上海大学2009年数学分析考研试题

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2009—数一真题、标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ .（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .（11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 . (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = .三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y xn +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. （22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.（23）（本题满分11 分）设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增.③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα= ，则A 称为基12,,,n ααα 到12,,,n ηηη 的过渡矩阵. 则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 11116601O B BO A O A O A O B B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭，所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ .【答案】"'"12222xf f xyf ++. 【解析】''12z f f y x ∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()x y c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-= 微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB x B B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2x y xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 . 【答案】2. 【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = .【答案】1-.【解析】2X kS -+ 为2np 的无偏估计 22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p p k p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''> 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y xn +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212n n n n n x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰，从而1111111111S lim lim(-lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑ 2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑ （）（由2(1)1(1)2n n x x n-++-+ ln(1+x)=x- 取1x =得 22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=，过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(,()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++ ① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++②2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2(()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分）设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】（1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量（2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。

2009考研数学(二)真题及参考答案

2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. （21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ，（拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=，故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=，当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.。

2009年考研数学试题详解及评分参考

=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=

2009年考研数学一真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1n n b ∞=∑收敛时,221n nn a b ∞=∑收敛.(D) 当1n n b ∞=∑发散时,221n n n a b ∞=∑发散. (5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0.(B) 0.3.(C) 0.7.(D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0.(B) 1. (C) 2.(D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中Tα为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分) 设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他, 其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A. (2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B). (7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭, 因此, ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B) 【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂, 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x xy ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤,则ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2【解析】2T αβ=,()2T T βαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,T βα∴的非零特征值为2. (14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e =-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰, 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰. 故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且 ()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22X λ=.。

2009年考研数学一真题(含解析)

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()DI （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .x()C .()D .（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛.()D 当1nn b ∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（）()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（）()A 0.()B 0.3. ()C 0.7.()D 1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ 。

考研数学一真题解析 2009

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。

选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。

选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。

2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，. （D ），.1a =-16b =-1a =-16b =（3）使不等式成立的的范围是1sin ln x tdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A). (B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z的间断点个数为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k = (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则.2T X S =-ET =三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx +⎰(0)x >（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a （22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度；()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率.11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z （Ⅰ）求；10P X Z ⎡==⎤⎣⎦（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当取任何整数时，均无意义x ()f x 故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，.（D ），.1a =-16b =-1a =-16b =【答案】A.【解析】为等价无穷小，则2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛故排除(B)、(C).230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-另外存在，蕴含了故排除(D).201cos lim3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =所以本题选(A).（3）使不等式成立的的范围是1sin ln xtdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).1sin 0tt->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、()y f x =x y 所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：0x x =()F x ①时，，且单调递减.[]0,1x ∈()0F x ≤②时，单调递增.[]1,2x ∈()F x ③时，为常函数.[]2,3x ∈()F x ④时，为线性函数，单调递增.[]1,0x ∈-()0F x ≤⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B.【解析】根据，若CC C E *=111,C C C CC C*--*==分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】，即：122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A).(B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=【答案】D.【解析】因为互不相容，所以,A B ()0P AB =(A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.()()1()P AB P A B P A B ==- ()P A B (B)当不为0时，(B)不成立，故排除.(),()P A P B (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除.,A B(D)，故(D)正确.()()1()1P A B P AB P AB ==-= （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z 的间断点个数为（）(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=独立,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若，则0z <1()()2Z F z z =Φ（2）当，则0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ为间断点，故选(B).0z ∴=二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=【答案】.32e 【解析】.00x x →→=02(1cos )lim13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂【答案】.2ln 21+【解析】由，故()xy z x e=+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦代入得，.1x =()ln 21,01ln 22ln 212z e x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑【答案】.1e【解析】由题意知，()210nn n e a n--=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+因为，所以0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=将代入有.10000Q =()8000QP '=（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k =【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tαβ3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.TαβT αβ1300k ∴+=++2k ∴= (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则 .2T X S =-ET =【答案】2np 【解析】由.222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++【解析】，，故.2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =.2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =则，，.12(0,)12(2xxef e ''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=而0xxf ''> 2()0xy xx yy f f f ''''''-<二元函数存在极小值.∴11(0,)f e e=-（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx+⎰(0)x >得t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112(11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C +++=+-+--+=+++⎰（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥【解析】由得，22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰.3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ；在闭区间上连续，在开区间内可导，且()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b .''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x 从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得()()000,0,x x ξδ∈⊂……()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：()'lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故存在，且.'(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dxππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：，则由题可知()1x ts f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dxπππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得 22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰继续求导可得，化简可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，解之得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y-=⋅+在式中令，则，代入得 1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴= 1223t cyy -=+.11,2)33c t y =∴=所以该曲线方程为：.230y x +=（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故有一个自由变量，令，由解得，()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-= 求特解，令，得120x x ==31x = 故，其中为任意常数21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k解方程231Aξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令，由得231,0x x =-=20A x =11x =令，由得230,1x x ==-20A x =10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故，其中为任意常数3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k （Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2((21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故线性无关. 123,,ξξξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a【解析】（Ⅰ） 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭0110||01()1111111aa aE A a a a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--.123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则2212y y +1)若，则，，不符题意10a λ==220λ=-<31λ=2)若，即，则，，符合20λ=2a =120λ=>330λ=>3)若，即，则，，不符题意30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦【解析】（Ⅰ）由得其边缘密度函数0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<即|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而11111[1,1](,)12xxx x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x yY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰.11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z ①求.10P X Z ⎡==⎤⎣⎦②求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球.12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======012 XY01/41/61/36 11/31/9021/900。

2009年考研数学一试题与答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x ®时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==- (B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=- (D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =òò,则{}14max k k I ££=(A)1I(B)2I(C)3I (D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为上的图形为则函数()()0xF x f t dt =ò的图形为的图形为1 ()f x-20 2 3x-1O(A)(B)(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n na ®¥=,则()f x23x1-2-11 ()f x0 23x1-1 1 ()f x0 2 3x1 -2-1 1()f x23x1-2 -11(A)当1n n b ¥=å收敛时,1n n n a b ¥=å收敛.(B)当1n n b ¥=å发散时,1n n n a b ¥=å发散.(C)当1n n b ¥=å收敛时,221n nn a b ¥=å收敛. (D)当1n n b ¥=å发散时,221n n n a b ¥=å发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基12233,,+++αααααα的过渡矩阵为的过渡矩阵为 (A)101220033æöç÷ç÷ç÷èø (B)120023103æöç÷ç÷ç÷èø(C)111246111246111246æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø (D)111222111444111666æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø(6)设,A B均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O æöç÷èø的伴随矩阵为的伴随矩阵为(A)**32OB AO æöç÷èø (B)**23O B AO æöç÷èø(C)**32O A B O æöç÷èø (D)**23OA B O æöç÷èø(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø,其中()x F 为标准正态分布函数,则EX =(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z x y ¶=¶¶. (10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by ¢¢¢++=的通解为()12e xy C C x =+,则非齐次方程y ay by x ¢¢¢++=满足条件()()02,00y y ¢==的解为y =. (11)已知曲线()2:02L y xx =££,则Lxds =ò. (12)设(){}222,,1x y z x y z W =++£,则2z dxdydz W=òòò. (13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为. (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =.三、解答题(15－23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分9分) 求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分) 设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,n n n n S a S a ¥¥-====åå,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分) 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b x Î,使得()()()()f b f a f b a x ¢-=-.(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0d d >内可导,且()0lim x f x A +®¢=,则()0f +¢存在,且()0f A +¢=.(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=å++òò,其中å是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--æöç÷=-ç÷ç÷--èøA ,1112-æöç÷=ç÷ç÷-èøξ(1)求满足21=A ξξ的2ξ.2231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x xx x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布. (23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0()0,xxe x f x l l-ì>=íî其他,其中参数(0)l l >未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数l的矩估计量.(2)求参数l的最大似然估计量.2009年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==.(C)11,6a b =-=-.(D)11,6a b =-=. 【答案】【答案】A. 【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max kk I ££=(A)1I . (B)2I . (C)3I . (D)4I .【答案】【答案】A. 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò； {}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为(A).-1-111xy 1D 2D3D4D（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为上的图形为则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减.②[]1,2x Î时，()F x 单调递增. ③[]2,3x Î时，()F x 为常函数.()f x O23x1-2-11()f x O 23x1-1 1 ()f x O 2 3x1-2-11()f x O23x1-2 -11 1()f x -2O 2 3x-11④[]1,0x Î-时，()0F x £为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a ®¥=，则，则（A ）当1nn b¥=å收敛时，1n nn a b¥=å收敛. （B ）当1nn b¥=å发散时，1n nn a b¥=å发散.(C)当1n n b ¥=å收敛时，221n nn a b ¥=å收敛. (D)当1n n b ¥=å发散时，221n nn a b ¥=å发散.【答案】C. 【解析】方法一：【解析】方法一：举反例：（A ）取1(1)n n na b n==-（B ）取1n n a b n ==（D ）取1n na b n ==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a ®¥=则由定义可知1,N $使得1n N >时，有1na <又因为1n n b ¥=å收敛，可得lim 0,n n b ®¥=则由定义可知2,N $使得2n N >时，有1n b < 从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b¥=å收敛.（5）设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基到基122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵为的过渡矩阵为(A)101220033æöç÷ç÷ç÷èø. (B)120023103æöç÷ç÷ç÷èø.(C)111246111246111246æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø. (D)111222111444111666æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷-ç÷èø. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n nA h h h a a a =，则A 称为基12,,,n a a a 到12,,,nh h h 的过渡矩阵. 则由基12311,,23a a a 到122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵M 满足满足()12233112311,,,,23M a a a a a a a a a æö+++=ç÷èø12310111,,22023033a a a æöæöç÷=ç÷ç÷èøç÷èø所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O æöç÷èø的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ()A **32O B A O æöç÷èø.()B **23OB A O æöç÷èø. ()C **32O A B O æöç÷èø.()D **23O A B O æöç÷èø. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C *--*==分块矩阵O A B O æöç÷èø的行列式221236O AA B B O ´=-=´=（），即分块矩阵可逆，即分块矩阵可逆11116601O B BO A O A O A O B B O B B O A O A O A **---*æöç÷æöæöæöç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøç÷èø1236132O B OB A O A O ****æöç÷æö==ç÷ç÷ç÷èøç÷èø故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø，其中()x F 为标准正态分布函数，则EX =(A)0. (B)0.3. (C)0.7. (D)1. 【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç÷èø，所以()()0.710.322x F x x -æö¢¢¢=F +F ç÷èø，所以()()10.30.352x EXxF x dxx x dx +¥+¥-¥-¥é-ùæö¢¢¢==F +F ç÷êúèøëûòò()10.30.352xx x dx x dx +¥+¥-¥-¥-æö¢¢=F +F ç÷èøòò而()0x x dx +¥-¥¢F =ò，()()11221222x x x dx u u u du +¥+¥-¥-¥--æö¢¢F =+F =ç÷èøòò 所以00.3520.7EX =+´=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为的间断点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.【答案】【答案】B.【解析】【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =£=£==+£===£=+£==×£=+£=,X Y 独立独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z \=×£+£（1）若0z <，则1()()2Z F z z =F（2）当0z ³，则1()(1())2Z F z z =+F0z \=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y ¶=¶¶. 【答案】"'"12222xf f xyf ++. 【解析】''12z f f yx ¶=+×¶，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ¶=++×=++¶¶. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by ¢¢¢++=的通解为()12x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x ¢¢¢++=满足条件()()02,00y y ¢==的解为y = . 【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()x y c c x e =+，得121l l ==，故2,1a b =-= 微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A Ax B xB B -++=-+==\特解特解 *2y x =+\12()2x y c c x e x =+++ 把 (0)2y = ，'(0)0y =代入，得120,1c c ==- \ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线()2:02L y x x =££，则Lxds =ò. 【答案】136【解析】由题意可知，2,,02x x y x x ==££，则，则()()22214ds x y dx x dx ¢¢=+=+，所以()22222011414148Lxds x x dx x d x =+=++òòò()2320121314836x =×+=（12）设(){}222,,1x y z x y z W =++£，则2z dxdydz W=òòò. 【答案】415p .【解析】【解析】方法一：21222200sin cos z dxdydz d d d ppqj r jr j r =òòòòòò()2124000cos cos d d d ppq j j r r =-òòò3cos 1423515d pjp j p =×-×=ò方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz W=òòò2x dxdydz W=òòò2y dxdydz Wòòò所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr p p j q j W W=++=òòòòòòòòò 14002214sin sin 33515d r dr d pp p p pj j j j =××=òòò （13）若3维列向量,a b 满足2Ta b =，其中T a 为a 的转置，则矩阵Tba 的非零特征值为.【答案】2.【解析】2Ta b =()2TTba b b a b b \==×,Tba \的非零特征值为2. (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计的无偏估计22()E X kX np -\+=2(1)1(1)(1)11np knp p npk p p k p p k \+-=\+-=\-=-\=-三、解答题：15~23小题，共94分.（15）（本题满分9分）分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】【解析】2(,)2(2)0x f x y x y ¢=+=2(,)2ln 10y f x y x y y ¢=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xx yy xyf y f x f xy y¢¢¢¢¢¢=+ =+=则12(0,)12(2)xxef e¢¢=+，1(0,)0xy ef ¢¢=，1(0,)yyef e ¢¢=. 0xx f ¢¢>而2()0xy xx yy f f f ¢¢¢¢¢¢-<\二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）分）设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ¥¥-====åå，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，ny x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，处相交，所以112111111a ()()1212nn n n n x xdx xxn n n n +++=-=-=-++++ò，从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N Nn n a a N N N ¥®¥®¥®¥=====-++=-=++åå 2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ¥¥-====--++-=-+-+åå（）（由2(1)1(1)2n n x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-Þ=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.（Ⅰ）求1S 及2S 的方程的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=，过点()4,0与22143x y +=的切线为122yx æö=±-ç÷èø，所以2S 的方程为222122y z x æö+=-ç÷èø.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94p 与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx p p =-=ò.故所求体积为9544p p p -=.（18）（本题满分11分）分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b x Î，使得()()()()f b f a f b a x ¢-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0d d >内可导，且()0lim x f x A +®¢=，则()0f+¢存在，且()0f A +¢=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aj -=----，易验证()x j 满足：满足：()()a b j j =；()x j 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aj -=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点x ，使'()0j x =，即，即'()f x '()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b ax --=\-=-- （Ⅱ）任取0(0,)x d Î，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x x d ÎÌ，使得，使得()'00()(0)x f x f f x x -=-……()*又由于()'0lim x fx A +®=，对上式（*式）两边取00x +®时的极限可得：时的极限可得：()()00000'''00()00lim lim ()lim ()0x x xx x f x f f f f A x x x x ++++®®®-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A+=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=å++òò，其中å是曲面是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdyI x y z S++=++òò，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()xy z x x x y z x y z ¶+-=¶++++①2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ¶+-=¶++++② 2222223/22225/22(),()()zx y z z x y z x y z ¶+-=¶++++③ \①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()xyzx x y z y x y z z x y z ¶¶¶++=¶++¶++¶++由于被积函数及其偏导数在点（由于被积函数及其偏导数在点（00，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧））处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R S ++=<<有1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R p p S S S W ++++====×=++òòòòòòòòò（20）（本题满分11分）分）设111111042A --æöç÷=-ç÷ç÷--èø 1112x -æöç÷=ç÷ç÷-èø（Ⅰ）求满足21A x x =的2x . 231A x x =的所有向量2x ,3x .（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2x ,3x 证明1x ,2x ,3x 无关.【解析】（Ⅰ）解方程21A x x =()1111111111111,111100000211042202110000A x ---------æöæöæöç÷ç÷ç÷=-®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷---èøèøèø()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k x æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中1k 为任意常数.解方程231A x x =2220220440A æöç÷=--ç÷ç÷èø()21111022012,2201000044020000A x -æöç÷-æöç÷ç÷=--®ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷èø故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200h æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èø 故 321121000k x æöç÷æöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷èø，其中2k 为任意常数. （Ⅱ）证明：（Ⅱ）证明：由于121212*********21112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+ 102=¹故123,,x x x 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x xx x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ）（Ⅰ） 0101111a A a a æöç÷=-ç÷ç÷--èø 0110||01()1111111aaa E A a a a a l l l l l l ll -----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l l l l l l l l l l =---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+-- 123,2,1a a a l l l \==-=+（Ⅱ）（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a l ==，则，则 220l =-< ，31l = ，不符题意，不符题意 2) 若20l = ，即2a =，则120l =>，330l =>，符合，符合3) 若30l = ，即1a =-，则110l =-< ，230l =-<，不符题意，不符题意综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ´\====×. （Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ××========××××========×××=======××====×======X Y0 1 20 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 21/9（23）（本题满分11 分）分）设总体X 的概率密度为2,0()0,xxex f x ll -ì>=íî其他，其中参数(0)l l >未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数l 的矩估计量；的矩估计量；（Ⅱ）求参数l 的最大似然估计量的最大似然估计量【解析】【解析】（1）由EX X =而22022ˆxEX x edx X Xl l l l+¥-===Þ=ò为总体的矩估计量为总体的矩估计量（2）构造似然函数）构造似然函数()()12111L ,.....,;;ni i n nx nn i i i i x x f x x e l l l l =-==å==××ÕÕ取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x l l ===+-åå令111ln 222001ni n n i iii i d L nnx d x x nl ll====Þ-=Þ==ååå故其最大似然估计量为2Xl ¢¢=。

2009年考研数学一真题评注

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax k k I ≤≤=（）()A 1I .()B 2I .()C 3I .()DI （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .x()C .()D .（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1n n b ∞=∑收敛时，221nnn a b ∞=∑收敛.()D 当1n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（） ()A 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） ()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（） ()A 0.()B 0.3.()C 0.7.()D 1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2z x y∂=∂∂ 。

2009考研数学真题及答案详解

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sinlim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx ®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x aax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除,B C 。

另外201cos lim 3x a axbx ®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max k k I ££=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是-1 -1 1 1 xy 1D 2D3D4D关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为A. （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减。

2009考研数学真题数一及解析

= lim
x →0
a 3 = −6b 意味选项 B，C 错误。
再由 lim =
x →0
1 − a cos ax 存在，应有 1 − a cos ax → 0( x → 0) ，故 a = 1 ，D 错误，所以选 A。 − 3bx 2
（ 2 ）如图，正方形
{(x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为四个区域
【答案】B 【解析】由于分块矩阵 ⎜ ⎜
⎛0 ⎝B
−1
A⎞ 0 ⎟ 的行列式 0⎟ B ⎠
A = (−1) 2×2 A B = 2 × 3 = 6 ，即分块矩 0
阵可逆，根据公式 C* = C C ,
⎛0 ⎜ ⎜B ⎝
A⎞ 0 ⎟ = ⎟ 0⎠ B
∗
A⎛ 0 ⎜ 0⎜ ⎝B
A⎞ ⎟ 0⎟ ⎠
−1
⎛ 0 = 6⎜ ⎜ A −1 ⎝
P{Y = 0} = P{Y = 1} =
个数为（）（A）.0 (B).1
1 , 记 FZ ( z ) 为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 FZ ( z ) 的间断点 2
(C).2 (D).3
【解析】 FZ ( z ) = P( XY ≤ z ) = P XY ≤ z Y = 0 P (Y = 0 ) + P ( XY ≤ z Y = 1) P (Y = 1)
∗ ∗
⎛O ⎜ ⎜B ⎝
A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（） 0⎟ ⎠
⎛ O ⎝2A
∗
（A） ⎜ ⎜
3B ∗ ⎞ ⎟ O ⎟ ⎠
（B） ⎜ ⎜
⎛ O ⎝ 3A
∗
⎛ O 2B ∗ ⎞ ⎟ （C） ⎜ ∗ ⎟ ⎜ 2B O ⎠ ⎝

2009年考研数学三真题及完整解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数3()sin x xf x xπ-=的可去间断点的个数为：（）()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A .1a=，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =-()D .1a =-，16b =（3）使不等式1sin ln xt dt x t>⎰成立的x 的范围是（）()A .(0,1)()B .(1,)2π ()C .(,)2ππ()D .(,)π+∞（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11 1()f x -2 0 2 3x-1O()C .()D .（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵 00A B⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） ()A .**0320B A ⎛⎫⎪⎝⎭()B . **230B A⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**0320A B⎛⎫⎪⎝⎭()D .**0230A B⎛⎫⎪⎝⎭（6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123122(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ A Q 为（） ()A .210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B . 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ()C .200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（）()A .()0P A B =()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B ⋃=（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（）()A .()B . 1 ()C .2()D . 3二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1（9）cos 320lim11x x e ex →-=+- .（10）设()y x z x e =+，则(1,0)z x∂=∂（11）幂级数21(1)n nnn e x n∞=--∑的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = (14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则E T =三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

2009考研数三真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A) 1.(B) 2. (C) 3.(D) 无穷多个.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(3) 使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是 ( ) (A) (0,1).(B) (1,)2π. (C) (,)2ππ. (D) (,)π+∞.(4) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C) (D)(5) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. (6) 设,A P 均为3阶矩阵,TP 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则TQ AQ 为 ( )(A) 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D) 100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(7) 设事件A 与事件B 互不相容,则 ( )(A) ()0P AB =.(B) ()()()P AB P A P B =. (C) ()1()P A P B =-.(D) ()1P A B = .(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) cos 0x x →= .(10) 设()y x z x e =+,则(1,0)zx ∂=∂ _______ .(11) 幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 ______. (12) 设某产品的需求函数为()Q Q p =,其对价格p 的弹性0.2p ε=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.(13) 设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=.若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则k = ____ .(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差,记统计量2T X S =-,则ET = _____.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln 1dx ⎛+ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10 分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰,其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(18)(本题满分11 分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10 分)设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程. (20)(本题满分11 分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11 分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11 分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他. (I) 求条件概率密度()Y X f y x ； (II) 求条件概率{}11P X Y ≤≤.(23)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】(C)【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±. (2) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A.(3) 【答案】(A)【解析】原问题可转化为求1sin ()ln 0xtf x dt x t=->⎰成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.xx x x x tt f x dt x dt dt t tt t t dt dt t t =-=---==>⎰⎰⎰⎰⎰由()0,1t ∈时,1sin 0tt->,知当()0,1x ∈时,()0f x >.故应选(A). (4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减； ③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (5) 【答案】(B) 【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(6)【答案】(A)【解析】1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,100100110110001001110100100210010010110110.001002001002TT Q AQ P A P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7) 【答案】(D)【解析】因为,A B 互不相容,所以()0P AB =.(A)()()1()P AB P A B P A B ==- ,因为()P A B 不一定等于1,所以(A)不正确； (B)当(),()P A P B 不为0时,()B 不成立,故排除； (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立,故排除； (D)()()1()1P A B P AB P AB ==-= ,故()D 正确. (8) 【答案】(B) 【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】32e 【解析】cos cos 10x x x x -→→= 200221(1cos )32lim lim 233x x e x e x e x x→→⋅-===.(10) 【答案】12ln 2+【解析】解法1：由于()xy z x e=+,故()(),01xz x x =+,()ln(1)ln(1)01ln(1)1x x x x x y z x x e e x xx ++=∂'⎡⎤'⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∂+⎣⎦,代入1x =,得ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.解法2：由于ln()()()ln()yx x e y xy x y y e x e z x x e x e x x x x e +⎡⎤∂⎡⎤∂+∂⎡⎤⎣⎦⎣⎦===+⋅++⎢⎥∂∂∂+⎣⎦, 故000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ∂⎡⎤=+⋅++=+⎢⎥∂+⎣⎦. (11) 【答案】1e -【解析】由题意知,()210nn n e a n --=>,()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e a n a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以,该幂级数的收敛半径为1e -. (12) 【答案】8000【解析】所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q pQε'=-=,所以0.2Q p Q '=-,所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=. (13) 【答案】2【解析】T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,根据相似矩阵有相同的特征值,得到Tαβ的特征值为3,0,0.而Tαβ为矩阵T αβ的对角元素之和,1300k ∴+=++,2k ∴=.(14) 【答案】2np【解析】222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分10 分) 【解析】解法1t =,则21,1x t =-()()2221ln 1ln 11ln 111111dx t d t t dt t t t ⎛⎛⎫+=+ ⎪ -⎝⎭⎝+=-⋅--+⎰⎰⎰而()()()()()()2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ⎡⎤=--⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦=--++++⎰⎰所以()()2ln1111ln1ln141211ln1ln41ln1ln211ln1ln.22t tdx Ct t tx Cx Cx x C ⎛+++=+-+--+⎝⎛=++⎝⎛=++⎝⎛=+++-⎝⎰解法21ln1ln11dx x x dx-'⎛⎛⎛=-⎝⎝⎝⎰⎰1ln112x dx⎛⎛⎫=+--⎪⎪⎝⎭⎰11ln122x x⎛=++-⎝⎰(2ln lnuduu C C=++=+分部即)11ln1ln1ln22dx x x C ⎛⎛+=++-+⎝⎝⎰1ln1ln211ln1ln.22x Cx x C⎛=++⎝⎛=++⎝(17)(本题满分10 分)【解析】解法1如右图所示,区域D的极坐标表示为302(sin cos),44rππθθθ≤≤+≤≤.132(sin cos )442(sin cos )33404334433443444()(cos sin )1(cos sin )38(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )3818(sin cos ).343Dr r x y dxdy d r r rdrr d d d θθππθθππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=+=-=-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=++=⨯+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2 将区域D 分成12,D D两部分(如右图),其中(){}(){}12,110,,12.D x y y x D x y x y x =-≤≤+-≤=≤≤+≤≤由二重积分的性质知()()()12DD D x y dxdy xy dxdy x y dxdy-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,而()1111)D x y dxdyx y dy-=-⎰⎰⎰⎰103122,33x=-=-=-⎰()221020230)122(21242,23xD x y dxdy dx x y dyx dx -=-⎡=---⎣⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 所以()()()1228233DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (18)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知211()()t tf x dx t f x dx ππ=⎰⎰,两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰,代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去). 再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+,记()f t y =,则112dt t dy y+=, 因此, 111222()()dydyy y t eedy C y C --⎰⎰=+=+⎰132222()33y y C y -=+=+.代入1,1t y ==得13C =,从而23t y =+故所求曲线方程为23x y =+解法2 同解法1,得2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.整理得22dy ydt y t=-. 令y u t =,则 dy du u t dt dt=+, 原方程变成 23221du u u t dt u -=-, 分离变量得211(32)u du dt u u t-=-,即 114332dtdu u u t -⎛⎫+=⎪-⎝⎭, 积分得 21ln (32)ln 3u u Ct --=, 即 1233(32)u u Ct ---=.代入1,1t u ==,得1C =,所以231(32)u u t -=. 代入y u t =化简得2(32)1y t y -=,即23t y =.故所求曲线方程为23x y =(20)(本题满分11 分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11 分)【解析】(I)X 的概率密度0,0,,0,()(,)0,0.0,0xx x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰当0x >时,Y 的条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,Y X X y x f x y f y x x f x ⎧<<⎪== ⎨⎪⎩其他.(II)Y 的概率密度,0,()(,)0,0.y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞⎧>==⎨≤⎩⎰{}{}{}111111,11|11(,)2.11xx y P X Y P X Y P Y dx e dyf x y dxdye e e e dy--∞-∞--≤≤≤≤=≤-===--⎰⎰⎰⎰⎰(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为。

2009年考研数学一试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x时，sin f x x ax 与2ln 1g xx bx 等价无穷小，则A11,6ab.B11,6ab.C11,6a b . D 11,6a b .【答案】A【解析】2()sin ,()ln(1)f x xax g x x bx 为等价无穷小，则2222()sin sin 1cos sin limlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxf x xaxx ax a ax a axg x x bx xbx bxbx洛洛23sin lim166xa axab bax a36ab故排除,B C 。

另外21cos lim3xa ax bx存在，蕴含了1cos 0a ax 0x故 1.a排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形,1,1x y x y 被其对角线划分为四个区域1,2,3,4k D k ，cos kkDI y xdxdy ，则14m ax kkI A1I .B2I .C3I .D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y xf x y ，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y xf x y ，即被积函数是-1-111xy1D 2D 3D 4D关于x 的偶函数，所以1(,),012cos 0x y yx x I y xdxdy；3(,),012cos 0x y yx x I y xdxdy.所以正确答案为A.（3）设函数y f x 在区间1,3上的图形为：则函数0xFxf t dt 的图形为A BCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yf x 的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0xx 所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①0,1x 时，()0F x ，且单调递减。

2009年考研数学一试题及答案解析

另外21cos lim3xa ax bx存在，蕴含了1cos 0a ax 0x故 1.a排D 。

所以本题选A 。

2009年考研数学一试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是x关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年考研数学一、二、三真题(含详解)

O
A
O
A O
A
1
O B1
B
O
B
O
B
O
6
A1
O
O
6
1 A
A
1 B
B
6
O
O
1 2
A
1 B 3 O
O 3A
6
6
(D) a 1,b 1 6
【解析】 f x x sin ax 与 g x x2 ln 1 bx 是 x 0 时的等价无穷小,则
lim
x0
f (x) g(x)
lim
x0
x sin ax x2 ln(1 bx)
lim
x0
x sin ax x2 (bx)
lim
x0
x
sin ax bx3
,且单调递减；
0
（定积分对应的图像位于 x 轴下方）
③ x 1, 2 时, F(x) x f (t)dt 0 单调递增； 0
④ x 2,3 时, F '(x) f (x) 0 为常函数；
⑤ F (x) 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D)
(4)
设有两个数列
an
,
bn
,若
lim
n
则 max 1k 4
Ik
(
)
D1
D2
D4
-1
D3
1
x
(A) I1
(B) I2 (C) I3 (D) I4
-1
【答案】(A)
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令 f (x, y) y cos x ,
D2, D4 两区域关于 x 轴对称, f (x, y) y cos x f (x, y) ,即被积函数是关于 y 的奇函数, 所以 I2 I4 0 ；