正定矩阵
正定矩阵与性质
27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的积
正定矩阵的积正定矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍正定矩阵的定义、性质和应用，并探讨正定矩阵的乘积。
一、正定矩阵的定义和性质正定矩阵是指所有特征值都大于零的实对称矩阵。
具体来说，对于n阶实对称矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，那么矩阵A就是正定矩阵。
正定矩阵具有以下几个重要的性质：1. 正定矩阵的特征值全部大于零；2. 正定矩阵的所有主子矩阵都是正定矩阵；3. 两个正定矩阵的乘积仍然是正定矩阵；4. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
二、正定矩阵的应用正定矩阵在实际应用中有着广泛的应用，例如在优化问题、最小二乘法、信号处理等领域中都有重要的作用。
1. 优化问题在优化问题中，正定矩阵可以用来判断一个函数的局部极小值是否为全局极小值。
具体来说，如果一个函数的二阶导数矩阵为正定矩阵，那么该函数的极小值是全局极小值。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化残差的平方和来拟合数据。
在最小二乘法中，正定矩阵可以用来求解线性方程组，进而得到最优拟合结果。
3. 信号处理在信号处理中，正定矩阵可以用来描述信号的功率谱密度。
功率谱密度是一个信号在频域上的能量分布情况，正定矩阵可以通过特征值分解来计算信号的功率谱密度。
三、正定矩阵的乘积正定矩阵的乘积也是一个正定矩阵。
假设A和B是两个正定矩阵，我们需要证明它们的乘积AB也是正定矩阵。
由于A和B都是正定矩阵，所以它们的特征值都大于零。
设A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，B的特征值为μ1, μ2, ..., μn。
那么AB的特征值为λ1μ1, λ2μ2, ..., λnμn。
由于A和B的特征值都大于零，所以AB的特征值也都大于零。
因此，AB是一个正定矩阵。
四、结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
其中，正定矩阵的乘积也是一个正定矩阵。
正定矩阵 和实对称矩阵
正定矩阵和实对称矩阵正定矩阵是线性代数中一个很重要的概念，与之相关的概念还有实对称矩阵。
本文将详细介绍正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，正定矩阵是一种特殊的方阵，具有一些重要的性质。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A* x>0，那么矩阵A就被称为正定矩阵。
其中，x^T表示向量x的转置，"*"表示矩阵的乘法。
2.正定矩阵的性质正定矩阵具有以下重要性质：-正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，可以通过特征值分解来证明。
-正定矩阵的行列式大于0。
正定矩阵的行列式可以看作是矩阵的所有特征值的乘积，由于特征值都是正数，所以行列式也必然大于0。
-正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
逆矩阵的定义与正定矩阵的性质相呼应，两者之间存在密切的关联。
3.实对称矩阵的定义实对称矩阵是指对于一个矩阵A，它的转置矩阵等于它本身，即A^T=A。
实对称矩阵在应用中具有很多重要的特性和性质。
4.实对称矩阵与正定矩阵的关系实对称矩阵和正定矩阵之间存在着紧密的关系。
事实上，一个实对称矩阵是正定矩阵的充分条件是它的所有特征值都是正数。
这可以通过特征值分解和正定矩阵的定义进行证明。
5.应用领域正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵是一类重要的关键性质，它们被广泛应用于凸优化、线性规划等领域。
实对称矩阵在物理学、力学、信号处理等领域中也有重要的应用。
本文介绍了正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
正定矩阵具有特征值全为正数、逆矩阵也是正定矩阵等重要性质；实对称矩阵是指转置矩阵等于本身的矩阵。
实对称矩阵的所有特征值为正则可以称之为正定矩阵。
正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，对于最优化问题、物理学、力学等领域具有重要意义。
正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法概述正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
在解决优化问题、最小二乘法、概率统计和信号处理等领域中，正定矩阵的判定方法是关键的操作。
本文将介绍什么是正定矩阵，并详细讨论几种判定正定矩阵的方法。
正定矩阵的定义在开始讨论正定矩阵的判定方法之前，我们首先来了解正定矩阵的定义。
一个n × n 的实对称矩阵 A 称为正定矩阵，如果对于任意的非零向量 x，都有 x^TAx > 0。
其中，x^T 表示 x 的转置，x^TAx 表示向量 x 与矩阵 A 的乘积。
根据这个定义，我们可以得出正定矩阵的一些基本特征：1. 正定矩阵的特征值均为正数。
2. 正定矩阵的所有主子式（即从左上角到右下角的任意一组连续的对角线元素）均为正数。
3. 正定矩阵的所有奇异值均为正数。
接下来，我们将详细讨论几种常见的判定正定矩阵的方法。
1. 全主子式判定法全主子式判定法是最常用的判定正定矩阵的方法之一。
根据正定矩阵的定义，我们知道所有的主子式都应该是正数。
因此，我们可以通过计算矩阵的所有主子式，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。
具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，计算所有的k × k 的主子式 D1,D2, ..., Dn，其中 k = 1, 2, ..., n。
2) 检查所有的主子式是否都大于零。
如果是，则矩阵 A 是正定矩阵；否则，矩阵 A 不是正定矩阵。
这种方法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是矩阵的维度。
2. 特征值判定法特征值判定法是另一种常用的判定正定矩阵的方法。
根据正定矩阵的定义，我们知道矩阵的特征值都应该是正数。
因此，我们可以通过计算矩阵的特征值，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。
具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，求解其特征值λ1, λ2, ..., λn。
矩阵正定性
矩阵正定性矩阵正定性是线性代数理论中的一个重要概念。
它是指矩阵的特性：如果一个矩阵A，对任意向量x，都有xTAx> 0，那么A就是正定的。
很多线性代数的概念依赖于正定矩阵。
这篇文章将讨论正定性矩阵的基本定义、性质以及重要的一些应用。
首先定义正定矩阵。
正定矩阵是一种特殊的矩阵，它满足下面这个充分必要条件：对任意实数向量x,都有xTAx>0，其中A是正定矩阵。
也就是说，任何实数对应的向量处投影均为正值，那么这个矩阵就是正定的。
有时，也会将正定矩阵定义为实矩阵，其中所有的特征值为正。
另外，正定矩阵也可以被定义为实对称矩阵，其中所有的特征值为正。
正定矩阵的性质是它的行列式都大于零，它的对角阵的特征值大于等于零，正定性矩阵的逆矩阵也是正定的。
这些性质也与它的概念很契合，因为它的行列式都大于零，说明矩阵的每一个分块元素都非负，而特征值大于等于零，说明矩阵本身是稳定的，不会产生振荡。
由于正定性矩阵的逆矩阵也是正定的，因此它也是一个非常重要的性质。
正定性矩阵是线性代数理论中非常重要的概念，它在机器学习、信号处理、最优化以及复杂数学计算中都有着重要的应用。
在机器学习中，正定性矩阵可以用来优化多元函数，可以用于确定最优解。
在信号处理中，它可以用来改善分类精度，并且可以用来检测图像中的模式和特征。
最后，正定性矩阵在复杂数学计算中也有着重要的应用，比如求解非线性方程组，矩阵解析法和投影算法等。
综上所述，正定性矩阵是一种特殊的矩阵，它满足xTAx>0的特性，其定义包括实矩阵、实对称矩阵和行列式都大于零的性质。
正定性矩阵在线性代数理论中具有重要的地位，它的性质也决定了它在机器学习、信号处理、最优化和复杂数学计算中的重要应用。
正定矩阵条件
正定矩阵条件正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来解释正定矩阵的概念和条件。
我们来看正定矩阵的定义。
一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x 的转置。
这个定义可以用来判断一个矩阵是否为正定矩阵。
为了更好地理解正定矩阵的条件，我们可以从它的几何意义入手。
正定矩阵定义了一个二次型，即x^T * A * x，它表示了一个向量x 经过矩阵A的变换后的平方和。
当这个平方和大于零时，我们可以说矩阵A是正定的。
换句话说，正定矩阵定义了一个椭球体，所有的非零向量都位于这个椭球体内部。
正定矩阵的条件有很多种形式。
其中一种常见的条件是所有的特征值都大于零。
特征值是矩阵A的一个重要性质，它可以看作是矩阵A对应的线性变换在某个方向上的缩放比例。
如果矩阵A的所有特征值都大于零，那么它就是正定矩阵。
另一个条件是矩阵的所有主子式都大于零。
主子式是矩阵A的一个重要概念，它是通过去掉矩阵的某些行和列后得到的子矩阵的行列式。
如果矩阵A的所有主子式都大于零，那么它也是正定矩阵。
除了以上两个条件，正定矩阵还有其他等价的条件。
例如，矩阵A 可以被分解为A = LL^T的形式，其中L是一个下三角矩阵。
这个分解被称为Cholesky分解，它可以将正定矩阵表示为一个下三角矩阵的平方。
通过Cholesky分解，我们可以很容易地判断一个矩阵是否为正定矩阵。
正定矩阵在许多领域中都有广泛的应用。
在优化问题中，正定矩阵是一个非常重要的概念。
许多优化算法都依赖于正定矩阵的性质，例如共轭梯度法和牛顿法。
在机器学习中，正定矩阵用于定义二次型的正则化项，以及计算协方差矩阵和相关矩阵。
总结起来，正定矩阵是一个重要的概念，它定义了一个二次型，描述了一个向量经过矩阵变换后的平方和。
正定矩阵的条件有很多种形式，包括所有的特征值都大于零，所有的主子式都大于零等等。
证明正定矩阵
证明正定矩阵正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在实际应用中，我们常常需要证明一个矩阵是否为正定矩阵，因此掌握正定矩阵的证明方法对于深入了解线性代数理论和应用非常重要。
下面将介绍正定矩阵的定义和性质，以及如何证明一个矩阵是正定矩阵。
一、正定矩阵的定义和性质定义：若矩阵$A$满足对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，则称$A$为正定矩阵。
性质：1. 正定矩阵的特征值全是正实数。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的各阶子矩阵也是正定矩阵。
二、证明矩阵为正定矩阵的方法1. 利用特征值根据正定矩阵的定义，对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，即$\bold{x}^T\lambda\bold{x}>0$，其中$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
因为$\bold{x}\neq\bold{0}$，所以$\lambda>0$。
因此，我们可以通过计算矩阵$A$的特征值来证明矩阵$A$是正定矩阵。
如果矩阵$A$的所有特征值都是正实数，则矩阵$A$是正定矩阵。
举个例子，假设有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$，我们可以通过计算它的特征值来证明它是正定矩阵。
矩阵$A$的特征方程为$(2-\lambda)(4-\lambda)-1=0$，解得$\lambda_1=1$和$\lambda_2=5$，由于$\lambda_1>0$且$\lambda_2>0$，因此矩阵$A$是正定矩阵。
2. 利用正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=I$的方阵$Q$，其中$I$为单位矩阵。
因为正交矩阵保持向量的长度不变，所以它可以用来证明矩阵$A$是正定矩阵。
正定矩阵的判别方法
正定矩阵的判别方法正定矩阵是数学上的重要概念，在线性代数、图论等领域有着广泛的应用。
它能够很好地描述一个实现特定功能的系统的构造。
在本文中，我们将介绍正定矩阵的定义，并且介绍正定矩阵的判定方法。
最后，我们将对正定矩阵判定法的几种应用进行简要介绍。
1、什么是正定矩阵正定矩阵，也称半正定矩阵，是由实数构成的n×n矩阵A，它满足：任意非零向量x，xTAx大于等于0。
正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的特点是它的所有特征值都大于等于0，而且它的对角线元素大于对角线外元素的绝对值。
正定矩阵具有很好的性质，如求逆、求特征值等，因此在线性代数领域有着广泛的应用。
2、正定矩阵的判定方法由以上可以知道，正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其判别方法如下：（1）提取对角线元素a11,a22,a33…an；（2）求出对称矩阵的特征值λ1,λ2,λ3…；（3）满足条件：a11>|a12|，a22>|a23|，a33>|a34|……an>|an,n-1|，且λ1，λ2，λ3…都大于0，则矩阵A是正定矩阵。
3、正定矩阵的几种应用正定矩阵具有很多性质，因此在数学上有着广泛的应用。
（1）代数分析：正定矩阵可以用于表示线性空间的立方体；（2）解析几何：正定矩阵可以用来解决三角形的相似性、平面的变换和曲线的变换；（3）图论和组合优化：正定矩阵可以用来解决最小团问题和最大团问题；（4）统计学：正定矩阵可用来处理回归分析和协方差分析；（5）机器学习：正定矩阵可以用于支持向量机（SVM）算法。
总之，正定矩阵在数学上有着广泛的应用，它在线性代数、图论、机器学习等多个领域有着重要的作用。
完【结论】本文介绍了正定矩阵的定义、判定方法及其在不同领域的应用，深入地阐述了正定矩阵的重要性和作用，以期使读者更加深入地理解正定矩阵的概念。
正定矩阵
等价命题
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的： （1）A是正定矩阵； （2）A的一切顺序主子式均为正； （3）A的一切主子式均为正； （4）A的特征值均为正； （5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C； （6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B； （7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R 。
正定矩阵
高等数学术语
01 定义
2 性质 04 充要条件 06 应用
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix)有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的 性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双 线性形式）。
判定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法： （1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。 （2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式 为负，偶数阶为正，则A为负定的。
应用
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定 矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
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定义
设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。 Hermite正定矩阵 设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵 。
性质
正定矩阵有以下性质 ： （1）正定矩阵的行列式恒为正； （2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同； （3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵； （4）两个正定矩阵的和是正定矩阵； （5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
矩阵的正定性
矩阵的正定性
正定矩阵是一种常见的矩阵，其特性决定了它在数学研究和工程应用中有很重要的意义。
它是指矩阵中所有非零元素都是非负数，对角线上所有元素都大于零。
正定矩阵的最基本性质是它的特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）都大于零，因此也称为“绝对正定”（Positive Definite）。
该性质决定了正定矩阵可
被广泛应用于最优化问题和数值方法的解，同时也可以提供量化描述某种联系密切程度的重要指标。
正定矩阵有许多类似的应用，比如多元线性回归，它是实证经济学中常用的模型，以确定两个变量之间的关系。
正定矩阵通过其性质确保模型的有效性，而并非随机因素。
正定矩阵在信号处理、数据挖掘和图形处理领域同样受到重视，这是因为基于正定矩阵的计算方法足够简洁而且非常有效，可实现高效的图像处理效果。
例如，影像拼接算法（Image Stitching）中使用正定矩阵来表示两个图像之间的关联性，
而在低维表达学习（Dimensionality Reduction）中，正定矩阵几乎作为必备条件，
因为这会有助于降低维数，提高算法的性能。
正定矩阵的另一个重要应用涉及到它的逆矩阵概念（Inverse Matrix），这是由于正定矩阵的特性，可以证明它具有逆矩阵，且逆矩阵也是正定矩阵。
例如，可以应用在最优化、最小二乘回归以及岭回归等模型中，以期获取更为有效的解。
由于正定矩阵的独特性质，在多样化的学术领域及工程领域都有广泛的应用。
因此，在数学上探讨和实践中学习正定矩阵，可以大大提高理论及应用实践的水平，最终获得更好的结果。
正定矩阵的几种经典证明方法
正定矩阵的几种经典证明方法正定矩阵是指实数矩阵中满足下列矩阵不等式的矩阵：XTAX>0,其中X是任意nxm的非零实矩阵，A是nxn的实对称非奇异矩阵。
正定矩阵的几种经典证明方法有：一、正定矩阵的主成分表示法证明正定矩阵A的主成分表示是将正定矩阵A分解为UΛUT（U是正交矩阵，A是对角矩阵），即A=UAUT,其中U和A必须满足UUT=I （I为单位阵）和A=diag（λ1,λ2,…,λn）°正定矩阵A必须满足：λi>0,i=1,2,...,n o二、正定矩阵的共粗转置证明正定矩阵A的共辄转置证明是指：A之转置与A的共辗相乘结果必须大于0,即AAT>00三、正定矩阵的主元分解证明正定矩阵A的主元分解证明是指：将A分解为1U形式，使用唯一分解性来证明A为正定矩阵。
1和U必须满足1为下三角矩阵，U为上三角矩阵，生成正定矩阵A的正定性。
四、正定矩阵的半正定性证明正定矩阵A的半正定性证明是指：A的秩必须小于n,并且A的剩余半部分必须是正定的。
五、正定矩阵的特征值证明正定矩阵A的特征值证明是指：如果正定矩阵A的所有特征值均大于0,则矩阵A必定是正定矩阵。
可以使用形式化的证明说明特征值必须大于0,即det(A-λD=O,其中λ为特征值,I为单位阵。
六、正定矩阵的行列式证明正定矩阵A的行列式证明是指：首先将A行列式化，然后按下列公式求值：detA=det(A11)det∣A22∣-det(A12)det∣A21∣,其中AI1为A 的一个子矩陪，A22为A的差矩阵，A12和A21为A的列替换矩阵，必须满足det(A)>O,A就是正定矩阵。
以上就是正定矩阵的几种常用证明方法。
本文阐述了这几种方法的基本原理，并且证明了它们在证明正定矩阵的用途。
在科学研究中，正定矩阵的证明方法将占据重要地位，可以起到重要作用。
第6.3节_正定矩阵
第6.3节_正定矩阵微积分线性代数一、基本概念定义设A 为实对称矩阵，相应实二次型f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵，对任意非零向量x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有f ( x) 0,正定二次型，称为正定矩阵正定矩阵. 则称f (x) 是正定二次型，A 称为正定矩阵.负定二次型，注：(1)若恒有f ( x ) 0 ,则称f (x) 是负定二次型，(1)若恒有A 称为负定矩阵；称为负定矩阵负定矩阵；半正定二次型，(2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型，A称为半正定矩阵；称为半正定矩阵；半正定矩阵半负定二次型，(3)若恒有f ( x ) ≤ 0 ,则称f (x) 是半负定二次型，A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负不定二次型2微积分线性代数二、正定矩阵、正定二次型的判别正定矩阵、由定义，可得以下两个结论：由定义，可得以下两个结论：( 1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 + L+ dn yn2 2 2正定的充分必要条件是d i 0 .充分性是显然的；下面用反证法证必要性：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：假设某个d k ≤ 0 , yk = 1 ,其余y j = 0 ( j ≠ k ) , 取代入二次型，代入二次型，得 f ( 0, L ,1, L ,0) = d k ≤ 0 ,与二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) 正定矛盾. 正定矛盾.3微积分线性代数(1)二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn 正定2 2 2的充分必要条件是d i 0 .若正定，(2) 二次型x Ax 若正定，经过可逆线性替换x = Cy ,T其正定性保持不变. 化为y ( C AC ) y ,其正定性保持不变.TT是可逆矩阵，这是因为C 是可逆矩阵，只要y ≠ o ,就有x ≠ o ,于是xT Ax 0 , 即y ( C AC ) y 0 .T T由替换的可逆性，正定，由替换的可逆性，若y ( C AC ) y 正定，也可推出正定. x Ax 正定.TTT由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性替将其化为标准形，要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性. 以下定理判别其正定性.4微积分线性代数定理n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它元实二次型系数全都大于零, 的标准形的n 个系数全都大于零,即 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn ,且di 0 . 推论1 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于它的正惯性指数等于n..推论2 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是 2 2 2 它的规范为它的规范为 f = z1 + z2 + L+ zn . 准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特准则实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正全为正. 征值全为正.5微积分线性代数例1 判别二次型2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 x 2 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为1 1 0 A = 12 1 , 0 1 3λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3微积分线性代数λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3λ 2 1 0 c1 c2 c3 2 λ λ 2 1 = (λ 2)(λ2 4λ + 1) , 2 λ 1 λ 3求得A 的特征值为2, 2 ± 3 ,全为正，因此二次型正定. 全为正，因此二次型正定.7 微积分线性代数定义设A = (aij ) nn , A的k 阶顺序主子式的是指行列式a11 a 21 | Ak | = L ak 1 a12 a 22 L ak 2 L a1 k L a2k , k = 1,2, L , n. L L L a kk准则2 准则n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的顺序主子式全大于零. 的顺序主子式全大于零.证略. 证略.8微积分线性代数例2 判别二次型2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 4 x1 x 2 4 x 1 x 3 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为它的顺序主子式为：它的顺序主子式为：2 2 5 A= 2 5 1 , 2 1 5| A1 | = 5 0 ,5 2 | A2 | = = 21 0 , 2 52是正定的，因此A是正定的，是正定的正定. 即二次型 f 正定.92 | A3 | = 2 5 1 = 88 0 , 2 1 5 5微积分线性代数例3 设有实二次型2 2 f = x12 + 4 x 2 + 4 x 3 + tx1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3取何值时，该二次型为正定二次型？问t 取何值时，该二次型为正定二次型？t 1 1 2 解t 4 2 , f 的矩阵为A = 2 1 2 4 1 顺序主子式为：顺序主子式为：| A1 | = 1 0 , | A | = 2 t | A3 | = | A | = ( t 2)( t + 4) 0 , 2 解得 4 t 2 .t 2 = 4 1 t2 0 , 4 410微积分线性代数三、正定矩阵的性质正定矩阵矩阵，的行列式为正因而可逆. 为正， 1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.因| A | = λ1λ 2 L λ n 0.都是正定阵, 正定矩阵矩阵, 2.若A 为正定矩阵,则AT , A 1 , A , A k 都是正定阵, 其中k 为正整数. 为正整数. 这是因为：这是因为：有相同的特征值；矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值；1 | A| k k ; λ(A ) = λ(A ) = ; λ ( A ) = [λ ( A)] . λ ( A) λ ( A) 111微积分线性代数正定矩阵矩阵，的主对角元全为正. 3.若A 为正定矩阵，则A 的主对角元全为正.T 因为 f ( x ) = x Ax = 证∑∑ai =1 j = 1nnij正定，x i x j 正定，取x ( i ) = ( 0 ,L ,1 ,L ,0 ) ,则有Tf ( x( i ) ) = aii 0, (i = 0,1,L.n ) .正定矩阵矩阵，也为正定4.若A 和B 为正定矩阵，则A+B ,hA(h0)也为正定也为矩阵. 矩阵. 对任意非零向量x 证对任意非零向量，有T x ( A + B ) x = x T Ax + x T Bx xT ( hA ) x = hx T Ax 0.12微积分线性代数5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P, 逆矩阵，使得 A = P T P . 实际上，实际上，正定二次型的规范形为2 2 2 z1 + z 2 + L + z n , 即A正定的充分必要条件是合同于单位矩阵，正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵E 即存在可逆矩阵P 即存在可逆矩阵，使A = P T EP = P T P .微积分线性代数6.设矩阵，6.设A 为m × n 矩阵，A 的秩r ( A) = n , A A 为且则正定矩阵. 正定矩阵.T证因为( A A) = A A , 故A A 是n 阶对称矩阵. 阶对称矩阵.T TTT仅有零解，又r ( A) = n ,可知齐次线性方程组Ax = o 仅有零解，所以对任意x ≠ o ,必有Ax ≠ o , 于是x T ( AT A ) x = ( Ax )T ( Ax ) 0 ,为正定二次型，即二次型x ( A A ) x 为正定二次型，即矩阵TTAT A 为正定矩阵. 为正定矩阵.14微积分线性代数类似结论有：类似结论有：阶可逆矩阵, 为正定矩阵. 设A 为n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.T T阶正定矩阵, 设A 为n 阶正定矩阵,P 为n× m 矩阵,且r(P) = mn , × 矩阵, 为正定矩阵. 则P AP为正定矩阵.T显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正半正定) 由此，容易得出以下结论：定(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值微积分线性代数显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正定显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正定半正定) 由此，容易得出以下结论：(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值负定的充分必要条件是A的特征值全负(2)A负定的充分必要条件是的特征值全负；负定的充分必要条件是的特征值全负；半负定的充分必要条件是A的特征值非正(3)A半负定的充分必要条件是的特征值非正；半负定的充分必要条件是的特征值非正；(4)A负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；负定，的对角元全为负. (5)若A负定，则A的对角元全为负. 负定的对角元全为负注意: .最后一条只是必要条件. 注意: 1.最后一条只是必要条件. 2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的. . 的顺序主子式全非负也未必是半正定的顺序主子式全非也未必是半正定的16微积分线性代数* 例4设矩阵1 1 0 A = 1 1 0 , 0 0 1 显然A的显然的顺序主子式| A1 | = 1 0 , | A2 | =1 11 1= 0 , | A3 | = 1 1 0 = 0 , 1 1 0 0 1但对角元有正有负，显然是不定的是不定的. 但对角元有正有负，显然A是不定的.17微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(1) f 的矩阵为1 2 1 A= 1 6 0 , 1 0 4 顺序主子式2 1 = 11 0 , | A | = 38 0 , 20, 1 6 是负定的. 所以f 是负定的.18微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(2) f 的矩阵为1 2 0 A = 2 2 2 , 0 2 3 顺序主子式1 2 1 0, = 2 0 , 2 2 定的. 所以f 是不定的.19。
正定矩阵概念
正定矩阵概念
正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，通常是指一个实对称矩阵，其所有特征值都大于零。
正定矩阵在许多实际应用中都具有重要的意义，例如在优化问题、信号处理、统计学、机器学习等领域中都有广泛应用。
正定矩阵的定义可以用数学语言表示为：若一个矩阵A是一个n 阶实对称矩阵，并且对于任意一个非零向量x，都有x^T*A*x>0，则称A是正定矩阵。
其中，x^T表示x的转置。
正定矩阵的性质包括：
1. 所有特征值都大于零。
2. 矩阵的行列式大于零。
3. 矩阵可以分解为A=LL^T，其中L是一个下三角矩阵。
4. 矩阵的逆也是正定矩阵。
5. 矩阵的各阶顺序主子式都大于零。
在实际应用中，正定矩阵通常用于描述二次函数的性质，例如在最小二乘法中，正定矩阵被用于求解线性回归问题。
此外，正定矩阵还被广泛应用于优化问题，例如约束优化、凸优化、二次规划等。
在机器学习中，正定矩阵被用于描述数据的协方差矩阵，从而实现主成分分析、线性判别分析等算法。
总之，正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
深入了解正定矩阵的性质和应用，对于理解相关学科和解决实际问题都有重要意义。
正定矩阵的特征值分解
正定矩阵的特征值分解正定矩阵是线性代数中一种重要的特殊矩阵，它具有许多独特的性质和特征。
其中之一是正定矩阵的特征值分解，本文将重点介绍正定矩阵的特征值分解及其应用。
一、什么是正定矩阵？在了解正定矩阵的特征值分解之前，我们首先需要明确正定矩阵的定义。
一个n阶矩阵A被称为正定矩阵，当且仅当对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x的转置。
正定矩阵的特点是所有的特征值都大于零。
这是因为对于正定矩阵A和非零向量x，有x^T * A * x > 0，可以得到Ax = λx，其中λ为特征值。
由于x非零，所以必然有λ > 0。
二、特征值分解的基本概念特征值分解（Eigenvalue Decomposition）是指将一个矩阵分解成由其特征值和对应的特征向量所组成的形式。
对于一个n阶矩阵A，存在一个对角矩阵Λ和一个正交矩阵P，使得A = P * Λ * P^T，其中Λ的对角线上的元素为A的特征值，P的列向量为A的特征向量。
特征值分解在数学和工程领域有着广泛的应用。
例如，特征值分解可以用于解决线性方程组、求解最小二乘问题、矩阵的对角化等。
对于正定矩阵A，它的特征值分解具有一些特殊性质。
首先，正定矩阵的所有特征值都大于零，这是由正定矩阵的定义决定的。
其次，正定矩阵的特征向量是线性无关的，即它们可以构成一组基。
特征值分解可以将正定矩阵表示为A = P * Λ * P^T的形式，其中Λ为对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值，P为正交矩阵，列向量为A的特征向量。
由于正交矩阵的特性，P的逆等于其转置，即P^T * P = I，其中I为单位矩阵。
四、正定矩阵特征值分解的应用正定矩阵的特征值分解在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用领域：1. 优化问题：在优化问题中，正定矩阵的特征值分解可以用于寻找函数的极小值或极大值。
通过将目标函数表示为二次型的形式，可以通过特征值分解求解最优解。
正定矩阵的定义概念
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。
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第五章主要方法
一) 方阵的特征值与特征向量的求法
(1).计算A的特征多项式 f ( ) | A E |;
(2).求出f ( ) 0的全部根 ,即A的全部特征值 ;
( 3).把A的 特 征 值 逐 个 代 入 齐 线 次性 方 程 组 ( A E ) x 0, 并 求 出 这 个 方 程 组 的 个 一基 础 解 系, 则 这 个 基 础 解 系 的 非 线 零性 组 合 就 是 A的 属 于特征值 的 全 部 特 征 向 量 .
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3 1 0 例16 判定对称矩阵 A 1 3 0 正定性。 0 0 3 解 方法一 因为a11 3 0,
a11 a12 a21 a22
3 1 0 3 1 8 0, | A | 1 3 0 24 0, 1 3 0 0 3
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正， 则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A 是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形 中的正平方项个数判断;
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由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的。
特征值是指矩阵A经过线性变换后，向量x所在的直线方向仍然不变的那些实数λ，即满足方程Ax=λx的λ值。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果所有特征值均大于零，那么A就是正定矩阵。
正定矩阵在三个不等式证明中有广泛的应用。
这三个不等式分别是半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式。
1.半正定矩阵不等式：给定一个n阶半正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx≥0，其中x^T表示x的转置。
如果要证明一个矩阵是半正定的，只需要证明它所有的特征值均大于等于零即可。
应用：在工程和经济领域中，半正定矩阵不等式常用于设计稳定的控制系统和优化问题的约束条件。
例如，在线性规划问题中，通过引入半正定矩阵不等式将约束条件加到目标函数中，可以得到更加准确和可行的优化结果。
2.正定矩阵不等式：给定一个n阶正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx>0。
证明一个矩阵是正定的，需要确保它所有的特征值均大于零。
应用：正定矩阵不等式在数学分析和最优化理论中有广泛的应用。
例如，在函数的变分法中，通过使用正定矩阵不等式可以得到最小化函数的解。
另外，正定矩阵也常用于计算机科学、图像处理和机器学习等领域中的算法设计中。
3.负定矩阵不等式：给定一个n阶负定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx<0。
证明一个矩阵是负定的，需要确保它所有的特征值均小于零。
应用：负定矩阵不等式在控制论、信号处理和优化问题中有重要的应用。
例如，在模拟电路设计中，通过使用负定矩阵不等式可以保证电路的稳定性。
此外，负定矩阵也常用于设计纠错码和密码算法等领域。
总之，正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的，特征值大于零时为正定矩阵。
正定矩阵的应用在半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式中。
它在控制系统、优化问题、信号处理和机器学习等领域中有广泛应用，具有重要的理论和实际意义。
正定矩阵的判断方法
正定矩阵的判断方法正定矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，也是优化理论中的关键内容之一、在很多应用领域中，正定矩阵具有很强的数学性质和良好的性能，因此其判断方法具有重要的理论和实际意义。
本文将详细介绍正定矩阵的定义、判断方法及其性质。
一、定义在介绍正定矩阵的判断方法之前，我们先来回顾一下正定矩阵的定义。
设A是n×n的实对称矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则称A为正定矩阵。
其中，x^T表示x的转置，x^TA表示x的转置与A的乘积。
二、特征值判定法特征值判定法是正定矩阵判定方法中最基本的一种方法，它基于矩阵的特征值和特征向量的性质。
根据特征值判定法，一个实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是A的所有特征值均大于0。
特征值判定法的推导过程如下：1.对于任意的非零向量x，设其特征值为λ，特征向量为v，则有Av=λv；2. 将x表示为特征向量v的线性组合，即x = Σa_iv_i，其中a_i为常数；3. 则有Ax = A(Σa_iv_i) = Σa_iAv_i = Σa_iλv_i =λΣa_iv_i；4. 根据正定矩阵的定义，有x^TAx = (Σa_iv_i)^TA(Σa_iv_i) = Σa_i^2λ > 0；5.因此，对于任意非零向量x，有x^TAx>0，即矩阵A是正定矩阵。
三、主子式判定法主子式判定法是利用矩阵的主子式来判断矩阵是否为正定矩阵。
设A 是n×n的实对称矩阵，如果A的所有主子式（即A的任意k阶顺序主子式的行列式）均大于0，则称A为正定矩阵。
主子式判定法的推导过程如下：1. 设A的对角线元素为a_ii，则A的2阶顺序主子式为D_2 =a_11a_22 - a_12a_21；2.对于任意非零向量x=[x_1,x_2]^T，有x^TAx=[x_1,x_2](a_11x_1+a_12x_2,a_21x_1+a_22x_2)^T=a_11x_1^2+2a_ 12x_1x_2+a_22x_2^2；3.要使得x^TAx>0，必须满足D_2=a_11a_22-a_12a_21>0；4.对于3阶顺序主子式D_3=a_11(a_22a_33-a_23a_32)-a_12(a_21a_33-a_23a_31)+a_13(a_21a_32-a_22a_31)，同样有D_3>0；5.以此类推，对于任意k阶主子式D_k，都必须满足D_k>0；6.因此，对于任意n阶主子式D_n，都必须满足D_n>0，即矩阵A是正定矩阵。
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5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
在这样考虑下，可对其作线性变换nn n x x a y x a x y x a x y +=+=+=132222111而将q 化成标准形，22221n y y y q +++=这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。
现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？0021====⇒=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。
若q =0, 则必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+00 0 132211n n x x a a x x a x将其看作一 n n ⨯齐次方程组，只有系数行列式不为0时，才只有平凡解，即021====n x x x即可知),,(1n x x q 为正定二次型，于是，可写出条件为：01000100121≠na a a即0101001,01001001212121≠-≠-a a a a a a a n依次类推，最后得此),,,(21n x x x q 为正定二次型的条件是1)1(21≠-n na a a[2] 二次型分类问题的提出怎样想到要根据函数值的正负来对二次型分类的？这里以函数方及值问题为例作一讨论，供有兴趣的学生阅读教材190页5.4.2前作参考。
为简单计这里讨论二元函数。
在微积分中已知，函数),(y x f 在定义域某内点),(00y x 处取得极值的必要条件是,0),(00=∇y x f 即 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂00),(),(0000y y x f xy x f 但若真在),(00y x 处取得极值，其充要条件是对),(00y x 某邻域内点),(y x ，能使),(),(00y x f y x f -保持定号，若总取正值则),(00y x f 是极小值，若总取负值则),(00y x f 是极大值。
利用函数的泰勒公式，使这一比较成为可能。
粗来造地说起来，泰勒公式使任意足够光滑的函数，在一点邻近，总可用一个多项式来近似，而且可以给出这样近似所产生的误差，即泰勒定理中的余项公式。
现设),(y x f 在点),(00y x 处具有2阶连续偏导数，则有展开到2阶项为止的泰勒公式：)(),()(),(),(),(00000000y y yy x f x x x y x f y x f y x f -∂∂+-∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+--∂∂∂+-∂∂+20200200002202002)(),())((),(2)(),(!21y y y y x f y y x x y x y x f x x x y x f()22y y x x o -+-+由 0),(00=∇y x f ，若记 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=200200200220020),(),(),(),(y y x f x y y x f x y y x f x y x f H ，则上式可改写为 )|||(|)](),[(),(),(20200000000y y x x o y y x x H y y x x y x f y x f -+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=- 若略去高阶无穷小，从上可见，若[关于变数(0x x -)及)(0y y -的]二次型 000],[H y y x x --⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00y y x x 正定，则f (00,y x )为极小值；若这个二次型负定，则f (00,y x )为极大值。
由于这个二次型涉及函数f 在点(00,y x )处的二阶偏导数，故常称此（加上∇f (00,y x )=0）为函数极值的二阶充分条件。
[3] 正定矩阵教材185页给出了实对称矩阵为正定或负定的定义，要注意这里是以矩阵为实对称作前提的，否则就不谈是否正定的问题，并且是以对应二次型为依据的。
另外，对记号也要注意，如0>A ，这里仅是实对称阵A 是正定矩阵，即AX X T为正定二次型的同义语，除此，就再无其他含意了。
例20 设A 是n 阶满秩阵，试证A A T是正定矩阵。
解 首先易证A A T是对称的，因有A A A A A A TTTTTT==)()(，其次对任一n 维向量0≠x ，二次型0)(22≥=Ax x A A x TT，由于上式中仅当0=Ax 时才能成立等号，而0=Ax 时必有0=x ，故证得A A T 是正定矩阵。
[4] 正定的充分必要条件对不是标准形的二次型（或不是对角阵的实对称阵）要判断其正定性，除按照定义外，可利用化二次型成标准形（实对称阵必可合同于对角阵）及惯性律，这样，就有一些可用的充要条件。
1．n 个变数的二次型为正定的充要条件是正惯性指数等于变数个数，即n =π。
教材185页定理81′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵P ，使AP P T 成对角线元素皆正 的对角阵D 。
1″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是n 个特征值全正。
教材186页定理8推论2．n 个变数二次型为正定的充要条件是其规范形的系数全为+1。
存在满秩2′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵B ，使成立B B A T =(即A 与单 位阵I 合同）。
2″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ，使A =B 2。
这可对教材186页定理9的证明，作如下演算而得：2B Q Q Q Q Q Q Q Q A T T T T =ΛΛ=ΛΛ=Λ=，其中记 TQ Q B Λ=以及),,,(diag 21n λλλ =Λ。
3．n 个变数的二次型AX X T或n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是A 的多阶前主公式皆正，即),,2,1(0det ][n k Ak =>其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kk k k k nn nnn n a a a a A a a a a a a a a a A 1111][212221211211, 教材187页定理10例21 已知A 、B 同是n 阶正定矩阵，试证A +B 及kA (k 是正整数)也是正定矩阵。
解 1. 对抽象给出的矩阵，常考虑从定义出发来证明，对任一n 维向量0≠x ，有 BX X AX X XB A X TTT+=+)(后一不等号是因为AX X T 及BX X T都大于0才成立的。
故知A +B 正定。
2．kA 与A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度入手考虑。
根据A 正定，即知其特征值n λλ,,1 全正，由于k A 的全部特征值就是k n k λλ,,1 ，也都为正。
这就知kA 是正定矩阵。
例22 已知A 是n 阶实对称阵，试证(1) 若A 正定，则必 0,,0,02211>>>nn a a a ； (2) 若对一切n 维向量0=X A X T则必0=A ； (3) 若 r A r =)(则A 可分成r 个秩1矩阵之和。
解(1) 根据定义，对一切0≠x ，皆有0>x A x T，故依次令ne e x ,,1 =, 就有0)(11>Ae e T, 即 011>a0)(>nTn Ae e , 即 0>nn a(2) 分别令ne e x ,,1=, 由0=x A x T，可得011===nn a a .若再令 j ix ←←⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010 ，则 02==ij T a Ax x ，得n j i a ij ≤<≤=1,0于是O A =.也可这样入手证明，将x T Ax 通过正交变换x=Qy 化成标准形，有 ∑==ni ii Tgd Ax x 12分别令n Qe Qe x ,,1 =,由0=x A x T得值01===n λλ ,即0=Λ，于是T Q Q A Λ=.(3) 利用实对称矩阵的特性：必可对角化；有)(A r 个非零特征值。
于是，因r A r =)(， 故知A 有r 个非零特征值r λλ,,1 ，并有TQ Q A Λ= 将Λ写成r 个秩1矩阵之和r rΛ++Λ+Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ 21100λλ 其中i Λ是第i 个主对角线元为)1(r i i ≤≤λ，其他元全为0的秩1矩阵。
于是，有 r Tr TA A Q Q Q Q A ++=Λ++Λ= 11. 因i A 与i Λ同秩，故i A 均为秩1矩阵),,1(r i =，证毕。