实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
复变函数泰勒级数展开
幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展
开成幂级数，基本展开公式如下：
1
zn,
z 1;
1 z n0
(3.3.7)
1
(1)n zn ,
z 1;
1 z n0
(3.3.8)
ez
zn ,
z
;
n0 n!
(3.3.9)
sin z
(1)n z2n1 ,
解： 函数 f1(z) sin z 的前四阶导数分别为 f1' (z) cos z
f1'' (z) sin z
f (3)
1
(
z)
cos
z
f (4)
1
(
z
)
sin
z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z0 0 有 f1' (0) 1 f1'' (0) 0
内展开成幂级数.
解：
f (z)
z
1 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
1
1
zn (z / 2)n
1 z 1 z / 2 n0
n0
n0
(1
1 2n
)zn
补充 泰勒展开的方法
1、替换法
例
将函数
f
(z)
z z3
1
，以为
0 1 z
0 n0
(1)n
z n1 ,
z 1
n0
n 1
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
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[选取日期]
复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式复变函数是指复数域上的函数，其自变量和因变量都是复数。
复变函数理论是数学中的一个重要分支，应用广泛。
在物理、工程、经济学以及计算机科学等领域，复变函数都发挥着重要的作用。
复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是两种常见的展开方法，用于将复变函数表示为幂级数或者简单函数的和。
泰勒展开式适用于函数在某个点附近解析的情况，而洛朗展开式适用于函数在某个环域上解析的情况。
泰勒展开式是将函数在某个点处展开成幂级数的形式。
设函数f(z)在z=a处解析，则f(z)可以表示为：f(z) = f(a) + f'(a)(z-a) + f''(a)(z-a)^2 + ...其中，f'(a)表示f(z)在z=a处的导数，f''(a)表示f'(z)在z=a 处的导数，以此类推。
泰勒展开式表明，在某个点处，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数，可以近似得到函数在该点附近的值。
洛朗展开式是将函数在某个环域上展开成幂级数和简单函数的形式。
设函数f(z)在环域R: r<|z-a|<R中解析，则f(z)可以表示为：f(z) = ∑ (A_n / (z-a)^n) + ∑ (B_n (z-a)^n)其中，第一项是负幂次项的幂级数，第二项是正幂次项的幂级数，A_n和B_n是系数。
洛朗展开式表明，在某个环域上，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数和简单函数的和，可以近似得到函数的值。
泰勒展开式和洛朗展开式对于研究函数的性质和计算函数的值都有重要的指导意义。
通过泰勒展开式和洛朗展开式，我们可以对复变函数进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
此外，这两种展开方法也为我们提供了一种描述函数行为的方式，让我们能够更好地理解函数的性质，从而更好地应用于实际问题中。
总之，复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是复变函数理论中重要的工具。
复变函数课件章节
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01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)
复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则 一样，但要注意复数运算和实数运算的异同， 在计算的时候，考虑全面！
13
展开公式
2 3 n z z z ez 1 z 2! 3! n! z3 z5 z 2 n1 n sin z z 1 3! 5! 2n 1!
m m
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
由 R lim | ak | k a k 1
可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z
是有限的，则泰勒级数就是收敛的！
例2
在z0＝0的邻域上把 f1 ( z) sin z, f 2 ( z) cos z 展开
( z) sin z 解： f1 ( z) sin z 的前四阶导数是 f1( z) cos z, f1
iz iz
例
1 在 z 1上有一个奇点 z 1, 而它在 z 1 内处处解析 . 解 2 1 z
它在 z 1 内可展开成 z的幂级数 .
1 把函数 展开成z的幂级数. 2 1 z
1 z 1 1 z z 2 1n z n , z
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
4
二、解析函数展为泰勒级数举例： 例1 在z0＝0的邻域上把 f ( z) e z 展开
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数 泰勒展式
f ( n ) ( z0 ) n ( z z0 ) n!
结论1 如果f ( z )有奇点,则使f ( z )在z0 的泰勒
展开式成立的圆域的半径R等于从z0 到距z0最近的f ( z )的奇点 之间的距离， 即 R z0 .
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 如 f (z) 在z0 1处解析，则f ( z )的在 z ( z 1) z0 1处泰勒展开式的收敛半径为 R 1 0 1.
例1 在复平面上解析、在实轴上等于sinx的函 数只可能是sinz
例2 是否存在着在原点解析的函数f(z)满足下 列条件
1 1 1 1) f 0, f 2n 1 2n 2n n 1 2) f n n1
其中n 1,2,3,
3
例2 判断z 0是f ( z ) z sin z的几阶零点.
定理 (零点的孤立性)
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
设函数f ( z )在z0解析，并且z0是它的一个零点， 那么或者f ( z )在z0的一个邻域内恒等于零， 或者存在着z0的一个邻域， 在其中z0是f ( z )的唯 一零点
1 4. 求函数f ( z ) 2 在z 0 z ( 2 i ) z 2i 点展开成泰勒级数的收敛半径R.
R1
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 5. 把f ( z ) 在z 0展为泰勒级数. 3z 2 2 2 f ( z )的奇点为z , 所以收敛半径R= 解： 3 3 1 1 1 3z 3z 2 2 1 2 2 n 1 3z 3z 3z 1 2 2 2 2
复变函数第四章(2)泰勒级数
敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
定理 4.9 设 f ( z ) 在圆环域 D ： R1 z z 0 R 2 上解析，
则在 D 内
f ( z)
其中 c n
n
c
c
n
( z z0 ) ,
n
f ( z )在圆环域R1 z z0 R2 上的罗朗展开式。
3
z 解：因为 e 1 z
z
2
2!
z
3
3!
z
n
n!
1
z e z (1
3 z 3
1 z
2! z 3! z 4! z z 1 1 3 2 z z 0 z . 2! 3! 4! z
1
2
1
3
1
4
)
例 7：将函数 f ( z )
2 n 1
(2n 1)!
z
例 3：函数
e
z
1 z
在 z 0 处的泰勒展开式
解：
函数有一奇点 z 1,
收敛半径 R 1。
函数在 z 1内解析，
e 1 z
z
z
2
2!
2
z
n
n!
n
z 1
1 1 z
e
z
1 z z z
两式相乘得，
(s z 2 i
C1 n 0
N 1
1
z 1.
f (s)
0
)
n1
ds ( z z 0 )
复变函数与积分变换-泰勒级数
(z
z0
)n
d
z
.
由解析函数高阶导数公式,上式可写成
f
(z)
N 1 n0
f
(n) (z0 n!
)
(
z
z0
)n
RN (z)
其中
K
RN
(z)
1 2πi
K
nN
(z
f (z )
z0 )n1
(z
z0 )n
dz
zz
z0
复变函数与积分变换
除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用
幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的
泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰
勒展开式也可以用间接展开法得出:
sin
z
1 2i
(eiz
eiz )
1 2i
n0
(iz)n n!
q与积分变量z无关, 且0q<1.
zz
z0 K
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
| RN (z) |
1 2π
例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.
[解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|<1展开为z的幂级数.
复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开
( n 0,1, 2,
).
注： 这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接
4.3.2
将函数展开成泰勒级数
将函数展开为泰勒级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理直接计算级数的系数
1 (n) an f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
2 n 1 z ( 1)n , (2n 1)! ( z )
( z 1)
z2 z4 (5) cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
,
( z )
n 1 z2 z3 z (6) ln(1 z ) z ( 1)n , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛
圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析
函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —亦即泰勒级数. 这是解析函数的重要特征.
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数
f (z) dz ( n 0, 1, 2, ), n 1 ( z z0 )
曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.
注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的, 因此为
函数展开成罗朗级数的间接方法奠定了基础.
将函数在圆环域内展开成罗朗级数, 理论
上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.
n 1 z 1 ( z 1) n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0 n
chapter3复变函数的幂级数展开
方法2: 根值法
如ln 果 i n m cn0,那么收敛半径
R
1
.
1, 0;
即 R,
0;
0, .
12
例1 求下列幂级数的收敛半径
zn
(1 )
zn (2 )
(3 ) n !zn
(4 ) zk 2.
n n ! 2
n 0
n 0
n 0
k 1
解
(1)
由lim cn1 n cn
n2
lim n (n
10
y
o
R.
.
收敛圆 收敛半径
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法 方法1: 比值法
c n (z a )n c 0 c 1 (z a ) c 2 (z a )2
n 0
如果limcn1 0,那么收敛半径 R 1 .
n cn
n0((zzz00))nn1,
33
所以 2π 1iK2f(z)d
n 0 2 1 π iK 2( f(z0))n 1d (zz0)n
cn(zz0)n
n0 对于第二个积分:
1 2πi
f ( )d K1 z
R2
K1 R r . z 0R1 .z
K2
.
因为 1z(z0)1(zz0)
当 zz0 d时, f(z) cn(zz0)n成立,
n0
泰勒展开式 泰勒级数 其中 cnn 1 !f(n)(z0),n0,1,2,
21
设函 f(z)在 数区 D 内 域 解 , 析
K为D内以z0 为中心的任一, 圆周 z0 r
高等数学中的复变函数与幂级数展开
高等数学中的复变函数与幂级数展开复变函数是高等数学中一个重要的概念，它是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数的研究在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
其中，幂级数展开是复变函数研究中的一个重要内容，它在解析函数、函数逼近和数值计算等方面有着重要的作用。
一、复变函数的定义与性质复变函数的定义与实变函数类似，只是将自变量和函数值都扩展到复数域。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为复数，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
复变函数的导数定义也类似于实变函数，即f'(z)=lim┬(Δz→0)(f(z+Δz)-f(z))/Δz。
复变函数的一些性质包括解析性、调和性和全纯性等。
二、幂级数展开的概念与应用幂级数展开是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是指形如∑_(n=0)^∞▒〖a_n z^n 〗的级数。
幂级数展开在复变函数研究中具有重要的作用。
通过幂级数展开，可以将复变函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行进一步的计算和分析。
幂级数展开在解析函数中的应用十分广泛。
解析函数是指在某个区域内处处可导的函数。
通过幂级数展开，可以将解析函数表示为幂级数的形式，从而方便进行导数和积分的计算。
例如，常见的指数函数、三角函数和对数函数等都可以通过幂级数展开来表示。
幂级数展开在函数逼近中也有重要的应用。
函数逼近是指用一系列简单的函数来逼近复杂的函数。
通过幂级数展开，可以将复杂的函数逼近为幂级数的形式，从而方便进行近似计算。
例如，泰勒级数就是一种常用的函数逼近方法，它可以将函数在某个点附近展开为幂级数的形式。
幂级数展开还在数值计算中具有重要的作用。
在实际计算中，有时需要对复杂的函数进行数值计算，而幂级数展开可以将函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行数值逼近和计算。
例如，通过截断幂级数展开，可以将无穷级数截断为有限项的级数，从而得到函数的数值逼近值。
三、幂级数展开的计算方法幂级数展开的计算方法包括泰勒级数展开和洛朗级数展开等。
复分析中的泰勒级数展开应用
复分析中的泰勒级数展开应用泰勒级数展开是复变函数理论中的重要概念之一，它能够将一个复变函数表示为一个无穷级数的形式。
在复分析中，泰勒级数展开被广泛应用于函数的逼近、数值计算以及解析性质的研究等方面。
本文将介绍泰勒级数展开的定义、性质，以及在复分析中的应用。
定义与性质在复分析中，设f(z)是定义在复平面上的一个解析函数，若f(z)在z=a处可导，则f(z)可在z=a处展开为泰勒级数：f(z)=∑[n=0]∞c_n(z-a)^n,其中c_n是函数f(z)在z=a处的n阶导数除以n阶阶乘，即c_n=f^(n)(a)/n!。
通过泰勒级数展开，我们可以将复变函数用无穷级数的形式来表示，从而研究和分析函数的性质。
应用一：函数逼近泰勒级数展开在函数逼近中具有重要的应用。
它可以将复变函数近似为一个多项式函数，从而更容易进行数值计算和分析。
通过选择合适的展开点，我们可以得到近似精度很高的多项式逼近。
例如，对于给定的复变函数f(z)，我们可以选择一个合适的展开点a，然后计算f(z)在z=a处的泰勒级数展开。
将展开后的级数截断至有限项，即可得到一个多项式函数，近似表示原函数f(z)。
通过增加级数的项数，逼近的精度可以进一步提高。
应用二：数值计算泰勒级数展开在数值计算中也具有重要的应用。
由于级数具有高度的可计算性，我们可以利用泰勒级数展开来计算复变函数在某个点处的近似值。
例如，若需要计算复变函数f(z)在z=a处的函数值，我们可以选择以a为展开点，将f(z)展开成泰勒级数。
然后，通过截断级数至有限项，即可得到函数f(z)在z=a处的近似值。
通过增加级数的项数，可以提高计算的精度。
应用三：解析性质研究泰勒级数展开还被广泛应用于复变函数的解析性质研究中。
通过研究泰勒级数的收敛性、收敛域以及级数展开的唯一性等问题，可以揭示函数的解析性质和特征。
例如，在研究复变函数的奇点时，可以利用泰勒级数展开来判断奇点的类型和性质。
通过分析级数展开的收敛域，我们可以确定奇点的位置和影响范围，从而深入理解函数的特征。
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实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
【实验目的】
1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令
2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令
3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件
【实验内容】
MATLAB实现内容
1、MATLAB求复变函数极限
2、MATLAB求复变函数微分
3、MATLAB求复变函数积分
4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数
5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式
【实验步骤】
1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令
3．运行，可以直接回车键，F5键
【注意事项】
1．命令的输入要细心认真，不能出错
2．尤其是分号，逗号等符号的区别
3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号
【实验操作内容】
以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限
用函数limit 求复变函数极限
【Matlab 源程序】
syms z
f=;
limit(f,z,z0) 返回极限结果
例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】
syms z
f=sin(z)/z;
limit(f,z,0)
ans=
1
limit(f,z,1+i)
ans=
1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)
+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1
2、 MATLAB 求复变函数微分
用函数diff 求复变函数极限
【Matlab 源程序】
z
z z f sin )(=i z +=1,0
f=（）;
diff(f,z) 返回微分结果
解 syms z
f=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));
diff(f)
ans =
exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)
-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)
3、 MATLAB 求复变函数积分
用函数int 求解非闭合路径的积分.
【Matlab 源程序】
syms z a b
f=
int(f,z,a,b) 返回积分结果
解 syms z
x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)
x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)
结果为：
例 3 求积分 π60i i 0
x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设
()()z f z z e z f z
'+=求,sin 1)(
x2 = -i/exp(i)
4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数
（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式
用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数
【Matlab 源程序】
[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点
说明：向量B 为f(z)的分子系数；
向量A 为f(z)的分母系数；
向量R 为留数；
向量P 为极点位置；
向量k 为直接项:
例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])
结果为：
R= 2
P = -1
K = 1 -1
5、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式
（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式
【Matlab 源程序】
1
12++z z
f=
Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式
例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;
f=1/(z-b);
taylor(f,z,a,4)
ans =
1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2
-1/(a-b)^4*(z-a)^3
（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.
【Matlab源程序】
syms x y; f=();
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量
在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.
例6 求函数
22
2
==-
z f x y x x e---
(,)(2)x y xy
在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】
syms x y;
f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)
在(0,0)点处的泰勒级数展开式：
ans =
-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*x
maple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)
在(1,a)点处的泰勒级数展开式：
ans =
-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)
-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)
maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =
(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)
+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)
+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。