积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差和和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=-1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin θ+sin φ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。
高中教育数学必修第二册湘教版《2.3.2 和差化积与积化和差公式》教学课件
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)
答案：B
题型 3 和差化积与积化和差公式的综合应用
角度1 化简与求值
例3
1 sin 40°
+
cos sin
8800°°＝_____3___．
解析：原式＝2
cos40ຫໍສະໝຸດ +cos sin 80°80°
＝cos
状元随笔
(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互 推．
(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦 在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．
(3) 两 组 公 式 中 的 倍 数 关 系 可 通 过 值 域 ( 最 值 ) 的 对 比 发 现 ， y ＝ sin α±sin β与cos α±cos β的值域应为[－2，2]而y＝sin αsin β等的值域应 为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘12.
证明：左边＝sin
α·
−
1 2
(cos 120°－cos 2α)
＝14sin α＋12sin αcos 2α
＝14sin α＋14[sin 3α＋sin (－α)]
＝14sin α＋14sin 3α－14sin α＝14sin 3α＝右边．
方法归纳 当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂 的一边入手证明，类似于化简．
(2)cos 40°－cos 52°；
(3)sin 15°＋sin 35°； (4)sin 6x－sin 2x.
解析：(1)cos 3x＋cos x＝2cos 3x2+xcos 3x2−x＝2cos 2x cos x.
6积化和差和和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式考点回顾：和差化积公式：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+·2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=-···积化和差公式：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin例1：求值：sin cos ππ12512·解：[一]利用积化和差（两角和以及差为特殊角） sincos ππ12512·=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-1212512125121223121321234sin sin sin sin ππππππ[二]利用12512ππ与互余sin cos cos cos cos πππππ125125125125122··== =+=-=-=-156216213221234cos cos ππ [三]利用半角公式（两个角的倍角为特殊角）432122312231265cos126cos1125cos12sin -=-⋅-=+⋅-=ππππ· 说明：三角函数变换的灵活性更多地体现在变角的灵活性上，主要看角的倍角、半角，两角的和、差是否为特殊角。
例2. 求值：（1）sin cos sin cos sin sin 71587158o o oo o o+-··（2）sin cos sin cos 22208032080oooo++解：（1）[一]利用差角公式sin cos sin cos sin sin 71587158o o oo o o+-··()()oo o o o o o o o o o o oo o o o o o o 8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin -++-=--+-=··323212312130cos 130sin 15tan 15cos 15sin 8cos 15cos 8cos 15sin -=+=+=+====oooo oo o oo[二]利用积化和差及和差化积sin cos sin cos sin sin 71587158o o o o o o+-·· =︒=︒︒=︒+︒+=︒-+︒-+15tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin 7cos 2123cos 217cos 7sin 2123sin 217sin oo o o o o o o 323212312130cos 130sin -=+=+=+=o o（2）[一]利用和差角公式sin cos sin cos 22208032080oooo++︒-︒︒+︒︒-︒+︒+︒=+︒++︒+=20sin 2320cos 20sin 2320cos 20sin 2320sin 4320cos 4120sin )6020cos(20sin 3)6020(cos 20sin 222222o o o o4120cos 4120sin 4122=︒+︒=[二]利用和差化积和积化和差公式sin cos sin cos 22208032080o o o o ++()()=-+++=+-+-=-+-=-+=14021160232080112160403210060110060321003414321003210014cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin o oo oo o o oo o o o o· 变式：求tan 20°＋4sin20°的值。
《积化和差、和差化积公式》示范公开课教学课件【高中数学苏教版必修第二册第十章】
积化和差、和差化积公式
1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式，培养学生逻辑推理素养；2.能利用所学公式进行三角恒等变换；3.通过利用公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.
运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式．
积化和差与和差化积公式的推导及运用公式进行三角恒等变换．
（1）．（2）．
直接运用相应的公式即可．
1.是否特殊角？
不是
2.形式有什么特点？
两个三角函数乘积的形式
3.如何解决？
积化和差
1.是否特殊角？
不是
2.形式有什么特点？
两个三角函数和的形式
3.如何解决？
和差化积
解：（1）原式 ．（2）原式 ．
两式的形式有什么特点？
分子分母分别是两个三角函数和与差的形式
如何解决？
和差化积
证明：（1）．（2）．
二倍角的余弦公式
将化为和的形式为 ( ) ．
直接运用积化和差公式计算即可．
化简(，)的结果为 ．
直接运用和差化积公式计算即可．
解：（1） ．
积化和差公式
互余两角的正余弦关系
解：（2）
特殊角的三角函数值
积化和差公式
化简．
解：原式 ．
分别对分子、分母的后两项运用和差化积公式
特殊角的三角函数值
分别对分子、分母的后两项运用和差化积公式
课堂小结
1.积化和差公式：，，，．2.和差化积公式：，，，．
①②③④
①. ②
可以
解：由①②，得：，所以 .由①②，得：，所以 .
把谁看成未知数呢？
. ④
解：由③④，得：所以 .由③④，得：所以 .
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版) 积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复课一、基本公式复1、两角和与差公式及规律sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)2、二倍角公式及规律sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos²α-sin²α。
tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)二倍角公式的推导可以通过和角公式推导而来，例如cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α3、积化和差与和差化积公式sinαcosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2cosαsinβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2sinαsinβ=-(cos(α+β)-cos(α-β))/2生动的口诀：（和差化积）正加正，正在前，___，___正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式。
要注意：①前两个公式可以合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。
如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解。
因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
1、在三角函数的解题中，积化和差与积差化积是密不可分的孪生兄弟。
为了化简或计算，我们要注意交替使用这两个公式。
例如，在处理正、余弦函数的平方时，我们应先考虑降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式进行化简或计算。
积化和差和差化积的公式
积化和差和差化积的公式积化和差和差化积的公式是高中数学中的重要概念，它是解决一些复杂的代数问题的关键。
在学习这个公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
一、和差化积公式和差化积公式是指：把两个数的和或差表示成两个数的积的形式。
比如，对于两个实数a和b，我们可以把它们的和或差表示成两个数的积的形式，如下所示：a +b = (a + b) * 1a -b = (a + (-b)) * 1其中，1是一个任意的数，可以是2/2或3/3等等。
二、积化和差公式积化和差公式是指：把两个数的积表示成两个数的和或差的形式。
比如，对于两个实数a和b，我们可以把它们的积表示成两个数的和或差的形式，如下所示：a *b = (a + b) * (a - b) + b^2 - a^2其中，b^2 - a^2就是(a + b) * (a - b)的展开式。
三、和差化积和积化和差的应用和差化积和积化和差的应用非常广泛，它们可以用于简化代数式、解方程、证明等等。
下面我们来看几个具体的例子。
例1：化简代数式把下面的代数式化简：(a + b)^2 - (a - b)^2我们可以先把(a + b)^2和(a - b)^2分别展开，然后再应用积化和差的公式，得到：(a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab所以，原来的代数式可以化简成4ab。
例2：解方程解方程x^2 - 2x - 3 = 0。
我们可以先把x^2 - 2x - 3表示成(x - 3) * (x + 1)的形式，然后再应用和差化积的公式，得到：x^2 - 2x - 3 = (x - 3) * (x + 1)所以，原来的方程可以化简成(x - 3) * (x + 1) = 0。
由此可得，x = 3或x = -1。
例3：证明证明下面的恒等式：(a + b)^3 + (a - b)^3 = 2a^3 + 6ab^2我们可以先把(a + b)^3和(a - b)^3分别展开，然后应用和差化积的公式，得到：(a + b)^3 + (a - b)^3 = 2a^3 + 6ab^2所以，恒等式成立。
新教材北师大版第4章2.4积化和差与和差化积公式课件(29张)
() () () ()
[提示] (1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos(A＋B)－
cos(A－B)＝－2sin Asin B．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．cos 72°－cos 36°的值为( )
A．3－2 3
B．12
C．－12
D．3＋2 3
C [原式＝－2sin72°＋2 36°sin72°－2 36° ＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin36°csoins3366°°cos72°＝－sin7s2in°3co6s°72° ＝－s2isnin14364°°＝－12.]
提示：都是任意角． 2．“sin α－sin β＝2cosβ＋2 αsinβ－2 α”正确吗？
提示：不正确．sin α－sin β＝2cos
α＋β 2 sin
α－β 2.
1．sin 15°cos 165°的值是( )
A．14
B．12
C．－14
D．－12
C [sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝
4α·cos α 4αcos α
＝2cos 2sin
4αcos 4αcos
3α＋cos 3α＋cos
αα＝csoins
44αα＝tan14α.
∴原式成立．
课堂 小结 提素 养
1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些 公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中 应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联 系．
积化和差和和差化积的公式
积化和差和和差化积的公式1. 什么是积化和差和和差化积？大家好，今天我们来聊聊数学中的两个神奇公式：积化和差和和差化积。
听名字就觉得高深莫测，其实它们就像我们的好朋友，能在解题的时候给我们很多帮助。
你看，生活中有时候咱们碰到复杂的事情，归根结底，简化一下，反而能让事情变得清晰明了。
这两个公式就是这样的存在。
1.1 积化和差的公式先说说积化和差吧。
这个公式说的是，如果你有两个数的乘积，比如说 (a times b)，那么你可以用它们的和与差来替代它，公式是这样的：(a times b = frac{(a+b)^2(ab)^2{4)。
听起来有点复杂，其实呢，咱们可以把它看成是一个小魔术。
把两个数的和与差调换一下，就能得到它们的积。
就像做菜，食材换个顺序，有时能激发出意想不到的美味。
1.2 和差化积的公式接着，我们聊聊和差化积的公式。
这个呢，主要是把和与差转换成积。
比如说，(a + b) 和 (a b) 的乘积，公式是这样的：(a^2 b^2)。
这是个很经典的公式，感觉像是数学中的老朋友，特别容易记住。
有时候，生活中也是这样，很多复杂的事情往往能通过简单的拆解，找到核心的本质。
2. 为什么要学这些公式？听起来这两个公式有点枯燥对吧？但其实它们在数学的海洋中，特别重要！掌握这些公式，就像是给自己的大脑装上了导航系统，让我们在解题的时候，可以更快速、更准确地找到方向。
有句话说得好，“磨刀不误砍柴工”，学好基础，才能在考试中游刃有余，轻松拿下高分。
2.1 实际应用在实际应用中，这些公式就像是开车时的GPS，能帮我们规避很多弯路。
比如在代数中，面对多项式的相乘，如果能巧妙运用这些公式，就能让繁琐的计算变得简单。
想象一下，两个数相乘，可能要进行很多步骤，但用这些公式一搞，问题就迎刃而解，简直就像一场数学界的魔术秀。
2.2 提升思维能力更重要的是，掌握这些公式还能提升我们的逻辑思维能力。
数学其实就是在培养我们解决问题的能力，学习这些公式，就像给我们的思维加油。
三角函数的和差化积与积化和差公式
三角函数的和差化积与积化和差公式一、三角函数的和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式表示正弦函数的和与差的正弦值可以表示为两个角的正弦和与差的乘积。
这个公式常用于求解三角方程、证明三角恒等式等。
2.余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式表示余弦函数的和与差的余弦值可以表示为两个角的余弦积与差的乘积。
3.正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式表示正切函数的和与差的正切值可以表示为两个角的正切和与差的商。
二、三角函数的积化和差公式：1.正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2该公式表示正弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的正弦和的一半。
2.余弦函数的积化和差公式：cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2该公式表示余弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的余弦和的一半。
3.正切函数的积化和差公式：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)该公式表示正切函数的两个角的和可以表示为这两个角的正弦和的商除以这两个角的余弦积。
以上就是三角函数的和差化积与积化和差公式的基本介绍。
这两个公式在解决三角函数的数值计算、化简三角表达式、证明三角恒等式等问题中起到重要的作用。
在初中阶段学习三角函数时，重点掌握这些公式的应用，对于进一步理解和应用三角函数具有重要意义。
附：示例题目和解答1. 化简sin(α + β)cos(α - β)= (sinαcosβ + cosαsinβ)(cosαcosβ + sinαsinβ)= sinαcosαcos²β + sin²αsinβcosβ + sinαcosαcos²β - sin²αsinβcosβ= 2sinαcosαcos²β - 2sin²αsinβcosβ= 2sinαcosα(cos²β - sin²β)= sin2αcos2β2. 化简cos²(θ + φ) - sin²(θ - φ)= (cos(θ + φ) + sin(θ + φ))(cos(θ - φ) - sin(θ - φ)) = (cosθcosφ - sinθsinφ)(cosθcosφ + sinθsinφ)= cos²θcos²φ - sin²θsin²φ= cos²θ(1 - sin²φ) - sin²θsin²φ= cos²θ - cos²θsin²φ - sin²θsin²φ= cos²θ - (cos²θ + sin²θ)sin²φ= cos²θ - sin²φ以上为两个公式的介绍以及示例题目的解答。
和差化积 积化和差公式
和差化积积化和差公式
和差化积积化和差是一组数学公式，被广泛应用于代数中的因式分解和展开等问题。
这两个公式的推导过程相似，但运用的角度不同，可以相互转化使用。
我们来看和差化积公式。
和差化积公式可以将一个和式表示为一个乘积。
它的形式如下：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个乘积，简化了计算过程。
例如，我们可以将(a+3)(a-3)展开，得到的结果是a^2 - 3^2，也就是a^2 - 9。
接下来，我们来看积化和差公式。
积化和差公式可以将一个乘积表示为一个和式。
它的形式如下：
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个和式，便于进行因式分解等计算。
例如，我们可以将16x^2 - 9展开，得到的结果是(4x+3)(4x-3)。
和差化积公式和积化和差公式是代数中的重要工具，它们可以帮助我们简化计算、解决因式分解等问题。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用这两个公式的情况，因此掌握它们的推导和运用方法是非常重要的。
总结一下，和差化积公式和积化和差公式是代数中常用的公式，它们可以将一个和式和一个乘积相互转化使用。
通过运用这两个公式，我们可以简化计算、解决因式分解等问题，提高数学的应用能力。
希望大家能够理解和掌握这两个公式，并能灵活运用于实际问题中。
2.4积化和差与和差化积公式(教学课件)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
(1) sin103 sin17；
(2)
cos
4
cos
4
.
解：(1)sin103 sin17=2sin 103 17 cos 103 17
2
2
=2sin 60cos 43 3cos43
(2)
cos
4
cos
4
2
sin
4
2
4
sin
4
2
4
= 2sin sin 2 sin
12 12 分析：求两个不同角的三角函数值的积，利用积化和差公式化简
解：sin
5
12
cos
12
=
1 2
sin
5
12
12
sin
5
12
12
1 2
sin
2
sin
3
1 2
3 4
本题是否可 以转化为同 角三角函数 求值？
两个三角函数值的积可转化为另外两个易求三角函数值的和（差） 乘常数的形式，再进行求值.
课堂小结
03
课堂小结
1、两组公式：
积化和差公式：
sincos 1 sin( + )+sin( )
2
cossin 1 sin( + ) sin( )
2
coscos 1 cos( + )+cos( )
2
sinsin 1 cos( + ) cos( )
2
2、数学思想方法：换元法
(1)为同角三角函数关系，(2)(3)可转化为同角三角函数关系，
利用sin cos 1 sin 2,sin2 1 cos 2 , cos2 1 cos 2 求值.
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用三角函数是数学中重要的概念，它的和差化积与积化和差是三角函数运算中常用的技巧。
本文将介绍这两种运算的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、和差化积的计算方法1. 和差化积的基本公式和差化积指的是将两个三角函数的和或差转换为一个三角函数的乘积。
具体而言，和差化积的基本公式如下：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBcos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)其中，A和B是任意角度。
这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式推导得到。
2. 和差化积的具体应用和差化积在解决三角函数的复杂表达式时非常有用。
通过将一个复杂的表达式转化为乘积形式，可以简化计算，并且得到更为简洁的结果。
举例说明，假设我们需要计算sin75°的值。
根据和差化积的公式，sin75°可以表示为sin(45°+30°)。
将45°和30°代入公式，可以得到sin75°的计算式为：sin75° = sin(45°+30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30°之后，再结合已知的三角函数值，进行计算即可得到sin75°的数值。
二、积化和差的计算方法1. 积化和差的基本公式积化和差指的是将两个三角函数的乘积转换为一个三角函数的和或差。
具体而言，积化和差的基本公式如下：sinA sinB = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]cosA cosB = 1/2 [cos(A-B) + cos(A+B)]sinA cosB = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]2. 积化和差的具体应用积化和差运算常用于解决三角函数乘积的展开式。
积化和差与和差化积公式高中数学北师大版2019必修第二册
[解]
(1)原式＝csoins
A＋2cos B＋2cos
120°cos B 120°sin A
A＋B B－A
＝cos sin
A－cos B－sin
B＝ A
2sin
2 sin A＋B
B－2 A＝tan
A＋B 2.
2cos 2 sin 2
(2)原式＝ssiinn3AA＋＋ssiinn57AA＋＋22ssiinn35AA
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽 量出现特殊角．
[解] (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.
(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°
＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
40°cos
70°
＝ 83cos 70°＋ 83(cos 110°＋cos 30°)
＝ 83cos 70°＋ 83cos 110°＋136＝136.
∴2cosα＋2 βsinα－2 β＝－13.
②
∵sinα－2 β≠0，
∴由①②，得－tanα＋2 β＝－32，即tanα＋2 β＝32. α＋β α＋β
∴sin(α＋β)＝si2ns2iαn＋2 2β＋ccooss2α2＋2 β ＝1＋2tatannα2＋α2＋2β β＝12＋×9432＝1132.
和差化积 积化和差
[基本要求][知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=======2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2²cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()= +4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
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积化和差与和差化积公式(教师版)积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sin cos .22αβαβαβ+-+=222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=-22tan tan 2.1tan ααα=-cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=sinsin 2cos sin .22αβαβαβ+--=coscos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3个式子也是相同的证明方法。
4、万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1、上述三个公式统称为万能公式。
2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。
二、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。
=--+=-++=--=-+=2222)()(αββαβαβααββββαα2()()()()2()2()2222αβαββαβαααβαββαβα+-+-=++-=+--=+=-=三、例题讲解例1 已知α，β均为锐角， sin α=551010，sin β=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cos α=25531010，cos β=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=+=255310105510102204××＞，所以αβπ 例2已知sin(3)cos()tan()cot()2(),()cos()n x x x x f x n Z n x πππππ---+=∈-（１） 求52();3f π（２） 若34cos(),25πα-=求()f α的值．解当2()n k n Z =∈时，sin cos tan cot ()sin ;cos x x x xf x x x-==- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )()sin tan .cos x x x x f x x x x--==-34cos()sin ,sin .25πααα-=-∴=-故当n 为偶数时，525243()sin sin 3334()sin ;5f f πππαα=-=-==-=当n 为奇数时，222225252524433()sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-⋅=例3已知21sin(),sin().35αβαβ+=-=（１） 求tan cot αβ的值； （２） 当(,),(,)2222ππππαβαβ+∈--∈-时，求sin 2β的值．解（１）［方法１］2sin cos cos sin ,31sin cos cos sin ,5137sin cos ,cos sin .3030αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒==从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7αβαβαβ==［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβαβαβ==sin()10,sin()3sin()sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 11tan ,tan 11tan x x αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=-+++==---++==--且11013,tan cot .137x x x αβ+∴=⇒==- （２）由已知可得sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()465βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+--=例4已知11cos(),cos(),22αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.解1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351cos cos ,sin sin .1212αβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒==- sin sin 1tan tan .cos cos 5αβαβαβ∴==-例5已知11sin cos ,cos sin ,23αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.解 将两条件式分别平方，得22221sin 2sin cos cos ,41cos 2cos sin sin .9ααββααββ-+=-+=将上面两式相加，得1322sin(),3659sin().72αβαβ-+=⇒+= 例6sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-的值等于 （ ）A ．23B ．23C ．232+ D ．232解000000000000000000000000000sin(158)cos15sin 8cos(158)sin15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302 3.-+=---+=+--==-=+=-原式故选B.例7 已知cos(α－β)= βα=α、，，2312sin 21都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有。
322)31(12sin 12cos ,312sin 22022=-=α-=α=απα则，又＜＜因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜π6，所以0＜α＜π12。
①又因为0＜β＜π2，所以-π2＜-β＜0 。
②由①、②得-π2＜α-β＜π12。
又因为cos （α-β）=12，所以--παβ20＜＜。
)(cos 1)sin(2β-α--=β-α所以=23-。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。
6322233121322-=-+=）（××评析：本例通过0＜sin2α= 1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜π12，将α-β的范围缩小为--παβπ212＜＜，进而由cos(α-β)= 12,将α-β的范围确定为--παβ20＜＜，从而避免了增解。