圆 锥曲线研究作了实质性的推进。 • ★思考：高中所学圆锥曲线从何开始？
• 这引起了许多希腊数学家的兴趣，他们 开始对圆锥曲线作深入的研究，其中包 括阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米德 等人。他们的研究为系统的圆锥曲线理 论的最终形成积累了大量的资料， • 将圆锥曲线理论进行整理、深化的任务 历史性的落在了阿波罗尼奥斯身上 • （联想：站在巨人的肩膀上！）
• 阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262年-公 元前190年)，希腊数学家、天文学家。 阿波罗尼奥斯年轻时曾在亚历山大求学， 后来长期在那里生活。他将前人研究圆锥曲线 取得的成果加以总结，在自己进一步思考的基 础上，写成《圆锥曲线论》这一经典名著，被 称为古希腊研究几何学的登峰造极之作。阿拉 伯和西欧的许多数学家都曾经长期将它奉为必 读经典。
pre-圆锥曲线论(阿波罗尼奥斯)
”
阿波罗尼奥斯生平
阿波罗尼奥斯是佩尔格（Perga或Perge）地方的人。古代黑海与地中海之 间的地区，称为安纳托利亚（Anatolia，今属土耳其），其南部有古国潘菲利 亚（Pamphylia），佩尔格是它的主要城市． 阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大 跟随欧几里得的后继者学习，那时是托勒密三世（Ptolemy Euergetes，公元前 246—前221年在位）统治时期，到了托勒密四世（Ptolemy Philopator，公元 前221—前205在位）时代，他在天文学研究方面已颇有名气。
他的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论，总结了前人在 这方面的工作，再加上自己的研究成果，撰成《圆锥曲线 论》（Conics）8大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几 乎使后人没有插足的余地。直到17世纪的B．帕斯卡 （Pascal）、R．笛卡儿（Descartes），才有实质性的推 进。欧托基奥斯（Euto-cius of Ascalon，约生于公元480 年）在注释这部书时说当时的人称他为“大几何学家”。
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圆锥曲线统一定义
平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不 在直线l 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹:
当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
后来他到过小亚细亚西岸的帕加马（Pergamum）王国，那里有一个大 图书馆、规模仅次于亚历山大图书馆。国王阿塔罗斯一世（Attalus ⅠSoter， 公元前269—前197年，前241—197年在位）除崇尚武功外，还注重文化建 设。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷起都是呈递给阿塔罗斯的，后 世学者认为就是这位国王。但存在一个疑点，他在写信给阿塔罗斯时直书其 名，而没有在前面加上“国王”的称呼，这是违背当时的礼仪习惯的。可能 有两种解释，一是他指的不是国王而是另一个同名的人，二是阿波罗尼奥斯 相当放荡不羁，而这位君主确能礼贤下士，不拘小节。 在帕加马还认识一 位欧德莫斯（Eudemus），《圆锥曲线论》的前3卷是寄给他的。在这书的 第2卷的前言中，阿波罗尼奥斯说他曾将这一卷通过他儿子交给欧德莫斯， 并说如果见到菲洛尼底斯（Philonides）时，请欧德莫斯将书也给他一阅。 菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所（Ephesus）结识的几何学家，对圆锥 曲线论颇感兴趣，阿波罗尼奥斯曾介绍过他和欧德莫斯认识。
圆锥曲线PPT课件
2021/3/7
CHENLI
26
(1)若设动点M到F1，F2的距离之和为2a，则 当0<F1F2<2a时，动点M的轨迹是椭圆；当 F1F2＝2a>0时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当0<2a<F1F2时，动点M的轨迹不存在．
(2)椭圆的定义可以表述为PF1＋PF2＝ 2a(0<F1F2<2a)，它是点P在椭圆上的充要条 件．
2021/3/7
CHENLI
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抛物线的定义
根据抛物线的定义判断动点轨迹是否为抛物 线，关键看两点：
(1)定点是否在定直线l上； (2)到定Байду номын сангаас的距离和到定直线的距离是否相等 ．
2021/3/7
CHENLI
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例3 若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又 与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ________．
2021/3/7
CHENLI
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例2 (本题满分14分)曲线上的点到两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别 等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线 存在，则是什么样的曲线；若不存在，请说 明理由．
【思路点拨】 本题中已知条件与两定点距 离差的绝对值有关，因此可结合双曲线定义 求解．
2021/3/7
CHENLI
14
自我挑战1 平面内有定点A、B及动点P，命 题甲：|PA|＋|PB|是定值，命题乙：点P的轨 迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的 ________条件．
解析：由椭圆定义知，甲 乙且乙⇒甲．
答案：必要不充分
2021/3/7
CHENLI
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双曲线的定义
阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》
数学史话阿波罗尼奥斯(Apollonius ，约公元前262-前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家.年轻时曾到亚历山大里亚就学，师从欧几里得的弟子，后来从事教学工作．阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯是一位有名的天文学家，但他也写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》(Conic Sections)是一部非凡的巨著.因此，获得了“伟大的几何学者”的称号．《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响．《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．《圆锥曲线论》阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》的第一卷中给出了三种圆锥曲线即椭圆，即椭圆(ellipse)，抛物线(pa⁃rabola)和双曲线(hyperbola)，如图1所示，并给出它们的定义.李炅图１64数学史话实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的.他首先给出圆锥曲面的定义：如果有一点A ，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P ，连接AP并沿圆周运动形成的曲面叫作圆锥面，如图2.图２阿波罗尼奥斯把A 叫作顶点，把A 与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫作圆锥．把圆面叫作圆锥的底．如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC 和AB ′C ′，BC 和B ′C ′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE 垂直于BC ，得到截面和三角形ABC 的交线ZH ，如图3．图3(1)ZH 平行于AC .过曲线DZE 任意一点K ，引直线平行于ED 、交ZH 于G ，线段KG 在平行于底的MKN 面中，切口MKN 是以MN 为直径的圆，如图4．若引ZF ，满足ZF ∶ZA ＝BC 2∶BH ·AC ，K 是曲线DZE 上的点，总有KG 2=FZ ·ZG ，于是，以FZ 、ZG 为边的长方形面积FZ ·ZG 相当于以KG 为边的正方形的面积.把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线．这就是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”.图4(2)ZH 不平行于AC .①ZHB ＜∠ACB 时，如图5，取交线ZZ ′，作截面与底的交线DHE ，由于DHE 和BC 相交，过A 引直线平行于ZZ ′，交BC 延长线于一点K ，作ZF 满足AK 2∶BK ∶KC ＝ZZ ′∶ZF ，过曲线任一点G ，过点G 作平行于DHE 的直线交ZZ ′于M ，于是有GM 2＝FZ ·ZM -α成立．(α是正值)这说明以GM 为一边的正方形面积小于以FZ 和ZM 为边的长方形的面积，称为“不足”（ελλεl ψls ,ellipse ），现叫作“椭圆”.这种曲线就是门奈赫莫斯的“锐角圆锥曲线”．图5②∠ZHB ＞∠ACB ，如图6.用平面切以A 为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE 和①希腊语是παραβολειν.D ′Z ′E ′，平行于ZZ ′的直线交BC 于K ，作FZ 满足AK 2∶BK ·KC ＝ZZ ′∶FZ ，对于曲线上任意一点G ，有：GM 2＝FZ ·ZM +α(α为正值)成立．这说明以GM 为边长的正方形面积大于以FZ 、ZM 为边的长方形面积．阿波罗尼奥斯将其命名为“过剩的”，即现在的双曲线．65数学史话图6阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智．第二卷开始部分描述了渐近线的性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度.此外，阿波罗尼奥斯还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成的矩形，其面积是一定的；这相当于笛卡儿术语中应以方程xy =c 来表示的关系.接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法.最后说明作曲线的切线的各种方法．第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理．例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A 和B 处的切线交于C ，并与过B 和A 的直径交于D 和E ，则△CBD 和△ACE 面积相等.还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理．例如，如果平行于两个给定方向的弦AB 和CD 相交于O ，则AO ·OBCO ·OD是一常数，与O 的位置无关.第三卷开头论述了关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本卷最后叙述了二次曲线的著名的焦点性质.但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点——准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质．第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理．还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题．第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线.阿波罗尼奥斯先从圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离.他又证明，若O 是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP 是从O 到圆锥曲线的一极小或极大距离，则P 处垂直于OP 的直线是P 处的切线，又若O ′是OP 延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O ′P 是从O ′到圆锥曲线的极小线.切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线.阿波罗尼奥斯还研究了任一圆锥曲线的法线性质.例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点.然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线．值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线．第六卷包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形.这个弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积.还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线．第七卷包含一批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理．第八卷已失传．除了《圆锥曲线论》，阿波罗尼奥斯还著有《论比例截点(或截线，截面)》(On Proportional Section)；《关于相切》(Tangencies)；《论特殊截点(或截线、截面)》(On Dete －rminate Section)；《论确定的截点(或截线、截面)》(OnDeterminate Section)；《关于平面轨迹》(Plane Loci)；《斜向》(Vergings)．66。
修改第十一讲阿波罗尼奥斯与圆锥曲线
预测到哈雷彗星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷
逝世16年之后，哈雷彗星与地球如期而遇，这引起了
全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆
锥曲线研究兴趣的提升。
• ★联想：还有那颗星的发现是与数学有关的
•
•
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转抛物
面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴
•直角圆锥面；
•直角圆锥曲线 （抛物线）
•钝角圆锥面； •钝角圆锥曲线 •（双曲线的一支） 。
•思考：椭圆、抛物线、双曲线在古代分别称为？
•
• 他分别得到锐角、钝角圆锥曲面，同样用垂直于母线 的平面去截圆锥曲面，得到的截线分别称为锐角圆锥 曲线（椭圆），钝角圆锥曲线（双曲线的一支）。
• 【注意】梅内赫莫斯得到的三种圆锥曲线分别以三种 不同的圆锥曲面为基础得到。这就给后人留下了继续 研究的余地。
巧又坚固。
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不
会估计过高。
•
二、圆锥曲线的定义
• 从分开定义到寻找统一定义——寻求“统 一美”。
• 教材中是从平面曲线走向空间曲线，而 历史上是从空间曲线走向平面曲线的。
• 教材中有些知识的逻辑顺序与发现它的 历史顺序是不同的
• ★学习本段的意义？
•
• 又一次欣赏数学的“统一美”！ • 回忆：前面介绍过哪些数学的统一美？
•
开普勒的行星定律
• 第一定律：行星沿椭圆轨道道绕太阳运 行，太阳位于椭圆的一个焦点之上。
• 第二定律：在相等时间內，连接每颗行 星与太阳的向径所扫过的面积皆相等。
• （★怎么证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
• 第三定律：每颗行星绕太阳运动的公转 周期的平方与它们到太阳的平均距离的
圆锥曲线的发展历史ppt课件
8
1600年，天才观察家第谷邀请开普勒（Kepler）称为他的助 手
两人经常争吵，同时多次和解，共事18个月，第谷去世，开普 勒接受了第谷一生所有的观测数据
开普勒凭借其过人的数学才能与坚忍不拔的毅力，经过多年的 艰苦探索后，提出了影响巨大的三个定律
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圆锥曲线与天文学
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10
圆锥曲线与天文学 开普勒被誉为“天空的立法者”。 通过对数据的整理而获得的，是否有更一般的定理？ 1684年8月，哈雷访问牛顿，哈雷问：如果太阳的引力与行星
德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭 示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；
意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道 是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是 自然界物体运动的普遍形式。
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个山洞里，囚徒们多次密谋逃跑，但秘密的计划总是被 杰尼西亚所发现。起初，囚徒们以为狱友中有内奸，他 们互相指责、怀疑，但始终没有发现任何一个囚徒在告 密。 后来，又关进了个囚徒，这个囚徒有些数学知识，在囚 徒们又一次密谋逃跑时，这个数学家囚徒却劝告别白费 力气徒劳了，他告诉大家，这个囚禁囚徒的山洞有古怪， 洞壁是类椭球形的，囚徒们被关押在椭圆的一个焦点附 近，他们的密谋的话都被处于另一个焦点处的密探听到 而报告给上司，所以，没人能够逃出生天。于是，囚徒 们把这个山洞诅咒为“杰尼西亚的耳朵”。
1
圆锥曲线 北京市第十五中学 凌艺国
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2
圆锥曲线的形成 用一个平面截圆锥面所得的曲线形成圆锥曲线
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3
圆锥曲线的历史 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。 古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius)(约公元前262-前190）采用平面切割
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》ppt要点共41页
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》ppt要点
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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学习生涯
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧 几里得的后继者学习，那时是托勒密三 世（246BC—221BC）统治时期，到了 托勒密四世（221BC—205BC）时代， 他在天文学研究方面已颇有名气。 后来到过小亚细亚西岸的帕加马王国居 住与工作，晚年回到亚历山大，并卒于 该城。
贡献
阿波罗尼奥斯的主要成就 是建立了完美的圆锥曲线 论，总结了前人在这方面 的工作，再加上自己的研 究成果，撰成了《圆锥曲 线论，将圆锥曲线的性质 网罗殆尽，几乎使后人没 有插足的余地。
简介
阿波罗尼奥斯（Apollonius) 公元前262年出生于小亚细亚 的玻尔加，公元前190年卒于 古埃及的亚历山大。亚历山大 时期第三位重要的数学家，与 欧几里得、阿基米德齐名，其 贡献涉及几何学和天文学。
生平
《圆锥曲线论》是一部
经典巨作，可以说代表 了希腊几何的最高水平， 直至17世纪笛卡尔、帕 斯卡出场之前，始终无 人能够超越。阿波罗尼 奥斯写此书被后世译者 称为“大几何学家”。
双曲线的建筑方面的应用
双曲线绕虚轴旋转形成单叶双曲面，单 叶双曲面上有两族直母线。在建筑上可 以把钢筋作为两族直母线，使他们构成 单叶双曲面。这样设计的建筑物非常轻 巧又坚固。
单叶双曲面之冷却塔
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广州电视塔小蛮腰
其设计师是荷兰IBA事务所的马克· 海默 尔和芭芭拉· 库伊特。 有一天，我在厨房把一些弹性橡皮绳绑 在两个椭圆形的木盘之间，一个在底部， 一个在顶部。当我开始旋转顶部椭圆的 时候，一个复杂的形状出现了。我开始 激动起来，要从这个简单的想法开始， 把它发展成一个建筑物。
本节结束
谢谢
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小蛮腰
小蛮腰
双曲线在航海中的应用
海上航行的轮船有一种“双曲线时差定 位法”，就是利用“双曲线上的点到两 焦点的距离之差为一个常数”的原理设 计的。
圆锥曲线在其他方面的应用
桥梁一般采用共性，并常常采用抛物拱 形，是考虑到建筑物的平衡条件，也考 虑到桥梁所受的是连续均匀分布的竖直 向下的荷载。 隧道的拱形常常采用椭圆拱形，这是因 为它除了承受上面的竖直压力外，还承 受两侧泥石的水平压力。 以上见教材P168，图3.5.12
阿波罗尼奥斯和欧几里得、 阿基米德合称为亚历山大 前期的三大数学家（约 300BC—200BC），这是 古希腊数学的全盛时期或 “黄金时代”。
二、圆锥曲线的定义
椭圆：平面上到两定点F1,F2（焦点）的 距离之和为定长的动点的轨迹称为椭圆 双曲线：平面上到两定点F1,F2（焦点） 的距离之差的绝对值为定长的动点的轨 迹称为双曲线 抛物线：平面上到一定点F 的距离与到 一定直线的距离相等的动点的轨迹称为 抛物线。
阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定义 圆锥曲线的方程和性质 圆锥曲线的应用
一、圆锥曲线的由来
圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的统 称，因为他们都可以通过“用平面截圆 锥”来得到，所以叫圆锥曲线。 第一个考察圆锥曲线的事希腊学者梅内 赫莫斯（公元前375-前325）
圆锥曲线统一形式
在直角坐标系下，三种不同的圆锥曲线 的方程也可以具有统一的形式。见P163. 17世纪的开普勒和18世纪的欧拉就已经 有了这种从运动的、变化的观点，把各 种圆锥曲线看做是在同一个系统中的看 法。
数学的统一美
从给出三种圆锥曲线分别的定义到统一 的定义，让我们看到数学的“统一美”。 只有抓住了不同事物共同的本质，才能 用统一的观点，统一的语言来描述几种 不同的事物。事物的本质是内在的，当 我们用统一的语言把它叙述出来时，这 种内在的本质就外化了，让我们有一种 透过现象看到本质的快感。
阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯发现，所有三种曲线只要 以一种圆锥曲线为媒介就够了，需要改 变的只是界面的位置，而且作为媒介的 圆锥曲面可以取上面三种中的任何一种
阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
雙曲線
拋物線
当截面与圆锥地面的夹角小于圆锥母线 与圆锥地面的夹角时，截面是椭圆，当 这两角相等时，截线是抛物线，当前一 个角大于后一个角时，截线是双曲线。
V2<=V<V3,发射体的轨道是以太阳为一个焦 点的椭圆，发射体成为一个人造行星。 V>=V3，发射体将挣脱太阳的引力，飞到太 阳系以外去。
三、抛物线的应用
能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物 线，它有一个特性：从置放在抛物线焦 点的点光源发出的光线，经抛物线反射 后的光线都是平行的；反之，入射的平 行光线经抛物线反射后的光线都经过焦 点
• 第二定律：在相等時間內，連接每顆行 星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等。 • 第三定律：每顆行星繞太陽運動的公轉 周期的平方與它們到太陽的平均距離的 立方成正比。
开普勒的行星定律
火星
太陽
开普勒的发现，为圆锥曲线的研究添 上了一层实际的意义。
三个宇宙速度与发射体的轨迹
第一宇宙速度(环绕地球速度)V1=7.91km/s， 第二宇宙速度(脱离地球速度)：V2=11.2km/s 第三宇宙速度（脱离太阳系速度） V3=16.7km/s 在V1<V<V2,发射体的轨道是椭圆 V=V2，发射体的轨道是抛物线（的一半） V>V2,发射体远离，轨道是双曲线一支（的 一半），不再回到地球。
抛物线的应用
汽车前灯
抛物线的应用
太阳灶：利用太阳光为平行光，经过抛 物镜面的反射而集中于焦点，在焦点处 产生高温（焦点的由来）
F
285
90
抛物线的应用
矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的 轨迹是不同的抛物线。根据地质、炸药 的因素可以算出这些抛物线的范围。这 个范围的边界又是一条抛物线，叫做 “安全抛物线”。见教材P168:图3.5.13
《圆锥曲线论》全书共八卷，含487个命题。 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。 他推广了梅内克缪斯的方法，证明三圆锥 曲线可以由同一个圆锥体截取而得，并给 出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。 他以圆锥体底面直径为横坐标，过顶点的 垂线为纵坐标，这给后世坐标几何的建立 以很大的启发。 他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出 了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说 提供了工具。
开普勒的行开普勒的行星定律
开普勒的行星定律 是以布拉赫數十年 對於行星運行的觀 察數據為基礎，
• 再花十多年功夫才找 到一個吻合布拉赫數 據的數學模型。 • 他終於在 1609 年完 成了火星運行的數學 理論。
开普勒的行星定律
第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運行， 太陽位於橢圓的一個焦點之上。
除《圆锥曲线论》外，阿波罗尼奥斯还有 好几种著作，为后世学者（特别是帕波斯） 所提及。列举如下： 1《截取线段成定比》 2《截取面积等于已知面积》 3《论接触》 4《平面轨迹》 5《倾斜》 6《十二面体与二十面体对比》
此外还有《无序无理量》、 《取火镜》、圆周率计算 以及天文学方面的著述等。
圆锥曲线的统一定义
平面上到一定点F的距离与到一不过该定 点的定直线L的距离之比为常数e的动点 的轨迹称为圆锥曲线。 e<1 为椭圆 e>1为双曲线 e=1为抛物线。
离心率的变化过程
离心率的连续量变
从上图可以看出：离心率的连续量变导致了 曲线的之变：当e从小于1逐渐趋于1时，椭圆 从右边逐渐趋近于抛物线 当e从大于1逐渐趋于1时，双曲线的左支逐渐 远离原点，而右支从左边逐渐趋近于抛物线。 可以将抛物线看成是e趋向于1时椭圆和双曲 线的极限形式
圆锥曲线的雏形
他取三个顶点分别为直角 锐角和钝角的正圆锥，然后各作一个平面分别垂直于三 个圆锥的一条母线，并与圆锥相截：他把所得三条截线 分别称为“直角圆锥截线”，“锐角圆锥截线”和 “钝角圆锥截线”，实际上就是今天我们所说的抛物线 ，椭圆，一支等轴双曲线：这是圆锥曲线最早的名称。
当时，这三种曲线均以圆锥曲面为基础 得到，但这三种曲线是分别以三种不同 的圆锥曲面作为基础得到的。 约一百年后，古希腊的著名数学家阿波 罗尼奥斯更详尽、更系统地研究了圆锥 曲线。