一、集合与一元二次不等式

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一元二次不等式的解集

一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。

解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。

在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。

一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。

3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。

二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。

在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。

2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。

3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。

三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。

a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。

b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。

c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。

2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。

对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。

4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。

高考数学复习点拨集合与一元二次不等式综合问题例析

1 / 1集合与一元二次不等式综合问题例析集合，是现代数学中的一个最基本的概念．集合概念渗透到数学各个分支中，对于培养运用集合观念解题的能力，提高数学素养是大有好处的．集合问题多与不等式等有关，解答此类问题时要注意各类知识的相互转化、融会贯通与综合运用．下面就与集合与不等式有关问题选解评析几例，供读者参考．例1 已知全集U ={x | x 2－3x + 2≥0}，A ={x || x －2|＞0}，B ={x |21--x x ＞0}，求AUB ，(UA )B ．解：U ={ x |x ≤1或x ≥2}，A ={ x |x ＜1或x ＞3}，B ={x |x ＞2或x ＜1}，故A UB =φ，(UA )B =U ．评析：本题中把二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解集，与集合的交、并、补运算相结合，既考察了不等式的几种类型的解法，又考察了集合运算．这里准确解出不等式的解集很重要．例2 已知A ={x |x －a ＞0}，B ={ x | x 2－2ax －3a 2＜0}，求A B 及A B ．解：A ={x |x ＞a }，B ={ x | (x + a )(x －3a )＜0}，考虑集合B 中－a 与3a 的大小关系，对字母a 进行分类讨论： ⑴当a ＞0时，－a ＜3a ，B ={ x | －a ＜x ＜3a }， ∵－a ＜a ＜3a ，∴AB ={ x | a ＜x ＜3a }，A B ={ x | x ＞－a }．⑵当a = 0时，A ={x |x ＞0}，B =φ，此时，AB =φ，A B ={ x | x ＞0}．⑶当a ＜0时，－a ＞3a ，B ={ x | 3a ＜x ＜－a }， ∵3a ＜a ＜－a ，∴AB ={ x | a ＜x ＜－a }，A B ={ x | x ＞3a }．评析：分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行．本题还应注意到－a 与3a 的大小比较．常常可见到方程两根都含字母且不只是一次式时，比较这两根大小之后，再写出不等式的解集．而作差比较的不同情况，往往就是讨论的不同步骤．例3 关于x 的不等式| x －2)1(2+a |≤2)1(2-a 及x 2－3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0的解集依次记为A 和B ，求使A ⊆B 时a 的取值范围．解：由| x －2)1(2+a |≤2)1(2-a 得：－2)1(2-a ≤x －2)1(2+a ≤2)1(2-a ，∴2a ≤x ≤a 2+ 1，即A ={ x |2a ≤x ≤a 2+ 1}，由x 2－3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0得：(x －2)[x －(3a + 1)]≤0，① 当3a + 1≥2，即a ≥31时，B ={ x |2≤x ≤3a + 1}，欲使A ⊆B ，需有⎩⎨⎧+≥+≤.113,222a a a ⇒ 1≤a ≤3 ， ② ② 当3a + 1＜2，即a ＜31时，B ={ x |3a + 1≤x ≤2}，欲使A ⊆B ，需有⎩⎨⎧+≥≤+.12,2132a a a ⇒ a =－1 ． ∴使A ⊆B 时a 的取值范围为1≤a ≤3或a =－1 ．评析：对于含有参数的不等式应考虑到：⑴参数a 对不等式方向的影响；⑵参数a 对根的大小的影响．例4 已知集合A ={x |x 2－2x + a ≤0} ，B ={x | x 2－3x + 2≤0}，且A ≠⊂B ，求实数a 的取值范围．解：B ={x |1≤x ≤2}，A ={x |x 2－2x + a ≤0}，由于A ≠⊂B ，所以：① 当A =φ时满足A ≠⊂B ，即x 2－2x + a ≤0无解，所以△= (－2)2－4a ＜0 ⇒a ＞1 ．② 当A ≠φ时，由于不等式x 2－2x + a ≤0对应二次函数y = x 2－2x + a 的对称轴是x = 1 ．要保证A ≠⊂[1，2] ，当且仅当A ={1}，即△= 0，解得 a = 1 ．由①、②知当a ≥1时，A ≠⊂B ．评析：将集合语言转化为图形语言，便使a 的取值范围显而易见．所以，数形结合是求含参数集合问题常用的思想方法．。

第1章-集合与不等式(初等数学教案)

第1章集合与不等式【学习目标】1.了解集合的概念及其表示方法.2. 掌握集合之间的运算（子集、真子集、相等、交集、并集、补集）.3. 理解区间的概念,会在数轴上表示区间.4. 掌握绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.5. 培养学生应用数学概念的能力和计算能力.1.1 集合1.集合的概念集合是现代数学中最基本的概念之一.研究集合的数学理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，是近代许多数学分支的基础.我们在初中就已经接触到了“集合”一词,如: “自然数的集合” ,“有理数的集合”, “不等式的解集”等. 在数学和日常生活中，也经常把某些指定的对象作为一个整体加以研究，例如：⑴一个班里的全体学生；⑵某图书馆的全部藏书；⑶所有的直角三角形；⑷与一个角的两边距离相等的所有点；⑸不等式21x-＞3的所有解；⑹某工厂金工车间的所有机床．它们分别是由一些人、书、图形、点、数和机床组成的．一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),用大写字母,,,A B C表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母,,,a b c表示.如果a是集合A的元素，就说“a属于集合A”，记作a A∈；如果a不是集合A的元素，就说“a不属于集合A”，记作a A∉.某校高一(1) 班全体学生就构成了一个集合，该校内的任一学生，或者是高一(1) 班的同学，或者不是，二者必居其一，这一性质叫做集合元素的确定性；在书写高一(1)班全体同学的名单时，谁写在前面或者后面，不论次序如何，都是高一(1)班全体同学的名单，这一性质叫做集合元素的无序性；另外，每名同学的名字，必须写而且只需写一次就可以了，这一性质叫做集合元素的互异性.练一练:判断下列各组元素能否构成一个集合:(1)所有爱唱歌的孩子;(2) 0,1,1,2.集合理论的创始人是康托尔（Cantor,G.F.L.P，1845—1918）,德国数学家．任何集合的子集，即∅A⊆.因此,任何一个集合是它本身的子集，即AA⊆.集合A不包含于集合B时，记作A⊆/B.例1 写出集合{},,a b c的所有子集.解集合{},,a b c的所有子集是:{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c∅2. 真子集在集合{},,a b c的所有子集中，除去它本身{},,a b c外，集合{},,a b c中至少有一个元素不在其余的某个子集中.如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作A B(或AB≠⊃),读作A真包含于B(或B真包含A).如文氏图1-1所示.集合{},,a b c的子集中，除了{},,a b c外，其它子集都是{},,a b c的真子集.显然,空集是任何非空集合的真子集.练一练:判断集合A B与的关系:(1)集合{}1,2,3A=,{}1,2,3,4B=;设合{}1,2,3A=,{}2,3,1=B.3、集合的相等如果集合A与集合B的元素完全相同，即ABBA⊆⊆且，则称集合A与集合B相等，记作BA=.练一练:对于集合{}1,2A=, {}1,2,3,4,5,6B=,{}2,7C=,思考：符号∈与符号⊆表达的含义相同吗？思考：集合{},,a b c有三个元素，子集个数为8个，即32个；真子集个数为321-个；推广到含有n个元素的集合，则子集个数和真子集的个数分别为多少？{}(1)(2)0D x x x=--=,下列关系是否成立:A D=,A B⊆, A B,A C⊂?例2 指出下列各组中两个集合之间的关系:(1){}{}1,7,1,2,3,7A B==;(2){}{}21,1,1C x x D===-;(3){}{},E F==偶数整数;解(1) A B; (2)C D=; (3)E F.例3 讨论集合{}20A x x=-=与集合{}260B x x x=+-=的关系.解因为集合{}{}22==-=xxA,集合{}{}2,362-==-+=xxxB,所以集合A是集合B的真子集，即A B.【习题1.2】1．用符号∈、∉、=、、≠⊃填空：（1）1 N；（2）0 Z；（3）-2 -Q（4）43Q；（5）πQ；（6）2R；（7）{1，2} {2，1}；（8）{3，5} {1，3，5}；（9）{2，4，6，8} {2，8}；（10）∅ {1，2，3}.2．图1-2中A、B、C表示集合，说明它们之间的关系.图1-23．写出集合{1,3,5}的所有子集.4．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，4，6}，写出由A和B的所有元素组成的集合C.5．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，6，8，10}，写出由A和B的公共元素组成的集合 C.1.3 集合的运算 1. 交集观察集合{}1,237A =，，与{}2,3,67,B =，，容易看出，集合}73,2{，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的，对于这样的集合我们给出如下定义.定义由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集(如图1-3的阴影部分所示)，记作B A ，读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B =∈∈且.由交集的定义及图1-3可以看出, B A 既是A 的子集，也是B 的子集,即A B A ⊆且A B B ⊆.另外，交集还有如下性质：A A A A AB B A∅=∅== 若A B A ＝，则A B ⊆，反之也成立. 例1 设集合：(1){}2,578A =，，,{}5,68,10B =，; (2) {}A =奇数,{}B =偶数; (3) {}A =奇数,{}B =整数;(4) {}A =等腰三角形,{}B =直角三角形; (5){}(,)25A x y x y =+=,{}(,)27B x y x y =+=; (6){}13A x x =≤≤,{}25B x x =≤≤. 求B A .解 (1) {}{}{}2,5785,68,105,8A B ==，，，; (2) {}{}A B ==∅奇数偶数;(3) {}{}{}AB A ===奇数整数奇数;{}{}{}(4);A B ==等腰三角形直角三角形等腰直角三角形{}{}{}(5)(,)25(,)2725(,)(1,3);27A B x y x y x y x yx yx yx y=+=+=⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭(6){}{}{}132523A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤, 如图1-4所示.2. 并集我们把集合{}1,237A=，，与{}2,3,67,B=，的元素放在一起，构建新的集合,由集合元素的互异性得新的集合为{}1,2,3,6,7. 它是由所有属于A,或属于B的元素组成的.对于这样的集合，我们给出如下定义.定义由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(如图1-5的阴影部分所示),记作A B,读作A并B,即{|,}A B x x A x B=∈∈或.由并集的定义及图1-5可以看出,集合A B、都是A B的子集,即A A B⊆,B A B⊆.另外，并集还有如下性质：A AA A AA B B A∅===若A B B＝，则A B⊆，反之也成立.例2设集合：(1){}2,578A=，，,{}5,68,10B=，;(2) {}A=奇数,{}B=偶数;(3) {}A=奇数,{}B=整数;(4) {}A=等腰三角形,{}B=直角三角形;(5) {}13A x x=≤≤,{}25B x x=≤≤.求A B.解(1) {}{}{}2,5785,68,1025678,10A B==，，，，，，，;(2) {}{}{}A B==奇数偶数整数;(3) {}{}{}A B B===奇数整数整数;{}{}(4);A B=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭等腰三角形直角三角形等腰直角三角形，等腰非直角三角形，直角非等腰三角形(5){}{}{}132515A B x x x x x=≤≤≤≤=≤≤,如图1-6所示.3. 补集观察下列三个集合之间的关系：I＝{全班同学}, A＝{班上男同学} , B＝{班上女同学}.容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下来的元素组成的集合.在研究集合之间的关系时,如果集合I包含我们要研究的各个集合，则称I为全集.设I是全集，A是I的一个子集（即A⊆I），则由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫作集合A在I中的补集(如图1-7所示)，简称集合A的补集.记作ΑIC，读作“A补”，即{}AxIxxΑ∉∈=且IC.由全集与补集的定义可得：IΑA=IC，oΑA/=IC，oI/=IC，Io=/IC，ΑΑ=)II(CC.例3 设{}I=三角形，{}A=锐角三角形,求ΑIC.解{}形直角三角形，钝角三角=ΑIC.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在他们的并集中只列举一次},2,3,4,5，A＝∅，求}{2++=a a A,3,21,(1)1A 、2A 、3A 、4A 中哪两个集合的交集是非空集合？(2)求23A A .(3)求14A A .(4)2A 、3A 、4A 中哪些集合是1A 的真子集.1.4 区间设,a b 是两个实数，且a b <,则:满足不等式a x b ≤≤的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的闭区间,记作[,]a b .满足不等式a x b <<的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的开区间,记作(,)a b .满足不等式a x b ≤<(或a x b <≤)的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的半开区间,记作[,)a b (或(,]a b ).在这里,实数,a b 叫做相应区间的端点. 上述区间[,]a b ,(,)a b ,[,)a b ,(,]a b 统称为有限区间. 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合，分别记作),[+∞a ,),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞，这些区间称为无限区间. 其中符号+∞与-∞分别读做正无穷大与负无穷大. 全体实数的集合R 也是无限区间,记作(,)-∞+∞.区间可以用数轴上的点集来表示,其中用实心点表示端点包括在区间内, 用空心点表示端点不包括在区间内,如图1-8所示.无限区间也可以用数轴上的点集来表示, 如图1-9所示.例1 用区间表示下列集合:(1){}16x x <≤; (2){},1,2x x R x x ∈≠≠. 解各集合用区间分别表示为(1)(]6,1; (2)(,1)(1,2)(2,)-∞+∞.练一练:用区间表示下列集合:(1){}16x x -≤≤; (2){}5x x ≥;例2 把下列不等式组的解集用集合、区间及数轴上相应的点集表示：（1）2,0;x x >-⎧⎨≤⎩ （2）30,20.x x ->⎧⎨+>⎩解 (1)不等式组2,0,x x >-⎧⎨≤⎩解集的集合形式为{}20x x -<≤.区间形式为(2,0]-.数轴上的点集表示如图1－10(1)所示. （2）不等式组30,20,x x ->⎧⎨+>⎩解集的集合形式为{}3>x x .区间形式为)(∞+,3.数轴上的点集表示如图1－10(2)所示..例3 设集合{}{}21,14A x xB x x=-<<=-≤≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.解{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}11x x=-≤<.区间形式为[1,1)-.数轴上的点集表示如图1－11(1)所示.{}{}2114A B x x x x=-<<-≤≤{}24x x=-<≤.区间形式为(2,4]-.数轴上的点集表示如图1－11(2)所示.今后,我们可以采用不等式、集合、区间、数轴上的点集等不同的方法表示数集.【习题1-4】1.用区间表示下列集合:(1) {}15x x-<<; (2) {}14x x≤≤;(3) {}3≤x x; (4) {}53x x x≥<-或.2. 把下列不等式组的解集用三种方式——集合、区间及数轴上点集表示出来：（1）47;xx>⎧⎨≥⎩（2）4030.xx-≤⎧⎨+>⎩3. 设集合{}{}2,22A x xB x x=-<<+∞=-<≤,求,A B A B,并用区间及数轴上的点集表示.1.5 绝对值不等式的解法一个数的绝对值,表示数轴上与这个数所对应的点到原点的距离．一个实数a 的绝对值记作a ,是指由a 所唯一确定的非负实数，且,0;0,0;,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时.下面，我们学习绝对值不等式的解法.依据绝对值的定义可知，x 是数轴上表示x 的点到原点的距离.从而当0a >时，x a <的解集，是数轴上与原点的距离小于a 的点的集合，即{}x a x a -<<（如图1－12（1）所示）；x a >的解集，是数轴上与原点的距离大于a 的点的集合, 即{}x x a x a <->或（如图1－12（2）所示）.例1 解下列不等式:(1) 3x <; (2)5x ≥. 解 (1) 3x <的解集为{}33x x -<<; (2)5x ≥ 的解集为{}55x x x ≤-≥或.对于,(0)ax b c ax b c c +<+>>型的不等式，可以把ax b +看作一个整体，转化成,x a x a <>型不等式来求解.例2 解下列不等式,并用区间表示解集: (1) 87x -≤; (2)4214x +>. 解 (1) 由87x -≤，得787x -≤-≤,整理得 115x ≤≤, 所以原不等式的解集为 [1,15].当不等号取"",""≤≥时有类似的性质，其解集可简记为“小于在中间，大于在两边”.(2) 由4214x +> ，得42144214x x +>+<-或, 解得43-<>x x 或, 所以原不等式的解集为(,4)(3,)-∞-+∞.【习题1.5】1. 解下列不等式,将解集表示为集合的形式:(1)132x ≥; (2)1105x ≤; (3)61x -<; (4)38x <-. 2. 解下列不等式,将解集表示为区间的形式: (1)3813x -<; (2)257x -≤;(2)11223x +>; (4)3214x -≥.1.6一元二次不等式的解法形如2200(,,,0)ax bx c ax bx c a b c a ++>++<≠或为常数且的不等式称为一元二次不等式.这里，我们利用一元二次函数的图像，找出一元二次不等式与一元二次函数及一元二次方程之间的关系，进而得到求解一元二次不等式的方法.在一元二次函数22y x x =--中，令0=y ，得022=--x x解得 21=-=x x 或.观察函数22y x x =--的图像(如图1-13),可得 (1) 当12x x =-=或时,0y =; (2) 当12x -<<时,0y <; (3) 当12x x <->或时,0y >.由此可知(a)一元二次方程220x x --=有两个不同的根1212x x =-=,;(b)一元二次不等式220x x --<的解集为{}12x x -<<; (c) 一元二次不等式220x x -->的解集为{}12x x x <->或.该例表明,一元二次函数的图象与x 轴的交点，可以确定相应的一元二次不等式的解集.练一练:讨论：当x 取何值时,下列一元二次函数的值0,0,0y y y >=<? (1) 22y x x =-+ (2) 244y x x =-+ （3）222+-=x x y 下表按一元二次函数2y ax bx c =++（0>a ）的判别式000<∆=∆>∆,,三种情形，给出了一元二次不等式的解集.如果二次项系数0a <，我们可用(－1)乘不等式两边，将其变形为二次项系数为正的情况．例1 解下列不等式:(1)260x x -->; (2) 2280x x -++≥. 解 (1)2(1)41(6)250∆=--⨯⨯-=>, 方程260x x --=有两个不相等的实根24b ac ∆=-2y ax bx c =++(0)a >的图象20ax bx c ++=(0)a ≠的根20ax bx c ++<(0)a >的解集2ax bx c ++>(0)a >的解集(1)0∆>21,242b b acx a-±-=12()x x <{}12x xx x <<{}12x x x x x <>或(2)0∆=122b x x a==-∅,2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭(3)0∆<无实根∅R思考：当0∆=时，不等式2≥++c bx ax 的解集是什么？要解二次不等式，二次系数先变正.0∆>时,大于在两边，小于在中间．复习题1 A 组1.用适当的符号∈∉=⊆“”“”“”“”“”填空: {}{}5____;____;______;______0;;__.Q Q R R a a b A B A B +-+-∅-1________N; -5_______Q; 0.6______； -2 3 ____,2. 用另一种方法表示下列集合: （1）{}22150A x x x =+-=; (2){}44,B x x x Z =-≤≤∈;（3）{}4绝对值等于的数; (4){}215,A x x x Z =+=∈.3.判断下列各组元素是否构成一个集合？（1）非常小的数; （2）本班兴趣广泛的同学; （3）0与1之间的实数; (4) 非常漂亮的孩子. 4. 写出集合{},,红绿蓝的所有子集和真子集. 5. 设集合{}{}25,32A x x B x x =-≤<=-<<. 用区间及数轴上相应的点集表示,A B ; (2)求,AB A B .6. 解下列绝对值不等式:(1) 2x ≤; (2) 5x >; (3) 2515x -<; (4) 212x +≥. 7.解下列不等式:(1) 240x x -+->; (2) 243(43)x x >-;(3)23620x x -+<; (4) 29610x x -+<. 8. 解下列不等式:(1)3212x x +≥-; (2) 1111x x +≤-; (3)4502x x ->-; (4) 3443x x -<+.}N +,{}1,2,3,4,5,9A =,B ，B ΑI I C C .已知{2A x x =-{}3,求,a b 的值.4. 已知x (1)2x +60m。

不等式的解集一元二次不等式的解法

提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
11
7．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两个不相等有两个相等的
解不等式 y＞0 求方程 y＝0 的
7
4.一元二次不等式的概念一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c 是常数，而且 a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
18
3．不等式|x|－3＜0 的解集为________． {x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
19
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________． ∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－ 23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
38
[解]
(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－
1 2
，x2＝2，∴
不等式2x2－3x－2>0的解集为
xx<－12或x>2

.

(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.

第一章集合、方程及不等式

含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程，即形如 ax b 0
解一元一次方程的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，将方程整理，使等式的一端含有未知数，另一端为常数，即 ax b ；（ 5）两边同除以 a 得解。
例 1、解下列一元一次方程：
第一章
集合、方程及不等式
1、集合的概念：一组确定的对象的全体叫做集合 2、常用的数集：
整数集：Z 如正整数、负整数、零有理数集：Q 包括整数、分数、有限小数实数集：R 我们所学习的所有数都是实数自然数集：N 只包括零和正整数
注意：不含有任何元素的集合叫空集，记作
3、集合与元素的关系：
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
a b 即： a b 且 c 0 那么 ac bc ( ) c c
例 1、设 a 0 ，比较 (a 1) 与 a a 1 值的大小。
2
2
例 2、根据下列描述，提炼出不等关系。（1）今年小王比小徐的年龄大，若干年以后，小王比小徐的年龄还是大，那么，若干年前呢? （2）现在小王的身高比小李高，假定他们在一年中身高增长的百分数相同，一年后小王比小李还是要高。（3）小王比小李跑得快，小李比小张跑得快，那么小王比小张跑得快。
1、比较 ( x 5)( x 7) 与 ( x 6) 的大小。
2
2、如果 a b 0 ，用“>” “<”填空。
1 1 （1） a _____ > b （2） a _____ > b
（3） a _____ b
2
>
2

高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算

高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算年份题号考点考查内容2011文1集合运算两个离散集合的交集运算，集合的子集的个数2012理1与集合有关的新概念问题由新概念确定集合的个数文1集合间关系一元二次不等式解法，集合间关系的判断2013卷1理1集合间关系一元二次不等式的解法，集合间关系的判断文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算个连续集合与一个离散集合的交集运算2014卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷2理2集合元素一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合元素一元二次方程解法，两个离散集合的交集运算2015卷1文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的并集2016卷1理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，两个离散集合并集运算文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个离散集合的补集运算2017卷1理1集合运算指数不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算文1集合运算一元一次不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算卷2理2集合运算一元二次方程解法，两个离散集合交集运算文1集合运算两个离散集合的并集运算卷3理1集合概念与表示直线与圆的位置关系，交集的概念．文1集合运算两个离散集合的交集运算2018卷1理1集合运算一元二次不等式解法，补集运算文1集合运算两个离散集合的交集运算卷2理2集合概念与表示点与圆的位置关系，集合概念文1集合运算两个离散集合的交集运算卷3文理1集合运算一元一次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2019卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文2集合运算三个离散集合的补集、交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷3文理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2020卷1理2集合运算一元二次不等式的解法，含参数的一元一次不等式的解法，利用集合的交集运算求参数的值文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算两个离散集合的并集、补集运算文1集合运算绝对值不等式的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算考点出现频率2021年预测集合的含义与表示37次考2次在理科卷中可能考查本考点集合间关系37次考2次可能在试卷中考查两个几何关系的判定或子集的个数问题集合间运算37次考32次常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算与集合有关的创新问题37次考1次考查与集合有关的创新问题可能性不大考点1集合的含义与表示1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．52．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．63．【2017新课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．【2018新课标2，理1】已知集合 = ，2+ 2≤3， ∈ ， ∈ ，则中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．45．【2013山东，理1】已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．96．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或47．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．28．【2011广东，理1】已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．19．【2011福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A ．i ∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______．考点2集合间关系1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．A BÜB ．B AÜC ．A B=D ．A B =∅2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则()A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A ．A ＝BB ．A B =∅∩C ．A BÜD ．B AÜ4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是()A ．N M⊆B ．M N M= C ．M N N= D ．{2}M N = 5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则()A ．P Q⊆B ．Q P⊆C ．R C P Q⊆D ．R Q C P⊆6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是A ．(-∞，-1]B ．[1，+∞)C ．[-1，1]D ．(-∞，-1] [1，+∞)7．【2013新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5＝，则()A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B8．【2012大纲，文1】已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D ={x ︱x 是菱形}，则A ．A ⊆BB ．C ⊆BC ．D ⊆C D ．A ⊆D9．【2012年湖北，文1】已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4考点3集合间的基本运算1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩N=A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}3．【2013新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=()(A)｛-2，-1，0，1｝(B)｛-3，-2，-1，0｝(C){-2，-1，0}(D){-3，-2，-1}4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=()(A)｛1，4｝(B)｛2，3｝(C){9，16}(D)｛1，2}5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=A ．[-2，-1]B ．[-1，2)C ．[-1，1]D ．[1，2)6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=()A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则M N = ()A.)1,2(-B ．)1,1(-C ．)3,1(D ．)3,2(-8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B = ()A.∅B ．{}2C ．{0}D ．{2}-9．【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<，则A B = ()A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,210．【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为()(A)5(B)4(C)3(D)211．【2015新课标2，文1】已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B = ()A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,312．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A ⋂=(A)3(3,2--(B)3(3,2-(C)3(1,2(D)3(,3)213．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = ()(A){1}(B){12}，(C){0123}，，，(D){10123}-，，，，14．【2016新课标3，理1】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则T S ⋂=(A)[2，3](B)(-∞，2]U [3，+∞)(C)[3，+∞)(D)(0，2]U [3，+∞)15．【2016新课标2，文1】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = ()(A){210123}--，，，，，(B){21012}--，，，，(C){123}，，(D){12}，16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = ()(A){1，3}(B){3，5}(C){5，7}(D){1，7}17．【2016新课标3，文1】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=(A){48},(B){026}，,(C){02610}，，,(D){0246810}，，，，,18．【2017新课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x => D ．A B =∅19．【2017新课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则()A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,521．【2017新课标2，文1】设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则A B =()A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．423．【2018新课标1，理1】已知集合 = 2− −2>0，则∁ =A ． −1< <2B ． −1≤ ≤2C ． | <−1∪ | >2D ． | ≤−1∪ | ≥224．【2018新课标3，理1】已知集合 = | −1≥0， =0，1，2，则 ∩ =A ．0B ．1C ．1，2D ．0，1，225．【2018新课标1，文1】已知集合，，则()A ．B ．C ．D ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ．27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=()A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<28．【2019新课标1，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =()A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,729．【2019新课标2，理1】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=()A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,232．【2019浙江，1】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-33．【2019天津，理1】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,434．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ðA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x <<36．【2017山东，理1】设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = ()A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()A B C = A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)39．【2016年山东，理1】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞40．【2016年天津，理1】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =ðA ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =(i 是虚数单位)，{}1,1B =-，则A B 等于()A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N = A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B =ðA ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,847．【2014山东，理1】设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)48．【2014浙江，理1】设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U A ．∅B ．}2{C ．}5{D ．}5,2{49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<50．【2013山东，】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B = ð，{1,2}B =，则U A B =ðA ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则C M R 为A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-52．【2013湖北，理1】已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于A ．M N⋃B ．M N⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B = ，则实数a 的值为_．56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = ()A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =()A ．–4B ．–2C ．2D ．458．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()U A B =ð()A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<<则P Q =()A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x <<61．【2020年高考北京卷1】已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A B A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ð()A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---64．【2020年高考上海卷1】已知集合{}{}1,2,4,2,4,5A B ==，则A B = ．65．【2020年高考江苏卷1】已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B =．考点4与集合有关的创新问题1．(2012课标，理1)．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,B x y x y =≤≤,}x y ∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为()A ．77B ．49C ．45D ．303．【2013广东，理8】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n = ，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∉4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是()A ．1B ．2C ．3D ．45．【2013浑南，文15】对于E ={12100,,,a a a }的子集X ={12,,,kii i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于；(2)若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈= ．对于集合A中的任意元素12(,,,)n x x x α= 和12(,,,)n y y y β= ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++-- ．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。

数学讲义：第3章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案

高中数学课程
1．含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)． 2．解含参数的一元二次不等式 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 与等于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.
∴7m－6<0，解得
6 m<7.
∴0<m<67.
当 m＝0 时，－6<0 恒成立．
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6，∴m<0.
高中数学课程
综上所述，m 的取值范围为－∞，67. 法二：f(x)<－m＋5 恒成立，
高中数学课程
综上所述，
当－2<a<0 时，解集为x2a≤x≤－1

；

当 a＝－2 时，解集为{x|x＝－1}；
当 a<－2 时，解集为x－1≤x≤2a

.

不等式恒成立问题
【例 3】设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．

.

(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程 3x2－6x＋2＝0，得 x1＝

高中数学一元二次不等式及其解法

第3课时
一元二次不等式及其解法
2014高考导航
考纲展示备考指南
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
1.以考查一元二次不等式的解法
为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识． 2.以集合为载休，考查一元二次
2.通过函数图象了解一元二次
不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
目录
【解】
(1)设生产第x档次产品时，所获利润最大，则生
产第x档次产品时，每件利润为16＋(x－1)×1(元)，生产第x档次产品时，每天生产[40－2(x－1)]件，所以生产第x档次产品时，每天所获利润为： y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]
＝－2(x－3)2＋648(元)．
当x＝3时，y最大，即生产第三档次产品利润最大．
目录
2．用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程为：
目录
课前热身
1．若集合 A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则 A∩B 是( A．{1,2,3} C．{4,5} ) B．{1,2} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
目录
x －1<0 2．不等式组 2 的解集为( x －3x<0
(2)引进数学符号、用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回归实际问题．
目录
跟踪训练 3．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？

第一章不等式与集合

1．1 不等式的性质与解集
集合——例题解析
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——知识巩固4
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
节菜单
不等式的性质——知识巩固3
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——表示方法
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——实例考察
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
节菜单
集合——定义
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组）
不等式的解也被称为解集. 实例考察中, 第 1(1.)3题的一解元集二是次自不然等数0式, 1, 2
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元记二法次不等式 1.4 含有绝N 对值的不等式
N*或 N+ Z Q R
我们把不含任何元素的集合叫做空集, 记作∅. 例如, 方程x2+2=0没有实数解, 因此, 方程x2+2=0的实数解组成的集合就是∅.
使不等式成立的未知数的全体组成的集合, 就是不等式的解集.

数学课件(新教材人教A版强基版)第一章集合常用逻辑用语不等式15一元二次方程不等式

命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为__－__∞__，__67___.
要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即 mx－122＋34m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 方法一令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]. 当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以 m<67，所以 0<m<67；
a<0的解集为
√A.x－1<x<21
B.xx<－1或x>12
C.{x|－2<x<1}
D.{x|x<－2或x>1}
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，
所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，
即－1＋2＝－ba，(－1)×2＝2a，解得a＝－1，b＝1，
取值范围是
A.{a|a<－22}
√C.{a|－2<a≤2}
D.{a|a<2}
因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R. 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足Δa－＝2[2<0a，－2]2＋4×4×a－2<0，解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}.

一元二次不等式解法和集合运算练习题

必修 5《一元二次不等式及其解法》练习卷知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：鉴别式b2 4ac 0 0 0 二次函数y ax2bx ca0 的图象有两个相异实数根一元二次方程ax2 bx c 0x1,2 b 有两个相等实数根2a x1 x2b 没有实数根a 0 的根2ax1 x2ax2 bx c 0x x x1或x x2x xbRa 0 2a一元二次不等式的解集ax2 bx c 0x x1 x x2a 0同步练习：1、不等式6x2 5x 4 的解集为（）A ．, 4 1 , B． 4 , 13 2 3 2C．, 1 4 , D． 1 , 42 3 2 32、设会合x 1 x 2 ，x x a 0 ，若，那么实数 a 的取值范围是（）A．1, B．2, C．,2 D．1,3、若不等式x2 mx 1 0 的解集为 R ，则 m 的取值范围是（）A ．RB ．2,2 C．, 2 2, D．2,24、设一元二次不等式ax 2 bx 1 0 的解集为x 1 x 1 ，则 ab 的值是（）3A ．6 B．5 C．6 D．55、不等式x2 ax 12a2 0 a 0 的解集是（）A ．3a,4 aB ．4a, 3a C．3,4 D ．2a,6 a6、不等式ax2 bx 2 0 的解集是x 1 x 1，则2 3 A．14 B．14 C．a b（）10D．101 2 x2 6 x 9 x2 3x 191的解集是（）7、不等式22A ．1,10 B．, 1 10,C．R D．, 1 10,8、不等式x 1 2 x 0 的解集是（）A ．x 1 x 2 B．x x 1或x 2 C．x 1 x 2 D．x x 1或x 29、不等式ax2 bx c a 0 的解集为，那么（）A ．a 0，0B ．a 0，0 C．a 0，0 D ．a 0，010、设f x x2 bx 1 ，且 f 1 f 3 ，则 f x 0 的解集是（）A．,1 3, B．R C．x x 1 D ．x x 111、若0 a 1，则不等式 a x1的解是（）x 0aA ．a1 1x a x B．a aC．x a或x 1 D．x 1或 x aa a12、不等式x 1 3x 0 的解集是（）A．,1B．,0 0,1C．1, D．0,13 3 3 313、二次函数y ax2 bx c x R 的部分对应值以下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6则不等式 ax2 bx c 0 的解集是____________________________．14、若a b 0 ，则 a bx ax b 0 的解集是_____________________________．15 、不等式ax2 bx c 0 的解集为x 2 x 3 ，则不等式ax2 bx c 0 的解集是________________________ ．16、不等式x2 2x 3 0 的解集是___________________________．17、不等式x2 5x 6 0 的解集是______________________________．18、k 1 x2 6x 8 0 的解集是或4 ，则k_________．x x 2 x519、已知不等式x2 px q 0 的解集是x 3 x 2 ，则 p q ________．20、不等式x x3 0 的解集为____________________．21、求以下不等式的解集：⑴ x 4 x 1 0 ；⑵3x2 x 2 ；⑶ 4x2 4x 1 0 ．22、已知不等式ax 2bx 2 0 的解集为x 1x1，求a、b的值．2 323、已知会合x x29 0 ，x x24x 3 0 ，求，．会合的运算一、知识点：1．交集：由所有下于会合 A 即：A B2．并集：由所有下于会合 A 即：A B 属于会合 B 的元素所组成的会合，叫做 A 与 B 的交集。

第1章第5节一元二次不等式及其解法

第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集为R.( ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－ 4ac≤0.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
第五节一元二次不等式及其解法
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 __{_x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2_}__ ___{_x|_x_≠_x_1}_____
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于( )
A．{x|－2＜x＜3}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
B [由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，
第五节一元二次不等式及其解法
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用分类讨论思想解含参一元二次不等

我们知道，解一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)，需先令ax 2+bx +c =0(a >0)，并根据方程的判别式判断根的个数，再通过分解因式或利用求根公式求得方程的根，最后根据“同大取大，同小取小，大大小小没有解，大小小大取中间”的口诀求得不等式的解集.由于参数的值无法确定，所以含有参数的一元二次不等式问题通常较为复杂，往往需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类讨论，最重要的是，对含参一元二次不等式对应方程的根（实数根）的大小、判别式与0的大小关系、二次项系数的符号进行分类讨论，这是用分类讨论思想解含参一元二次不等式需注意的几个要点.一、注意讨论方程的根的大小含参一元二次不等式所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根的大小关系随着参数的变化而变化，且对不等式解集的影响较大.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx+c =0(a >0)有两个根，且能够进行因式分解，则需先通过因式分解，求得方程的两个根x 1、x 2，然后运用分类讨论思想，分三种情况x 1>x 2、x 1=x 2、x 1<x 2进行分类讨论.若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}；若x 1=x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{}x |x ≠-b 2a；若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}.例1.解不等式ax 2-()a -1x -1<0()a <0.解：原不等式等价于æèöøx +1a ()x -1>0，则方程æèöøx +1a ()x -1=0的根分别为x 1=-1a ，x 2=1，①当x 1=-1a>x 2=1时，可得-1<a <0,不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；②当x 1=x 2=1时，可得a =-1，不等式的解集为{}|x x ≠-1；③当x 1=-1a<x 2=1时，可得a <-1，不等式的解集为{}|x x >1或x <-1a；综上可知，当-1<a <0时，不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；当a =-1时，不等式的解集为{}|x x ≠-1；当a <-1时，不等式的解集为{|x x >1或}x <-1a.该一元二次不等式中含有参数，且容易分解因式，求得方程的两个根，但无法确定两个根的大小，所以要运用分类讨论思想对两根的大小进行讨论.在进行讨论时，需根据参数a 的取值范围，来确定不等式的解集.二、注意讨论方程的判别式与0的大小关系含参一元二次不等式所对应方程ax 2+bx +c =0(a >0)的判别式能决定方程的根的个数，这就直接影响着一元二次不等式的解集的形式.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)不能进行因式分解，则需先求得方程的判别式Δ＝b 2-4ac ，然后分为三种情况：Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论.一般地，若△>0，则方程有2个相异实根x 1、x 2(x 1<x 2)，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}；若△=0，则方程有1个实数根x 1=x 2，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x ≠x 1}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅；若△<0，则方程没有实根，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为R ，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅.我们可结合函数的y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象来进行讨论，这样能有效提升解题的效率.例2.已知集合A ={}|x x 2+3k 2≥2k ()2x -1，B ={}|x x2-k ()2x -1+k 2≥0，且A ⊆B ，试求k 的取值范围.用分类讨论思想解含参一元二次不等式薛明美42解：由题意可知A ={}|x []x -()3k -1[]x -()k +1≥0，则方程[]x -()3k -1[]x -()k +1=0有两个根x 1=3k-1，x 2=k +1，①当x 1<x 2时，可得k >1，此时集合A ={|x x ≥3k -1或x ≤k +1}，②当x 1=x 2时，可得k =1，此时集合A ={}|x x ∈R ，③当x 1>x 2时，可得k <1，此时集合A ={|x x ≥k +1或x ≤3k -1}，令x 2-k ()2x -1+k 2=0，则Δ=4k 2-4()k 2+k =-4k ，①当Δ<0时，可得k >0，此时集合B ={}|x x ∈R ；②当Δ=0时，可得k =0，此时集合B ={}|x x ∈R ；③当Δ>0时，可得k <0，此时集合B ={|x x ≤k --k 或x ≥k +-k }；当k ≥0时，集合B ={}|x x ∈R ，此时A ⊆B ；当k <0时，集合B ={}|x x ≤k --k 或x ≥k +-k ，要使A ⊆B ，则需使ìíî3k -1≤k --k ，k +1≥k +-k ，解不等式组可得k ≥-1，综上，满足A ⊆B 的k 取值范围为[)-1,0或[)0,+∞.问题中的两个集合都是含参一元二次不等式的解集.由于集合A 中的含参不等式能够进行因式分解，而集合B 中的含参不等式不能进行因式分解，所以需先求得集合B 中的含参不等式所对应方程的判别式，对Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论，分别求得三种情形下不等式的解集，然后建立满足A ⊆B 的新不等式，求得k 取值范围，最后综合所求的结果即可.例3.设不等式x 2-2ax +a +2≤0解集为M ，若M ⊆[]1,4，则实数a 取值范围为____.解：设f ()x =x 2-2ax +a +2，可得Δ=()-2a 2-4()a +2=4()a 2-a -2，①当Δ<0时，可得-1<a <2，M =∅⊆[]1,4；②当Δ=0时，可得a =-1或a =2，当a =-1时，可得M ={}-1⊄[]1,4，不符合题意舍去，当a =2时，可得M ={}2⊆[]1,4，符合题意，③当Δ>0时，可得a <-1或a >2，令f ()x =0的根为x 1，x 2()x 1<x 2，且M ⊆[]x 1,x 2，M ⊆[]1,4，可知1≤x 1＜x 2≤4，可得ìíîïïïïf ()1≥0，f ()4≥0，Δ>0，1<--2a 2<4，解得2<x ≤187，综上可知，实数a 取值范围为æèùû-1,187.该含参一元二次不等式不能进行因式分解，所以需先求得不等式所对应的方程的判别式，分Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论，然后在每种情形下，根据已知的解集列出不等式组，求出参数a 取值范围.三、注意讨论方程二次项系数的符号我们知道不等式与函数的关系紧密，一元二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数决定了抛物线的开口方向，而抛物线的开口方向直接影响着一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0的解集.因此在解含参一元二次不等式要注意讨论二次项系数的符号，当二次项的系数a >0时需按下表分如下几种情况讨论：判别式Δ=b 2-4ac一元二次函数y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集△>0{x |x <x 1或x >x 2}{x |x 1<x <x 2}△=0{}x |||x ≠-b 2a∅△<0R∅43含参函数问题通常较为复杂，尤其在遇到含有多个参数的函数问题时，很多同学不知如何下手.解答含有多个参数的函数问题，关键在于合理处理参数，将问题简化为只含有一个参数或没有参数的函数问题.下面介绍三种解答含有多个参数的函数问题的方法.一、分离变量法当函数问题中出现多个参数时，可通过恒等变形，将其中一个已知取值范围的参数从函数式或不等式中分离出来，将问题转化成只含一个参数或没有参数的函数最值问题来求解.例1.已知当θ∈R 时，不等式a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4恒成立，求实数a 的取值范围.解：由a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4可得4sin θ+cos2θ<5a -4-a +5，要使上式恒成立，只需使5a -4-a +5大于4sin θ+cos2θ的最大值，设f (θ)=4sin θ+cos2θ，化简得f (θ)=-2sin 2θ+4sin θ+1=-2(sin θ-1)2+3≤3，可得5a -4-a +5>3，即5a -4>a -2，上式等价于ìíîïïa -2≥0，5a -4≥0，5a -4>(a -2)2，或{a -2<0，5a -4≥0，解得45≤a <8.该函数不等式中含有两个参数a 及θ，其中θ的取值范围已知，另一参数a 的范围即为所求，故可考虑运用参数分离法，将θ从不等式中分离出来；再将不含有θ的式子构造成关于a 的函数式，利用正弦函数和二次函数的有界性求得函数的最值，即可建立关于a 的新不等式，求得a 的取值范围.例2.设正数f ()x =e 2x 2+1x ,g ()x =e 2x e x ，对任意x 1,x 2∈()0,+∞，不等式g ()x 1k ≤f ()x 2k +1恒成立，求正数k 的取值范围.解：由g ()x 1k ≤f ()x 2k +1可得g ()x 1≤kf ()x 2k +1，所以kf ()x 2k +1≥[]g ()x 1max ，钱桂红。

一元二次不等式的解法过程

一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。

解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。

例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。

2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。

使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。

3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。

当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。

b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。

当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。

c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。

4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。

若成立，则解有效；若不成立，则解无效。

5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。

例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。

下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。

解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。

2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。

3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。

当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。

4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。

2.2一元二次不等式的解法

80 1 r%
8-0.62r
即3.1r2-41r+100≤0
=>100/31≤r≤10
因此，所求的r取值范围是[100/31，10]
练习1
某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元，则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10 的整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？
△
图
△＞0
x1=
不等式解集为｛x｜x＜x1 或x＞x2｝
不等式解集为｛x｜x1＜x＜ x2}
像
△=0 x 0=
b 2a
与
不等式解集｛x|x≠x0, x∈R｝
解集为
解
△＜0
方程无解
不等式解集为 R(一切实数)
解集为
a＜0的情况自己完成
二、典型习题——逆用解不等式
1. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。 2. 求a,b满足的条件，使得ax2+2x+b>0 的解集为（1）(-1，2) （2） (-∞,+∞)
不等式怎么解？ ax2＋bx＋c=0
三、解法
例1、解一元二次不等式：x² -x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x 2 0 x 2 0 或 x 1 0 x 1 0
代数解法
x ， 1 2，
y=(x-2)(x+1)
几何解法
2
。
2.2一元二次不等式的解法
(2)
解不等式 x ( a 2) x 2 a 0

一元二次不等式求解集用描述法

一元二次不等式求解集用描述法
一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们以ax^2 + bx + c > 0为例来求解其解集。

首先，我们需要找到二次不等式的零点，即解出对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的根。

这可以通过求根公式x = (-b ±
√(b^2 4ac)) / (2a)来实现。

假设根为x1和x2（x1 <= x2），则二次函数在x1和x2之间为正（或负）。

接下来，我们需要考虑a的正负情况：
1. 当a > 0时，二次函数是开口向上的抛物线，因此当x在x1和x2之间时，函数值大于0，所以解集为(x1, x2)。

2. 当a < 0时，二次函数是开口向下的抛物线，因此当x在x1和x2之间时，函数值小于0，所以解集为(-∞, x1)并集(x2, +∞)。

因此，一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0的解集可以用描述
法表示为：
1. 当a > 0时，解集为{x | x1 < x < x2}。

2. 当a < 0时，解集为{x | x < x1}并{x | x > x2}。

这样就完成了一元二次不等式求解集的描述法表示。

希望这个回答能够帮到你。

一元二次不等式定义域-定义说明解析

一元二次不等式定义域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它是对一元二次函数的研究和应用。

定义域是一元二次不等式的重要概念之一，它指的是一元二次函数中自变量的取值范围。

本文将对一元二次不等式的定义域进行深入探讨，包括定义域的概念、求解方法以及应用等方面，旨在帮助读者更好地理解和应用一元二次不等式的定义域，为进一步学习和研究提供基础。

部分的内容1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将会对一元二次不等式的概述进行介绍，同时也会描述本文的结构和目的。

正文部分将会详细讨论一元二次不等式的定义、解法和图像，以及相关的数学概念和定理。

在结论部分，将对一元二次不等式的定义域进行总结，并探讨其在实际应用中的作用，同时也会展望一元二次不等式在未来的研究方向。

整篇文章将会全面而系统地介绍一元二次不等式的相关内容，为读者提供全面的信息和知识。

1.3 目的：本文的目的在于对一元二次不等式的定义域进行深入探讨和分析。

首先，我们将介绍一元二次不等式的定义域的概念和意义，以及为什么需要研究和应用一元二次不等式的定义域。

其次，我们将探讨一元二次不等式的定义域在实际问题中的应用，以及在解决数学和实际生活中的问题时的重要性。

最后，我们将展望一元二次不等式的定义域的研究方向，探讨可能的拓展和应用领域，为相关领域的进一步研究和应用提供一定的参考和启发。

通过本文的研究，旨在加深对一元二次不等式的定义域的理解，拓展其应用领域，促进相关领域的发展和应用。

2.正文2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指一个形式为ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。

在一元二次不等式中，x代表未知数，而a、b、c则是已知的常数。

不等式的解是满足不等式的x的取值范围。

对于一元二次不等式，我们需要找到它的定义域，即使得不等式成立的x的取值范围。

一元二次不等式的解法、集合及运算

第1课一元二次不等式的解法、集合及运算一、一元二次不等式的解法1。

基本形式:①20(0)ax bx c a ++>> 或 20(0)ax bx c a ++≥> ②20(0)ax bx c a ++<> 或 20(0)ax bx c a ++≤> 2．当不等式可十字相乘时：设12x x <，则12()()0x x x x --≥的解集为12[,]x x ，12()()0x x x x --≤的解集为12(,][,)x x -∞+∞ 120x x x x -≥-的解集为12(,](,)x x -∞+∞,120x x x x -≤-的解集为12[,)x x ．【例1】解下列不等式:①2820x x -+< ②22530x x +-≥ ③2619x x -<解：①原不等式可化为2280x x -->，∴(2)(4)0x x +->，∴4x >或2x <- ∴原不等式的解集为(,2)(4,)-∞-+∞(或写成原不等式的解集为{}42x x x ><-或)②原不等式可化为23520x x --≤，∴(31)(2)0x x +-≤，∴123x -≤≤，∴原不等式的解集为1[,2]3-．（或写成原不等式的解集为123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭）③原不等式可化为29610x x -+>,∴2(31)0x ->，∴x R ∈，且13x ≠， ∴原不等式的解集为13x x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭,且．【变式】①21240x x --≥②22320x x +-<③2414x x ->④201x x -≤+ 解:①原不等式可化为24120x x +-≤，∴(6)(2)0x x +-≤，∴62x -≤≤ ∴原不等式的解集为[6,2]-（或写成原不等式的解集为{}62x x -≤≤） ②原不等式可化为22320x x -->，∴(21)(2)0x x +->,∴2x >或12x <-, ∴原不等式的解集为1(,)(2,)2-∞-+∞．(或原不等式的解集为{|2x x >或1}2x <-）③原不等式可化为24410x x -+<,∴2(21)0x -<，∴无实数解，∴原不等式的解集为Φ． ④12x -<≤，解集为[1,2)-3．当不等式不可十字相乘时，可用求根公式求出20(0)ax bx c a ++=> 的两个根:1x =，2x =12x x <则①20(0)ax bx c a ++>>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞， ②20(0)ax bx c a ++<>的解集为12(,)x x 【例2】解下列不等式： 2220x x -++<原不等式可化为2220x x -->， ∵120∆=>，方程2220x x --=的两根是1211x x =={11x x x <>+或．练习:解下列不等式：210x x --<解：∵214(1)50∆=-⨯-=>，方程210x x --=的两根是1211,22x x +==∴原不等式的解集为12x ⎧+⎪<⎨⎪⎪⎩⎭ 二、集合的概念及运算 1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系: 属于与不属于,分别用符号∈与∉表示 ③常用数集的表示④集合的表示法：列举法、描述法． 2．集合间的基本关系 ①集合相等: A B =②子集:A B ⊆，真子集：若A B ⊆ 且A B ≠ ,则A 叫B 的真子集，记作：AB③空集：不含任何元素的集合，记作Φ，规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 ④若集合A 有n 个元素，则A 有 2n 个子集,有21n - 个真子集，有22n -非空真子集【例3】(1)设集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，若11x =,则下列关系正确的是（）A ．x AB ．A x ∈C ．A x ∈}{D ．{}x A ⊇ 【答案】B（2）满足00{}{}123A⊆，，，的集合A 的个数是（）A ．7B ．8C ．6D ．3【解析】集合A 的个数就是{123}，，的真子集的个数3217-=个，选A 3。

高考数学集合总复习一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系有两相异实根的解集1．(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是() A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1 C．－1 D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________.探究点一一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0；(2)－3x 2－2x ＋8≤0；(3)8x －1≥16x 2.1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)2．(2010·抚顺模拟)已知集合P ＝{x |x ＋1x －1>0}，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则x ∈Q 是x ∈P 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2011·银川模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009，2 010]，则( )A ．a ＝2 009，b ＝－2 010B ．a ＝－2 009，b ＝2 010C ．a ＝2 009，b ＝2 010D ．a ＝－2 009，b ＝－2 0104．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－13115．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1 C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3 D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 三、解答题(共38分)11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；。

不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)

一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ；若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ；若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ，又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ，综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--，因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立，当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤，所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥，则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-，由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==，所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立，令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠，当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，所以1112m >，则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解，则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ，故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解，设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，，对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号，则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥，关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增，所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<，所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤，则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。