2 连续函数的性质
连续函数的性质
连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定有界。
最值性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定能取得最大值和最小值。
介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。
则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
连续函数有何性质
有界性
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
介值性
这共性质又被称作介值定理，其包含了两种特别状况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值
之间的一切数值。
全都连续性
闭区间上的连续函数在该区间上全都连续。
所谓全都连续是指，对任意ε0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满意|x1-x2|δ时，有|f(x1)-f(x2)|ε，就称f(x)在I上是全都连续的。
函数的连续性
对于连续性，在自然界中有很多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。
这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
简洁地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
(高等数学)第二章 连续函数
周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
连续函数的性质
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。
连续函数的性质
连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。
在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。
连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。
这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。
了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。
通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。
在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。
通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。
定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。
下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。
连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。
b) 上有定义。
如果对于任意给定的ε。
0，存在一个δ。
0，使得当。
x ∈ (a。
b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。
下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。
介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。
对于一个在闭区间[a。
b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。
最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。
函数二次连续可微
函数二次连续可微1.引言1.1 概述函数二次连续可微是数学中一个重要的概念。
当一个函数在某个区间上的两个导数都存在且连续，我们称这个函数为二次连续可微函数。
这个概念的提出是为了更好地研究函数的性质和行为。
在实际问题中，许多函数的导数可能不仅存在，而且还连续。
这种函数在数值计算、最优化等领域中有着广泛的应用。
二次连续可微函数的引入，可以更准确地描述这些函数的特性，从而更好地解决相关问题。
对于一个函数而言，二次连续可微性质的要求相对较高。
它要求函数的导数不仅存在，而且还要连续。
这就意味着函数在给定区间上的曲线是平滑且光滑的。
通过这样的函数，我们可以更好地了解它在区间上的变化规律。
在进行函数的二次连续可微性质的研究时，我们可以通过计算函数的导数和二阶导数来确定函数是否满足这一条件。
如果函数的导数和二阶导数在给定区间上都存在且连续，那么我们就可以称这个函数为二次连续可微函数。
总之，函数的二次连续可微性质对于研究和分析函数的特性具有重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质，从而解决实际问题中的各种计算和优化任务。
在接下来的文章中，我们将进一步探讨二次连续可微函数的性质和应用。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架和部署布局。
一个清晰的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和内容，有助于文章的阅读和理解。
文章结构部分主要介绍文章的各个部分和它们之间的关系，以及各个部分的主要内容和作用。
在本篇长文中，文章结构可以按照以下方式进行组织和布局：1. 引言部分：引言部分位于文章的开头，主要是对函数二次连续可微的背景和概念进行简要介绍，并说明文章的目的和重要性。
2. 正文部分：正文部分是文章的核心内容，主要讨论函数二次连续可微的相关概念、性质和定理。
可以选择按照不同的要点进行组织，可以考虑以下结构：2.1 第一个要点：介绍函数二次连续可微的基本定义和性质。
可以讨论二次连续可微函数的导数和二阶导数存在的条件，以及它们的几何和物理意义。
连续函数的性质
§2.2 连续函数的性质♦ 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。
从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。
定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。
定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。
注： 在具体应用局部保号性时，常取01()2r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01()()2f x f x >。
定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,f fg f g g±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。
关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数gf在点0x 连续。
证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有0|()()|g u g u ε-<。
（1）又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε-<。
这就证明了gf在点0x 连续。
注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==定理 5 ()x f xx 0lim →存在的充要条件是()()0lim 000+=+→x f x f x x 与()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→00lim ()x f x x 00lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02>δ，当 100δ<-<x x 时，()ε<-A x f ①当 －002<-<x x δ时， ()ε<-A x f ②取{}0,m in 21>=δδδ时，当δ<-<00x x 时，则δ<-<00x x 和00<-<-x x δ二者必居其一，从而满足①或②，所以()ε<-A x f ．定理6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续． 证明：()x f 在x 点连续即为()()00lim x f x f xx =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．定理7 海涅（Heine ）定理：()x f xx 0lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则有()n n x f ∞→lim 存在．分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法．证明：必要性。
§2 连续函数的性质 一 连续函数的局部性质 - 山东师范.
即方程 f (x) 0 在 (a,b) 内至少有一个根.
若 Aa, f a 与 Bb, f b 分别在 x 轴的两侧, 则连接 A, B
的连续曲线 y f x 与x 轴至少有一个交点.
这个推论的几何解释如图4—3所示：
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下面举例说明介值性定理的应用
若函数连续使得对一切连续若函数定理42局部有界性定理43局部保号性在具体应用局部保号性时常取使在其内有定理44四则运算上的连续性在其定义域的每一点都是连续的
§2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的基本性质 三 、反函数的连续性 四、一致连续性——数学分析的一个难点
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§2 连续函数的性质
（1）
又由 u0 f (x0)及 u f (x)在点 x0 连续, 故对上述 1 0, 存在
0 使得当 x x0 时，有| u u0 || f (x) f (x0) | 1 .
联系(1)得: 对任给的 0, 存在 0 , 当 | x x0 | 时有
g( f (x)) g( f (x0)) .
这就证明了 g f 在点 x0连续.
注1 根据连续性的定义, 上述定理的结论可表为
lim
x x0
g(
f
( x))
g( lim x x0
f
( x))
g(
f
( x0 )).
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二、闭区间上连续函数的基本性质
数学分析课程中主要的研究对象是连续函数,很自然地, 闭区 间上的连续函数的整体性质在微积分理论中具有相当的重要性.
右连续与左连续, 所以 f 1 在 f a, f b 上连续.
教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读
教学课题： § 3.二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质。
教学目的：掌握二元函数连续的定义及其性质，有界闭域上连续函数的性质及其证明方法。
教材重点：本节重点是二元函数连续的定义及有界闭域上连续函数的性质，难点是二元函数连续性的讨论。
教学过程：一．二元函数连续的概念1． 定义：设f 在D 2R ⊂上有定义，0p ∈D （聚点或孤立点）。
若0,0>∃>∀δε， 当D p U p ),(0δ∈时，有 ε<-)()(0p f p f ，称f 关于D 在0p 连续。
在不致误解的情况下，也称f 在0p 连续。
若f 在D 上每一点都f 关于D 连续，称f 为D 上的连续函数。
说明：（1）。
若0p 为D 的孤立点，f 关于D 在0p 连续。
（2）。
若0p 为D 的聚点，f 关于D 在0p 连续)()(lim 0)(0p f p f D p p p =⇔∈→。
（3）。
若0p 为D 的聚点，f 在0p 不连续，称0p 为f 的间断点。
特别，当f 在0p 的极限存在但不等于在0p 的函数值时，称0p 为f 的可去间断点。
例1． 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0,0,0,)(),(2222222y x y x y x y y x f p其中p >0 。
p 取何值时，f 在（0，0）连续？例2．设 ⎩⎨⎧=+≠++=0,0,0,)ln(),(2222222y x y x y x y y x f 讨论f 在（0，0）的连续性。
设 ),(),(.),(,),(0000000y x f y x f z y y y x x x D y x p y x p -=∆-=∆-=∆∈，，记 =),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+，称z ∆为f 在0p 的全增量。
也可应用全增量描述函数的连续性，即：f 在0p 连续 0lim )0,0(),(=∆⇔→∆∆z y x 。
记 ),(),(,),(),(00000000y x f y y x f z y x f y x x f z y x -∆+=∆-∆+=∆，分别称为f在0p 关于x ，y 的偏增量。
3.2 连续函数的性质-1 简
均在点x0连续, 则函数
(1) f ( x ) g( x ),
(2)
f ( x ) g( x ),
(3)
f ( x ) g( x ),
(4) f ( x )/ g( x ), g( x0 ) 0
在点x0也是连续的 .
此定理的证明可以直接x ) 在点 x0 连续，g(u) 在点 u0
3.2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的整体性质
一、连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0
连续则可推知 f 在点 x0 的某个局部邻域内具有 有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质.
定理1（连续函数的四则运算） 若函数 f ( x ), g( x )
有 m f ( x ) M , 取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
2. 介值性
定义
如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
设函数 f ( x )在闭区间 a , b
f ( x )的零点.
定理 (零点定理) 上连续， 且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 则在开区间 a , b 内至少有函数 f ( x ) 的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 .
连续, u0 f ( x0 ). 则复合函数 g( f ( x ))在点 x0 连续.
定理3（局部有界性）若函数 f 在点 x0 连续，则
M 0, 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x) | M .
函数在某一个点处连续的定义
闭区间上连续的函数，有最大值 最小值m, 从而区间 闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值 必包含在f(I)中，又函数值最大就是 ，最小是 ， 为[m,M]必包含在 必包含在 中 又函数值最大就是M，最小是m， 所以值域最大也就能为[m,M],因此 因此f(I)=[m,M] 所以值域最大也就能为 因此 若函数在这个区间是增函数，则最大值为 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为 最小值为 f(a),因此值域为 因此值域为[f(a),f(b)]，若是减函数，则值域为 因此值域为 ，若是减函数， [f(b),f(a)] 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 有界 性定理， 性定理，根的存在定理
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 ))
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |< ε
要证明这个极限等于它， 要证明这个极限等于它，按定义 任给 ε > 0 找 δ > 0 当 | x x0 |< δ 时
因为 g在 u0处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u u 0 |< δ 1 时，有 在 | g (u ) g (u 0 ) |< ε 3
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |< ε
x → x0
时
因为 g在 a处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u a |< δ 1 时，有 在 处连续
| g (u ) g ( a ) |< ε
lim 又因为 x→ x f ( x) = a 所以对上述的 δ 1 存在 δ 2 > 0 当 0 <| x x 0 |< δ 2时 有 | f ( x) a |< δ 1
数学《函数的连续性》讲义
第四章函数的连续性1. 教学框架与内容教学目标①掌握函数连续性概念．②掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．③掌握初等函数的连续性．教学内容①函数在一点和在区间上连续的定义，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点等间断点的分类．②连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．③初等函数的连续性．2. 重点和难点①用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性.②一致连续性和非一致连续性的特征, 如何判别函数是否一致连续．③用初等函数的连续性计算极限．3. 研究性学习选题● 连续函数介值性的应用，特别是方程根的问题, 举例说明应用.● 一致连续性的判定通过自学和小组讨论，写出对函数一致连续性的理解.4. 综合性选题，写学习笔记■ 函数极限性质、连续函数局部性质、连续函数整体性质的内在联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●闭区间上连续函数的性质（计15分）● 一致连续性（计15分）◎学习笔记计20分.◎小测验(第三章与第四章) 计30分§1 连续函数概念一、函数在一点的连续性回顾函数在一点的极限0lim ()x x f x A →=，可以有三种情况:1) 0()f x 无定义，如000sin()limx x x x x x →--.2) 0()f x 存在但0()f x A ≠，如00()1xx x f x x x x ≠⎧=⎨+=⎩.3) 0()f x A =，如()1f x x =+, 00lim ()()x x f x f x →=.从图形上看，函数3)的图像为一条连绵不断的曲线，这种函数我们就称为连续函数.下面我们就给出这种函数的定义.定义1 设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 处连续.例 1 1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.结论1 若f 在0x 处连续, 则f 在0x 处存在极限(0()f x ).注 1 若要f 在0x 处连续，不仅要求f 在0x 处存在极限,而且要求极限就是函数值0()f x .而以前我们讨论函数f 在0x 处的极限,其与f 在0x 处是否有定义或f 在0x 处的值为多少均无关.定义2(εδ-) 设f 在某0(,')U x δ内有定义，若任0ε>,0δ∃>(')δδ<，使得对任意0(,)x U x δ∈, 有0()()f x f x ε-<，则称f 在0x 处连续.记0x x x ∆=-，称为x 自变量在0x 处的增量(或称作改变量,可正也可负)，相应地, 函数y 在00()y f x =处的函数值增量，记为0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-.定义3 f 在0x 处连续0lim 0x y ∆→⇔∆=.注 2 ()f x 在0x 处连续00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→⇔==.由此可见,f 在0x 处连续0lim x x →⇔与对应法则f 可交换次序，又由左右极限,f 在0x 处连续00lim ()()x x f x f x →⇔=;0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→⇔==;0lim ()()x x f x f x +→⇔=且00lim ()()x x f x f x -→=.(⇔f 在0x 处右、左连续).定义4 设函数f 在0()U x +(或0()U x -)内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=(或00lim ()()x x f x f x -→=).则称f 在0x 处右(左)连续.结论2 f 在0x 处连续⇔f 在0x 处右、左连续.例2 已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.二、间断点及其分类定义5 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 处无定义或f 在0x 处有定义但不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点.若f 在0x 处不连续，则对极限必有如下情形:1) 0lim ()x x f x A →=，而f 在0x 处无定义或有定义,但00lim ()()x x f x A f x →=≠.2) 左右极限都存在但不相等，称0|lim ()lim ()|x x x x f x f x α+-→→=-为f 在0x 处的跳跃度.3) 左右极限至少有一个不存在.下面我们对间断点进行分类.1、第一类间断点------函数在此点的左右极限均存在1) 可去间断点 若00lim ()lim ()x x x x f x f x A -→+→== (此时0lim ()x x f x A →=存在，0()A f x ≠或0()f x 无意义)，则称0x 为f 的可去间断点.例3 1) 1,0,()0,0,x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处.2) sin ()xf x x=在0x =处.对可去间断点，其最大的特征是0lim ()x x f x A →=存在，因而可重新定义f 在0x 处的函数值，使新的函数f 在0x 处连续.例4 对sin ()x f x x =, 定义sin ,0,()1,0,xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在0x =处的连续.2) 跳跃间断点 若f 的左右极限都存在但不相等,则称0x 为f 的跳跃间断点. 例5 (1)()[]f x x =，在x n =处，跳跃度为1，在R 上任一点处都是右连续的.(2) 函数 1,0()0,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在0x =处间断，为跳跃间断点.2、第二类间断点-----f 在此点处至少有一单侧极限不存在 例6 Dirichlet 函数()D x 在R 上任一点处间断且都是第二类间断.例7 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.例8 设函数f 是区间I 上的单调函数，证明: 若0x I ∈为f 的间断点， 则0x 必为f 的第一类间断点. (单调函数的间断点必为第一类间断点)三、区间上的连续函数若函数f 是区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数，而对于闭区间的端点，函数在此点连续，是指在该点的左(右)连续，如f 在[,]a b 上连续df ⇔在(,)a b 上连续且在x a =,x b =处分别是右、左连续的.例9()f x =1,1x =-处分别是右、左连续的，在(1,1)x ∈-上连续，从而()f x =[1,1]-上连续.分段连续 若f 是[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续.例10 []y x =在任一个有限区间上分段函数.例11 证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.练习 设f 为R 上的连续函数, 常数0>c . 记,();()(),();,().c f x c F x f x f x c c f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩若若若 证明: F 在R 上连续 (一般称F 为f 的截断函数) .习 题1. 用定义证明下列函数在其定义域上连续.2)1x2. 指出下列函数的间断点并说明类型.1)1ln x2) sin x x 3) [sin ]x 4) 112121xx -+5) sgn(sin )x 6) []x x 7) 1arctan x8) 1x e -3. 确定,,a b c 的值,使()f x 连续, 其中21101()0011x ax bx c x f x x x -≤-⎧⎪++<<⎪=⎨=⎪⎪≥⎩.4. 如何补充定义使函数f 连续.1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x xf x x -=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？6. 若偶函数()f x 在x a =处连续，则f 在x a =-处也连续.(0)a ≠.7. 构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数; 2) 仅在1,2x =处连续的函数; 3) 仅在1()x n N n=∈处间断的函数. 8. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.9. 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.10. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.§2 连续函数性质一、连续函数的局部性质若函数f 在0x 处连续，则f 在0x 处有极限且极限等于函数值，由函数极限性质，有(复习极限性质,然后估计那些性质会减少或有什么不同) 定理 (局部有界性) 若函数f 在0x 处连续，则f 在0()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若函数f 在0x 处连续,且0()0f x >(或0<)，则对任何正数00()r f x <<(或00()r f x <<-), 存在0()U x , 使得对一切0()x U x ∈有()f x r >(或()f x r <-).注 1 一般可取01()2r f x =. 定理 (四则运算) 若函数f 和g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠均 在0x 处连续.例1 1) ()f x c =，()f x x =连续，从而 多项式函数 1110()n n n n P x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++， 有理函数()()P x Q x (P 、Q 为多项式) 在其定义域上连续. 2) sin x 、cos x 连续，从而tan x 、cot x 在其定义域上连续.定理 (复合函数连续性) 若函数f 在0x 处连续，g 在00()u f x =连续，则复合函数g f 在0x 处连续.注 2 定理4可简写成 00lim (())(lim ())((lim ))(())x x x x x x g f x g f x g f x g f x →→→===.注 3 由上章变量代换法则定理,当内层函数f 0x x →时极限为a 而0()a f x ≠ 或()f x 在0x 无意义(即0x 为f 的可去间断点)，又外层函数g 在u a =连续， 仍有上述定理结论成立，即 0lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.例2 1) 21limsin(1)x x →-; 2) x3) 0x →; 4) 0lim x x x a →, (0,1)a a >≠.二、反函数的连续性定理 若函数f 在[,]a b 上严格单调且连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.例 3 由sin y x =在[,]22ππ-上严格单调且连续，则其反函数sin y arc x =在[1,1]-上连续. 类似地可证1ny x =，q py x =在[0,]+∞上连续.思考 反函数在其定义域上连续能否推出函数本身连续? 三、有限闭区间上连续函数的性质 (整体性质)设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，下面我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质. 1、最值性定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0x D ∈,使得对一切x D ∈,有0()()f x f x ≥(或0()()f x f x ≤) ，则称f 在D 上有最小(大)值, 0()f x 称为f 在D 上有最小(大)值, 而0x 相应地称为最小(大)值点.注4 一般而言,函数在其定义域上未必有最大值、最小值(即使f 在D 上有界)，如 ()f x x =，(0,1)x ∈，-----上下确界存在.又如1,(0,1),()2,0,1.x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩ 在[0,1]上无最大、最小值.定理 (最值定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上存在最大值和最小值，即存在01,[,]x x a b ∈，使得10()()()f x f x f x ≤≤ [,]x a b ∀∈.推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上有界. [分析 注4中两个例子为什么无界？]练习 举例说明最值定理的条件仅是充分的,易见最值点存在也未必唯一.在中学二次函数2y ax bx c =++常遇到方程20ax bx c ++=根的问题，一般找一个值0>，一个值0<(作图解释) .这实际上就是应用了连续函数的介值性. 2、介值性定理(介值性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b ≠，若μ为介于()f a 与()f b 之间的任一实数(()()f a f b μ<<，或()()f b f a μ<<) ，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()f ξμ=.推论 (根的存在性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号， 则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=. 注 5 介值性定理与根的存在性定理是等价的.注 6 由介值性定理，若f 在[,]a b 上的连续，()()f a f b <，则f 在[,]a b 上能取到 区间[(),()]f a f b 之间的一切值，则([,])[(),()]f a b f a f b ⊃.特别地，若f 在[,]a b 上的最大值M 、最小值m ，则([,])[,]f a b m M =.结论 若f 是闭区间I 上连续且不恒为常数，则值域()f I 亦为一个闭区间.例4 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.例5 证明: 若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x 使得0n x r =(0x 称为r 的n 次正根，记作0x =).例6 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.注 对上述问题的根的存在性，一般可构造函数使得函数在适当区间上连续， 且在端点处的值异号，而对唯一性，一般可利用函数严格单调性说明. 练习 若f 在[0,2]a 上的连续,(0)(2)f f a =，证明: 存在点0[0,]x a ∈, 使00()()f x f x a =+.3、一致连续性----整体性质 1) 连续性定义中δ对0x 的依赖性 例7 考察函数1()f x x=在(0,1]上的连续性.例8 考察函数1()f x x=在[1,)+∞上的连续性.2) 一致连续性定义定义 设f 定义在区间I 上的函数，若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<，则称函数f 定义在I 上一致连续.注 7 若固定0''x x =，则易见f 在I 上一致连续，则f 在I 上必连续(一致连续性 定义中存在的δ与0x I ∈的选择无关).注 8 直观上说，f 在I 上一致连续⇔不论两点',''x x 在I 中什么位置，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<.例9 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sin f x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.思考 c 能否等于0?注 9 用定义确定一致连续性时，关键是确定δ的存在，我们一般从(')('')f x f x - 入手，放大此式，除因子'''x x -外，其余不含',''x x , 再解出'''x x -. 例10 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.例11 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.3) 一致连续性的否定f 在I 上不一致连续012121200,,,, :()()x x I x x f x f x εδδε⇔∃>∀∃∈-<-≥.例12 1) 证明函数1()sin f x x=在(0,1)内非一致连续. 2) 证明函数1()f x x=在(0,1)内非一致连续. 3) 验证函数2()f x x =在[1,)+∞上非一致连续.4) Lipschitz 连续与一致连续性定义 设函数f 定义在区间I 上，若存在0L >,使得在I 上12,x x I ∀∈, 有1212()()f x f x L x x -≤-,则称f 在I 上Lipschitz 连续(或称f 在I 上满足Lipschitz 条件)，而L 称为Lipschitz 常数.定理 若函数f 在区间I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续.例13 ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.思考 a 能否等于0? 如果能, 0a =时怎么处理? 5) 一致连续函数的判定定理 (一致连续性) 函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续. 例14 f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在. 由此说明1()f x x=在(0,1)内非一致连续.思考 上述结论对无穷区间是否成立? 即设()f x 在[,)a +∞上的连续函数，则f 在[,)a +∞上一致连续⇔lim ()x f x →∞存在且为有限值?例15 f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔∀⊂-→⇒-→.6) 一致连续函数的性质定理 若f 、g 在区间I 上一致连续，则||f 、f g +仍为一致连续.又若I 为有限区间，则f g ⋅也是一致连续.例16 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.思考* 一致连续函数的复合是否仍然一致连续?例17* 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈，用一致连续性定义证明：若f 在1I 、2I 上分别一致连续，则f 在12I I I =一致连续.特别地，若f 在[,]a c 、[,]c b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续(而这是显然的，关键在于1I 、2I 可能为无限区间) ， 由此可得()f x =[0,)+∞上必一致连续.思考 若f 在[,)a c 、[,]c b 上连续，是否仍然有f 在[,]a b 上(一致)连续?习 题1. 求极限: 1) x x x tan )(lim 4-→ππ; 2) 1121lim 21+--++→x x x x x2. 设f ,g 在区间I 上连续, 记()max{(),()}, ()min{(),()}F x f x g x G x f x g x == 证明: F 和G 也都在I 上连续.3. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.4. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >; 2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.5. 证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.6. 证明: 方程sin x a x b =+(,0)a b >在(0,]a b +内至少一个实根. 7． 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+8．设f 为],[b a 上的增函数,其值域为)](),([b f a f .证明: f 在],[b a 上连续. 9. 证明: 奇次多项式必有实根,而偶次多项式必有最大值或最小值.10．设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?11. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.12. 证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续. 13．证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续. 14．证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.§3 初等函数的连续定理 基本初等函数在其定义域上连续. 定理 任何初等函数在其定义域上连续.例1 求()ln(2)f x x =-的连续区间和间断点.例2 利用函数的连续性求下列极限1) 20ln(1)lim cos x x x →+ 2) 0lim x +→3) sec tan 0lim(1tan )x x x x ⋅→+ 4) sin x →∞习 题1. 求下列极限:1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→;2) )(lim x x x x x -+++∞→;3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→.习题课一、连续性概念 设f 在某0x 的某邻域内有定义f 在0x 处连续d⇔0ε∀>，0δ∃> ，0x x δ-<，0()()f x f x ε-<.0lim ()()x x f x f x →⇔=.000(0)(0)()f x f x f x ⇔+=-=.(其中000(0)lim (),(0)lim ()x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=).⇔f 在0x 处左、右连续.00{}(),n n x U x x x ⇔∀⊂→，有0()()n f x f x →.f 在,a b 〈〉处连续⇔f 在(,)a b 上连续，而在端点处，若端点属于,a b 〈〉，则要求相应的单侧连续性二、连续函数的性质 1. 局部性质1) 若f 在0x 处连续，则f 在0x 处局部有界.2) 若f 在0x 处连续，0()f x c <，则00,(,):()<x U x f x c δδ∃>∀∈. 3) 若f 、g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠在0x 处连续. 4) 若()f x 在0x x =连续,()g u 在0()u f x =连续,则(())g f x 在0x x =处连续. 2. 闭区间上连续函数性质1) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界.2) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值和最小值.3) 若f 在[,]a b 上连续，12,[,]x x a b ∈,12x x <,12()()f x f x ≠，则对任何12((),())c f x f x ∈或21((),())c f x f x ∈，必存在(,)a b ξ∈，使得()f c ξ=.4) 若f 在[,]a b 上的连续，且()()0f a f b ⋅<, 则方程()0f x =必在(,)a b 上 至少有一个根.5) 设f 在[,]a b 上严格递增(或减) 连续函数，则其反函数在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.6) f 在[,]a b 上连续f ⇔在[,]a b 上一致连续 7) 任何初等函数在其定义域上都是连续的. 三、一致连续函数的性质f 在I 上一致连续1212120,0,,,:()()dx x I x x f x f x εδδε⇔∀>∃>∀∈-<-<.1、判定1) 必要条件 若f 在有限区间I 上一致连续, 则f 在I 上有界连续.(证明：1、用极限方法 2、用延拓)2) 充分条件 若f 在I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续. 3) 充要条件a) f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔⊂-→⇒-→ b) f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在且都为有限值c) 12,], [,I a b I b c =<=> (,a c 可为∞)f 在12,I I 上一致连续⇔f 在12I I I =上一致连续2、性质1) 若f 、g 在I 上一致连续，则f g +、f 在I 上一致连续. 此时, 若f 、g 还是有界的(或I 为有限区间), 则f g ⋅在I 上一致连续. 2) 设f 在(,)a +∞上连续，且lim (),(0)x f x f a →+∞+存在，则f 在(,)a +∞上一致连续，但反之未必. 3) f 在(,)-∞+∞上…4) 若f 在I 上一致连续，J I ⊂，则f 在J 上一致连续. 5) 若f 在(,)a b 上单调有界连续，则f 在(,)a b 上一致连续.3、一致连续的否定四、间断点的分类若单调函数具有介值性,则其必连续. (单调函数仅有第一类间断点)五、一些例子例1 若对任意0ε>，f 在[,]a b εε+-上连续，能否推出f 在(,)a b 上连续， 一致连续呢？例2 若f 在0x 处连续，则2||,f f 在0x 也连续，又若2||,f f 都在I 上连续， 则f 在I 上是否连续?思考 若3f 在I 上连续，则f 在I 上是否连续?例3 举出定义在[0,1]分别符合下列要求的函数1) 只在11,23和14不连续的函数，2) 只在11,23和14连续的函数，3) 只在1n(1,2,3,)n =⋅⋅⋅上间断的函数，4) 只在0x =右连续，而在其它点不连续的函数.例4 讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设1)21)(,sgn )(x x g x x f +==; 2) x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==.例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例6 设f 在区间[,]a b 上连续，记()max{(),}F x f t a t x =≤≤，()min{(),}G x f t a t x =≤≤证明：,F G 也都在[,]a b 上连续.例7 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠, 则f 在[,]a b 上恒正 或恒负.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例9 若f 在(,)a b 上连续,lim ()lim ()0x a x bf x f x +-→→⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得 ()0f ξ=.(或lim (), lim ()x a x bf x f x +-→→=+∞=-∞)例10 若f 在(,)a b 上连续，a c d b <<<，()()k f c f d =+，则1) 存在(,)a b ξ∈，使2()k f ξ=，2) 存在(,)a b ξ∈，使()()()()m n f mf c nf d ξ+=+ (,0)m n >.例11 若f 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<⋅⋅⋅<<，则1) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()[()()]n f f x f x nξ=+⋅⋅⋅+， 2) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()()()n n f f x f x ξλλ=+⋅⋅⋅+.其中 12,,0n λλλ⋅⋅⋅≥ 满足121n λλλ++⋅⋅⋅+=，例12 设f 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =，证明：对任何正数n ，存在[0,1]ξ∈,使得 1()()f f nξξ=+.例13 设f 在[,]a b 上单调递增,值域为[(),()]f a f b ,求证:f 在[,]a b 上连续.例14 设f 在区间I 上连续，证明1) 若对任何的有理数r I ∈有()0f r =，则在I 上()0f x =，2) 若对任意两个有理数12,r r 且12r r <，有12()()f r f r <，则f 为严格增函数.例15 f 在[0,)+∞上连续，满足0()f x x ≤≤，[0,)x ∈+∞，设10a ≥， 1()n n a f a +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明1) {}n a 为收敛数列; 2) 设lim n n a t →∞=，则有()f t t =; 3) 若条件改为0()f x x <<，(0,]x ∈+∞，则0t =.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例18 设f 在R 上连续有渐近线y kx b =+,求证:()f x 在R 上一致连续.例19 设f 在R 上连续, g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
高等数学第4章第2节连续函数的性质
§２ 连续函数的性质引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来．一、连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续．则f 在某0()U x 有界．性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<．注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为00()U x 其余一致．性质３．（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续．问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续．注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限．）例１． 求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立．（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）．故可用来求一些函数的极限．例２ 求极限（１）0x →（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续．二、初等函数的连续性１．复习（关于初等函数）（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数． （２）基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =．２．初等函数的连续定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数． ３．利用初等函数的连续性可计算极限例３．设0lim ()0x x u x a →=>，0lim ()x x v x b →=，证明：0()lim ()v x b x x u x a →=．例４．求0ln(1)limx x x→+．例５ 求20ln(1)lim cos x x x→+．三 区间上连续函数的基本性质引 言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质．现将将基本的列举如下．从几何上看，这些性质都是十分明显的．但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出．先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值．例如，sin ,[0,]y x π=．max 1y =、min 0y =．一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界． 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值． １．性质性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值． 性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界．思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的．性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=．注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值．（如左图）．性质４（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =．几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点．２．闭区间上连续函数性质应用举例关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间．例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =．例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂．证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =．四 一致连续性引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续．我们先叙述何谓一致连续．设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续．即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<．一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的．例如图左．中1y x=的曲线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些．而当0x 离原点较远时，δ取大一些．（对后者的δ值就不一定可用于前者．但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续．１．一致连续的定义定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数．若对任给的0ε>，存在一个()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续． ２． 函数在区间上连续与一致连续的比较若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续． ３． 问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor 定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续． ４．一致连续的例子例１． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续． 例２． （１）证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续． （２）0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c 内是一致连续的．例３． 证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续． 例４． 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）．试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续． 作业：P81,1， 2， 3， 8， 9, 14。
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
连续函数的性质
间的任一数 ( f (a ) < µ < f (b ) 或 f (b ) < µ < f (a )),
则(至少)存在一点 x0 ∈ (a , b ) , 使得 至少)
f ( x0 ) = µ .
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从几何上看, 从几何上看,当连续曲线 y = f ( x ) 从水平直线 y = µ 的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点. 的一侧穿到另一侧时 两者至少有一个交点
§3.2 连续函数的性质
在本节中,我们将介绍连续函数的局 部性质与整体性质. 一、连续函数的局部性质 二、闭区间连续函数的整体性质 三、反函数的连续性 四、初等函数的连续性
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一、连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x 0 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某 连续(左连续或右连续),则可推知 ), 个局部邻域(左邻域或右邻域 内具有有界性、保 个局部邻域 左邻域或右邻域)内具有有界性 左邻域或右邻域 内具有有界性、 号性、四则运算的保连续性等性质 号性、四则运算的保连续性等性质.
在点 x 0也是连续的 .
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此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 到. 我们知道, 我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 的连续函数 故由四则运算性质 易知多项式函数
P ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x n
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
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内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 推论 若函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 , 则 f ( x )
函数连续存在的条件 -回复
函数连续存在的条件-回复要确定一个函数是否在一个给定的点上连续存在，我们需要考虑多个因素。
在本文中，我们将讨论连续函数的定义、连续存在的条件以及一些重要的连续函数的性质。
在数学中，连续函数是一类非常重要的函数，它们在计算、物理学、工程学和其他领域中都有广泛的应用。
在某个点上连续存在的函数，指的是当自变量的取值接近该点时，函数值也会趋近于一个确定的值。
我们首先来定义连续函数：设f是定义在区间[a, b]上的一个函数。
如果对于该区间内的任意一个点c，当x趋近于c时，f(x)也趋近于f(c)，那么f 在点c上连续存在。
要确定一个函数在某个点上连续存在，我们需要满足三个条件：1. 函数在该点上有定义。
也就是说，在该点上函数有一个确定的函数值。
2. 函数在该点上的极限存在。
也就是说，当自变量趋近于该点时，函数值会趋近于一个确定的值。
3. 函数在该点上的极限等于该点的函数值。
也就是说，函数在该点上的极限值与函数在该点上的值是相等的。
首先，我们需要确保函数在该点上有定义。
如果函数在该点上没有定义，则我们无法讨论其连续性。
例如，对于函数f(x) = 1/x，在x = 0的点上就没有定义。
其次，我们需要检查函数在该点上的极限是否存在。
可以通过计算函数在该点上的左极限和右极限来判断函数在该点上的极限是否存在。
函数在该点上的左极限是指当自变量从左侧接近该点时，函数值的极限。
函数在该点上的右极限是指当自变量从右侧接近该点时，函数值的极限。
如果左极限等于右极限，则函数在该点上的极限存在。
最后，我们需要确保函数在该点上的极限值与函数在该点上的值相等。
如果这两个值不相等，那么函数在该点上不是连续的。
需要注意的是，定义中提到的是某个点上的连续性，而不是整个函数的连续性。
一个函数可以在某些点上连续，同时在其他点上不连续。
一些重要的连续函数的性质包括：1. 两个连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
也就是说，如果f(x)和g(x)在某点上连续存在，那么它们的和、差和积在该点上也连续存在。
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§2 连续函数的性质
内容：1 连续函数的局部性质
2 区间上的连续函数的基本性质
3 反函数的连续性
4 一致连续性
重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质
难点：连续函数的保号性；一致连续性.
一连续函数的局部性质
根据函数的在点连续性，即
可推断出函数在点的某邻域内的性态。
定理4.2（局部连续性）若函数
在点连续，则在点的某邻域内有界。
定理4.3 （局部保号性）若函数在点连续，且
，则对任意
存在某邻域
时，
定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则
（）在点连续。
例因连续，可推出多项式函数
和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。
同样,由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。
定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在
点连续，，则复合函数在点连续。
证明由于在连续，对任给的，存在，使
时有
（1）
又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有
. 联系（1）得: 对任给的，存在
，当时有
.
这就证明了在点
连续.
注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为
(2)
例1 求.
解可看作函数
与的复合.由(2)式,可得
注：若复合函数的内函数
当时极限为，而
或在无定义
（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有
(3)
读者还可证明(3)式对于
或
等类型的极限也是成立的。
例2 求极限：（1）
；
（2）.
解(1)
(2)
二闭区间上连续函数的基本性质
前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切
有，
则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.
例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即
使f在D上有界）。
如在上既无最大值又无最小值，
又如
(4)在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值。
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.
推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。
定理4.7(介值性定理) 若函数
在闭区间上连续，且
，若为
介于之间的任何实数
（或
）,则在开区间
内至少存在一点，使得 :
推论（根的存在定理）若函数
在闭区间上连续，且
异号，则至少存在一点使得.即
在内至少有一个实根.
应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值
域也是一个区间；特别若为区间[a,b], 在[a,b]上的最大值为,最小值为，则
；又若为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则
例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得. 证明先证存在性。
由于当
时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有
，故有介值性
定理，至少存在一点
使得.
再证唯一性。
设正数使得
由于第二个括号内的数为正所以只能，即.
例4 设在[a,b] 连续，满足
（5）
证明：存在，使得
（6）
证条件（5）意味着：对任何
有
，特别有
以及 .
若或，则取
，从而（6）式成立。
现设与。
令，则
，
.
由根的存在性定理，存在
，使得即
.
三反函数的连续性
定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数
在相应的定义域
（）上递增（递减）且连续。
证明（只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。
设
，且
则，对任给的可在的两侧各取异于的两点
（），使它们与
的距离小于（参见上图）. 设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当
时，令
，则当
时，对应的
的值必落在之间，从而
.
应用单侧极限的定义，同样可证
在区间端点也是连续的。
例5 由于在区间
上严格单调且连续，故反函数在区间[-1，1]上连续。
同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数
在其定义域内是连续的。
例6由于（为正整数）在
严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。
又若把（为正整数）看作由与的复合，综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。
例7 证明：有理幂函数在其定义区间上连续.
证明：设有理数，这里
为整数。
因为与
均在其定义区间上连续，所以复合函数也是其定义区间上的连续函数。
四一致连续性
前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。
这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的不仅与有关，而且与有关。
下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性
质，其定义中的只与有关，而与无关。
定义2（一致连续性）设函数
在区间I上有定义，若
只要
，，都有
，则称
在区间I上一致连续。
这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。
直观的说在区间I一致连续意味着：不论两点
在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使
. 显然I必然在I 上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。
按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个
对任何的（无论多么小），总存在两点尽管，但却有
例8 证明在
内一致连续。
证明:
对，取，不管
是中的怎样两点，只要
，就有：
，所以
在内一致连续。
例9 证明在内一致连续，但在内不一致连续。
证明在内一致连续：
对，取，不管是中的怎样两点，只要
，就有：
，所以在内一致连续。
但在内不一致连续。
取, 对任意的，都存在两点，尽管
，
但.
所以，在内不一致连续。
在区间I上的一致连续性是
又一个整体性质，可推出
在区间I上每点都连续的这一
局部性质（只要在一致连续的定义中把看作定点和动点）；但
区间上I上每点连续并不能保证在区间I上一致连续，两者在概念上有本质的差别。
因为函数在区间I上每点连续是指：对于每一点及
，当
（）时，
有
注意这里的不仅与有关，还与的位置有关，如果能做到
只与有关即能找不到适合I上所有
点的公共，则在I 上每点连续，且一致连续；否则
在I上每点连续，但不一致连续。
一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。
如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共
，这种情况在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共
，比如
我们可取取，则对I上任意两点，只要
时，便有
.这种情况，
在I上不仅逐点连续，而且是一致连续。
定理4.9 （一致连续性）若函数在闭区间上连续，则
在上一致连续。
例10 设区间的右端点为，区间的左端点也为（可为有限或无限区间）。
试证明：若分别在上一致连续，则在区间
上也一致连续。
证明：任给，由在
上的一致连续性，分别存在
正数和使得对任何
，只要，就有
；（7）又对任何，只要
也有上面（7）式成立。
点作为右端点，在点
为左连续，作为左端点，在点为右连续，所以在点为连续。
故对上述，存在，当时有
. （8）
令，对任何的
，，分别考虑下列两种情形：
i）若或则（7）式成立；
ii）分别属于和，不妨设和，则。