5.非线性趋势外推预测分析法解析

25
7 -1
30.5
5.5 -1.5
35
4.5 -1
38
3 -1.5
40
2 -1
39.5
-0.5 -2.5
38
-1.5 -1
• 由表5-2可知，该时间序列观察值的二阶差分大致相等，
其波动范围在-2.5~-1.0之间。综合散点图和差分分析， 最后确定选用二次多项式曲线模型预测。
第二步，求模型的参数 模型参数的计算如表5-3所示
t2
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
t4
256 81 16 1 0 1 16 81 256 708
ty -40.0 -54.0 -50.0 -30.5 0.0 38.0 80.0 118.5 152.0 214.0
t2 y
160.0 162.0 100.0 30.5 0.0 38.0 160.0 355.5 608.0 1614.0
ˆt ae y
bt
修正指数曲线预测模型 ：
ˆt a bc y
t
3. 对数曲线预测模型
ˆt a b ln t y
4.生长曲线趋势外推法
L 皮尔曲线预测模型 ： yt 1 ae bt
龚珀兹曲线预测模型 ： y ˆ
t
ka
bt
三、趋势模型的选择
主要利用图形识别法和差分法计算，进行模型 的基本选择 （一） 图形识别法 这种方法是通过绘制散点图进行的，即将时 间序列的数据绘制成以时间t为横轴、时序观察值 为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数 曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的 模型。
二次多项式曲线预测模型为：
2 ˆ yt b0 b1t b2t
yn ，令 y2 ，…， 设有一组统计数据 y1 ，
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 )2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 ) ( yt y
2 t 1 t 1 n n
即：
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b t b t b t 0 1 2 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
解这个三元一次方程，就可求得参数。
• 例5-1 某商店某种产品的销售量如表5-1所示
差分特性 一阶差分相等或大致相等 使用模型 一次线性模型
二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 一阶差分的一阶比率相等或大致相等
二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
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5.2 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法
一、二次多项式曲线模型及其应用
（1）绘制散点图，初步确定预测模型
销售量（万件） 45 40 35 30 25 20 15
10 5 0
2002
2004
2006
2008
2010
2012
• 由图5-1可知，该产品的销售量基本上符合 二次多项式曲线模型。
（2）计算差分，如表5-2所示
表5-2 差分计算表
yt
一阶差分 二阶差分
10
18
8
表5-3 某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 合计 时序（t） -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt
10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 274.0
然后以顺延的时间单位作为已知条件，进行外推预测。 • 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有 明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种 变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
• 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。 即， 假定根据过去资料建立的趋势外推模型能
表5-1 某产品销售量资料 年份 2003 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 35 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
销售量（万件） 10
• 试预测2012年的销售量，并要求在90%的
概率保证程度下，给出预测的置信区间
第一步，确定预测模型
（二）差分法
利用差分法把数据修匀，把原时间序列转换
为平稳序பைடு நூலகம்。最常用的是一阶向后差分法
一阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1
二阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2
• 计算时间序列的差分，并将其与各类模型的差分特点 进行比较，就可以选择适宜的模型。 • 差分法识别标准：
ˆt b0 b y 1t
二次（二次抛物线）预测模型：
ˆt b0 b1t b2t 2 y
2 3 ˆ yt b0 bt 1 b2t b3t
三次（三次抛物线）预测模型： 一般形式：
ˆt b0 b1t b2t 2 bk t k y
2. 指数曲线预测模型 一般形式 ：
第五章 非线性趋势外推预测法
5.1 趋 势 外 推 法 概 述
5.2 多项式曲线趋势外推法 5.3 指数曲线趋势外推法
5.1 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法的概念和假定条件
• 基本概念
• 趋势外推预测是指根据时间序列的长期趋势，以时间t
为自变量，时间序列 为因变量，拟合非线性趋势模型 ，
将表5-3的数据代入三元一次方程组，
274 9b0 0 60b2 得： 214 0 60b1 0 1613.5 60b 0 708b 0 2
解得：
b0 35.05, b1 3.57, b2 0.69
• 二次多项式曲线模型为：
适合未来，能代表未来趋势变化的情况，即未来
和过去的规律一样。
• 非线性趋势预测是非线性回归预测的一个特例， 时间t即为模型的自变量
• 趋势外推法是事物发展渐进过程的一种统计预 测方法。它的主要优点是可以揭示事物未来的发 展，并定量地估计其功能特性
二 、趋势模型的种类
1. 多项式曲线外推模型
一次（线性）预测模型：