同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版章节题库(向量组的线性相关性)【圣才出品】

A．（Ⅰ）相关 （Ⅱ）相关
B．（Ⅰ）无关 （Ⅱ）无关
C．（Ⅱ）无关 （Ⅰ）无关
D．（Ⅱ）相关 （Ⅰ）无关
【答案】B
【解析】AC 两项，由于这两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就
全正确，要错误就全错误．按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以可排除．其实亦可考
查下面的例子： α1 =（1，0，0）， α2 =（0，1，0）， α3 =（0，0，0）与 β1 =（1，0，0，
0）， β2 =（0，1，0，0）， β3 =（0，0，0，1），显然 r（ α1 ， α2 ， α3 ）=2，r（ β1 ， β2 ，
β3 ）=3，即当 α1 ， α2 ， α3 线性相关时，其延伸组 β1 ， β2 ， β3 可以线性无关．
D 项，如果 β1 ，β2 ，β3 线性相关，即有不全为 0 的 x1 ，x2 ，x3 使 x1 β1 + x2 β2 + x3 β3 =0，
则下列结论正确的是（ ）． A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③ B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①② C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量为③④ D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为② 【答案】D 【解析】向量组①是四个三维向量，从而线性相关，排除 B 项． 由于（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）线性无关，添上两个分量就可得向量组②， 故向量组②线性无关，排除 C 项．
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 α1 ，α2 ，α4 线性相 关，那么添加 α3 后，故向量组③必线性相关，排除 A 项．
2．已知 1,2 ,3,4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
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即
a11 a12 a13 a14
x1 x1 x1 x1
a21x2 a22 x2 a23 x2 a24 x2
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量组（Ⅱ）： 1 (a11, a12 , a13 , a14 ) ， 2 (a21, a22 , a23 , a24 ) ， 3 (a31, a32 , a33 , a34 )
则正确的命题是（ ）．
1,2 ,3 线性表出
【答案】B
【 解 析 】 B 项 ， 例 如 1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,2,0T ,4 0,0,1T ， 可 知
1,2 ,3 线性相关， 2 ,3,4 线性相关，但是 1,2 ,4 线性无关.A 项，如果 1,2 ,3 线 性无关，又因1,2 ,3,4 是 4 个 3 维向量，它们必线性相关，则 4 必可由 1,2 ,3 线性
表出.C 项，由已知条件，有（Ⅰ）r1,2 r1,2,3 ，（Ⅱ）r2,3 r2,3,4 ， 若 r2,3 1，则必有 r1,2 r1,2 ,3 ，与条件（I）矛盾，故必有 r2,3 2 . 那么由（Ⅱ）知 r2,3,4 3 ，从而 r1,2,3,4 3 .因此1 可以由2 ,3,4 线性表
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C．必要而非充分条件
D．既不充分也非必要条件
【答案】B
【解析】由已知条件知
当 a=8 时，行列式| α1 ， α2 ， α3 ， α4 |=0，向量组 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式| α1 ，α2 ，α3 ，α4 |=0．所以 a=8 是向量组 α1 ，α2 ，α3 ，α4 线性相关
的充分而非必要条件．
4.
.
【答案】C
【解析】由 r( A) 1，知 r( A) 3 1 2 ，则 A 0 ，即
解得 a b 或 2b ．当 a b 时， r( A) 1 2 ，即 a 2b ． 5．设向量组（Ⅰ）： 1 (a11, a12 , a13 ) ， 2 (a21, a22 , a23 ) ， 3 (a31, a32 , a33 ) ，向
出.D 项，经初等变换有
r1,1 2,2 3 r4,1 4,2 4,3 4 1,1 2,2 3 1,2,2 3 1,2,3 , 4,1 4,2 4,3 4 4,1,2,3 1,2,3,4 从而 r1,2,3 r1,2,3,4 ，因而4 可以由 1,2 ,3 线性表出.
A．如果 4 不能由1,2 ,3 线性表出，则 1,2 ,3 线性相关 B．如果1,2 ,3 线性相关，2 ,3,4 线性相关，那么 1,2 ,4 也线性相关 C．如果3 不能由 1,2 线性表出，4 不能由 2 ,3 线性表出，则 1 可以由 2 ,3,4
线性表出
D ． 如 果 秩 r1,1 2,2 3 r4,1 4,2 4,3 4 ， 则 4 可 以 由
3．设1 (1, 2, 3,1)T ，2 (3, 4, 7, 1)T ，3 (2, 6, a, 6)T ，4 (0,1, 3, a)T ，那么 a=8 是 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关的（ ）．
A．充分必要条件
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B．充分而非必要条件
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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第 6 版章节题库 第 4 章 向量组的线性相关性
一、选择题. 1．现有四个向量组
① (1, 2,3)T , (3, 1,5)T , (0, 4, 2)T , (1,3, 0)T ； ② (a,1, b, 0, 0)T , (c, 0, d, 2, 0)T , (e, 0, f , 0,3)T ； ③ (a,1, 2,3)T , (b,1, 2,3)T , (c,3, 4,5)T , (d, 0, 0, 0)T ； ④ (1, 0,3,1)T , (1,3, 0, 2)T , (2,1, 7, 2)T , (4, 2,14,5)T ．