2 连续函数的性质

§2 连续函数的性质

内容：1 连续函数的局部性质

2 区间上的连续函数的基本性质

3 反函数的连续性

4 一致连续性

重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质

难点：连续函数的保号性；一致连续性.

一连续函数的局部性质

根据函数的在点连续性，即

可推断出函数在点的某邻域内的性态。

定理4.2（局部连续性）若函数

在点连续，则在点的某邻域内有界。

定理4.3 （局部保号性）若函数在点连续，且

，则对任意

存在某邻域

时，

定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则

（）在点连续。例因连续，可推出多项式函数

和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。同样,由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。

定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在

点连续，，则复合函数在点连续。证明由于在连续，对任给的，存在，使

时有

（1）

又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有

. 联系（1）得: 对任给的，存在

，当时有

.

这就证明了在点

连续.

注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为

(2)

例1 求.

解可看作函数

与的复合.由(2)式,可得

注：若复合函数的内函数

当时极限为，而

或在无定义

（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有

(3)

读者还可证明(3)式对于

或

等类型的极限也是成立的。例2 求极限：（1）

；

（2）.

解(1)

(2)

二闭区间上连续函数的基本性质

前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。

定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切

有，

则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.

例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即

使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，

又如

(4)在闭区间上也无最大、最小值。定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值。

该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.

推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。

定理4.7(介值性定理) 若函数

在闭区间上连续，且

，若为

介于之间的任何实数

（或

）,则在开区间

内至少存在一点，使得 :

推论（根的存在定理）若函数

在闭区间上连续，且

异号，则至少存在一点使得.即

在内至少有一个实根.

应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值

域也是一个区间；特别若为区间[a,b], 在[a,b]上的最大值为,最小值为，则

；又若为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则

例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得. 证明先证存在性。由于当

时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有

，故有介值性

定理，至少存在一点

使得.

再证唯一性。设正数使得

由于第二个括号内的数为正所以只能，即.

例4 设在[a,b] 连续，满足

（5）

证明：存在，使得

（6）

证条件（5）意味着：对任何

有

，特别有

以及 .

若或，则取

，从而（6）式成立。现设与。。令，则

，

.

由根的存在性定理，存在

，使得即

.

三反函数的连续性

定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数

在相应的定义域

（）上递增（递减）且连续。

证明（只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为

。设

，且

则，对任给的可在的两侧各取异于的两点

（），使它们与

的距离小于（参见上图）. 设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当

时，令

，则当

时，对应的

的值必落在之间，从而

.

应用单侧极限的定义，同样可证

在区间端点也是连续的。

例5 由于在区间

上严格单调且连续，故反函数在区间[-1，1]上连续。同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数

在其定义域内是连续的。

例6由于（为正整数）在

严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。又若把（为正整数）看作由与的复合，综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。

例7 证明：有理幂函数在其定义区间上连续.

证明：设有理数，这里

为整数。因为与

均在其定义区间上连续，所以复合函数也是其定义区间上的连续函数。

四一致连续性

前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的不仅与有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性