等边三角形经典习题
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。
等边三角形性质与判定练习题
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一．选择题（共8小题）1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180° B． 220°C．240° D． 300°2．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的两条高相等 C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形B．等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A． 1个 B． 2个C． 3个 D． 4个4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B． 30° C．45° D． 60°5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30° B． 45° C． 120°D． 15°7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm第 1 题第4题第5题第7题 8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题）9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A= _________ 度．10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC= _________ cm．11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________ 三角形．12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________ ．14．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于多少？ED C A15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF ，DE 、AC 相交于点G ，若线段CF=4cm ，则△GEC 的周长是 _________ cm ．17．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= _________ 度．课后作业1.2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。
等边三角形性质与判定练习题
第 1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一．选择题（共 8 小题）1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠ β的度数是（）A ． 180°B． 220°C． 240° D ． 300°2．下列说法正确的是（）A ．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是 60 °的锐角三角形是等边三角形B ．等腰三角形一定是锐角三角形 D ．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC 中，① 若 AB=BC=CA ，则△ ABC 为等边三角形；②若∠ A= ∠ B=∠ C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图， CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则∠ A 等于（）A．25°B． 30°C．45°D． 60°5．如图，已知D、 E、 F 分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，且 DE⊥ BC 、 EF⊥ AC 、FD ⊥AB ，则下列结论不成立的是（）A ．△ DEF是等边三角形B．△ ADF ≌△ BED ≌△ CFEC．DE=ABD ．S△ABC=3S △ DEF6．如图，在△ ABC 中，D、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则∠ BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15°7．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=120 °， BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点 M ，交 AB 于点 E ， AC 的垂直平分线交BC 于点 N ，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（）A ． 4cmB． 3cmC． 2cmD． 1cm第 1 题第 4 题第 5 题第 7 题8．已知∠ AOB=30 °，点 P 在∠ AOB 内部， P1与 P 关于 OB 对称， P2与 P 关于 OA 对称，则 P1， O， P2三点所构成的三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10 小题）9．已知等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ B=60 °，则∠A= _____ ____ 度．10．△ ABC 中，∠ A= ∠B=6 0°，且 AB=10cm ，则BC= _________ cm．11．在△ ABC 中，∠ A= ∠ B= ∠ C，则△ABC是_________ 三角形．12．如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ ABD 的形状是_________13．如图， M 、 N 是△ ABC 的边 BC 上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠ BAN=_________．..14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、 B 两点，若再以 A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点 C，则∠ AOC 等于多少？15．已知：如图，△ ABC是等边三角形， BD是中线，延长 BC到 E，使 CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)_______ _______；(2)______________ ；(3)______________.ADBCE16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC相交于点 G，若线段CF=4cm ，则△ GEC 的周长是_________cm．17．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 上的点，且 AD=CE ，则∠ BCD+ ∠CBE=_________度．..课后作业1.2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。
等边三角形的性质复习题精选附答案
等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．2345A30 B 40 ． 50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A Ll=L2 B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE 的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________ ．1617192016．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________ ．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________ 个；△PAB的面积是_________ ．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________ ．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________ ．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________ ．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________ ．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________ ．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC 的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定l考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L=L2．1解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键．5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC 的面积等于（）A．190 B．192 C．194 D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选 B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12 B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，3即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC 的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EFAB，EDAC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100 B．60 C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BD C，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD 和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 6 ．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△C ND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC 于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= （）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 1 个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= 2 ．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°﹣60°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．（2）过D作DF⊥BC，则DF=AG，根据等边三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE 的面积．解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，即BD为AC边上的中线，∴BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°，∴∠CBD=∠ABC=30°，。
等边三角形性质与判定练习题
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一•选择题（共8小题）1 •如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 / a+ / B的度数是（）A •180 ° B .220 ° C •240 ° D .300 °2 .下列说法正确的是（）A .等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60。
的锐角三角形是等边三角形B .等腰三角形一定是锐角三角形 D •三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3 .在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若/ A= / B= / 6则厶ABC为等边三角形；③有两个角都是60。
的三角形是等边三角形；④一个角为60。
的等腰三角形B D EC 是等边三角形•上述结论中正确的有（）A •1个B •2个C •3个D •4个4 .如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则/ A 等于（）A . 25 °B . 30 °C. 45 °D . 60 °5 .如图，已知D、E、F分别是等边△ ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB，则下列结论不成立的是（）A . △DEF 是等边三角形B . △ADF ◎△ BED ◎△ CFEC. DE=ABD. S △ABC=3S △DEF6 .如图，在厶ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC ,则/ BAC的度数是（）A . 30 °B. 45 °C . 120 ° D . 15 °7 .如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=120 °BC=6cm , AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E , AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm第1题第4题第5题第7题8 .已知/ AOB=30 °点P在/ AOB内部，P1与P关于0B对称，P2与P关于OA对称，则P l, 0 , P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形 B . 钝角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形二.填空题（共10小题）9 .已知等腰△ABC 中，AB=AC , / B=60 °贝U / A= 度.10 . △ABC 中，/ A= / B=6 0 °且AB=10cm，贝U BC= __________________ cm .11 .在△ABC中，/ A= / B= /。
等边三角形的面积等边三角形环的面积练习题
等边三角形的面积等边三角形环的面积练习题一、等边三角形的面积练题1. 已知等边三角形的边长为10cm，求其面积。
解答：等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长的平方× √3) / 4代入已知条件，计算得到：面积= (10 × 10 × √3) / 4 = 25√3 cm²2. 已知等边三角形的面积为12√3 cm²，求其边长。
解答：等边三角形的边长可以通过以下公式计算：边长= √(面积× 4 / √3)代入已知条件，计算得到：边长= √(12√3 × 4/ √3) = √48 cm = 4√3 cm二、等边三角形环的面积练题1. 已知等边三角形环的边长为12cm，内部等边三角形的边长为8cm，求等边三角形环的面积。
解答：等边三角形环的面积可以通过以下公式计算：面积 = (外部等边三角形的面积 - 内部等边三角形的面积)外部等边三角形的面积可以使用之前提到的公式计算：外部等边三角形的面积 = (边长的平方× √3) / 4内部等边三角形的面积也可以使用之前提到的公式计算。
代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积 = (12 ×12 × √3) / 4 = 36√3 cm²内部等边三角形的面积= (8 × 8 × √3) / 4 = 12√3 cm²面积= (36√3 - 12√3) cm² = 24√3 cm²2. 已知等边三角形环的面积为18√3 cm²，内部等边三角形的边长为6cm，求等边三角形环的边长。
解答：可以使用类似的方法解答这个题目。
首先，计算内部等边三角形的面积：内部等边三角形的面积= (6 × 6 × √3) / 4 = 9√3 cm²然后，计算外部等边三角形的面积：外部等边三角形的面积 = 内部等边三角形的面积 + 等边三角形环的面积代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积= 9√3 + 18√3 = 27√3 cm²最后，通过计算外部等边三角形的边长，可以求得等边三角形环的边长：边长= √(面积× 4 / √3) = √(27√3 × 4 / √3) = √108 cm = 6√3 cm以上是等边三角形的面积和等边三角形环的面积的练习题解答。
等边三角形练习题
等边三角形练习题1. 已知等边三角形的边长为6cm，求其高。
解：设等边三角形的高为h，根据等边三角形的性质，高将底边平分，形成两个30°-60°-90°的直角三角形。
在这种三角形中，较短的直角边（即高）是斜边（即边长）的一半的根号3倍。
因此，h = √3 * (6/2)。
2. 若等边三角形的周长为18cm，求其面积。
解：设等边三角形的边长为a，则a = 18/3 = 6cm。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²，代入a = 6cm，得A = √3/4 * 6²。
3. 等边三角形的顶角为60°，求其底角。
解：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60°。
因此，底角也是60°。
4. 已知等边三角形的高为4cm，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，高为h。
根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边（即边长）是高（即较短的直角边）的两倍的根号3倍。
因此，a = 2 * h / √3 = 2 * 4 / √3。
5. 等边三角形的面积为12平方厘米，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²。
代入A = 12，得√3/4 * a² = 12，解得a = √(12 * 4/√3)。
6. 已知等边三角形的边长为8cm，求其内切圆半径。
解：设等边三角形的内切圆半径为r。
等边三角形的内切圆半径r 等于高h的1/3，而高h = √3 * (8/2)。
因此，r = (√3 * 8/2) /3。
7. 等边三角形的边长为10cm，求其外接圆半径。
解：设等边三角形的外接圆半径为R。
等边三角形的外接圆半径R等于边长a的一半的根号3倍。
因此，R = √3 * (10/2)。
8. 已知等边三角形的面积为27平方厘米，求其周长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
等边三角形培优专项练习试题与答案
等边三角形培优专项练习题双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。
2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。
3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。
纵向应用1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。
2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。
3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。
4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。
5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。
6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。
7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证：ΔMNP是等边三角形。
8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。
9. 如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。
《等边三角形的判定》课后练习题
《等边三角形的判定》课后练习题篇一：等边三角形练习题篇二：《等边三角形》练习题(附答案)《等边三角形》练习题1．（2021?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△2．（2021?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠5．（2021?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q9．（20xx?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③10．（20xx?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是12．（20xx?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰DF=DE，则∠E=度．14．（2021?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（20xx?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为．16．（20xx?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：（1）△A3B3C3的边长a3=；（2）△AnBnCn的边长an=（其中n为正整数）．17．（20xx?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为三角形．18．（1999?广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2021?浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2021?辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2021?绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；② _________ ；③23．（20xx?河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（20xx?苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002?黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC 三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000?河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2021?雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．篇三：《等边三角形》练习题(附答案)[1]《等边三角形》练习题1．（2021?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△2．（2021?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠5．（2021?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q9．（20xx?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③10．（20xx?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是12．（20xx?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰DF=DE，则∠E=度．14．（2021?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（20xx?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（20xx?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：（1）△A3B3C3的边长a3=；（2）△AnBnCn的边长an=（其中n为正整数）．17．（20xx?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为三角形．18．（1999?广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2021?浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2021?辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2021?绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；② _________ ；③23．（20xx?河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（20xx?苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002?黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC 三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000?河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2021?雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（20xx?临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB 和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q 为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？。
等边三角形的性质习题精选附答案
等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．234 5A30 B 40 ．50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A L l=L2B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h、h、A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A100 B 60 C 100 D 6014．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________．16171920 16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=_________．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________个；△PAB的面积是_________．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_________．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC ＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD 对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L1=L2．解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，即得L1=L2，故选A．点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A．190B．192C．194D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD 的值即可计算等边△ABC的面积．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC 的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，∴S△ABC=a2=12．故选A．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EF AB，ED AC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100B．60C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA ﹣∠DCA﹣∠BDC，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为6．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=（）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有1个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN 的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=2．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．。
《等边三角形》练习题（附答案）
α+∠β的度数是（的度数是（ ）A ．180° B ． 220° C ． 240° D ． 300° 2C ．D ． 35．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（的长为（ ） A ． B ． C ． D ． 不能确定能确定 6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（的度数为（ ）A ．60° B ． 45° C ． 40° D ． 30° 7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于G 、2S 1=S 2 D ． S 1=2S 2《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（的边长为（） A ．6 B ． 12 C ． 32 D ． 64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形四边形，则图中∠ 3．（2012•荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为（的长为（ ） A ． 2 B ． 4．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（的高为（ ）A ．2 B ． 4 C ． D ． 2H ，设△CDH 、△GHE 的面积分别为S 1、S 2，则（，则（） A ． 3S 1=2S 2 B ． 2S 1=3S 2 C ． 8．（2007•娄底）如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中被截成三等分，则图中阴影阴影部分的面积为（部分的面积为（ ）A ． 4cm 2B ． 2cm 2C ． 3cm 2D ． 3cm 230° C ． 45° D ． 60° 13．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _________ 度．度．14．（2008•日照）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作同侧分别作正正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC ，沿x 轴向左平移2个单位后，得到△A ′B ′C ′，则点A 9．（2006•天津）如图，A 、C 、B 三点在同一条三点在同一条直线直线上，△DAC 和△EBC 都是都是等边三角形等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN ；③AC=DN ．其中，正确结论的个数是（．其中，正确结论的个数是（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ）A ． d ＞h B ． d ＜h C ． d =h D ． 无法确定法确定11．（2007•南充）一艘一艘轮船轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（两地相距（ ） A ． 30海里海里 B ． 40海里海里 C ． 50海里海里 D ． 60海里海里12．（2006•曲靖）如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（等于（ ）A ．25° B ．′的坐标为′的坐标为 _________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条的三条中位线中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条的三条中线中线又组成△A 3B 3C 3，…，如此类推，得到△A n B n C n ．则：．则：（1）△A 3B 3C 3的边长a 3= _________ ； （2）△A n B n C n 的边长a n = _________ （其中n 为正为正整数整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC 为等边三角形，为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为 _________ 三角形．三角形．；②；② _________ ；③；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．．并对②，③的判断，选择一个给出证明．18．（1999•广州）如图，以A ，B 两点为其中两个顶点作位置不同的两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形等边三角形，最多可以作出作出 _________个．19．如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP ′，若PB=3，则PP ′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为一边向右作正三角形ADE ．（1）求△ABC 的面积S ；（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上，且BM=CN ，AM ，BN 交于点Q ．求证：∠BQM=60度．度．（1）请你完成这道思考题；）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN ”与“∠BQM=60°”的位置的位置交换交换，得到的是否仍是真命题？，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上”改为“点M ，N 分别在正方形ABCD 的BC ，CD 边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① _________23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角．一等腰直角边在一条直顶点为F，一条直角边与AC边在一条直所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角线上，另一条直角边恰好经过点B．数量关满足的数量关（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的，然后证明你的猜想；系，然后证明你的猜想；平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，（2）当三角尺沿AC方向方向平移另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；的长．（2）若D为AC的中点，求BP的长．度．． ①②③⑤①②③⑤ ．.16；△ （或2） 17． 等边等边 三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ． 20． 解：（1）在正△ABC 中，AD=4×，（2分）分）∴S=BC ×AD=×4×2=4．（3分）分）（2）AC 、DE 的位置关系：AC ⊥DE ．（1分）分）在△CDF 中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）分）∴∠CFD=180°﹣∠C ﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC ⊥DE ．（3分）分）（注：其它方法酌情给分）．21． E= 15解：AE ∥BC ．理由如下：．理由如下：∵△ABC 与△CDE 为正三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ，即∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠B=∠EAC ，∵∠B=∠ACB ，∴∠EAC=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① 是 ；②；② 是 ；③；③ 否 ．并对 （1）证明：在△ABM 和△BCN 中，中，，∴△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．）①是；②是；③否．②的证明：如图，②的证明：如图，在△ACM 和△BAN 中，中，，∴△ACM ≌△BAN ，∴∠AMC=∠BNA ，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，③的证明：如图，中，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23 解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；）仍然成立．（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG 为矩形，∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．为正三角形．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．中，∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．是矩形，∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD22=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD 2=AC •DB ，由PC=PD=CD 可得：PC •PD=AC •DB ， 即=， 则根据相似三角形的则根据相似三角形的判定定理判定定理得△ACP ∽△PDB （2）当△ACP ∽△PDB 时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB 的度数为120°． 27． 证明：（1）∵△ACD 和△BCE 是等边三角形， ∴AC=DC ，CE=CB ，∠DCA=60°，∠ECB=60°， ∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE ，∠ACE=∠DCB ， 在△ACE 与△DCB 中，中，∵，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）∵由（1）得，△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM=∠CDN ，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A 、C 、B 三点三点共线共线， ∴∠DCN=60°，在△ACM 与△DCN 中，中，∵，∴△ACM ≌△DCN ，∴MC=NC ，∵∠MCN=60°，∴△MCN 为等边三角形，为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA ，∴MN ∥AB ．。
等边三角形练习题(共10篇)
等边三角形练习题(共10篇)等边三角形练习题（一）: 等边三角形、等腰三角形练习题急求关于等边三角形、等腰三角形的练习题,稍微难一点,八年级上学期的, 稍微再提高点难度就好了！1.等腰三角形ABC,D为内部一点,AB=BC,角ABC=80,角DAC=30,角DCA=40,求角ADB延长CD交AB于E,延长AD交BC于F,过A作AG垂直BF于G因为 AB=BC,角ABC=80度所以角BCA=角BAC=50度因为角DCA=40度,角DAC=30度所以角CEA=90度,角EDA=角DCA+角DAC=70度因为角BCA=角BAC=50度,角DCA=40度,角DAC=30度所以角BCE=角BCA-角DCA=10度,角BAF=20度因为角ABC=80度所以角BFA=180-80-20=80度所以角ABC=角BFA所以 AB=AF因为 AG垂直BF所以 BG=GF=1/2BF,角BAG=角FAG=1/2角BAF=10度因为角CEA=90度,BC=BA,角BCE=角BAG=10度所以三角形BCE全等于三角形BAG所以 BE=BG=1/2BF以下是假设和验证的过程：假设 BD=BF要使假设成立,则三角形BDE是直角三角形,即Sin角BDE=BE/BD因为 BD=BF,角BFA=80度所以角CBD=20度因为角BCE=10度所以角BDE=角CBD+角BCE=30度因为 BE=1/2BF,BD=BF所以 Sin角BDE=1/2,BE/BD=1/2所以假设成立所以角BDE=30度成立因为角EDA=70度所以角ADB=角EDA+角BDE=70+30=100度2.已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线于F,那么△ADF是等腰三角形么为什么△ADF是等腰三角形,理由如下：证明：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）又∵DE⊥BC∴∠B+∠BDE=90° ∠F+∠C=90° （直角三角形的两个锐角互余）∴∠BDE=∠C（等角的余角相等）又∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等）∴∠BDE=∠ADF∴AD=AF（等角对等边）∴△ADF是等腰三角形（有两边相等的三角形叫做等腰三角形）等边三角形练习题（二）: 等边三角形试题如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点F、E.若1/CE+1/BF=6,则三角形ABC的边长为特殊值法：设边长为a令点D与点E重合,则CE=AC=a,BF=BE=二分之根号3倍的a所以由条件1/CE+1/BF=6得a=（2倍根号3 +3）/18算错的话请见谅...等边三角形练习题（三）: 等边三角形试题已知：如图,△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.试说明BD+DC=AB选自《朗曼全息题解》106页第3题D点在线段BC下方【等边三角形练习题】要做辅助线延长DC于N（任意一点）使CN=AB我帮你的就这么多等边三角形练习题（四）: 人教版八年级数学上册习题11.1第6. 6.一个等腰三角形的一边为6cm,周长人教版八年级数学上册习题11.1第6.6.一个等腰三角形的一边为6cm,周长为20cm,求其他两边的长.7.（1）已知等腰三角形的一边长等于5,一边长等于6,求它的周长；（2）已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,求它的周长.【等边三角形练习题】当底边为6厘米时,腰长为（20-6）÷2=7厘米.即其他两边长都为7厘米.当腰长为6厘米时,另外一边为腰长6厘米,底边围20-6-6=8厘米.祝您在新的一年一帆风顺,二龙腾飞,三羊开泰,四季平安,五福临门,六六大顺,七星高照,八方来财,九九同心,十全十美.等边三角形练习题（五）: 等边三角形练习1.已知△ABC中,AB=AC,点E是AB上一点,点F是AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于O,求证：EO=OF.2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD为腰上的高,若2BD÷BA为整数,试判定△ABC的形状.会哪道就写哪道.急用,1.过点E做辅助线EG‖AC交BC与点G因为EG‖AC所以∠EGB=∠ACB因为AB=AC所以∠B=∠ACB所以∠B=∠EGB所以EG=EB所以EG=CF在三角形EGO和三角形FCO中EG=CF,角EOG=角FOC(对顶角),角EGO=角FCO(EG和AC平行)所以三角形EGO≌三角形FCO所以OE=OF2.三角形为等腰直角三角形.角A为直角.腰上的高CD其实就是CA(点D与点A重合)2BD/AB=2AB/AB=2 为整数所以这个等腰三角形为等腰直角三角形(45度,45度,90度)等边三角形练习题（六）: 等腰三角形习题等腰三角形ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且BD=AE,CD和BE相交于点0,DF⊥BE,垂足为F,求∠ CDF 的度数（图可以根据题目画出来）用等边三角形假设我也会，30度.你假设它是等边三角行,假设D.E都是中点.就算出来了.这样的题就得这样,算的快还准等边三角形练习题（七）: 等腰三角形练习题等腰三角形中AB=AC,O为BC上非中点的一点,过O的直线l平分等腰三角形ABC的面积,问l与三角形的交点位于哪里用相似三角形做过O做直线与AB平行,交AC于M设B0:OC=1:X则OC:BC=X/(1+x)则S三角形AMO：S三角形ABC=X^2/（1+X）^2四边形OMAB=（1+X）^2-X^2=X^2解出x即可等边三角形练习题（八）: 全等三角形的练习题帮出几道练习题 8道填空题 5道证明题全都是有关全等的!难度中等可以的话有追加看题如何回答者： 5154225 - 魔法学徒一级 7-29 15:371 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等 \x1d4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕\x1e84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）等边三角形练习题（九）: 圆的周长练习题一、填一填.（1）等边三角形的边长为3.5分泌,它的周长是（）分米.（2）一个等腰梯形上底长4.5厘米,下底长6厘米,腰长3厘米,这个等腰梯形的周长是（）厘米.（3）圆的（）除以（）的商是一个固定的数,通常叫做（）,它大约等于（）.二、对号入座.（1）想要求圆的周长,就必须知道（）.A.圆周率B.直径和半径C.直径或半径（2）π是一个（）小数A.有限B.无限循环C.无限不循环三、应用题.1.校园里有一个圆形花圃,它的直径是4.5m,这个花圃的周长是多少米2.小强每天绕直径为20m的花坛跑15圈,则小强每天要跑多少米一、填一填.（1）等边三角形的边长为3.5分泌,它的周长是（ 10.5 ）分米.（2）一个等腰梯形上底长4.5厘米,下底长6厘米,腰长3厘米,这个等腰梯形的周长是（ 16.5 ）厘米.（3）圆的（周长）除以（直径）...等边三角形练习题（十）: 全等三角形练习题八年级数学三角形全等测试题一、填空（3分×10=30分）1、如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm.∠E=∠B,则AC=________.2、如图,某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在你要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,则应带哪块玻璃去__________（填上玻璃序号）.3、已知△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC绕着点A顺时针旋转40°,如图所示,则△BAC′的度数为______.4、如图,点D、E、F、B在同一直线上,AB‖CD、AE‖CF,且AE=CF,若BD=10,BF=2,则EF=____________.5、△ABC中,AC=4,中线AD=6,则AB边的取值范围是______________.6、已知如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E、BE、CD相交于O点,∠1=∠2,图中全等的三角形共有________对.7、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_________.8、如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是________（填序号）.9、如图,已知铁路上A、B两站（视为线上两点）相距45km,C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点）,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=25km,CB=20km,现在要在铁路AB上建一个收购站E,使C、D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在距A 站_______km处.10、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BD于D,DE⊥AB于E,且AB=10,则△DEB周长为_______.二、选择题（3分×10=30分）11、如图△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应点,若AB=6cm,BD=5cm,AD=4cm,则BC长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、无法确定12、如图△ABE≌△ACD,AB=AC,BE=CD,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数等于（）A、120°B、70°C、60°D、50°13、在△ABC和△A′B′C′中,已知∠A=∠A′,AB=A′B′,在下面判断中错误的是（）A、若添加条件AC=A′C′,则△ABC≌△A′B′C′B、若添加条件BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′C、若添加条件∠B=∠B′,则△ABC≌△A′B′C′D、若添加条件∠C=∠C′,则△ABC≌△A′B′C′14、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是：如图在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是（）A、SSSB、SASC、ASAD、HL15、下列命题错误的是（）A、全等三角形的对应线段相等B、全等三角形的面积相等C、一个锐角和相邻的直角边对应相等的两个直角三角形全等D、两角对应相等的两个三角形全等16、不能确定两三角形全等的条件是（）A、三条边对应相等B、两条边及其夹角对应相等C、两角和一条边对应相等D、两条边和一条边所对应的角对应相等17、在△ABC和△A′B′C′中,①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′,则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）A、①②③B、①②⑤C、①⑤⑥D、①②④18、如图△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,D为AB中点过点D作DE⊥AB交AC于点E,下列结论：①CE=DE；②AE=BC；③∠B=2∠A；④∠A=30°中正确个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个19、如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α ,则下列结论正确的是（）A、2 α+∠A=180°B、α +∠A=90°C、2α +∠A=90°D、α+∠A=180°20、如图,已知△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,RS⊥AC于S,则三个结论：①AS=AR；②QP‖AR；③△BRP≌△QSP（）A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确三、解答题21、已知：△DEF≌△MNP,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=58°,∠E=62°,MN=10cm,求∠P的度数及DE的长.（5分）22、如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC‖AB,求证：DE=EF.（5分）23、如图,△ABC为等边三角形,点M、N,分别在BC、AC上,且BM=CN,AM与BN 交于Q点,求∠AQN的度数.（6分24、如图,点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2 =∠3,AC=AE,求证：AB=AD.（6分）25、如图,在正方形ABCD中,E是AD中点,F是BA延长线上一点,AF= AB,则线段BE与DF大小,位置有什么关系并证明你的结论.（7分）26、如图,AB‖CD,BE平分∠ABC,点E为AD中点,且BC=AB+CD,求证：CE平分∠BCD.（7分）27、如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.（1）如图,①过A的直线与斜边BC不相交时,求证：EF=BE+CF（4分）（2）如图,②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,试求：FE长.（4分）28、在直角坐标系xOy中,O为坐标原点直线AB平行直线：y = x,且与x轴交于点A（－3,0）,与y轴交于B点,点M、N在x轴上,（点M在点N的左边）,点N在原点的右边作MP⊥BN,垂足为P（点P在线段BN上,且点P与点B 不重合）直线MP与y轴交于点G,MG=BN.（1）求直线AB的解析式及B点坐标；（4分）（2）求点M的坐标；（4分）（3）设ON=t,△MOG的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；（4分）（4）若以A为锐角顶点,直角顶点D在x轴上的直角三角形ADF与以A、O、B为顶点的直角三角形全等,设F（a、b）,求a、b值（只需写出结果,不必写出解答过程）.（4分）。
2020届初三数学复习 等边三角形 专题练习试题含答案
2020届初三数学复习等边三角形专题练习题一、单项选择题1. 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个外角相等的等腰三角形 B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个内角是60°的三角形2. 三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝60°，D，E分别是边AB，BC上两点，且DE∥AC，下列结论不正确的是( )A．∠A＝60° B．BD≠DE C．△BDE是等腰三角形 D．△BDE是等边三角形4. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AD＝AE，则∠EDC的度数是( )A. 60°B. 30°C. 15°D. 10°5. 如图，在平面直角坐标系中，点B，C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB ＝4，AC与x轴的交点D为AC边的中点，则点D的坐标为( )A．(1，0) B．(23，0) C．(2，0) D．(3，0)6. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为( )A．45° B．60° C．75° D．以上都不对7. 正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°8. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上二、填空题9. 边长相等的等边三角形ABC和等边三角形DEF如图所示摆放，重叠部分的周长为6，则等边三角形ABC的边长为____．10. 如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝____．11. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是____．12. 如图，等边三角形ABC的两条中线BD和CE交于点I，则∠BIC＝____．13. 如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE，BF交于点G，连接CG，则CG＝____三、解答题14. 如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．15. 如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为点C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长．16. 如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD ＝AP.(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．17. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．1AB．求证：BC=2答案：一、1—8 ADBCD CCD二、9. 310. 311. 240°12. 120°13. 4三、14. 解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠ECD＝60°，∠B＝60°，∴∠BCA－∠DCA＝∠ECD－∠DCA，即∠BCD＝∠ACE，在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE ≌△BCD(SAS)，∵∠B ＝60°， ∴∠EAC ＝∠B＝60°，∵∠ACB ＝60°， ∴∠EAC ＝∠ACB，∴AE∥BC.15. 解：(1)△CED 是等边三角形，理由如下： ∵OC 平分∠AOB，∠AOB ＝60°， ∴∠AOC ＝∠COE ＝30°， ∵CE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠COE＝∠OCE＝30°，∠CED ＝60°，∵CD ⊥OC ，∴∠OCD ＝90°，∴∠EDC ＝60°，∠ECD ＝ 60°.∴△CED 是等边三角形．(2)∵△CED 是等边三角形，∴CD ＝CE ＝ED ，又∵∠COE＝∠OCE，∴OE ＝EC ， ∴CD ＝ED ＝OE, 设CD ＝x ，则OD ＝2x, 在Rt △OCD 中，根据勾股定理，得x 2＋9＝4x 2, 解得x ＝3， 则CD ＝ 3.16. 解：(1)∵AD＝AP ，∴∠ADP ＝∠APD ＝80°，∵∠ADP ＝∠C ＋∠DPC ，∠C ＝60°，∴∠DPC ＝80°－60°＝20°.(2)∵AD＝AP ，∴∠ADP ＝∠APD ＝α，∴∠DPC ＝α－60°， ∴∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ＝α＋α－60°＝2α－60°，∵∠APC ＝∠B ＋∠BAP ，∴∠BAP ＝2α－60°－60°＝2α－120°. 17.延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． ∵∠ACB=90°∴∠ACD=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC=21BD=21AB ．。
等边三角形的性质-初中数学习题集含答案
等边三角形的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019春•昌平区校级月考）等边ABC∆的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为() A．60︒B．90︒C．120︒D．150︒2．（2016春•东城区期中）等边三角形的边长为10，则它的面积是()A．53B．103C．203D．2533．（2016春•石景山区期末）如图，将边长为3cm的等边ABC∆，则四边形ABFD∆沿着边BC向右平移2cm，得到DEF 的周长为()A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm二．填空题（共5小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，等边AOB∠=︒，则ABCCAB∠的大小是．=，20∆，且OA OC5．（2019秋•海淀区校级期中）如图，以等边ABC=，连接BD，若∆的边AC为腰作等腰CAD∆，使AC AD∠=︒，CAD∠=︒．41DBC6．（2018秋•北京期末）在ABCB∠=︒，则ABC∆的周长是．BC=，60∆中，AB AC=，57．（2017秋•顺义区期末）边长为10cm的等边三角形的面积是．8．（2017秋•怀柔区期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为 米2．三．解答题（共6小题）9．（2018秋•通州区期中）如图， 在等边ABC ∆中， 作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD ．（1） 请直接写出CDB ∠的度数；（2） 求ADC ∠的度数；（3） 用等式表示线段AD 、BD 、CD 三者之间的数量关系， 并证明 ．10．（2017秋•房山区期末）已知：如图，ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥于点D ，过点C 作//CF AB ，过点A 作AE CF ⊥于点F ．（1）请在图中补全图形； （2）求证：AE AD =．11．（2017秋•昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC ，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边ABC ∆的面积．12．（2016秋•顺义区期末）已知：如图，ABC ∆中，8AC =，点D 在AB 边上，且5AD BD CD ===，在ABC ∆外，作等边ACE ∆．（1）判断ABC∆的形状，并证明；（2）求四边形ABCE的周长．13．（2017•房山区一模）已知：如图，ABC∠=︒．CED⊥，E是BC延长线上的一点，且30∆是等边三角形，BD AC求证：BD DE=．14．（2016•丰台区二模）如图，ABC=．∆是等边三角形，BD AC⊥于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE DC等边三角形的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019春•昌平区校级月考）等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为( )A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒【分析】根据已知条件和等边三角形的性质可知：30IBC ICB ∠=∠=︒，根据外角的性质得60BIE ∠=︒．【解答】解：如图，设等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交于I ，ABC ∆是等边三角形，60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒， BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠， 1302IBC ABC ∴∠=∠=︒，1302ICB ACB ∠=∠=︒， 303060BIE ∴∠=︒+︒=︒，即等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为60︒；故选：A ．【点评】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．2．（2016春•东城区期中）等边三角形的边长为10，则它的面积是( )A ．53B ．103C ．203D ．253【分析】首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，由等边三角形的边长为10，可由三线合一的知识，求得BD 的长，由勾股定理即可求得AD 的长，继而求得答案．【解答】解：过点A 作AD BC ⊥于点D ．ABC ∆是等边三角形，1110522BD BC ∴==⨯=， 222210553AD AB AD ∴=--11105322ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯． 故选：D ．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2016春•石景山区期末）如图，将边长为3cm 的等边ABC ∆沿着边BC 向右平移2cm ，得到DEF ∆，则四边形ABFD的周长为( )A ．15cmB ．14cmC ．13cmD ．12cm【分析】根据平移的性质可得DF AC =，2AD CF cm ==，然后求出四边形ABFD 的周长ABC =∆的周长AD CF ++，最后代入数据计算即可得解．【解答】解：ABC ∆沿边BC 向右平移2cm 得到DEF ∆，DF AC ∴=，2AD CF cm ==，∴四边形ABFD 的周长AB BC CF DF AD =++++，AB BC CF AC AD =++++，ABC =∆的周长AD CF ++，922=++，13cm =．故选：C ．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二．填空题（共5小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，等边AOB ∆，且OA OC =，20CAB ∠=︒，则ABC ∠的大小是 130︒ ．【分析】由等腰三角形的性质可求602BOC ACO ∠∠=︒-，由外角性质可求40BOC ∠=︒，即可求解． 【解答】解：AOB ∆是等边三角形，60OAB OBA AOB ∴∠=∠=∠=︒，OA OB AB ==，OA OC =， 180********AOC BOC BOC ACO OAC ︒-∠︒-∠∠∴∠=∠===︒-， CAB OBA COB ACO ∠+∠=∠+∠，2060602BOC COB ∠∴︒+︒=∠+︒-， 40BOC ∴∠=︒，OC OA OB ==，70OBC ∴∠=︒， 130ABC ABO OBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：130︒．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，外角性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2019秋•海淀区校级期中）如图，以等边ABC ∆的边AC 为腰作等腰CAD ∆，使AC AD =，连接BD ，若41DBC ∠=︒，CAD ∠= 82 ︒．【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60ACB ∴∠=︒，AC AD =，ACD ADC ∴∠=∠，设ACD ADC α∠=∠=，则60BCD α∠=︒+，41DBC ∠=︒，604119ABD ∴∠=︒-︒=︒，AB AC AD ==，19ADB ABD ∴∠=∠=︒，18041(60)19BDC αα∴∠=︒-︒-︒+=-︒，49α∴=︒，49ACD ADC ∴∠=∠=︒，18082CAD ACD ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：82．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2018秋•北京期末）在ABC ∆中，AB AC =，5BC =，60B ∠=︒，则ABC ∆的周长是 15 ．【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：AB AC =，60B ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，5BC =，ABC ∴∆的周长为15，故答案为15．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2017秋•顺义区期末）边长为10cm 的等边三角形的面积是 2 ．【分析】首先由勾股定理求得等边三角形的高，再利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，ABC ∆为等边三角形，152BD CD BC ∴===，AD ∴=21110)22ABC S BC AD cm ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=故答案为：2．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质“三线合一”是解答此题的关键．8．（2017秋•怀柔区期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为 52 米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积2(36060)3151802m ππ-⨯⨯==， 故答案为：52π． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．三．解答题（共6小题）9．（2018秋•通州区期中）如图， 在等边ABC ∆中， 作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD ．（1） 请直接写出CDB ∠的度数；（2） 求ADC ∠的度数；（3） 用等式表示线段AD 、BD 、CD 三者之间的数量关系， 并证明 ．【分析】（1） 如图， 设AB 交CD 于点O ． 利用“ 8 字型”证明角相等即可；（2） 由DBO ACE ∆∆∽，推出DO OB AO OC =，可得DO AO OB OC=，AOD BOC ∠=∠，推出AOD COB ∆∆∽，即可解决问题；（3） 结论：DC DB DA =+． 在DC 上截取DE DB =，连接BE ． 利用全等三角形的性质即可证明；【解答】解： （1） 如图， 设AB 交CD 于点O ．DBO ACO ∠=∠，BOD AOC ∠=∠，BDO OAC ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60OAC ∴∠=︒，60CDB ∴∠=︒．（2）DOB AOC ∠=∠，DBO ACO ∠=∠，DBO ACE ∴∆∆∽， ∴DO OBAO OC =， ∴DO AOOB OC =，AOD BOC ∠=∠，AOD COB ∴∆∆∽，60ADO ABC ∴∠=∠=︒．即60ADC ∠=︒．（3） 结论：DC DB DA =+．理由： 在DC 上截取DE DB =，连接BE ．DB DE =，60BDE ∠=︒，BDE ∴∆是等边三角形，60DBE ∴∠=︒，BD BE =，60DBE ABC ∠=∠=︒，ABD CBE ∴∠=∠，D BE =，BA BC =，()ABD CBE SAS ∴∆≅∆，AD EC ∴=，DC DE EC DB DA ∴=+=+．【点评】本题考查等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2017秋•房山区期末）已知：如图，ABCCF AB，过点A作⊥于点D，过点C作//∆是等边三角形，AD BC⊥于点F．AE CF（1）请在图中补全图形；（2）求证：AE AD=．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据平行线性质和等边三角形的性质求出ECA ACB∠=∠，根据角平分线性质得出即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）证明：//CF AB，∴∠=∠，ECA CAB∆是等边三角形，ABC∴∠=∠=︒，ACB CAB60∴∠=∠，ECA ACB⊥，⊥，AD BCAE CF∴=（角平分线上的点到角的两边的距离相等）AE AD【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质，能求出ECA ACB∠=∠是解此题的关键．11．（2017秋•昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边ABC∆的面积．【分析】（1）以A 为原点建立直角坐标系，进而求出各点的坐标．（2）由三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（1）如图，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则B 、C 点的坐标分别为(3,0)-、(3,0)，在Rt ABO ∆中，6AB =，3BO =，则2233AO AB BO =-=，(A ∴ 0，33)，(3,0)B -，(3,0)C ；（2）等边ABC ∆的面积116339322BC OA ==⨯⨯=．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．12．（2016秋•顺义区期末）已知：如图，ABC ∆中，8AC =，点D 在AB 边上，且5AD BD CD ===，在ABC ∆外，作等边ACE ∆．（1）判断ABC ∆的形状，并证明；（2）求四边形ABCE 的周长．【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（2）由勾股定理求出BC ，再由等边三角形的性质即可得出结果．【解答】解：（1）结论：ABC ∆的是直角三角形；AD BD CD ==，12∴∠=∠，34∠=∠，⋯（2分）1423∴∠+∠=∠+∠，又1234180∠+∠+∠+∠=︒，2390∴∠+∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形．（2）在直角三角形ABC ∆中，8AC =，10AB =， 226BC AB AC ∴=-=，又ACE ∆是等边三角形．8AE CE ∴==，∴四边形ABCE 的周长为32AB BC AE CE +++=．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．13．（2017•房山区一模）已知：如图，ABC ∆是等边三角形，BD AC ⊥，E 是BC 延长线上的一点，且30CED ∠=︒． 求证：BD DE =．【分析】欲证BD DE =，只需证DBE E ∠=∠，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明．【解答】证明：ABC ∆为等边三角形，BD AC ⊥，60ABC ∴∠=︒，BD 平分ABC ∠．30DBC ∴∠=︒．30CED ∠=︒，30DBE DEB ∴∠=∠=︒，BD DE ∴=．【点评】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180︒等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．14．（2016•丰台区二模）如图，ABC ∆是等边三角形，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ．求证：DE DC =．【分析】根据等边三角形的性质得到AC BC =，12CD AC =，90BDC ∠=︒，根据直角三角形的性质得到12DE BC =，于是得到结论．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AC BC ∴=，BD AC ⊥于点D ， 12CD AC ∴=，90BDC ∠=︒， E 为BC 的中点，12DE BC ∴=， DE DC ∴=．【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．。
《等边三角形》练习题(附答案)
《等边三角形》练习题1．（2012•）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．2C．D．34．（2011•）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定6．（2009•）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE 交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△A．3S=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S218．（2007•）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．（2006•）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在ABA．25°B．30°C．45°D．60°DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（2004•）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________ 三角形．18．（1999•）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=_________ ．20．（2009•）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；②_________ ；③_________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14．①②③⑤．15．.16． a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n）17．等边三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC时，结论h+h2+h3=h仍然成立．1理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．。
等边三角形经典习题
等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形题3 题54．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．8cmD ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状二、填空题1．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．2.在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，如果A B ∠=∠2，那么=∠A ______，=AB ________BC .3.如图，已知：ABC ∆是等边三角形，cm AB 5=，BC AD ⊥，AB DE ⊥，AD AF =，则=∠BAD ________，=∠ADF _______，=BD _________cm ，=∠FDC _____.3题图 10题图 11题图4.一辆汽车沿︒30角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度是____ _米.5.一等腰三角形的一个底角为︒30，底边上的高为cm 9，则这个等腰三角形的腰长是________cm ，顶角是_______.6.ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，AB DE //，交AC 于点E ，则EDC ∆为______三角形.7.在ABC ∆中，︒=∠30B ，︒=∠45C ，若BC AD ⊥，D 为垂足，1=CD ，则=AB ______. 8．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． E DC AB F21ED C A B9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．10. 如图，ΔABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则AD= ，ΔEFC 的周长=。
等边三角形的性质与判定习题
13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定姓名：01基础题知识点1等边三角形的性质1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．150°2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100°B．80°C．60°D．40°3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB ＝，∠CBD＝.4．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．5．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝．6．如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.知识点2等边三角形的判定7．下列推理错误的是( )A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形8．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是．9．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD ＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．10．如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC 是等边三角形．02中档题11．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．012．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE 是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为( )A．45°B．60°C．75°D．90°13．如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是三角形，DM＝cm.14．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E 为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.03综合题15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC ＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D 在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．。
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三⾓形的判定和性质习题及答案等边三⾓形的判定和性质(参考⽤时:30分钟)1.下列三⾓形,①有两个⾓等于60°的三⾓形;②有⼀个⾓等于60°的等腰三⾓形;③⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形.其中能判定是等边三⾓形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三⾓形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直⾓三⾓形BDC的顶点D在等边三⾓形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作⼀条直线将△ABD分割成两个等腰三⾓形,则分割出的这两个等腰三⾓形的顶⾓分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上⼀点,点E为CA延长线上⼀点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三⾓形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三⾓形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三⾓形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所⽰,已知a∥b,c∥b,试⽤反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平⾏,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平⾏,这与“经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与这条直线平⾏”相⽭盾,故假设不成⽴.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的⾓平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的⾓平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三⾓形,所以CE=AC=3.10. (核⼼素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找⼀点H,使得BH+EH最⼩,并求出这个最⼩值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三⾓形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三⾓形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最⼩值为EB′==3.。
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等边三角形练习题
一、选择题
1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③
D ．①②③④
3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．不等边三角形 题3 题5
4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm
5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状
二、填空题
1．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．
2.在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，如果A B ∠=∠2，那么=∠A ______，=AB ________BC .
3.如图，已知：ABC ∆是等边三角形，cm AB 5=，BC AD ⊥，AB DE ⊥，AD AF =， 则=∠BAD ________，=∠ADF _______，=BD _________cm ，=∠FDC _____. 3题图 10题图 11题图
4.一辆汽车沿︒30角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度是____ _米.
5.一等腰三角形的一个底角为︒30，底边上的高为cm 9，则这个等腰三角形的腰长是________cm ，
顶角是_______.
6.ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，AB DE //，交AC 于点E ，则EDC ∆为______三角形.
7.在ABC ∆中，︒=∠30B ，︒=∠45C ，
若BC AD ⊥，D 为垂足，1=CD ，则=AB ______. 8．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______．
9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．
10. 如图，ΔABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则AD= ，ΔEFC 的周长= 。
11.如图，已知：在ABC ∆中，cm AC AB 4==，︒=∠15ABC ，AC BD ⊥于点D ，则=BD ______.
三、解答题
1．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.
2. 如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠=120,BAC AC AB ，D 是BC 上的一点，AB DE ⊥，
AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。
求证：BC DF DE 2
1=
+。
3. 如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥。
E D C A B F
求证：AD CD 3=。
4.如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，BC DE ⊥于E 。
求证：BE BC 4=。
5.如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠︒=∠30,90A ABC ，CD 平分ACB ∠。
求证：BD AD 2=。
6. 如图，已知：在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠75ABC ，从顶点B 引BD 交CA 于D ，使︒=∠30CDB .
求证：BC AD 2=.
7. 如图，已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30A ，AB CD ⊥，BC DE ⊥，D 、E 是垂足，cm AB 24=。
求BE 。
8. 如图，已知，在ABC ∆中，︒=∠60A ，高BD ，EC 相交于点H ，且1=HD ，2=HE 。
求BD ，CE 的长。
9.如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30BAD ，且AD AE =，求EDC ∠的度数。
10.如图，已知：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AC DE //交AB 于E ，AB DF //交AC 于F ，又6=AE 。
求：四边形AFDE 的周长。
11．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？
12. 如图，已知等边ΔABC 的∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，若BC 上的点E 、F 分别在OB 、OC 垂直平分线上，试说明EF 与AB 的关系，并加以证明。
13.如图，已知ΔABC 是等边三角形，D 为AC 上一点，∠1=∠2，BD=CE ，求证：ΔADE 是等边三角形。
14．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，
①求证：BE=AD ； ②求证：CF=CH ；
③判断FH•与BD 的位置关系，并证明． E D C A
B H F。