2021年正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：证明方法一：三角形的面积法设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
根据三角形面积公式，可以得到：S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：h1 = b * sinCh2 = c * sinAh3 = a * sinB代入前面的面积公式，得到：S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA = 0.5 * c * a * sinB移项整理后得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC证明方法二：向量法在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义，可以得到：\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)根据向量的数量积公式，可以得到：\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c又根据向量的叉积公式，可以得到：而叉积的模也可以通过坐标计算得到：综上，可以得到正弦定理的向量形式：证明方法三：海伦公式法根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}其中p=(a+b+c)/2、又根据三角形面积的定义，可以得到：S = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C将前面两个公式等式右边进行等式转换，得到：\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = 0.5\cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C两边平方，整理得到：16p^2 \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) = a^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2\angle C整理后得到：16(p-a)(p-b)(p-c)p = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再根据赫罗定理，可以得到：p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2将上面两个等式联立，整理得到：16S^2 = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再开更号，得到：2S = ab \cdot \sin\angle C即得正弦定理。
正弦定理证明推导方法
正弦定理证明推导方法正弦定理证明推导方法正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。
下面是店铺给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!正弦定理证明推导方法显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。
正弦定理∵(特殊角正弦函数值)正弦定理∴2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C正弦定理∴，有。
示意图2B若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得。
故对任意三角形，定理得证。
实际上该定理也可以用向量方法证明。
正弦定理定义正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
正弦定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
正弦定理证明推导方法
正弦定理证明推导方法正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。
下面是店铺给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!正弦定理证明推导方法显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。
正弦定理∵(特殊角正弦函数值)正弦定理∴2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C正弦定理∴，有。
示意图2B若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得。
故对任意三角形，定理得证。
实际上该定理也可以用向量方法证明。
正弦定理定义正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
正弦定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理引言正弦定理是三角学中的一个重要定理，它描述了一个三角形中的边长和其对应的角度之间的关系。
通过证明正弦定理，我们可以深入理解三角形的性质和特点，并在实际问题中应用它。
什么是正弦定理正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别表示角A、B和C的正弦值。
证明思路为了证明正弦定理，我们需要利用一些基本的几何知识和三角函数的性质。
下面将详细介绍证明思路以及每个步骤的推导过程。
步骤1：构造高首先，我们需要在三角形ABC中构造高AD。
通过这一步骤，我们可以将三角形ABC 划分为两个直角三角形：△ABD和△ACD。
步骤2：计算△ABD和△ACD的面积根据几何知识，我们知道一个三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，我们可以计算出△ABD和△ACD的面积：Area(△ABD) = (1/2) * AD * AB * sinAArea(△ACD) = (1/2) * AD * AC * sinB步骤3：计算三角形ABC的面积三角形ABC的面积可以通过△ABD和△ACD的面积相加来计算：Area(△ABC) = Area(△ABD) + Area(△ACD)= (1/2) * AD * AB * sinA + (1/2) * AD * AC * sinB步骤4：使用三角函数的性质根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：sinA = AB / csinB = AC / c将这两个等式代入步骤3中的面积表达式中，我们可以得到：Ar ea(△ABC) = (1/2) * AD * c * sinA + (1/2) * AD * c * sinB= (1/2) * AD * c (sinA + sinB)步骤5：计算三角形ABC的面积另一种表达式另一方面，根据三角形ABC的面积公式，我们有：Area(△ABC) = (1/2) * a* b* sinC步骤6：证明正弦定理将步骤4和步骤5中的面积表达式相等，我们可以得到：(1/2) * AD * c (sinA + sinB) = (1/2) * a* b* sinC通过消除公式中的分母和分子的分式，我们可以得到正弦定理的一种形式：a/sinA = b/sinB = c/sinC结论通过以上证明过程，我们成功地证明了正弦定理。
正弦定理的证明方法
正弦定理的证明方法•相关推荐正弦定理的证明方法正弦定理的证明方法如图1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形内角平分线有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc为等腰三角形。
证明‘三角证法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊丽劝元二舀丽””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的`外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA3用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证4满意答案好评率：100%正弦定理步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
正弦定理的三种证明
△ABC 中的三个内角∠A，∠B，∠C 的对边，分别用 a ,b ,c 表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a b c= =sin A sin B sin C证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.A(1) 在Rt A BC 中，如图1-1absin A=，sin B =cca b因此，= =sin A sin Bcbc a b c有因为sin C =1 ，所以= =sin A sin B sin C C aB（2）在锐角△ABC 中，如图1-2CC D C D作C D AB 于点 D ，有sin = ，sin B =A ，b aa b 因此， b sin A= a sin B ，即=sin A sin B baa c 同理可证：=sin A sin Ca b c，故= =sin A sin B sin C.BAc（3）在钝角△ABC 中，如图1-3D作C D AB ，交AB 的延长线于点 D ，则CC D C Dsin A = ，sin A B C =sin C BD =b aa b因此， b sin A= a sin B ，即=sin A sin Bbb c同理可证：=sin B sin Caa b c 故= =sin A sin B sin CcA BD综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.证明：如图所示，圆 O 是△ABC 的外接圆，半径为 R 连接 A O 并延长，交圆 O 于点 D ，连接 C D ，A易知，ACD =90 ， B = DA C b sin D = =A D 2R，即 sin B = b 2R b因此 = 2Rsin BO 同理，延长 BO ,CO ，B Cac可证== 2sin A sin CR a b c 故 = = = 2 sin A sin B sin CR D证明：过点 B 作单位向量 j BC ，那么就有 j A C j AB j B CAb C cB b sin Cc sin Bcos(90 )cos(90 )b c ，sin Bsin C ab 同理有sin A sin B。
正弦定理的证明方法
正弦定理的证明方法正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了在任意三角形中，三边的长度和角度之间的关系。
正弦定理可以用于解决一些与三角形有关的问题，例如确定未知边长或角度的大小。
为了证明正弦定理，我们首先需要定义一些符号。
设在一个三角形ABC中，边长a、b、c 分别对应于角A、B、C；角度α、β、γ分别对应于边a、b、c。
我们可以利用三角形的面积来证明正弦定理。
设三角形ABC的面积为S。
根据三角形的面积公式，S可以表示为：S = 1/2 * a * b * sinγ同样，我们可以将面积表示为其他两个角的正弦函数。
设三角形ABC的面积分别与角A、B、C 对应的边的正弦函数表示为Sa、Sb、Sc，则有：Sa = 1/2 * b * c * sinαSb = 1/2 * c * a * sinβSc = 1/2 * a * b * sinγ通过对上述三个公式进行观察，我们可以发现Sa、Sb、Sc 都是相等的，因为它们都代表了同一个三角形的面积。
即：Sa = Sb = Sc = S将上述公式进行整理，我们可以得到以下等式：a *b * sinγ= b *c * sinα= c * a * sinβ= 2S为了得到正弦定理，我们将上述等式进行变换。
首先，我们将其中一对等式分子和分母进行交换：a / sinα=b / sinβ=c / sinγ此时，我们可以将上述等式的分子和分母都除以边长abc 的乘积，得到这样的等式：a / (bc) =b / (ac) =c / (ab)接下来，我们可以通过简单的代数运算来证明正弦定理。
设上述等式左半边等于k，则有：a = kbcb = kacc = kab将上述等式代入三角形ABC 的面积公式S = 1/2 * a * b * sinγ，我们可以得到以下表达式：S = 1/2 * (kbc) * (kac) * sinγ= 1/2 * (k^2 * a * b * c) * sinγ根据上述表达式，我们可以推出以下等式：k^2 * a * b * c * sinγ= 2S将上述等式转换回正弦函数的形式，我们可以得到正弦定理的表达式：sinγ= 2S / (abc)利用相似的推理，我们还可以得出其他两个角度对应的正弦定理表达式：sinα= 2S / (bca)sinβ= 2S / (cab)至此，我们通过利用三角形的面积公式进行代数推理，证明了正弦定理的正确性。
正弦定理 几何法证明
正弦定理是三角形中的一种定理，它用于计算三角形的边长和角度。
可以表示为：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
其中a、b和c分别表示三角形的边长，而A、B和C则表示相应的角度。
正弦定理可以用于计算任何三角形，无论是锐角、钝角还是直角三角形。
几何证明如下：
假设三角形ABC的边长为a、b和c，相应的角度为A、B和C。
首先，我们可以将任何三角形分成两个直角三角形，如下所示：
将角度A和C的角平分线相交于点D，假设AD=x，CD=y。
根据正弦函数，我们可以得到：
sinA = BD/a
sinC = BD/c
解出BD：
BD = a*sinA = c*sinC
因此，我们可以得到：
a*sinA = c*sinC
同样，将角度B和C的角平分线相交于点E，假设BE=y，AE=x。
我们可以利用正弦函数和三角形内角和为180度的定理得到：
sinB = CE/b
sinC = CE/c
解出CE：
CE = b*sinB = c*sinC
因此，我们可以得到：
b*sinB = c*sinC
同时，利用三角形内角和为180度的定理，我们可以得到：A + B + C = 180°
通过将以上等式代入正弦定理公式中，我们可以得到：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
因此，我们证明了正弦定理。
正弦定理证明方法
正弦定理证明方法正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2: 用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA3用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证4满意答案好评率：100%正弦定理步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
正弦定理的多种证法
正弦定理的多种证法第一篇：正弦定理的多种证法正弦定理的几何意义在⊿ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，则abc==,这就是正弦定sinAsinBsinC理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．1、三角形高法：asinB,bsinA是⊿ABC的c边上的高；asinC,csinA是⊿ABC的b 边上的高；bsinC,csinB是⊿ABC的a边上的高．根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB=bsinA． bcab，同理．==sinBsinCsinAsinBabc因此==.sinAsinBsinC所以2、三角形外接圆法：abc是⊿ABC的外接圆直径．根据这个几何意义，定理证明如下：，sinAsinBsinC作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,CD=2R（R为⊿ABC的外接圆半径）．CBaa，所以==2R． CD2RsinAbc同理=2R,=2R． sinBsinCabc因此===2R． sinAsinBsinC所以sinA=sinD=3、三角形面积法：111absinC,bcsinA,acsinB是三角形ABC的面积．根据这个几何意义,定理证明如222下：作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB．所以三角形ABC的面积11ABγCD=acsinB． 2211111同理S=absinC, S=bcsinA,所以bcsinA=acsinB=absinC,22222abc1同除以abc,再取倒数有．==sinAsinBsinC2S=4、向量的数量积法：-B),bcos(-A)．则在锐角三角形ABC中,作高CD,则22υυυρυυυρυυυρυυυρυυυρππaCDcos(-B),bCDcos(-A)分别是向量CB,CA与向量CD的数量积．利用这个几何22意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC的高CD．把asinB,bsinA变形为acos(ππυυυρυυυυυυρυυυρυυυρρυυυρυυυρυυυρ因为AB=CB-CA,所以0=AB•CD=(CB-CA)•CD,υυυρυυυρυυυρυυυρυυυρυυυρππ所以CB•CD=CA•CD，所以aCDcos(-B)=bCDcos(-A), 22即asinB=bsinA.所以同理ab．=sinAsinBbc．=sinBsinCabc因此．==sinAsinBsinC５、如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法．证明如下：以C为原点,以射线CA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点 B落在x轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义, B点的纵坐标h=asinC．所以三角形ABC的面积S=bh=absinC．同理S=acsinB, S=bcsinA． 12121212abc1 同除以abc,再取倒数有．==sinAsinBsinC2所以bcsinA=acsinB=absinC,这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.1212第二篇：正弦定理,余弦的多种证明正弦(余弦)定理的另类证明课本利用向量法证明正弦定理，本文来介绍的另外两种证法.正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即a=bsinAsinB=csinC.证法1：（等积法）在任意斜三角形ABC 中,S△111absinC=acsinB=bcsinA，222两边同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinBsinCABC=.C点评：证法1主要利用了任意斜三角形面积可分别转化为三角形不同边与其对应高的乘积的12.此证法体现了转化与化归的思想方法.abAOBDc证法2：（外接圆法）如图1所示，设O为△ABC的外接圆的圆心，连接CO并延长交圆O于D，连接BD，则A=D，BCaa 所以sinA=sinD=CD,即==2R.同理2RsinAbsinB=2R，csinC＝2R.故a=b=csinAsinBsinC=2R(R为三角形外接圆半径).点评：证法2建立了三角形中的边与对角、外接圆半径三者之间的联系，这三者知二可求一，为正弦定理增添了新内容，体现了数形结合的思想.小结：由以上证明过程，我们可以得到正弦定理的几种变形形式：1.a: b: c = sinA : sinB :sinC;2.a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;3.sinA=2aR;sinB= 2bR;sinC=2cR.（其中R为△ABC外接圆的半径）在解决三角形问题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用公式.公式选择得当、方法运用对路是简化问题的必要手段．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 就是将CosA移到右边表示一下。
正弦定理的几种证明方法
AD^ccosA盼=^C = AD+1M? = e cos A + csinB正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（n l AABC 是锐角三角殄瞅11AB±的商是CD.根据锐角三角函数的定文爹 • • 『•.・ •： • • ••: •' -• •••G • • ： . • •• • • V • ••・• ・・•• • • • • • Q ：•- •・ ^ @=asin3qOD =bsinA <■ 由虬得亠=亠同理可得亠二厶 sinA sinB ‘干吋囂而•而芳•T h 沙 •• • •裱肴 •弊 H ° j 盘 ... .. 、sinM sinB “nC ■从而这冷•.结论崔锐角三角形中成立… • • •• • • • • • • • •• •（2X 当AABC 是钝角三角形毗 述点C 作AB 边上的高「交陋的延长线于点1）, 根据锐角三角函数的定义,莆仪?=左山夂39=力讪厶比\ 仞=0血人言由此铲 握 & fb. 信i 禅n 用 e & - sihX^sinZ^ .同 可需 M^^inAABC *•• *% \ ♦ •• • 7 * * * , - -y; • • • •故有盍r石空=佥 • ••/ - ••.…■. •• A • / • ••・ ■由①⑵可知撑在△ ABC 札憑直 為瞬矗热‘在一来三烫務护*暮过莽它所徘并曲正蠻前比龙MTIh > a D c sinA sin&' sinC . ••r 用知取紛就生: 实际应用何题中”我術常遇到间题： 已知点A, B £M 的施|屈，顾翅量角A 与角B, G ・・哥在如图亦中，巳知角A,痛B, I AB I -c, 紐AC 林b 解；••过©希CD'AB 衮AB 于几则、 •••%•••BD csinA csiiiAcosC tanC sin© slnCcosC csinAcosC c(sinCcosA+sinAcosC) sinC slnCB• .'^ ••/••/ • •• ♦推论: A 111 AC sinB sinC •・• ••岭 J ••: •同理可证： sinA stnB sinC • • • • •2.利用三角形面积证明正弦定理•♦ ♦・■ •• • • • ▼ ♦・•・• • *巳知△ABC,设 BC = a, CA = b,AB=c.作 AD 丄BQ ：垂足消 D..则 Rt AADB 申.sin B w .9 AD 二AB • siri>csi nB, AAB........ 二5备讦亠a • A D=豈wcsin B ・.同理,哥铁Sa 血L • •• 2 • z" • * •'…•: S A ^K F —absin C = — be sin A —-^ac sin B ・在等式两n 憫除以血％可得史£"叠彳=...望婕”.即 丄 产—=—c a bsin A* sinB sinCZ3 •向量法证明正弦定理 ⑴△磁为税角三角形,•过点M 作单位向量j 垂直于屁，则j 与AB 的夹角为 9Q 歿如与的夹角1 90^ -a 由向量的加W 原:则< •#AC + GB = i-嗨T 野囲申貞关舟的三揃陽就建立联髭剩体上话询董導离的睛边厨恥尚量 j 的数量狽运算，得到J •（花+石）可•圧由汾配律可得AC^j^CB = j^AB.血90。
证明正弦定理的方法
证明正弦定理的方法正弦定理是三角形中最基本的定理之一，用于求解三角形的边长和角度。
以下是证明正弦定理的常见方法：方法一：利用三角形的面积公式。
1. 假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
2. 构造高AD，将三角形ABC分成两个高度分别为h1和h2的小三角形。
3. 根据三角形的面积公式，可以得到：面积(三角形ABC) = 1/2 * b * h1面积(三角形ABC) = 1/2 * c * h24. 将上述两个公式联立，可以得到：b * h1 =c * h25. 由于三角形ABC的高度h1 = a * sinB，h2 = a * sinC，代入上述公式可以得到：b * a * sinB =c * a * sinC6. 化简上述公式可得：b / sinC =c / sinB7. 将这个公式稍加变形，可以得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC方法二：利用三角形的内接圆。
1. 设三角形ABC的内接圆的半径为R，圆心为O。
2. 连接AO、BO、CO，将三角形ABC分成三个小三角形。
3. 记三角形AOB的角度为θ，可以得到：AB = 2R * sinθ4. 同理，记三角形BOC的角度为φ，可以得到：BC = 2R * sinφ5. 通过连接CO、AO，可以得到：AC = 2R * sin(θ+ φ)6. 根据三角形中的等式关系可以得到：sin(θ+ φ) = sinθ* cosφ+ cosθ* sinφ7. 代入上述公式，可以得到：AC = AB * cosφ+ BC * sinθAC = 2R * sinθ* cosφ+ 2R * sinφ* sinθAC = 2R * (sinθ* cosφ+ sinφ* sinθ)AC = 2R * sin(θ+ φ)8. 化简上述公式可得：sin(θ+ φ) = sinAsinθ* cosφ+ sinφ* sinθ= sinAsinθ* (cosφ+ sinφ) = sinAsinθ= sinA / (cosφ+ sinφ)9. 同理可以得到：sinφ= sinC / (cosθ+ sinθ)10. 将上述两个公式联立，可以得到正弦定理：sinA / (cosφ+ sinφ) = sinC / (cosθ+ sinθ) sinA / (cosC + sinC) = sinC / (cosA + sinA) sinA / sinC = (cosA + sinA) / (cosC + sinC) a / sinC = b / sinB = c / sinC。
正弦定理证明推导方法
正弦定理证明推导方法正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。
下面是店铺给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!正弦定理证明推导方法显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。
正弦定理∵(特殊角正弦函数值)正弦定理∴2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C正弦定理∴，有。
示意图2B若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得。
故对任意三角形，定理得证。
实际上该定理也可以用向量方法证明。
正弦定理定义正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
正弦定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理 正弦定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决三角形中的各种问题。
它表明，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A 、B、C之间存在着如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC 下面将详细介绍如何证明正弦定理。
我们将使用几何和三角函数的一些基本概念和性质来进行推导。
1. 从三角形ABC出发，延长边AC，使其过点B，与边AB交于一点D。
2. 我们将证明三角形ABC与三角形CBD之间存在相似关系。
由于三角形ABC与三角形CBD有一个公共角B，所以只需证明角C和角D相等即可。
3. 角C是三角形ABC的内角，角D是三角形CBD的内角，根据三角形内角和等于180度的性质，我们有角C+角D=180度。
4. 接下来，我们利用三角恒等式来进一步证明角C和角D相等。
利用三角形ABD和BCD中的正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB （三角形ABD）b/sinC = c/sinD （三角形BCD） 将这两个等式联立起来，可以得到 a/sinA = c/sinD 5. 接下来，我们再观察三角形ABC和三角形CBD的共边BC，以及三角形对边AC和BD。
它们都共享相同的角B，根据正弦定理可以得到：a/sinA = c/sinD 再次使用三角恒等式，我们可以得到 sinA/sinD = sinC 再进一步化简，可以得到 sinA/sinC = sinD 6. 根据三角恒等式的性质，我们知道 sinA/sinC = sinD 等价于sinC/sinA = sinD 因此，最终我们得到 sinC/sinA = sinD 7. 再进一步观察，我们可以发现 sinC/sinA = c/a，代入之前的等式可以得到 c/a = sinD或者写成 a/sinA = c/sinD 8. 综上所述，我们得到了 a/sinA = b/sinB = c/sinC，即正弦定理的表达式。
正弦定理证明的常用4种方法
正弦定理证明的常用4种方法正、余弦定理是解三角形中的两个最重要的定理，正弦定理的证明方法有很多，下面给出常用的四种证明方法。
（视频中利用三角形的高和外接圆这两种证明方法）【正弦定理微课给】需要word电子稿及，在对应文末“写留言”。
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方法1：利用三角形的高证明方法二：利用三角形的面积证明方法三：利用向量的方法证明方法四：利用外接圆证明需要word电子稿及，关注“不学无数”公众号后，请在对应文末“写留言”。
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【讲义汇总】•三角拔高训练题•向量拔高训练•高一函数拔高训练•三角函数的应用讲义•三角恒等变换复习讲义•平面向量复习讲义•必修一综合讲义•指数与对数复习讲义•函数的性质复习讲义【更多视频讲解】【三角恒等变换】•向量结合二倍角公式化简问题•三角函数展开结合二倍角公式化简•二倍角+三角函数换元求最值问题•降幂+合一变换求最值解答题•向量与二倍角公式结合•三角化简中滚雪球化简的套路•三角函数合一变换再求对称中心•二倍角公式的简单梳理及其应用•向量+三角函数+二次函数动轴定区间压轴解答题•角与角之间的三种基本关系及其例题•三角函数中角的范围细分问题•正切换元+耐克函数求值域问题•扇形内接矩形求面积最大问题•三角函数化简问题•两角和与差公式的证明引例•两角和与差公式的证明•两角和与差其他正弦公式推导（基于余弦公式下）【向量】•用向量运算判断三角形形状•平行四边形已知对角线向量求边向量•三角形中线的向量性质题目•向量与三角综合解答题•向量共线+直角三角形问题求参数•用三点共线方程解决复杂向量拆分问题•中线上一动点求数量积的最小值•向量垂直解二元方程问题•已知基础向量长度和夹角求表达式和模•图形中用向量拆分并证明三点共线问题•向量表示三点共线问题•三角形重心向量拆分并证明共线问题•用基本向量求向量表达式的数量积•用向量工具求点的坐标•用向量工具求平行四边形第四个顶点坐标•用一组基底解方程表示第三个向量•直角三角形中的的向量数量积问题（注意夹角方向）•向量等式两边同时平方解决数量积问题•用向量工具求共线点位置坐标方法•已知向量同向求参数•系数和为1证明三点共线问题•平面向量基本定理•平行四边形中向量的拆分•用向量工具确定点的坐标•向量的夹角基本概念•向量数量积的基本概念•一题串讲向量数量积的三种基本方法•平面向量的减法做图法则•平面向量的数乘做图法则•平面向量的加法做图法则【三角函数】•y=Asin(ωx+φ)五点画图•y=Asin(ωx+φ)图像变换问题•y=Asin(ωx+φ)图像平移后关于原点对称问题•y=Asin(ωx+φ)五点画图•二次函数参数是三角函数问题•三角函数求值域问题•三角函数图像的变换•解不等式组与集合包含问题•五点画图法问题•正弦函数与余弦函数图像相互转化•已知三角函数图像求解析式•正切函数在含参区间单调求参数范围•正切函数画图求值域问题•向量基本概念7个基本知识点•三角函数周期变换求参数问题•三角函数外层复合一次函数求值域问题•利用三角函数对称性相互抵消求和问题•第二象限的一半，三分之一所对应的象限•弧度制和角度制的互化公式•整体换元法在解三角问题中的使用•利用三角函数图像比函数值大小•扇形的面积公式和弧长公式•三角形内角问题初步探讨•方程组的思想解决三角形内角问题•三角函数表达式奇偶性判断•三角函数整体换元再利用诱导公式求值•同角三角函数基本关系应用•解三角不等式问题•三角函数诱导公式口诀•三角恒等式证明的两种基本方法•三角函数整体换元求值问题•几个重要的三角函数化简模型•同角三角函数的两个基本关系•用三角函数的定义知一求二•为什么角度和时间都是60进制？学习高中数学欢迎在微信搜索中搜索公众号：不学无数微信号：learningmath 加关注。
正弦定理的证明
正弦定理的证明（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin ab=同理可得sin sin cbC B =从而sin sin abAB=sin cC=思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（方法二）利用向量证明如图，在∆ABC 中，过点A 作一个单位向量j ，使j AC ⊥。
当BAC ∠为钝角或直角时，同理可证上述结论。
从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin ab=sin c=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。
（方法三）利用复数证明如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，交于点D ．根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出（方法四）利用∆ABC 的外接圆证明Ⅰ 如图，O 是∆ABC 的外接圆，设半径为R ，分别连结OA 、OB 、OC ，过点O 作,OD BC ⊥垂足为D 。
证明：（方法五）利用∆ABC 的外接圆证明Ⅱ如图，O 是∆ABC 的外接圆，设半径为R ，连结BO 并延长，交 O 于点D ，连结AD 。
证明：（方法六）利用∆ABC 的高线证明如图，在∆ABC 中，过点B 作BD AC ⊥，垂足为D 证明：（方法七）利用两角和的正弦公式证明如图，在∆ABC中，过点B作BD AC⊥，垂足为D此题还能这样入手：以下过程同上。
文档：正弦定理证明方法
正弦定理证明方法
正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即==.
证法1：（等积法）在任意斜三角形ABC 中,
S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==， 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 点评：证法1主要利用了任意斜三角形面积可分别转化为三角形不同边与其对应高的乘积的.此证法体现了转化与化归的思想方法.
证法2：（外接圆法）如图1所示，设O 为△ABC 的外接圆的圆心，
连接CO 并延长交圆O 于D ，连接BD ，则A=D ， 所以sin sin 2BC a A D CD R ===,即2sin a R A =.同理 =2R ，＝2R.
故
sin a A =sin b B =sin c C =2R(R 为三角形外接圆半径). 点评：证法2建立了三角形中的边与对角、外接圆半径三者之间的联系，这三者知二可求一，为正弦定理增添了新内容，体现了数形结合的思想. 小结：由以上证明过程，我们可以得到正弦定理的几种变形形式：
1. a: b: c = sinA : sinB :sinC ;
2. a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC;
3. sinA=;sinB= ;sinC=. （其中R 为△ABC 外接圆的半径）
在解决三角形问题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用公式.公式选择得当、方法运用对路是简化问题的必要手段．。
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正弦定理的几种证明方法
欧阳光明（2021.03.07）
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角
三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得 sin sin a
b
A
B
=
，
同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有 sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有
=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得
=
∠sin sin a
b
A
ABC ，
同
理可得 =
∠sin sin c b
C ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：
在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝
a
b
D
A
B
C
A
B C
D
b a
c ，
求边AC 的长b
解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则 推论：
sin sin b c
B C
= 同理可证：
sin sin sin a b c
A B C
== 2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt
△ADB 中,AB
AD
B =
sin ,∴AD=AB·sinB=csinB.
∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21
sin 21=.
∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB,
在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C
c
B b A a sin sin sin =
=. 3.向量法证明正弦定理
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .
由向量的加法原则可得
AB CB AC =+,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.
B
∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j
∴asinC=csinA.∴
C
c A a sin sin =
. A
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j
D
C
B
A
C
与AB 的夹角为90°+B ,可得B
b C
c sin sin =.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=.
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j 与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .
由AB CB AC =+,得j ·AC
+j ·
CB =j ·AB , j
即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴
C c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C
c
B b sin sin =
.∴
C
c
B b simA a sin sin =
= 4.外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接
圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R
c B C 2sin sin =
'=.∴
R C
c
2sin =.
同理,可得
R B
b
R A a 2sin ,2sin ==.∴
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===.
这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式
C
c
B b A a sin sin sin =
=.
A
C B
A。