积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().

1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ

αβαβ

±=±±=±±=

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

1

sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-

1

cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--

1

cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-

1

sin sin [cos()cos()].2

αβαβαβ=-+--

sin sin 2sin cos .22

αβαβ

αβ+-+=

222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2

tan .21cos αα

αααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩

2

sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22

ααααααααα⇒==±=±

sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=-

22tan tan 2.1tan ααα

=-

cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=

sin

sin 2cos sin .22αβαβαβ+--=

cos

cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-

生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)

=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

=2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式

2tan 12tan

2tan ,2tan 12tan 1cos ,2

tan 12tan

2sin 2

2

2

2α

-α

=αα+α-=αα

+α

=

α 证：2tan 12tan

22cos 2sin 2cos 2sin 21

sin sin 2

22α+α=α+ααα=

α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1

cos cos 2

2

2222α+α-=α+αα-α=

α=α 2

tan 12tan

22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2

22α-α=α-ααα=

α

α=α 注意：

1、上述三个公式统称为万能公式。

2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.

2、倍角公式

ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，

则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.

3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。

=--+=-+

+=

--=-+=2

22

2

)()(α

ββ

αβ

αβ

ααββββαα

2()()()()2(

)2(

)2

2

2

2

αβαβ

βα

βα

ααβαββαβα+-+-=++-=+--=+

=-

=

三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sin α=

551010

，sin β=，求α+β的值。