专升本考试 高等数学考点重点讲义
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
专升本高数重点归纳
专升本高数重点归纳在专升本考试中，高等数学是一个重要的科目。
而在高等数学中，又以高数是考生们普遍认为较为难以掌握的一部分。
因此，在备考过程中，对高数的重点知识的归纳总结是非常重要的。
本文将从不同的章节中归纳出高数中的重点知识，帮助考生更好地备考。
一、极限与连续1. 极限的定义及性质: 考生需理解极限的概念和符号表示，同时掌握常见的极限性质，如四则运算法则、夹逼准则等。
2. 无穷小量与无穷大量：考生需要掌握无穷小量的定义及常见的无穷小量性质，了解无穷大量的概念和性质，并能与无穷小量建立联系。
3. 函数的极限：考生需要理解函数极限的定义、极限存在的条件，以及函数极限的运算法则。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质：考生需理解导数的定义，掌握导数的四则运算法则，同时了解导数的几何意义和实际应用。
2. 常见函数的导数：考生需要熟悉常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并能灵活运用求导法则。
3. 高阶导数与高阶微分：考生需要理解高阶导数与高阶微分的概念，掌握高阶导数的计算方法。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：考生需要了解定积分的定义和性质，包括定积分的存在条件、基本性质以及定积分的几何意义。
2. 常见函数的不定积分：考生需要熟悉常见函数的不定积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并能进行简单的不定积分运算。
3. 定积分与不定积分的基本关系：考生需理解定积分与不定积分的基本关系，能够运用牛顿—莱布尼茨公式解决简单的定积分计算问题。
四、微分方程1. 一阶微分方程：考生需要了解一阶微分方程的概念和求解方法，掌握分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程的解法。
2. 二阶线性微分方程：考生需掌握二阶线性微分方程的概念和求解方法，包括齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解法。
五、级数1. 数列的概念与性质：考生需要了解数列的概念和性质，掌握数列极限的定义和常见计算方法，了解收敛数列和敛散性的判定。
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
高数专升本必考知识点归纳
高数专升本必考知识点归纳高等数学是专升本考试中的重要组成部分，对于考生来说，掌握一些必考的知识点至关重要。
以下是一些高等数学专升本考试中常见的必考知识点归纳：一、极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小量的比较- 函数的连续性与间断点- 极限存在的条件二、导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 隐函数与参数方程求导- 微分的概念与应用三、积分学- 不定积分与定积分的定义- 积分的基本公式- 换元积分法与分部积分法- 定积分的应用：面积、体积、物理量的变化等- 广义积分四、级数- 级数的概念与收敛性- 正项级数的收敛性判别- 幂级数与泰勒级数- 函数的级数展开五、多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题- 方向导数与梯度六、多元函数积分学- 二重积分与三重积分- 曲线积分与曲面积分- 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式七、微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的降阶方法- 线性微分方程的解法：特征方程法、常系数线性微分方程八、空间解析几何- 空间直角坐标系- 向量代数与空间向量的运算- 平面与直线的方程- 空间曲面的方程九、线性代数基础- 矩阵的运算与性质- 行列式- 线性方程组的解法- 特征值与特征向量结束语：掌握这些高等数学的基础知识和解题技巧，对于专升本考试的数学部分至关重要。
希望以上的归纳能够帮助考生们更好地复习和准备考试，取得理想的成绩。
记住，持之以恒的练习和深入理解概念是成功的关键。
祝各位考生考试顺利！。
(完整版)专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）c bx ax y b kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R（2）x k y =分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。
(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。
三、基本初等函数1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x y sin =π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(2) 余弦函数: x y cos =.π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(3) 正切函数: x y tan =.π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =.π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(ππ-=D f 。
完整版专升本高等数学知识点汇总
完整版专升本高等数学知识点汇总高等数学是专升本考试的重点科目之一，其课程内容包括微积分、数学分析、线性代数、概率论、数值计算等多方面的知识。
以下就是完整版的专升本高等数学知识点汇总：一、微积分（一）函数的极限和连续性1. 函数极限的定义和计算方法2. 充分条件和必要条件等述和运用3. 连续函数的概念和性质4. 零点定理、介值定理、最大值最小值定理5. 导数和微分6. 黎曼和与积分（二）微分方程1. 基本概念和解的存在唯一性定理2. 分离变量法、齐次方程、线性方程和二阶线性齐次方程3. 变量分离法、常系数齐次线性微分方程和欧拉公式（三）多元函数微积分1. 偏导数、全微分、隐函数定理和函数极值2. 二元函数定积分和变量替换法3. 重积分、累次积分和极坐标下的重积分（四）级数1. 序列极限、级数部分和的极限和级数收敛的定义2. 正项级数收敛判别法和比较判别法3. 极限比值法、根值法、阿贝尔定理和绝对收敛二、线性代数（一）行列式1. 行列式的定义、性质和元素和运算2. 克拉默法则和余子式、代数余子式的定义3. 行列式的计算和逆阵的求法（二）矩阵1. 矩阵的定义和性质2. 矩阵的运算：加法、数乘、乘法3. 矩阵的逆和伴随矩阵4. 线性方程组的解法：高斯消元法、初等变换法、矩阵法（三）向量空间1. 向量空间的定义和性质2. 线性无关、线性相关、秩和基础矩阵3. 子空间、直和空间、坐标系（四）特征值和特征向量1. 特征值的定义、性质和计算2. 特征向量的定义和寻找3. 对角矩阵和相似变换三、概率论（一）随机事件和随机变量1. 随机事件和概率的定义和性质2. 条件概率和乘法公式3. 随机变量的定义、分布函数和密度函数（二）随机变量的分布1. 常见离散型分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等2. 常见连续型分布：均匀分布、正态分布、指数分布等（三）随机变量的数字特征1. 数理期望和方差2. 协方差和相关系数3. 大数定律和中心极限定理四、数学分析（一）无穷级数1. 函数项级数、幂级数和几何级数2. Abel定理和Dirichlet定理（二）函数的连续性和可导性1. 极限的闭合性和连续函数的性质2. 可导函数的定义、求导公式和求导法则3. 微分中值定理和泰勒公式（三）广义积分1. 广义积分的概念、性质和判别法2. 常见的特殊函数与收敛性讨论五、数值计算（一）插值法1. 拉格朗日插值、牛顿插值与分段线性插值2. 多项式插值误差和插值余项（二）数值微积分1. 求积公式的概念和性质2. Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre公式3. 自适应辛普森公式和数值微分公式以上便是专升本高等数学知识点的完整汇总，考生通过此份知识点汇总可做到有的放矢，聚焦重点，帮助他们更好地备战考试。
专升本高数知识点汇总
第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：，图像关于原点对称。
偶函数：，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若，则是比高阶的无穷小量。
（2）若（不为0），则与是同阶无穷小量特别地，若，则与是等价无穷小量（3）若，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限（1）使用方法：拼凑，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
)()(x f x f )()(x f x f βα，0βαlim αβc βαlimαβ1βαlimαββαlimαβ1x x xx xxsin limsin limsinlimsinlimex xxx xx1111)(lim lim e101)(lim5、的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断连续的定义：或间断：使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在（2）、第一类间断点：、都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质mnm nm n b a XQ x P m n x,,,lim000xP n xQ m m n m n m n A x f x x)(lim 0Ax f xx)(lim 0Ax f x f A x f x xx xxx )(lim )(lim )(lim 0充分必要条件是)()(lim lim00x f x x f yx x)()(lim00x f x f x x)()(lim 00x f x f xx )()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x f x f xx xx 不存在无意义不存在，)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx )(lim 0x f x x)(lim 0x f x x)(lim )(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x f xx xx xx xx 跳跃间断点：可去间断点：（1）最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。
02154_专升本高等数学讲义
引言概述：
高等数学是一门重要的数学学科，对于专升本考生来说，掌握高等数学是非常重要的。
本文将从概念、公式、定理和应用等方面，对专升本高等数学进行详细的讲解，帮助考生全面掌握这门学科。
正文内容：
一、概念部分
1.实数与复数的概念
2.集合与函数的基本概念
3.极限与连续的概念
4.导数与微分的概念
5.积分与定积分的概念
二、公式部分
1.基本初等函数的导数与微分公式
2.反函数的导数公式
3.复合函数的导数公式
4.微分中值定理及其应用公式
5.基本积分公式和换元法
三、定理部分
1.极限和连续性定理
2.导数中值定理及其应用定理
3.积分中值定理及其应用定理
4.微分方程基本定理
5.级数收敛定理与判别法
四、应用部分
1.高等数学在几何学中的应用
2.高等数学在物理学中的应用
3.高等数学在经济学中的应用
4.高等数学在工程学中的应用
5.高等数学在计算机科学中的应用
五、其他相关知识
1.数列与级数的概念与性质
2.常微分方程的基本概念与解法
3.二重积分与曲线积分的计算方法
4.空间解析几何的基本概念与计算方法
5.向量代数与线性代数的基本概念与运算法则总结：
通过本文对专升本高等数学的讲义，我们可以看到高等数学作为一门重要的学科，涵盖了很多基本的概念、公式、定理和应用。
对于专升本考生来说，熟练掌握高等数学知识，不仅可以为日后的学习和工作打下坚实的基础，还可以提高解题和分析问题的能力。
因此，希望考生能够认真学习本文所述的知识，并灵活运用到实际中。
通过努力学习和实践，相信考生一定可以在高等数学中取得优异的成绩。
专转本数学知识点梳理
专转本数学知识点梳理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
2. 函数的性质。
- 单调性。
- 设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。
- 判定函数单调性的方法：- 定义法：设x₁，x₂是给定区间上的任意两个实数，且x₁<x₂，作差f(x ₁)-f(x₂)，然后判断其正负性。
- 导数法：若函数y = f(x)在区间(a,b)内可导，且f′(x)>0，则函数在(a,b)内单调递增；若f′(x)<0，则函数在(a,b)内单调递减。
- 奇偶性。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，那么函数y = f(x)就叫做偶函数；如果对于任意x∈D，都有−x∈D，且f(−x)= - f(x)，那么函数y = f(x)就叫做奇函数。
- 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
- 周期性。
- 对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x + T)=f(x)都成立，那么就把函数y = f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小正数叫做最小正周期。
3. 常见函数类型。
- 一次函数。
专升本高等数学讲义
得 f ( )= 。
二
一元函数的微分学
1、导数
•
导数的概念
（1）定义：f ( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x) - f ( x0 ) f ( x) - f ( x0 ) lim f ( x) x x0 x x 0 x x - x0
（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解） （2）左、右导数： f (x0 ) A f - (x0 )=f + (x0 ) A （3）几何意义： f (x0 ) k切 曲线 y =f (x) 过点 (x0 ,f (x0 )) 的切线方程： y-f (x0 )=f (x0 )(x-x0 ) 法线方程： y -f (x0 )=-
•
x2 , x 1 例1：设 f ( x) ax b, x 1
（1）求a,b,使 f (x) 在 x=1 处连续 （2）求a,b，使 f (x) 在 x=1 处可导 • 例2：求曲线 y =e x -3sin x+1 在点(0,2) 处的切线和法线方程。
x =1+ t • 例3：过点 (0,-4) 作曲线 的切线，求切线方程。 y =t + t • 例4：若 f (x) 是可导的偶函数，证明： f (x) 是奇函数。
0 0
sin x =1 x
x
1 1 （2） 1 lim 1+ =e或 lim 1+x x =e x x 0 x
2、极限
• 无穷小与无穷大 （1）定义：倒数关系 （2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小 （3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶 （4）等价无穷小的替换：当 x 0 时
专升本高等数学考试知识点归类及串讲
专升本高等数学考试知识点归类及串讲（一）单项选择题一、函数部分1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）如：设函数，则的定义域为（）A B C D函数定义域已知的定义域为 [0,1], 则的定义域为（）A [1/2,1]B [-1,1] C[0,1] D [-1,2]设的定义域为，则的定义域为 ________下列函数相等的是A B C D函数（）的反函数是 ________2. 函数的性质如：（内奇函数？）已知不是常数函数，定义域为，则一定是____ 。
A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 既奇又偶函数下列函数中为奇函数的是 _________ 。
A BC D3. 、函数值（填空）如：设为上的奇函数，且满足，则 _________二、重要极限部分；，三、无穷小量部分1. 无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小2. 无穷小量（大量）的选择3. 无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶）如时与等价无穷小量是（）如设则当时，是比的（）时，无穷小量是的（）时，是的（）4. 无穷小量的等价替代四、间断点部分1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点）2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点）如点是函数的（）函数则是（）若则是的（）五、极限的局部性部分1. 极限存在充要条件2. 若 , 则存在的一个邻域，使得该邻域内的任意点，有如在点处有定义，是当时，有极限的（）条件若，，则在处（）（填取得极小值）六、函数的连续性部分1. 连续的定义如设在点处连续，则（）设函数在内处处连续，则 =________.2. 闭区间连续函数性质：零点定理（方程根存在及个数）如方程，至少有一个根的区间是 ( )(A) (B) (C) (D)最大值及最小值定理如设在[ ] 上连续，且，但不恒为常数，则在内（）A 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有极大值又有极小值D 至少存在一点使得七、导数定义如在点可导，且取得极小值，则设，且极限存在，则设函数则设，则 ________.已知 , 则 ________.求高阶导数（几个重要公式）；如设，则(A) (B) C) (D)八、极值部分极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）如函数在点处取得极大值，则必有（）或不存在设函数满足，若，则有（）设是方程的一个解，若且则函数在有极（）值设函数满足，若则有（）是的极大值九、单调、凹凸区间部分，函数在相应区间内单调增加；，则区间是上凹的如曲线的上凹区间为（）曲线的下凹区间为（）十、渐近线水平渐近线 , 为水平渐近线；，为垂直渐近线如函数的垂直渐近线的方程为 ____ 曲线的水平渐近线为_______.曲线既有水平又有垂直渐近线？曲线的铅锤渐近线是_________.十一、单调性应用设，且当时，，则当必有（）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则有(A) 在和内均有(B) 在和内均有 (C) 在内，在内(D) 在内，在内十二、中值定理条件、结论、导数方程的根如函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的为（）设，则实根个数为（）设函数在上连续，且在内，则在内等式成立的 _________ A 存在 B 不存在 C 惟一 D 不能断定存在十三、切线、法线方程如曲线在处的法线方程为（）设函数在上连续，在内可导，且，则曲线在内平行于轴的切线（）（至少存在一条）十四、不定积分部分1. 不定积分概念（原函数）如都是区间内的函数的原函数，则2. 被积函数抽象的换元、分部积分如设则若，则设连续且不等于零，若，则若则令，即，故十五、定积分部分0. 定积分的平均值：（填空）1. 变上限积分如设求（知道即可）令2. 定积分等式变形等若为连续函数，则设在上连续，则令设函数在区间上连续，则十六广义积分部分1. 无穷限广义积分如广义积分2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）而不存在，不收敛十七、空间解析几何部分1. 方程所表示的曲面注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别如方程：在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面在空间直角坐标系下，方程表示（）两条直线，所以两个平面方程在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面2. 直线与直线、直线与平面等位置关系直线与直线的位置关系（）不平行也不垂直3. 数量积、向量积概念已知4. 投影曲线方程空间曲线 C ：在平面上的投影曲线方程 _______________ 十八、全微分概念1. 偏导数概念设在点（ a,b ）处有偏导数存在，则有设函数则2. 全微分设则十九、二元极值部分0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点要使函数在点处连续，应补充定义____ 。
高等数学专升本知识点
高等数学专升本知识点
1. 极限与连续
- 闭区间套定理
- 无穷小与无穷大
- 函数的极限定义和性质
- 极限存在准则（夹逼定理、单调有界准则）
- 洛必达法则
- 连续函数的定义和性质
- 间断点与间断类型
2. 导数与微分
- 导数的定义和性质
- 高阶导数
- 函数求导法则（和差法则、积法则、商法则、复合函数法则）
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 微分的定义和性质
- 级数收敛与发散
- 泰勒展开与泰勒公式
3. 微分方程
- 常微分方程的基本概念
- 一阶常微分方程解法（分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法） - 高阶常微分方程解法（常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程） - 变量可分离的偏微分方程
- 一阶线性偏微分方程
- 泊松方程和拉普拉斯方程
4. 曲线与曲面积分
- 曲线的参数方程
- 曲线积分的定义和性质
- Green公式
- 曲面的参数方程
- 曲面积分的定义和性质
- 散度与无源场
- 斯托克斯公式
5. 多元函数微分学
- 多元函数的极限、连续、偏导数
- 隐函数定理
- 多元函数的极值（条件极值）
- 多元函数的微分学中值定理
- 多元函数的泰勒公式
- 二重积分的定义和性质
- 三重积分的定义和性质
6. 多元函数积分学
- 曲线的参数方程和弧长
- 平面区域和曲面积分的计算方法
- 广义积分的收敛性
- 极坐标系和柱坐标系下的积分
这些知识点涵盖了高等数学专升本的常见考点，希望对你的学习有帮助。
(完整版)专升本高等数学知识点汇总
(完整版)专升本高等数学知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）c bx ax y bkx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R（2）xk y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。
(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。
三、基本初等函数1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x y sin =π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(2) 余弦函数: x y cos =.π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(3) 正切函数: x y tan =.π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =.π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(ππ-=D f 。
完整版专升本高等数学知识点汇总3篇
完整版专升本高等数学知识点汇总第一篇：导数与微分导数：是用来研究函数在某一点的变化率的一种工具。
其代表的是函数在该点的微小变化与自变数的微小变化之比的极限值。
微分：是由函数的导数所定义的另一种函数。
微分是利用导数对自变数进行微小的变化而得到的函数值的变化量，即函数的微分为函数在某一点的导数与自变数的微小变化值的乘积。
导数的定义公式：$\Large f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$微分的定义公式：$\Large dy=f'(x)dx$常用导数公式：常数函数的导数为0：$\large (\mathrm{C})'=0$幂函数的导数为其幂次减一倍的函数值：$\large(x^n)'=nx^{n-1}$指数函数的导数是其自身的函数值再乘以以e为底数的指数，即：$\large (e^x)'=e^x$常数倍的函数的导数，等于常数倍和该函数的导数之积：$\large (k f(x))'=k f'(x)$和差函数的导数等于其各自的导数之和：$\large(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$常用微分公式：$\large dy=(\frac{d}{dx}f(x))dx$$\largedy=\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)dx$ $\largedy=\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})dx=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}dx$高阶导数：如果函数的一阶导数存在，可以对其再进行一次导数运算，得到函数的二阶导数；继续运算，可以得到函数的三、四、五……n阶导数。
【专转本】高数知识点汇总
【专转本】高数知识点汇总
以下是高等数学的一些重要知识点的汇总：
1. 极限：
- 变量趋于无穷时的极限计算
- 函数的左极限和右极限
- 极限的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼定理等- 无穷小量和无穷大量的概念
2. 偏导数与全微分：
- 多元函数对于一个变量的偏导数
- 多元函数的全微分和偏导数的关系
- 隐函数求导法则
- 高阶偏导数和混合偏导数
3. 微分法：
- 泰勒展开式和麦克劳林展开式的应用
- 最大值和最小值的存在性和求解方法
- 条件极值和拉格朗日乘子法
4. 不定积分：
- 不定积分的定义和性质
- 基本积分公式和常用积分公式
- 函数的换元积分法和分部积分法
- 无穷区间上的积分计算方法
5. 定积分：
- 定积分的定义和性质
- 牛顿-莱布尼茨公式和基本定理的应用
- 用定积分计算曲线的弧长、面积和体积
6. 微分方程：
- 一阶微分方程的解法，如可分离变量法、齐次方程和一阶线
性方程等
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性齐次方程和非齐次方程
等
- 二阶线性非齐次方程的特解法和待定系数法
以上是高等数学中一些重要的知识点的汇总，但高等数学的内容非常广泛深入，上述只是其中的一部分，想要在高数考试中取得好的成绩，需要全面掌握这些知识点，并进行大量的练习。
专升本高数知识点汇总
引言概述高等数学是专升本考试中的一门重要科目，对于考生来说，掌握高数知识点是提高考试成绩的关键。
本文将通过对专升本高数知识点的汇总，详细介绍每个知识点的内容和要点，以帮助考生全面、系统地复习高等数学。
正文内容一、极限与连续1.数列极限的概念与性质a.数列极限的定义b.数列极限的性质：唯一性、有界性等2.函数极限的概念与性质a.函数极限的定义b.函数极限的性质：局部有界性、局部保号性等3.连续与间断a.函数连续的定义b.连续函数的运算性质c.间断点的分类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点二、导数与微分1.导数的概念与性质a.导数的定义b.导数的性质：零点定理、费马定理等2.常见函数的导数计算法则a.基本初等函数的导数b.复合函数的导数c.反函数的导数3.高阶导数与高阶微分a.高阶导数的定义b.高阶微分的定义与性质4.隐函数与参数方程的导数a.隐函数的导数b.参数方程的导数三、定积分与不定积分1.定积分的概念与性质a.定积分的定义b.定积分的性质：可加性、线性性等2.定积分的计算法则a.基本初等函数的定积分b.第一换元法和第二换元法c.分部积分法3.不定积分的概念与性质a.不定积分的定义b.不定积分的性质：线性性、可加性等4.常见函数的不定积分计算法则a.基本初等函数的不定积分b.反函数的不定积分c.分部积分法和换元法四、微分方程1.常微分方程的基本概念a.微分方程的定义与分类b.一阶微分方程与高阶微分方程2.常系数线性微分方程a.齐次线性微分方程b.标准非齐次线性微分方程3.变量可分离、一阶线性与一阶线性齐次微分方程a.变量可分离型微分方程的解法b.一阶线性微分方程的解法c.一阶齐次线性微分方程的解法4.高阶微分方程a.常系数线性齐次微分方程的解法b.常系数线性非齐次微分方程的解法五、级数与幂级数1.数项级数的定义与性质a.数项级数的定义b.数项级数的性质：比较判别法、正项级数的性质等2.幂级数的概念与收敛半径a.幂级数的定义b.幂级数的收敛半径3.幂级数的运算与收敛性质a.幂级数的加减运算b.幂级数的乘法运算c.幂级数的收敛性质：绝对收敛、条件收敛等4.常见函数的幂级数展开a.指数函数的幂级数展开b.三角函数的幂级数展开c.对数函数的幂级数展开总结通过本文对专升本高数知识点的详细阐述和系统归纳，我们对极限与连续、导数与微分、定积分与不定积分、微分方程以及级数与幂级数等重要内容有了全面的了解。
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第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．x 3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于x→∞x→+∞x→-∞无穷（，，）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零左连续，在左端点连续是指右连续．()f x 说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：()f x 0x （1）在处没有定义；0xx =（2）虽在处有定义，但不存在；0x x =0lim ()x x f x →（3）虽在处有定义，且存在，但，0x x =0lim ()x x f x →00lim ()()x x f x f x →≠则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点．()f x 0x 0x ()f x 2．分类：（1）第一类间断点：如果是函数的间断点，但左极限和右极限0x ()f x 0()f x -都存在，那么称为函数的第一类间断点．时称0()f x +0x ()f x 00()()f x f x -+=为可去间断点，时称为跳跃间断点．0x 00()()f x f x -+≠0x （2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的[,]a b 最大值和最小值．2．零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即()f x [,]a b ()f a ()f b ），那么在开区间内至少有一点，使得．()()0f a f b ⋅<(,)a b ξ()0f ξ=3．介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f x [,]a b 及，那么对于与之间的任意一个数，在开区间内()f a A =()f b B =A B C (,)a b 至少有一点，使得（）．ξ()f C ξ=a b ξ<<第二章 导数与微分【考试要求】1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数．n 6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量()y f x =0x x 0x （点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量x ∆0x x +∆；如果与之比当时的极限存在，则称函00()()y f x x f x ∆=+∆-y ∆x ∆0x ∆→数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为()y f x =0x ()y f x =0x ，即0()f x '，00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆也可记作，或．0x x y ='0x x dydx =0()x x df x dx=说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和0000()()()limh f x h f x f x h→+-'= ；式中的即自变量的增量．0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-h x ∆2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数在开区间内的每点处都可导，()y f x =I 就称函数在区间内可导．这时，对于任一，都对应着的一个确定的()f x I x I ∈()f x 导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记()y f x =作，，或．显然，函数在点处的导数就是导函y '()f x 'dy dx ()df x dx()f x 0x 0()f x '数在点处的函数值，即．()f x '0x x =00()()x x f x f x =''=3．单侧导数（即左右导数）根据函数在点处的导数的定义，导数()f x 0x 是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右0()f x '()f x 0x 极限及 都存在且相等．这两000()()lim h f x h f x h -→+-000()()lim h f x h f x h+→+-个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即()f x 0x 0()f x -'0()f x +'，．现在0000()()()lim h f x h f x f x h --→+-'=0000()()()lim h f x h f x f x h++→+-'=可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都()f x 0x 0()f x -'0()f x +'存在并且相等．说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说()f x (,)a b ()f a +'()f b -'在闭区间上可导．()f x [,]a b4．导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点()y f x =0x 0()f x '()y f x =处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角．如果00(,())M x f x 0()tan f x α'=α在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线()y f x =0x ()y f x =x 为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线0x x =()y f x =00(,())M x f x x ．0x x =根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处()y f x =00(,)M x y 的切线方程和法线方程分别为：切线方程：；000()()y y f x x x '-=-法线方程：．0001()()y y x x f x -=--'5．函数可导性与连续性的关系如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，()y f x =0x ()f x 0x 即函数在点处连续，它在该点不一定可导．()y f x =0x （二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1） ；（2） ；()0C '=1()xx μμμ-'=（3） ；（4） ；(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-（5） ； （6） ；2(tan )sec x x '=(cot)csc x x '=-（7） ； （8） ；(sec )sec tan x x x '=(csc )csc cot x x x '=-（9） ；（10） ；()ln xx aa a '=()xx ee '=（11） ；（12） ；1(log )ln a x x a'=1(ln )x x'=（13）；（14） ；(arcsin )x '=(arccos )x '=（15） ；（16） ．21(arctan )1x x '=+21(arccot )1x x'=-+2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数，都可导，则()u u x =()v v x =（1） ；()uv u v '''±=±（2）（是常数）；()Cu Cu ''=C （3） ；()uv u v uv '''=+（4） （）．2(u u v uv v v''-'=0v ≠3．复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数()y f u =()u g x =()f u ()g x 的导数为或 ．[()]y f g x =dy dy dudx du dx=⋅()()()y x f u g x '''=⋅（三）高阶导数1．定义一般的，函数的导数仍然是的函数．我们把()y f x =()y f x ''=x 的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即()y f x ''=()y f x =y ''22d ydx或．相应地，把的导数叫做函数()y y ''''=22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()y f x =()f x '的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四()y f x =阶导数，，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作(1)n -n ，，， 或，，， ．y '''(4)y()n y33d y dx 44d y dx n nd ydx函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导．如果函数在()y f x =n ()f x n ()f x 点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数．二x n ()f x x n 阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个(,)0F x y =(,)0F x y =函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．隐()y f x =()y f x =(,)0F x y =函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量．x y 例如：求由方程所确定的隐函数的导数．0ye xy e +-=dydx解：方程两边分别对求导， ，x ()(0)yx x exy e ''+-=得， 从而．0ydy dye y x dx dx++=y dy y dx x e =-+2．一元隐函数存在定理．x y F dydx F '=-'例如：求由方程所确定的隐函数的导数．0ye xy e +-=dydx解：设，(,)y F x y e xy e =+-则．()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩y x 为由该参数方程所确定的函数，其导数为，上式也可写成 ．()()dy t dx t φϕ'='dy dy dt dxdx dt=其二阶导函数公式为．223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='（六）幂指函数的导数一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函()()v x u x ()0u x >()1u x ≠数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，然后利()()v x u x ()ln ()v x u x e用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式．()ln ()v x u x e ()()v x u x 例如：求幂指函数的导数．x y x =dydx解：因，故．ln x x xx e=()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数．y x 例如：求幂指函数的导数．xy x =dydx解：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是x y x =ln ln y x x =x y 的函数，得，故 ．x 11ln dy x y dx ⋅=+(1ln )(1ln )x dy y x x x dx=+=+二、函数的微分1．定义：可导函数在点处的微分为；可导函数()y f x =0x 00()x x dyf x dx ='=在任意一点处的微分为．()y f x =x ()dy f x dx '=2．可导与可微的关系函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微()y f x =x ()y f x =x 必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1） ；（2） ；()0d C dx =1()d xx dx μμμ-=（3） ；（4） ；(sin )cos d x xdx =(cos )sin d x xdx =-（5） ； （6） ；2(tan )sec d x xdx =(cot)csc d x xdx =-（7） ；（8） ；(sec )sec tan d x x xdx =(csc )csc cot d x x xdx =-（9） ； （10） ；()ln xx d aa adx =()xx d ee dx =（11） ；（12） ；1(log )ln a d x dx x a=1(ln )d x dx x=（13） ； （14）(arcsin )d x =(arccos )d x =-；（15） ； （16） ．21(arctan )1d x dx x=+21(arccot )1d x dx x=-+4．函数和、差、积、商的微分法则设函数，都可导，则()u u x =()v v x =（1） ；()d uv du dv ±=±（2）（是常数）；()d Cu Cdu =C （3） ；()d uv vdu udv =+（4） （）．2()u vdu udvd v v-=0v ≠5．复合函数的微分法则设及都可导，则复合函数的微分为()y f u =()u g x =[()]y f g x =．由于，所以复合函数()()x dy y dx f u g x dx '''==()g x dx du '=的微分公式也可写成 或 ．[()]y f g x =()dy f u du '=udy y du '=由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变．这u ()dyf u du '=一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变．()dy f u du '=【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么．0()f x 'A 1．．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆解：根据导数的定义式，因时，，故0x ∆→0x -∆→，0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆即．0()A f x '=-2．设，其中，且存在．0()lim x f x A x→=(0)0f =(0)f '解：因，且存在，故(0)0f =(0)f '，即．00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-(0)A f '=3．．000()()limh f x h f x h A h→+--=解：根据导数的定义式，因时，，故0h →0h -→00000000()()()()()()limlim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h→→+--+-+--=00000()()[()()]lim h f x h f x f x h f x h →+----=000000()()()()limlim h h f x h f x f x h f x h h→→+---=+-，即 ．000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '=【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数在处的可导性．322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩1x =解：根据导数的定义式，，3211122()(1)233(1)lim limlim(1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim 11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--故在处的左导数，右导数不存在，所以在处不可()f x 1x =(1)2f -'=()f x 1x =导．2．讨论函数在处的可导性．21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0x =解：因，20001sin 0()(0)1(0)lim lim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-故函数在处可导．()f x 0x =3．已知函数 在处连续且可导，求常数和的值．2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩1x =a b 解：由连续性，因，，(1)1f =211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，从而①11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+1a b += 再由可导性，，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，而由①可得，代入，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--1b a =-(1)f +'得，再由可得，11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--(1)(1)f f -+''=2a =代入①式得．1b =-【例2-3】已知，求．sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩()f x '解：当时，，当时，，当0x <()(sin )cos f x x x ''==0x ≥()()1f x x ''==时的导数需要用导数的定义来求．0x =，0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，故 ，从而．(0)(0)1f f -+''==(0)1f '=cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩【例2-4】求下列函数的导数．1．．(sin cos )x y e x x =+解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++- ．2cos x e x =2．．22sin1x y x =+解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++．22222(1)2cos (1)1x x x x -=++3．．ln cos()x y e =解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦ ．tan()x x e e =-4．．ln(y x =+解：ln((y x x '⎡⎤''=+=⋅+⎣⎦1⎡=+⎢⎣1⎡=+⎢⎣=．=【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．（）．sin xy x=0x>解：sin sin ln sin ln()()(sin ln)x x x x xy x e e x x''''===⋅sin ln1(cos ln sin)x xe x x xx=⋅+⋅．sinsin(cos ln)xxx x xx=+说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得sin xy x=，该式两边对求导，其中是的函数，得ln sin lny x x=x y x，11cos ln siny x x xy x'⋅=+⋅故．1(cos ln siny y x x xx'=+⋅sinsin(cos ln)xxx x xx=+2．（）．1xxyx⎛⎫= ⎪+⎝⎭x>解：ln ln11ln11x x xx xx xx xy e e xx x++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln11ln11xxxx x xe xx x x+⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln11xxxx x x xe xx x x+⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦．1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，该式两边对求导，其中是的函数，得ln ln1xy x x=+x y x ，111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭故．11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．（）．x y y x =0x >解：等式两边取对数，得，两边对求导，注意是的函数，得lnln x y y x =x y x ，整理得 ，ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+(ln )ln x yx y y y x'-=-则．22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y--'==--2．．y =解：等式两边取对数，得，1ln lnln2y ==即，2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+也即，2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+两边对求导，注意是的函数，得，x y x 221010212x xy y x x '=-++故．222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛'=-=- ⎪ ++++⎝⎭⎝【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数可导，求函数的导数．()y f x =1sin ()xy f e=dy dx解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()(sin x xf e e x '=⋅⋅．1111sin sin sinsin 22cos cos ()()sin sin xxx xx x f e ee f e x x-=⋅⋅=-2．设函数和可导，且，试求函数()f x ()g x22()()0f x g x +≠的导数．y =dydx解：dy d dx dx==．==【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数．()y y x =1．．220xxy y -+=解：方程两边分别对求导，得，x 220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=整理得，故．(2)2dyx y x y dx -=-22dy x y dx x y-=-说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，22(,)F x y x xy y =-+则．2222x y F dy x y x ydx F x y x y'--=-=-='-+-2．．1y y xe =+解：方程两边分别对求导，得，x 0y y dy dy e xe dx dx=++⋅整理的 ，故 ．(1)yydy xe e dx -=1y ydy e dx xe =-说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，(,)1y F x y xe y =+-则．11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数．()y y x =1． ．2t tx e y e-⎧=⎨=⎩解： ．()()21222t t t tt dy e dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'2． ．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解：．()()211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭【例2-10】求下列函数的微分．1．．22()tan (12)f x x =+解：因，22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦故．222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++2．．()f x =解：因()()f x''===-故．()dy f x dx dx '==3．2()arctan f x x=解：因 ，(22()arctan 2arctan fx x xx ''==+故 ．()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==+⎢⎣4．．22()sin ln(1)f x x x =+解：因，222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+故 ．2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程．x y xe -=(0,1)解：，，故曲线在点处的切线方程为()x x x y xe e xe ---''==-01x y ='=(0,1)，即 ；法线方程为即11(0)y x -=⋅-10x y -+=11(0)y x -=-⋅-．10x y +-=【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程．224xxy y ++=(2,2)-解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有，220x y xy y y ''+++⋅=即；由导数的几何意义，曲线在点处的斜率为22x yy x y+'=-+(2,2)-，故曲线在点处的切线方程为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+(2,2)-，即 ；法线方程为 ，即 21(2)y x +=⋅-40x y --=21(2)y x +=-⋅-．0x y +=【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩4t π=解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4tπ=，切线斜率为 ，故所4cos 2cot 2sin t t y ty t x t''===-'-442cot 2t t y tππ=='=-=-求切线方程为，即 ；所求法线方程为2(y x -=--20x y +-=，即 ．1(2y x -=--20x y +-=【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知，则等于（ ）(1)1f '=0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆（A ）（B ）（C ） （D ）11-22-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim 2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆，选（D ）．2(1)2f '=-=-2．（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（）2y x =(1,1)（A ）（B ）y x =322x y =-+（C ）（D ）322x y =+322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为1122x x k y x =='===，即 ，选（B ）．11(1)2y x -=--322x y =-+3．（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（）()f x 0x （A ）存在（B ）不存在0()f x '0()f x '（C ）必存在（D ）在点处可微lim()x f x →∞()f x 0x 解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若，则（）000()()lim h f x h f x h A h→+--=A =（A ）（B ）（C ）（D ）0()f x '02()fx '001()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]lim h f x h f x f x h f x h →+----=000000()()()()limlim h h f x h f x f x h f x h h→→+---=+-，选项（B ）正确．000()()2()f x f x f x '''=+=5．（2008年，3分）函数，在点处（）()f x x =0x =()f x（A ）可导 （B ）间断 （C ）连续不可导 （D ）连续可导解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C ）正确．()f x x =()f x 0x =说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．()f x x =6．（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（）()f x 0x 0()0f x '≠0()f x '（A ）（B ）00()()limx x f x f x x x →--000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）（D ）000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（）()f x 0x （A ）001lim [()()]n n f x f x n→∞+-（B ）000()()lim x x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ），000001()()1lim [()()]lim ()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==选项（C ），0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆选项（D ），故选（B ）．0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆8．（2007年，3分）若可导，且，则（）()f u (2)x y f =dy =（A ）（B ）(2)x f dx '(2)2x xf d '（C ）（D ）[(2)]2x x f d '(2)2x x f dx'解：因，故选项（B ）正确．(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx ''===9．（2006年，2分）设，为可导函数，则（ ）()u x ()v x (ud v=（A ）（B ）du dv2vdu udv u -（C ）（D ）2udv vduu +2udv vdu u -解：，选（B ）．222()()u u u v uv u vdx uv dx vdu udv d dx dx v v v v v''''---'====10．（2005年，3分）设，则（）()(1)(2)(99)f x x x x x =--- (0)f '=（A ） （B ）（C ）（D ）99!-099!99解：当时，中除项外，其他全为零，故0x=()f x '(1)(2)(99)x x x --- ，选项（A ）正确．(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- 11．（2005年，3分）设，则（）ln y x =()n y =（A ） （B ）(1)!nn n x --2(1)(1)!nn n x ---（C ）（D ）1(1)(1)!n n n x ----11(1)!n n n x --+-解：由可得，，，，ln y x =1y x '=21y x''=-433222!x y x x x-'''=-==，，对比可知，选项（C ）正确．2(4)64233!x y x x⋅=-=- 12．（2005年，3分）（ ）2sin ()d xd x =（A ）（B ）（C ）（D ）cos x sin x -cos 2xcos 2x x解：，选项（D ）正确．2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==二、填空题1．（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线()y f x =00(,())x f x ，则．23y x =-0()f x '=解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故．0()2f x '=2．（2010年，2分）设，则．cos(sin )y x =dy =解：．cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-3．（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于．21y x =+(1,2)解：由导数的几何意义可知，切线斜率．(1,2)(1,2)22k y x'===4．（2008年，4分）由参数方程 确定的．cos sin x t y t =⎧⎨=⎩dy dx =解：．(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t tt dx t tx ''====-'-'5．（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是．2sin y x x =+(,1)22ππ+解：切线的斜率，故切线方程为(,1)()2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，即 ．(11()22y x ππ-+=⋅-1y x =+6．（2006年，2分）函数不可导点的个数是．2()(1)f x x x x =-解：，显然，当时，可导；2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩0x≠()f x 当时，，0x=2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，故 ．2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-(0)0f '=故函数的不可导点的个数为．()f x 07．（2006年，2分）设，则．1(1x y x=+dy =解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+，故 ．111(1)[ln(1)1x x x x =++-+111(1)[ln(1)1x dy dx x x x =++-+三、计算题1．（2010年，5分）设函数由方程所确定，求．()y y x =2xy x y =+0x dydx=解：方程两边对求导，考虑到是的函数，得2xyx y =+x y x ，整理得 ，2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+2ln 22ln 21xy xy dy dy y x dx dx+⋅=+故．当时，代入原方程可得，所以2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-0x =1y =．0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--说明：当得到后，也可直接将，代入，得2ln 2(1xydy dyy x dx dx ⋅+=+0x =1y =，故．ln 21dydx=+ln 21x dy dx ==-2．（2010年，5分）求函数（）的导数．sin x y x =0x >解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin xxxx x x xy x e e e x x x x''''====+⋅．sin sin (cos ln )xxxx x x=+3．（2009年，5分）设，求．22sin1xy x =+dy dx解：因，故22sin1x y x =+22(sin )1dy x dx x'=+．2222222222(1)22222cos cos1(1)(1)1x x x x x xx x x x +-⋅-=⋅=++++4．（2006年，4分）设可导，且，求．()f x ()f x '=df dx解：df fdx''=⋅．2x x=⋅=-5．（2005年，5分）已知．sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰（1）在处连续，求；()f x 0x =a （2）求．()f x '解：（1）因，故由在处sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰()f x 0x =连续可得，，即 ．lim()(0)x f x f →=0a =（2）当时，；0x ≠002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰当时，0x =02000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰．0sin 1lim22x x x →==故．02sin sin ,0()1,02x x x tdt x x f x x ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰。