量子力学第七章剖析

7
Sˆ Sˆ i Sˆ
Baidu Nhomakorabea
Sˆ Sˆ
x y
Sˆ Sˆ
y z
Sˆ y Sˆ x Sˆ z Sˆ y
iSˆ z iSˆ x
Sˆ
z
Sˆ
x
Sˆ x Sˆ z
iSˆ y
自旋角动量平方算符
Sˆ2 Sˆx2 Sˆy2 Sˆz2
Sˆ2与 S各ˆx2 分 Sˆ量y2 间Sˆ的z2 对易关系为 [Sˆ, Sˆ2 ] 0 ( x, y, z)
2 4
2
即
S
2 x
S
2 y
S
2 z
4
它们相当于一个数值算符
Sˆ 2 的本征值
S2
S
2 x
S
2 y
Sz2
3 2 4
将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般表
示式:
9
S 2 s(s 1) 2 s为自旋量子数 (s 1 )
2
Sz ms
3泡利算符
ms 为“磁”量子
(ms
1) 2
数
为了讨论问题方便，引入泡利算符 ˆ
z 1 z 2
2 1z 2
15
该两个函数满足正交归一化条件
1
2
1 (1 2
0)
0 1
0
1
2
1 (1
2
1
0)
0
1
1
1
(0
22
0
1)
1
1
16
现在来求 Sˆ x
Sˆ y
ˆ x
ˆ y
的矩阵形式
设ˆ x的矩阵形式为
ˆ x
a c
b d
由
ˆ
x
ˆ x
a* b*
c* d*
a c
[ˆ
2 ,
ˆ y ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ z ] 0
11
本征值
ˆ x ˆ y ˆ z 的本征值都是 1
ˆx 2 Sˆx
Sx 2
x 1
2 x
2 y
2 z
1
ˆ 2 的本征值
2
2 x
2 y
2 z
3
12
反对易关系
{ˆ , ˆ } 0
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
0
ˆ yˆz ˆzˆ y 0
ˆzˆx ˆxˆ y 0
Sˆ Sˆ
2 2
Sˆ Sˆ
x y
Sˆx Sˆ 2 Sˆy Sˆ 2
0 0
Sˆ
2
Sˆ
z
Sˆz Sˆ 2
0
8
1.自旋算符的本征值
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，
2
所以 Sˆx 、Sˆy 、Sˆz 的本征值是
Sx 2
Sy 2
Sz 2
Sˆ
2 x
、
Sˆ
2 y
、
Sˆz2 的本征值都是
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设
（1）每个电子具有自旋角动量
S
，它在空间任
意方向的取值只能有两个
Sz
2
4
（2）每个电子具有自旋磁矩M S ,它与自旋角动量的 关系是
MS
e
S
（SI）
MS
e
c
S
（CGS）
在任意方面 上的投影
M sz
e
2
M B
（SI）
M sz
e
2c
M B
（CGS）
（ M B ——玻尔磁子）
1自旋算符
一为个了厄描米述算电符子Sˆ的来自表旋征角电动子量的S自的旋特角性动，量需要引入
注意：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，它是 由电子的自身结构决定的，在经典理论中没有对应量， 它不能表示为空间坐标和动量的函数。
但是 S 作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具
有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关 系
Prove
ˆ ˆ ˆ ˆ 1 (ˆ ˆ ˆ ˆ )ˆ 1 ˆ (ˆ ˆ ˆ ˆ )
xy
2i y x
yz
2i z y y
y yz
zy
1 2i
ˆ yˆzˆ y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z
ˆ yˆzˆ y
0
Prove
ˆ ˆ ˆ i xyz
13
4．自旋算符的矩阵表示
描述电子自旋角动量状态，类似于一般角动量的描
b d
故有 a* a
d* d （a, d 必为实数）
b* c
ˆ x
a b*
b d
17
再由 ˆzˆx ˆxˆz 0 得到
1 0 a b a b 1 0
0
1
b*
d
b*
d
0
1
a b a b 2a 0
b*
d
b*
d
5
自旋回转磁比率（磁矩与角动量的比值）：
M sz e
Sz
（SI）
M sz e
Sz
c
轨道磁矩与轨道角动量的关系：
（CGS）
Ml
e
2
L
（SI）
Ml
e
2c
L
（CGS）
M l z e （SI）
Lz
2
M lz e
Lz
2c
（CGS）
自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的两倍
6
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
Sˆ ˆ
2
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y
Sˆz 2 ˆz
10
对易关系
ˆ ˆ 2iˆ
泡利算符的平方算符
[ˆ
2 ,
ˆ ] 0
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
2iˆ z
ˆ yˆz ˆzˆ y 2iˆx
ˆzˆx ˆxˆz 2iˆ y
ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2
x
y
z
[ˆ
2 ,
ˆ x ] 0
力作用否则只能受外力矩作用，外力矩只能 使它转动而不产生平动，具有自旋的氢原子 也是如此
U M.B MB cos
Fz
U z
M
Bz z
cos
3
由此，氢原子运动情况与磁场和电子自旋磁矩的夹 角有关，由于只有两个轨迹，所以电子的自旋磁矩只有 两个方向，计算表明
cos 1
即自旋磁矩平行或反平行于外加磁场
第六章
自旋与全同粒子
1
前言
尽管单粒子体系的薛定谔方程取得了很大的成功。 但是该理论有很大的局限性。首先，绝大部分微观粒子 都存在自旋，而前面讨论的问题都未涉及到粒子的自旋 特征。另外，实际粒子体系一般多为多粒子体系，所以 研究多粒子体系的问题更有实际意义。
6.1 电子自旋(Electron spin)
述方法，通常选 Sˆ2 Sˆ 作为力学量完全集，即以它们 的共同本征态描述体系z 的状态，称为 S 2 S 表象，通
常也简称 Sz 表象，该本征态只有两个， 两z 个态相应 于S2的取值总为3/4ħ2，而Sz 取+1/2 ħ或者- 1/2 ħ ， 在该表象中，自旋算符矩阵应该是两行两列矩阵，波 函数为两分量的列矩阵：
很显然
Sˆz
2
1 0
01
Sˆ2 3 4
2 1
0
0
1
14
ˆ z
1 0
01
ˆ 2
1
3
0
0
1
两个本征矢
相应于Sz取
2
的本征态可表示为
1
1 2
(
S
z
)
0
相应于Sz取
2
的本征态可表示为
0
1 2
(S
z
)
1
Sˆ2 (S ) 3 2 (S )
1 z 2
4
1z 2
Sˆ (S ) 1 (S )
施特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach）实验 基本思想是通过讨论基态氢原子在非均匀磁场中 运动情况，得知电子具有自旋的信息
2
基态氢原子，总电量为0，轨道角动 量也为0，即核外电子无轨道磁矩，表 面上其运动应该不受磁场的影响，实际 情况是氢原子在磁场中轨迹分裂成两条， 这说明氢原子有自旋磁矩。
通电线圈只有在非均匀磁场中才可能受外