2017-2018学年第一学期高等数学AI期中试卷答案
2017-2018学年江苏省徐州市高三(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．3．（5分）函数f（x）=2sin（）的周期为．4．（5分）已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为．5．（5分）双曲线的离心率是．6．（5分）从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．7．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的x值为．8．（5分）棱长均为2的正四棱锥的体积为．9．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为．10．（5分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为上的一点，若=2，则的值为．11．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f （4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．12．（5分）已知实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，则的最小值为．13．（5分）已知点P是圆O：x2+y2=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E 为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：（1）直线AB∥平面SDE；（2）平面ABC⊥平面SDE．17．（14分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H 在圆周上，E，F在边CD上，且，设∠BOC=θ．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足nb n﹣（n+1）b n=n（n+1），n∈N*，且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N*，都有T n＜nS n ﹣a，求实数a的取值范围；（3）是否存在正整数m，n使b1，a m，b n（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=（ax﹣1）e x（a≠0，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值；（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【选做题】请从21.22.23.24选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE=．求证：CA=．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵A=，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+≥1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF=，已知OA=OC=4，OB=2．（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．26．（10分）某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．2017-2018学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B={2} ．【解答】解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}．2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．【解答】解：∵（1+i）z=i，∴z====+i，∴复数z的实部为，故答案为：3．（5分）函数f（x）=2sin（）的周期为6．【解答】解：函数f（x）=2sin（）的周期为=6，故答案为：6．4．（5分）已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为4．【解答】解：数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则=×（87+x+90+89+93）=90，解得x=91，∴该组数据的方差为s2=×[（87﹣90）2+（91﹣90）2+（90﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2]=4．故答案为：4．5．（5分）双曲线的离心率是2．【解答】解：∵双曲线中，a2=1且b2=3∴a=1，b=，可得c==2因此双曲线的离心率e==2故答案为：26．（5分）从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【解答】解：从袋中随机取两个球，所有的取法共有=10种，而取出的两个球颜色不同的取法有2×3=6种，∴取出的两个球颜色不同的概率P==，故答案为：7．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的x值为4．【解答】解：当x=0时，不满足x≥8，故x=1，k=1，不满足退出循环的条件；当x=1时，不满足x≥8，故x=2，k=2，不满足退出循环的条件；当x=2时，不满足x≥8，故x=4，k=3，不满足退出循环的条件；当x=4时，不满足x≥8，故x=16，k=4，不满足退出循环的条件；当x=16时，满足x≥8，故x=4，k=5，满足退出循环的条件；故输出的x值为4，故答案为：48．（5分）棱长均为2的正四棱锥的体积为．【解答】解设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，则PO⊥底面ABCD．∵底面四边形ABCD是正方形，AB=2，∴AO=．∴OP==．∴正四棱锥的体积V===．故答案为：．9．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为88．【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d，∵a2=6，a1，a3，a7成等比数列，∴a1+d=6，=a1a7，即，d≠0．解得a1=4，d=2．则S8==88．故答案为：88．10．（5分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为上的一点，若=2，则的值为2﹣2．【解答】解：如图，连接BP，AP，设OP交AB于点M，∵半径为2，=||•||cos∠AOP=2×2×cos∠AOP=2，解得cos∠AOP=，可得∠AOP=60°，∴由∠AOB=90°，可得：∠POB=30°，可得：∠BPO=∠PBO=75°，又∵∠ABO=∠BAO=45°，可得：∠PBA=∠PBO﹣∠ABO=75°﹣45°=30°，∴∠PMB=180°﹣∠OPB﹣∠PBA=180°﹣75°﹣30°=75°，∴=||•||•cos∠PMB=2××cos75°=4×cos（45°+30°）=4×=2﹣2．故答案为：2﹣2．11．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f （4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f （4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．12．（5分）已知实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，则的最小值为．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，∴=1，则=×=≥=，当且仅当|x﹣2y|=2|2x+y|，x2+y2=3，|x|≠|y|，时取等号．即或或．故答案为：．13．（5分）已知点P是圆O：x2+y2=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为[﹣，0] ．【解答】解：设P（2cosθ，2sinθ），则AP的中点坐标为Q（cosθ+2，sinθ），∴sinθ=k（cosθ+2）+1，即k=，即k表示单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点M（﹣2，1）连线的斜率，设过点M的直线y﹣1=k（x+2）与圆x2+y2=1相切，则=1，解得k=0或k=﹣．∴﹣≤≤0．故答案为：[﹣，0]．14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为[﹣1，0]∪[2，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，∴f′（x）=3x2﹣2x，当x＜0，或x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故当x=0时，函数取极大值﹣2a，若a≤0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，解得：a∈[﹣1，0]，若a＞0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（0）=﹣2a≥0，或f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，解得：a∈[2，+∞），综上可得：a∈[﹣1，0]∪[2，+∞），故答案为：[﹣1，0]∪[2，+∞）．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为a+2c=2bcosA，由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA，因为C=π﹣（A+B），所以sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA．即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA，所以sinA（1+2cosB）=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又因为0＜B＜π，所以B=，（2）由余弦定理a2+c2﹣2accosB=b2及b=2得，a2+c2+ac=12，即（a+c）2﹣ac=12，又因为a+c=4，所以ac=4，=acsinB=×4×=．所以S△ABC16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E 为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：（1）直线AB∥平面SDE；（2）平面ABC⊥平面SDE．【解答】证明：（1）因为DE∥平面SAB，DE⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB，所以DE∥AB，因为DE⊂平面SDE，AB⊄平面SDE，所以AB∥平面SDE，（2）因为D为BC的中点，DE∥AB，所以E为AC的中点．又因为SA=SC，所以SE⊥AC，又AB⊥AC，DE∥AB，所以DE⊥AC，∵DE⊂平面SDE，SE⊂平面SDE，DE∩SE=E，所以AC⊥平面SDE，因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDE．17．（14分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H 在圆周上，E，F在边CD上，且，设∠BOC=θ．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？【解答】解：（1）由题意，AB=2Rcosθ，BC=Rsinθ，且△HOG 为等边三角形，所以，HG=R，GF=R﹣Rsinθ，…（2分）f（θ）=S ABCD+S EFGH=2Rcosθ•Rsinθ+R（R﹣Rsinθ），θ∈（0，）…（6分）（2）要符合园林局的要求，只要f（θ）最小，由（1）知，f′（θ）=R2（2cos2θ﹣2sin2θ﹣cosθ）=R2（4cos2θ﹣cosθ﹣2），令f′（θ）=0，即4cos2θ﹣cosθ﹣2=0，解得cosθ=或（舍去），…（10分）令cosθ0=，θ0∈（0，），当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是单调减函数，当θ∈（θ0，）时，f′（θ）＞0，f（θ）是单调增函数，所以当θ=θ0时，f（θ）取得最小值．答：当θ满足cosθ=时，符合园林局要求…（14分）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．【解答】（1）由题意可得：，从而有b2=a2﹣c2=3，所以椭圆E的标准方程为：…（4分）（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入为：，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0因为x=﹣2为该方程的一个根，解得B（，），…（6分）设C（x0，y0），由k AC•k BC=﹣1，得：，即：（3+4k2）y02﹣12ky0+（16k2﹣12）=0 ①…（10分）由AC=BC，即AC2=BC2，得4+y02=（）2+（y0﹣）2，即4=+（）2﹣，即4（3+4k2）2=（6﹣8k2）2+144k2﹣24（3+4k2）y0…①，所以k=0或y0=，当k=0时，直线l的方程为y=0，当y0=时，代入①得16k4+7k2﹣9=0，解得k=，此时直线l的方程为y=±（x+2）综上，直线l的方程为y=0，y=±（x+2）19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．数列{b n}﹣（n+1）b n=n（n+1），n∈N*，且b1=1．满足nb n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N*，都有T n＜nS n ﹣a，求实数a的取值范围；（3）是否存在正整数m，n使b1，a m，b n（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当n=1时，S1=2a1﹣1=a1，所以a1=1．当n≥2时，S n=2a n﹣1，S n﹣1=2a n﹣1﹣1，两式相减得a n=2a n﹣1，从而数列{a n}为首项a1=1，公比q=2的等比数列，从而数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．﹣（n+1）b n=n（n+1），两边同除以n（n+1），由nb n+1得﹣=1，从而数列{}为首项b1=1，公差d=1的等差数列，所以=n，从而数列{b n}的通项公式为b n=n2，（2）由（1）得c n=a n=n•2n﹣1，于是T n=1×1+2×2+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，所以2T n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式相减得﹣T n=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n×2n，所以T n=（n﹣1）2n+1由（1）得S n=2a n﹣1=2n﹣1，因为任意的n∈N*，都有T n＜nS n﹣a，即（n﹣1）•2n+1＜n（2n﹣1）﹣a恒成立，所以a＜2n﹣n﹣1恒成立，记c n=2n﹣n﹣1，所以a＜（c n）min，因为=2n﹣1＞0，从而数列{c n}为递增数列，所以当n=1时c n取最小值c1=0，于是a＜0（3）假设存在正整数m，n（n＞1），使b1，a m，b n成等差数列，则b1+b n=2a m，即1+n2=2m，若n为偶数，则1+n2为奇数，而2m为偶数，上式不成立．若n为奇数，设n=2k﹣1（k∈N*），则1+n2=1+（2k﹣1）2=4k2﹣4k+2=2m，于是2k2﹣2k+1=2m﹣1，即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，当m=1时，k=1，此时n=2k﹣1=1与n＞1矛盾；当m≥2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．综上所述，满足条件的实数对（m，n）不存在20．（16分）已知函数f（x）=（ax﹣1）e x（a≠0，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值；（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的导函数f'（x）=（ax﹣1+a）e x，则f'（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，且等号不恒成立，又e x＞0，所以ax﹣1+a≤0在区间[1，2]上恒成立，…（2分）记g（x）=ax﹣1+a，只需，即，解得且a≠0…（4分）（2）由f'（x）=（ax﹣1+a）e x=0，得，①当a＜0时，有；，所以函数f（x）在单调递增，单调递减，所以函数f（x）在取得极大值，没有极小值．②当a＞0时，有；，所以函数f（x）在单调递减，单调递增，所以函数f（x）在取得极小值，没有极大值．综上可知：当a＜0时，函数f（x）在取得极大值，没有极小值；当a＞0时，函数f（x）在取得极小值，没有极大值．…（10分）（3）设切点为T（t，（at﹣1）e t），则曲线在点T处的切线l方程为y﹣（at﹣1）e t=（at﹣1+a）（x﹣t）e t，当时，切线l的方程为，其在x轴上的截距不存在．当时，令y=0，得切线l在x轴上的截距为：====，…（12分）当时，，当且仅当，即或时取等号；…（14分）当时，，当且仅当，即或时取等号．所以切线l在x轴上的截距范围是…（16分）【选做题】请从21.22.23.24选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE=．求证：CA=．【解答】证明：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CA•CB，连接OD，则OD⊥CD，∵BE是圆O的切线，∴BE=ED，又DE=．∴BE=EC，∴∠C=30°，∠CDO=90°．则OD=OC，而OB=OD，∴CB=BO=OD=OA，∴CA=3CB，将CA=3CB代入CD2=CA•CB得CD2=CA•CA．∴CA=．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵A=，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．【解答】解：∵矩阵A=，得A﹣1=，…（5分）∵直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），所以A﹣1==，将点（2，2）代入直线y=kx+1得k=…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：由ρ=2acosθ得ρ2=2aρcosθ，∴圆C的标准方程为x2+y2=2ax，把（t为参数）代入圆的方程可得169t2﹣（14+10a）t+2﹣2a=0，∴△=（14+10a）2﹣4×169×（2﹣2a）≥0，解得：﹣17≤a≤，又a＞0，∴0＜a≤．∴实数a的取值范围为（0，]．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+≥1．【解答】证明：因为x＞y＞0，x﹣y＞0，∵2（x﹣y﹣1）+=（x﹣y）+（x﹣y）+﹣2≥3﹣2=3﹣2=1．当且仅当x﹣y=1．∴2（x﹣y﹣1）+≥1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF=，已知OA=OC=4，OB=2．（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．【解答】解：（1）如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得：O（0，0，0），A（0，0，4），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），E（0，2，2），F（0，0，1），∴，，于是，，，∴cos＜＞=；（2）平面AOC的一个法向量为．设为平面DEF的一个法向量，又，，则，取z=2，则x=4，y=﹣1，∴为平面DEF的一个法向量，从而cos＜＞=，设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则|cosθ|=．∵θ∈[0，π]，∴sinθ=．因此二面角C﹣EF﹣D的正弦值为．26．（10分）某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．【解答】解：（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P（A）=（1﹣）（1﹣）×=；…（4分）（2）记“这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间”为ξ，由题意，可得ξ可能取值为0，40，20，80，60，100，120，140（单位：秒）；…（5分）∴即ξ的分布列是：P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=40）=×（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=20）=（1﹣）××（1﹣）=；P（ξ=80）=（1﹣）×（1﹣）×=；P（ξ=60）=××（1﹣）=；P（ξ=100）=（1﹣）××=；P（ξ=120）=×（1﹣）×=；P（ξ=140）=××=；所以Eξ=40×+20×+80×+60×+100×+120×+140×=．答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为．。
内蒙古包头市2017-2018学年高一数学上学期期中试题(word版含答案)
2017-2018学年度第一学期高一年级期中考试数学试题第一部分一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设集合{}1|->∈=x Z x A 则（ ）A.A ∉φB.A ∉2C.A ∈2D.{}A ⊆22.设{}12|>=x x A ，(){}1log |2+==x y x B ，则=B A （ ）A.{}01|<<-x xB.{}1|≥x xC.{}0|>x xD.{}1|->x x3.7.07.32.03.2,7.0log ,5.0log ===c b a 的大小关系是（ ）A.c a b <<B.c b a <<C.a c b <<D.a b c <<4.下列函数中，与函数x y =相同的是（ ） A.2x y = B.x y 10lg = C.()2x y = D.x y lg 10=5.下列函数)(x f 中，满足“对任意()0,,21∞-∈x x ,当21x x <时，都有)()(21x f x f <”的是（ ）A.x x f 24)(-=B.21)(-=x x f C.22)(2--=x x x f D.||)(x x f -= 6.函数x x y 42+-=的值域是（ ）A.(]4,∞-B.(]2,∞-C.[]2,0D.[]4,07.已知函数()a ax x x f 3log )(22+-= 在 [)+∞,2 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A.(]4,∞- B.(]2,∞- C.(]4,4- D.(]2,4-8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)+∞,0单调递增. 若实数a 满足())1(2lo g lo g 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+, 则a 的取值范围是( ) A.]21,0( B.]2,0( C.[]2,1 D.]2,21[9.已知)(x f 是定义在)2,1(上的单调递减函数，若)13()1(-<+m f m f ，则实数m 的取值范围是（ ）A.)1,0(B.)1,32( C.)1,(-∞ D.),1(+∞ 10.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=11)32(1)(x x a x x a x f 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.)1,32( B.)1,43[ C.]43,32( D.),32(+∞11.定义在R 上的奇函数)(x f ，0)5(=f ，且对任意不相等的正实数1x ，2x ，都满足()()[]()01221<--x x x f x f ，则不等式 0)(>-x xf 的解集为( ).A.()()5,00,5 -B.()()+∞-∞-,55,C.()()5,05, -∞-D.()()+∞-,50,512.函数)(x f 是自变量不为零的偶函数，且当0>x 时，x x f 2l o g )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=111023)(x xx x g x ，若存在实数n 使得)()(n g m f =，则实数m 的取值范围是（ ）A.]2,2[-B.]2,21[]21,2[ --C.]21,0()0,21[ -D.),2[]2,(+∞--∞二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若函数()αx m x f 1)(-=是幂函数，则函数()m x x g a -=log )(（其中1,0≠>a a ）的图象过定点A 的坐标为___________________.14.若1)1(2-=-x x f ，则_______________)(=x f .15.函数22)(x x f x -=的零点的个数为__________________.16.关于x 的方程()012124=++⋅-+m m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是___________．第二部分三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设集合{}04|2=-=x x A ,(){}0)5(12|22=-+++=a x a x x B ．若{}2=B A ，求实数a 的值．18.（本小题满分12分）计算: ()713392322log 12lg 2lg 2lg 2183377a a a a ÷⋅-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛---19.（本小题满分12分）已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0≤x 时，()1log )(2+-=x x f ）(1)求()()1,0f f 的值；(2)求函数()x f 的解析式；20.（本小题满分12分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为80.1元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为00.3元，每月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为x x 3,5.(1)求y 关于x 的函数关系式;(2)若甲、乙两户该月共交水费4.26元，分别求出甲、乙两户该月的用水量.21.（本小题满分12分）设函数()x x a k a x f ---=1)(()10≠>a a 且 是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值；(2)若)(2)(,23)1(22x f a a x g f x x -+==-,求)(x g 在),1[+∞的最小值．22.（本小题满分12分）已知函数 )21)(log 2(log )(42--=x x x f 且 42≤≤x(1)求该函数的值域；(2)若x m x f 2log )(≥对于任意]4,2[∈x 恒成立，求m 的取值范围．高一期中考试题答案一、 选择题1、B2、D3、A4、B5、D 6、C 7、C 8、D 9、B 10、C 11、A 12、B 二、填空题13、（3，0） 14、 15、3 16、（-1，0）三、解答题17、18、19、（1）（2）20、（1）（2）甲用水量为7.5吨；乙用水量为4.5吨21、（1）k=2 (2)22、（1） （2）。
2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B=．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）函数y=的定义域是．5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4} ．【解答】解：集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．【解答】解：z==，则|z|=．故答案为：．4．（5分）函数y=的定义域是[0，+∞）．【解答】解：函数y=的定义域满足不等式3x﹣1≥0，解出即可得到：x≥0，故答案为：[0，+∞）5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x，双曲线的虚轴长为2，则2b=2，即b=1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，解可得a=2，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为13．【解答】解：实数x，y满足，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，﹣1），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：13．故答案为：13．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为2．【解答】解：∵扇形的圆心角为π，面积为π，∴π=r2×π，解得：r=2．故答案为：2．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．【解答】解：sinα=，且α∈（0，），则cosα==，tanα==，即有tan2α===．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，∴f（2017）=f（1）=f（﹣1），由当x∈[﹣2，0）时，f（x）=（）x，∴f（﹣1）=2，故f（2017）=2，故答案为：2．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=﹣．【解答】解：==（）=+，==﹣+，∴•=（+）•（﹣+）=﹣+﹣．又=9，=4，=3×2×cos60°=3，∴•=﹣3+﹣=﹣．故答案为：﹣．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是[﹣3，3] ．【解答】解：f（x）=|3x﹣1|+ax+2=，函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为{﹣1，3} ．【解答】解：设P（x，y），则PA2=（x+1）2+（y﹣4）2=x2+y2+2x﹣8y+17，PB2=（x﹣2）2+（y﹣1）2=x2+y2﹣4x﹣2y+5，∵PA2+2PB2=24，∴x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∴P点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∵圆C上存在唯一的点P符合题意，∴两圆相切，∴|a﹣1|=2，解得a=﹣1或a=3．故答案为：{﹣1，3}．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．【解答】解：∵M（3，﹣1），N（，﹣2）都在函数f（x）=log的图象上，∴，解得a=1，b=﹣1，∴f（x）=log=log 2=log2（1﹣），∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵f（﹣x）=log2=log2=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，∵=，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴原点O为平行四边形MNPQ的对角线交点．∵=（3，﹣1），=（，﹣2），∴cos＜＞==，∴S=sin＜＞=×=．△OMN∴四边形MNPQ的面积为4S=．△OMN故答案为：．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为﹣14﹣30．【解答】解：由xy+2z=1，可得xy=1﹣2z．∴10=x2+y2+z2≥2xy+z2=z2﹣4z+2，化为：z2﹣4z﹣8≤0，解得2﹣2≤z≤2+2．∴xyz=z（1﹣2z）=﹣2z2+z=﹣2（z﹣）2+，其对称轴为z=，故当z=2+2时，有最小值，最小值为（2+2）（﹣4﹣3）=﹣14﹣30故答案为：﹣14﹣30．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为集合A，由﹣x2+2x+3≥0得：﹣1≤x≤3，即A={x|﹣1≤x≤3}；又函数g（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+（x∈R）的值域为集合B，则B={x|x≥}．所以A∩B={x|≤x≤3}；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，即∀x∈（0，+∞），x2﹣x+1≥kx恒成立，等价于k≤x+﹣1（x＞0）恒成立，因为当x＞0时，x+﹣1≥2﹣1=1（当且仅当x=，即x=1时取“=“），所以实数k的取值范围为：k≤1．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）∵∥，∴﹣cosx=sinx，即tanx=，∵x∈[0，π]，∴x=（2）由函数f（x）=•，即f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x），将f（x）图象上的所有点向左平移个单位，可得y=2sin（x）=﹣2cosx．∴函数g（x）=﹣2cosx，∵x∈[0，π]时，∴﹣1≤cosx≤1，故函数g（x）的值域为[﹣2，2]．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）令y=﹣x2+x+4=0，解得x=﹣2，或x=8，即A（﹣2，0），B（8，0），令x=0，则y=4，即C（0，4）设△ABC的外接圆⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得：故⊙M的方程为（x﹣3）2+y2=25（2）直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，则圆心（3，0）到直线l的距离d==∵直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为﹣1，或经过原点；当直线l斜率为﹣1时，设直线的方程为：x+y+M=0，由d==，解得：M=﹣3+，或M=﹣3﹣，当直线l经过原点时，设直线的方程为：Ax+y=0，由d==，解得：A=±，故直线l的方程为：x+y﹣3+=0，或x+y﹣3﹣=0，或x+2y=0，或x﹣2y=0．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．【解答】解：（1）在△BPC中，由正弦定理得=BC，在△PAB中，由正弦定理得==2AB，又∠PBC+∠PBA=180°，∴sin∠PBC=sin∠PBA，∴=．（2）∵==，∴2sin（60°﹣C）=5sinC，即cosC﹣sinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0＜C＜60°，∴sinC=，∴BC==10，AB=BC=2，∴甲、乙两船的距离为2百米．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：（1）①由题意可得，解得a=，b=1，∴椭圆方程为+y2=1．②F（c，0），A（0，﹣b），∴直线AB的方程为y=﹣b，∵e==，∴b=c，a=b，∴即直线AB方程为y=x﹣b，联立方程组，消元得x2﹣2bx=0，∴x=0或x=2b，∴B点横坐标为2b，∴==1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：x=my+c，由，得（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．，x1+x2=my1+c+my2+c=要使△ABP的重心是坐标原点O，则有∴P（x0，y0）在b2x2+a2y2=a2b2上，得=a2b2，⇒b4m4+（2b2a2﹣4c2b2）m2+a4﹣4a2c2=0，⇒（b2m2+a2）（b2m2+a2﹣4c2）=0，∵⇒b2m2+a2＞0，∴椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，则方程b2m2+a2﹣4c2=0必成立．∴a2﹣4c2≤0，⇒⇒e=，椭圆离心率e的取值范围为[，1）．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）的导数为f′（x）=2+﹣a（2x+1），可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为3﹣3a，由切线与直线y=﹣3x平行，可得3﹣3a=﹣3，解得a=2；（2）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，即为a≤的最大值，令m（x）=，（x＞0），m′（x）=，由1﹣x﹣lnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx﹣1的导数为1+＞0，即x+ln﹣1在x＞0递增，且x=1时，x+lnx﹣1=0，则x=1为m（x）的极值点，当x＞1时，m（x）递减，当0＜x＜1时，m（x）递增，则x=1时，m（x）取得极大值，且为最大值1，则a≤1；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x）=1﹣lnx，q（x）=x3﹣mx+e，则当1﹣lnx≥x3﹣mx+e，h（x）=1﹣lnx；当1﹣lnx＜x3﹣mx+e，h（x）=x3﹣mx+e．①当x∈（0，e）时，p（x）＞0，依题意，h（x）≥p（x）＞0，h（x）无零点；②当x=e时，p（e）=0，q（e）=e3﹣me+e，若q（e）=e3﹣me+e≤0，即m≥e2+1，则e是h（x）的一个零点；若q（e）=e3﹣me+e＞0，即m＜e2+1，则e不是h（x）的零点；③当x∈（e，+∞）时，p（x）＜0，所以此时只需考虑函数q（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为q'（x）=3x2﹣m＞3e2﹣m，所以当m≤3e2时，q'（x）＞0，q（x）在（e，+∞）上单调递增．又q（e）=e3﹣me+e，所以（i）当m≤e2+1时，q（e）≥0，q（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）3e2≥m＞e2+1时，q（e）＜0，又q（2e）=8e3﹣2me+e≥6e3﹣e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；当m＞3e2时，令q'（x）=0，得x=±．由q'（x）＜0，得e＜x＜；由q'（x）＞0，得x＞．所以q（x）在（e，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．因为q（e）=e3﹣me+e＜e3﹣3e3+e＜0，q（m）=m3﹣m2+e＞m2﹣m2+e=e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，m＜e2+1时，h（x）没有零点；m=e2+1时，h（x）有一个零点；m＞e2+1时，h（x）有两个零点．。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
河北定州中学2018届高三(承智班)上-期中考试数学试卷(含答案)
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期中考试试题一、选择题1．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（）A. 有极大值无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值2．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3．已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称4．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5．已知，若，则当取得最小值时，（）A. 2B. 4C. 6D. 86．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）①数列是等差数列；②；③.A. 0B. 1C. 2D. 37．设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A.2 B. 23C. 3D. 18．若函数()f x x =，则函数()12log y f x x =-的零点个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 正方形D. 正六边形 10．已知函数()()2312cos sin 2sin cos 222f x x x πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若8f m π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 3,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. [)1,+∞ D. 2,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.12．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ）A. B. C. D.二、填空题13．已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.14．已知圆22:1O x y +=的弦AB 长为2，若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=u u u v u u u v____；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅u u u v u u u v的取值范围是_____．15．在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令*2log ,n n a A n N =∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2) 2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________．16．已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．三、解答题17．函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.18．已知函数.（1）求在区间上的最值；（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.19．设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为. （1）求； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20．在平面直角坐标系xOy 中， F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， M 是抛物线C 上的任意一点，当M 位于第一象限内时， OFM ∆外接圆的圆心到抛物线C 准线的距离为32. （1）求抛物线C 的方程；（2）过()1,0K -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且[]()2,3KA KB λλ=∈u u u r u u u r，点G 为x 轴上一点，且GA GB =，求点G 的横坐标0x 的取值范围。
南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案
(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。
2017-2018学年度第一学期期中考试数学试卷
2017--2018学年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知ABC ∆中，31sin ,2,3===B AC AB .则=C （ ）。
A.ο30 B.ο60 C.ο30或ο150 D.ο60或ο120 2 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ba 11< Bb a 11> C 2a b > D 22a b > 3.已知数列{}n a 满足*112,10()n n a a a n N +=-+=∈，则此数列的通项n a 等于 ( ).A 21n + .B 1n + .C 1n - .D 3n -4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 0150 5. 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-≤⎩≥≥，，．则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4 Ｂ．11Ｃ．12 Ｄ．14 6. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值是（ ） A 10 B 10- C 14 D 14-7．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为A ．－12B ．－6C ．12D ．68．△ABC 中，cos cos A a B b=，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 9.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是：（ ）A ．4005 B ． 4006 C ．4007 D ．4008 10.在△ABC 中，若3a = 2b sin A , 则B 为（ ）A . 3πB . 6πC . 6π或65πD . 3π或32π 11 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的1份为( )A ．53 B ．56 C ．103 D ．11612.在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12 B ．14 C ．15 D ．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13 不等式24x ≥的解集是 .14.若a >b >c >1，则abc , ab , bc , ac 的从小到大的顺序是15一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．16．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
(完整word版)17-18学年高等代数I期中考试试卷答案
北 京 交 通 大 学2017-2018学年第一学期《高等代数I 》期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一．（本题满分36分，每题3分）请把答案填在空中．1、2n+1级排列2n+1,2n-1,...,5,3,1,2,4,6,...,2n 的逆序数是 n(n+1) 。
2、若 111213212223313233,a a a a a a d a a a = 则 112131132333122232333222a a a a a a a a a ---= 6d 。
3、设ij A 是行列式1230222621033418-中ij a 的代数余子式，则142434448511A A A A +++ 等 于 0 。
4、若方程组123123123112ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩有无穷多解，则a= -2 。
5、矩阵010...00002...00............000 (201500)0 (020*******)...= 2017! 。
6、设,,a b c 为常数，则向量组()()121,2,,1,1,1,,1,a b αα== ()30,1,,0c α=线性相关，当且仅当,,a b c 满足条件0a b c --=。
显然，将其的系数矩阵化简后得到的秩应当小于三，才能说明其线性相关。
7、 若向量组1234,,,αααα的秩为4，则向量组12233441,,,αααααααα++++的秩 为 3 。
将其作为一个线性方程组，展开，观察方程组解的情况8、设1121111122254A a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a = 1 ，b = 1 。
9、设有n 维向量组12s ,,...,ααα，则下面命题正确的是 4 , （1）若s α不能被121,,...,s ααα-线性表示，则12s ,,...,ααα线性无关； （2）若12s ,,...,ααα中任意1s -个向量线性无关，则12s ,,...,ααα线性无关；（3）若12s ,,..,ααα线性无关，则1223s -1s 1,,..,,s αααααααα++++线性无关；（4）若12s ,,...,ααα可由121,,...,s βββ-线性表出，则12s ,,...,ααα线性相关。
吉林省长春市2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(Word版 含答案解析)
2017-2018学年吉林省长春市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（）A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），2．抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=03．圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（）A．（﹣1+cos θ，s in θ ）B．（1+sin θ，cos θ ）C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ）D．（1+2cos θ，2sin θ ）4．已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣95．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．46．将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（）A．B．C．1 D．27．已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切线，则ab的最大值为（）A．B．C．D．8．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（）A．4x+9y﹣13=0B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=09．F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．110．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（）A．1 B．2 C．4 D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是．14．平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为．15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为．16．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是．18．如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．19．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．20．已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足恒成立，求m的取值范围．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．22．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．2017-2018学年吉林省长春市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（）A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据圆的标准方程，即可写出圆心坐标和半径．【解答】解：∵圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=2∴圆的圆心坐标和半径长分别是（2，﹣3），故选D．2．抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．故选：B3．圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（）A．（﹣1+cos θ，sin θ ）B．（1+sin θ，cos θ ）C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ）D．（1+2cos θ，2sin θ ）【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据圆的参数方程进行判断．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2=4，∴（）2+（）2=1，设，则x=1+2cosθ，y=2sinθ，故选D．4．已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣9【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的参数方程消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，再由点M（6，a）在曲线C上，能求出a的值．【解答】解：∵曲线C的参数方程是（t为参数），∴消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，∵点M（6，a）在曲线C上，∴2×36﹣9a+9=0，解得a=9．故选：A．5．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，化为，可得a=1，b=．利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，∴，∴a=1，b=．∵长轴长是短轴长的2倍，∴，解得m=4．故选：D．6．将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：根据题意，双曲线C：x2﹣y2=4的标准方程为：﹣=1，其中a==2，b==2，c==2，则该双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0）、（2，0）、（0，2），则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积S=×（2﹣2）×2=2﹣2；故选：A．7．已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切线，则ab的最大值为（）A．B．C．D．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】根据两圆外切得出（a+b）2=9，再利用基本不等式得出ab的最大值．【解答】解：圆C1的圆心为（a，﹣2），半径为2，圆C2的圆心为（﹣b，﹣2），半径为1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴|a+b|=3，∴a2+b2=9﹣2ab≥2ab，∴ab≤，故选C．8．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（）A．4x+9y﹣13=0B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=0【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：根据题意，设直线方程AB为y=k（x﹣1）+1，设A、B的横坐标分别为x1、x2，且AB的中点坐标为M（1，1），则有（x1+x2）=1，即x1+x2=2，将直线AB的方程代入椭圆方程4x2+9y2=36中，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0，有x1+x2=﹣，设则有﹣=2，解可得k=﹣，则直线AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，变形可得4x+9y﹣13=0；故选：A．9．F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．1【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】画出图形，利用椭圆的简单性质判断M的位置，求解即可．【解答】解：F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，如图：x2+2y2=1，可得a=1，b=，c=，可知OM∥F1P，|F1P|==，则点M到坐标原点O的距离是：．故选：B．10．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质；I9：两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=﹣1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A．12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（）A．1 B．2 C．4 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题设条件推导出PQ=PF2，由双曲线性质推导出PF2﹣PQ=QF2=2a，由中位线定理推导出QF2=2a=2OH=2，由此求解OH．【解答】解：∵F1，F2是双曲线x2﹣y2=1的左右焦点，延长F1H交PF2于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF1，∵P在双曲线上，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2﹣PQ=QF2=2a，∵O是F1F2中点，H是F1Q中点，∴OH是F2F1Q的中位线，∴QF2=2a=2OH，∴a=1，OH=1故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是（x+2）2+y2=4．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=4（a＜0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=﹣2，即可得出所求圆的方程．【解答】解：设圆的圆心为（a，0）（a＜0），由圆的半径为2，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=4，又∵原点O（0，0）在圆上，∴（0﹣a）2+02=4，得a2=4，解得a=﹣2（舍正）由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4．故答案为：（x+2）2+y2=414．平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为[3，5] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意有AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．【解答】解：根据题意，|AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹是以A，B为焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5；故答案为：[3，5]15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出双曲线的左焦点坐标，再利用抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，可得=6，借助于c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得=2，故其准线方程为x=﹣2，∵抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，∴c=2．∵抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，∴=6，∵c2=a2+b2，∴a=1，b=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．16．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先由抛物线的定义p的意义可求出a，根据C上的两点A（x1，y1），B （x2，y2）关于直线y=x+m对称可设出直线AB的方程，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可得出直线AB的方程，再根据线段AB 关于直线y=x+m对称性即可求出m的值．【解答】解：∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，∴，解得a=2．∴抛物线C的方程为：y=2x2（a＞0）．∵抛物线C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，∴可设直线AB的方程为y=﹣x+t．联立，消去y得2x2+x﹣t=0，∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．据根与系数的关系得，，，由已知，∴t=1．于是直线AB的方程为y=﹣x+1，设线段AB的中点为M（x M，y M），则=，∴y M==．把M代入直线y=x+m得，解得m=．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，由抛物线标准方程的形式分析可得答案；（2）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，由抛物线标准方程的形式分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的焦点是F（3，0）；则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，设抛物线的方程为y2=2px则抛物线的方程为：y2=12x；（2）根据题意，抛物线的准线方程是，则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，设抛物线的方程为y2=2px则抛物线的方程为：y2=x．18．如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由已知得p=4．即可得抛物线的方程；（2）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4，设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，由抛物线的定义可得|AD|=x1+x2+p．可得|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵圆（x﹣2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴=2即p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；（2）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4，设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．则|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6．19．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）首先利用圆的一般式与标准式的互化得出m的取值范围．（2）利用直线与圆的位置关系，进一步转化成一元二次方程，进一步根据根和系数的关系利用直线垂直的充要条件求出m的值．【解答】解：（1）曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，则5﹣m＞0，解得：m＜5．（2）直线x+2y﹣4=0与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0的交点为M（x1，y1）N（x2，y2）．则：，整理得：5y2﹣16y+8+m=0，则：，，且OM⊥ON（O为坐标原点），则：x1x2+y1y2=0，x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，则（4﹣2y1）（4﹣2y2）+y1y2=0．解得：m=，故m的值为．20．已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足恒成立，求m的取值范围．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J1：圆的标准方程．【分析】（1）根据圆心在3x﹣y=0上，设出圆心C坐标以及半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到x﹣y=0的距离d，由弦长与半径，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心与半径，写出圆C的方程即可．（2）由题知，m≥（x+y）max．利用圆的参数方程，结合辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆心为（3t，t），t＞0，半径为r=3t，则圆心到直线y=x的距离d==t，而（）2=r2﹣d2，∴9t2﹣2t2=7，∴t=1，∴圆心在第一象限的圆是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）由题知，m≥（x+y）max．设x=3+3cosθ，y=1+3sinθ，则x+y=（3+3cosθ）+（1+3sinθ）=6sin（θ+）+1+3∴sin（θ+）=1时，（x+y）max=7+3∴m≥7+3．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，列出方程组，求出a=2，c=1，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）联立方程组，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能证明2m2=4k2+3．（3）由弦长公式和韦达定理，得|AB|=2•=，由此能求出当k=0时，|AB|取最大值2．【解答】解：（1）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，∴，解得a=2，c=1，b=，∴椭圆E的方程为证明：（2）联立方程组，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=﹣+m2=，∵直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣，∴k OA•k OB=====﹣．∴2m2=4k2+3．解：（3）由（2）和弦长公式和韦达定理，得：|AB|=•=2•=，由判别式△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，得k∈R，当k=0时，|AB|取最大值2．22．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|==，解得a=2．（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，==，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，又x1x2==，则=﹣，解得a=5．所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．。
精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：。
2017-2018高等数学A(1) A卷 答案
2017/2018学年第一学期 高等数学A1课程考核试卷 A ■、B□参考答案一、填空题或选择填空题 (每小题 3分，满分15分) 1. 当0x →1−与是等价无穷小，则ax 12a=；(等价无穷小112x −∼) 2. 设，则(1)1f ′=0(1)(1)lim2x f x f x x→+−−=；(导数定义 00(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2x x f x f x f x f f x f f x x x →→+−−+−−−⎡⎤′=+=⎢⎥−⎣⎦=0) 3. 若函数由确定，则()y y x =e e xyx y +−=0d d x y x==；(微分形式：0d (0x y y =′=)d x xyy x y y )(隐函数求导：当时，，0x =0y =e e 0′′++−=，则e e x y y+′=，进而)(0)1y ′=y x−4. 设函数3()f x x =−x ，则在内(0,1)B()A 存在ξ，使得()2f ξ′=− ()B 存在ξ，使得()0f ξ′= ()C 存在ξ，使得()2f ξ′= (存在)D ξ，使得()3f ξ′=；(罗尔定理：()f x 在[0上连续，在(0内可导，,1],1)(0)(1)f f =，由罗尔定理知，(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ′=) 5. 若()f x 满足201()()d 11xf x f t t x =++∫，则C()A (0)0f ′= ()B (0)1f ′= ()C (0)2f ′= 无法确定()D (0)f ′的值.(导数定义结合洛必达法则和积分上限函数求导：(0)1f =，00022000()(0)(0)lim lim li 1()d ()d m lim 22(0)2(1)2121()x x x xx x f t t f t t f x f f f x f x x x x x x →→→→−′=====+++∫∫=)二、计算下列各题（每小题6分，共48分）1. 10(1)e limxx x x →+−； (0洛必达法则或者等价无穷小)解：(洛必达法则结合幂指函数求导)11ln(1)ln(1)20000(1)ln(1)(1)e 1lim lim lim e lim e 1x x x x x x x x x x x x x x x x x ++→→→→′⎡⎤+⎢⎥−+′⎡⎤+−⎣⎦+===⋅⎢⎥⎣⎦ln(1)22000(1)ln(1)ln(1)elim elime lim e lim (1)23232x xx x x x x x x x x x x x x x x +→→→→−++−+−−=⋅=⋅=⋅=+++2.(等价无穷小结合洛必达法则) 1ln(1)ln(1)1200000ln(1)1(1)e eee(e1)ln(1)limlimlimelim elim x x x xxx x x x x x x x x x xxxx++−→→→→→x +−+−−−+−==== 0011e 1elimelim 22(1)x x x x x x x →→−−+==+2=−. 2. 设33cos ,sin ,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求22π4d d x y x =； (参数方程求导)解：2d 3cos sin d x t t =−t , 2d 3sin cos d y t t t =, 22d 3sin cos tan d 3cos sin y t t t x t t==−−， 22224d 3cos si sec 1d 3o n c n t t y ts si t t −==−, 22π4d d 3x y x==. x3.∫； (三角换元)解：令tan x t =，则2d sec d x t t =2csc d ln |csc cot |ln t t t t C C ==−+=∫+； 4.2(2+3)d 25x xx x ++∫；(分母二次的有理函数----凑微分)解：222222(2+3)d (25)+1d d(25)1d(1)252525(1)4x x x x x x x x x x x x x x x ′++++==+++++++++∫∫∫∫+ 211ln (25)arc tan 22x x x C +=++++； 5.e 1eln d x x ∫； (去绝对值，分部积分)解：[][]e 1e1e11111ee e2ln d (ln )d ln d ln ln 2e x x x x x x x x x x x x =−+=−−+−=−∫∫∫；6.1x +∞∫；(反常积分，倒代换)解：令1x t =，则21d d x t t =−，111211002(1)x t t t −+∞⎡⎤===−+=⎢⎥⎣⎦∫∫∫2；7. 求微分方程满足，2()0y y y ′′′−=(0)1y =(0)2y ′=的解； (可降阶微分方程) 解：令d d y p x =，则d d p y py ′′=，代入方程得2d 0d p y p p y −=，从而d 0d py p y−=，(舍) 0p = 分离变量得d d p yp y=，两边积分得 1ln ||ln ||ln ||p y C =+，则1p C y = 由，(0)1y =(0)2y ′=得，则12C =d 2d yy x=，分离变量的d 2d y x y =， 两边积分得2ln ||2ln ||y x C =+，即22e xy C =，由(0)1y =得21C =，故2e xy =；8. 求函数的极值.2(1)y x x =−3)解：，(,D =−∞+∞32222(1)3(1)(1)(52)y x x x x x x x ′=−+−=−−当，0x =2x =，1x =时， 0y ′= 故极小值为()53125y =−(0)0y =.，极大值为 三、(8分) 设0α>，讨论函数1sin ,0(),x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性.解：因0α>，则01lim sin0x x xα→=，(0)f β= 当0β=时，，0lim ()(0)0x f x f →==100()(0)1(0)limlim sin x x f x f f x x xα−→→−′== 当1α>时，；当(0)0f ′=01α<≤时，(0)f ′不存在. 故当0α>，0β≠时，()f x 在0x =处不连续且不可导. 当01α<≤，0β=时，()f x 在0x =处连续但不可导.当1α>，0β=时，()f x 在处连续且可导.0x = 四、(8分) 求由曲线y x =，及ln y x =0y =，1y =围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.为积分变量)：面积121003(e )d e e 22yy y A y y ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦∫ y 解：(选择 体积131004π2π(e )d 2πe e 33y y yx y V y y y y ⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫； 为积分变量): 面积[]121ee10103d (1ln )d ln e 22x A x x x x x x x x ⎡⎤=+−=+−+=−⎢⎥⎣⎦∫∫x (选择 体积131ee 22221014ππd π(1ln )d ππln 2ln 233x x V x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+−=+−+−=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫. 五、(7分) 求微分方程369e xy y y ′′′−+=的通解.解: 特征方程: 特征根 269r r −+=0123r r ==，对应齐次方程通解 312()e x Y C C x =+ 因3λ=是特征重根 设非齐次方程特解为23*e xy ax =， 代入方程得12a =故所求通解23312*()e e 2xxx y Y y C C x =+=++.六、(6分) 设()f x 是[0上单调递减连续函数，证明：对于任意,1](0,1)a ∈，成立不等式1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫.证明: 令0()d ()a f x x g a a=∫， (构造函数，利用单调性证明) (a 为自变量)0a <<1 则02()()d ()af a a f x xg a a⋅−′=∫，由积分中值定理知，()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，0a ξ<<从而()()()f a f g a aξ−′=，因()f x 在[0上单调减少，则,1]()()f a f ξ≤，进而，故在(0上单调减少，，()0g a ′≤()g a ,1)10()(1)()d g a g f x x ≥=∫即1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.(另法) 令 (为了利用单调性，分割区间)100()()d ()d a g a f x x a f x x =−∫∫ 则11()()d (()d ()d )(1)()d ()d aa a aag a f x x a f x x f x x a f x x a f x x =−+=−−∫∫∫∫∫ 由积分中值定理知，10()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，01a <，12()d ()(1)af x x f a ξ=⋅−∫，a 21<<<ξξ 从而12()(1)()(1)()g a a a f a a f ξξ=−⋅⋅−−⋅⋅因()f x 在[0上单调减少，,1]1201a ξξ<<<<，则12()()f f ξξ≥故，即()0g a ≥1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.七、(8分) 设()f x ，在[,上具有二阶导数，()g x ]a b ()()f a g a =，()()f b g b =，()()f x g x ≠，且在内(,)a b ()f x 与取得相等的最大值.()g x 证明：(1) 存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=；(2) 存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη′′′′=. 证明：(1) 若()f x 与均在()g x 0x 点取得相等的最大值，即00()()f x g x =，取0(,)x a b ξ=∈即可 若()f x 与分别在点()g x 1x 与点2x 取得最大值，即12()()f x g x M ==，不妨设12x x <令，则在()()()F x f x g x =−()F x 12[,]x x 上连续，且1111()()()()0F x f x g x M g x =−=−>， 2222()()()()0F x f x g x f x M =−=−<由零点定理知，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得()0F ξ=，即()()f g ξξ=.(2) 因()()f a g a =，()()f g ξξ=，()()f b g b =，则()()()0F a F F b ξ===()F x 在[,]a ξ，[,]b ξ上连续，在(,)a ξ，(,)b ξ内可导， ()()()0F a F F b ξ===由罗尔定理知，1(,)a ξξ∃∈，2(,)b ξξ∈，使得1()0F ξ′=，2()0F ξ′=()F x ′在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导， 12()()F F ξξ′′=由罗尔定理知，12(,)(,)a b ηξξ∃∈⊂，使得()0F η′′=，即()()f g ηη′′′′=.。
辽宁省沈阳市交联体2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题扫描版含答案
2017——2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高一试题数学答案1——6 ACBCBD 7——12DBCBDA13. 614. 115.16.①③17解(1)-----------------------------3分(2)当x<0时-x>0为偶函数------------------------------6分-------------------------------8分（3）最小值为由（1）问图像可知函数y＝f(x) 与函数y＝m的图象有四个交点时------------------------------- 12分18.解：(1)令则-------------------------------2分令所以为奇函数。
-------------------------------------------5分（2.）-------------------------7分当时，-2<0恒成立------------------------------8分当-------------------10分综上，--------------------------------------12分19（1）解：的定义域为R------------------2分为奇函数---------------------4分(2)为R内增函数------------------------5分证明：---------------------------------8分(3)由得因为为奇函数因为为增函数不等式的解集为------------------------------12分20（1）--------------------1分若f(x)＝则解得-----------------------------5分（2）若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立-----------------8分------------------12分21(1)若函数在上具有单调性--------------------------------5分（2）若在区间上，函数的图象恒在图象上方则则---------------7分当，，此时-------------------8分当，，此时---------------9分当，，此时----------------------10分综上----------------------------12分22（1）令，-----------------------5分(2)A∪（∁R B）⊆C----------------------10分。
河南省某重点高中2017-2018学年高二数学上学期期中试卷文及答案【word版】.doc
2017-2018学年上期高二期中考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 中，角的对边分别为，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在△ABC中，，∴则，∴由正弦定理可得：故选C2. 等比数列中，若，，则（）A. 64B. -64C. 32D. -32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．3. 已知等差数列中，公差，，，则（）A. 5或7B. 3或5C. 7或-1D. 3或-1【答案】D【解析】在等差数列中，公差，，，得，解得或．故选D．4. 中，，，,则（）A. 15B. 9C. -15D. -9【答案】B【解析】中，，，则，如图所示；故选B．5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A. 5B. 6C. 7D. 12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（）A. -4B. -3C. -2D. -1【答案】A【解析】在等差数列中，由，得，得，∵公差为整数，．故选A．7. 已知中，角的对边分别为，已知，，，则此三角形（）A. 有一解B. 有两解C. 无解D. 不确定【解析】由正弦定理有，所以，而，所以角A的值不存在，此三角形无解。
选C.8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由，可得，正弦定理，可得a即当时，的形状是等腰三角形，当时，即，那么，的形状是直角三角形．故选C．【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．解题的关键是得到一定要注意分类讨论．9. 中，角的对边分别为，已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为三角形内角和为，所以,由正弦定理的推论有，选A.10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.11. 已知构成各项均为正数的等比数列，且公比，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，这4项分别为，若去掉第一项，则构成等差数列，，解得（舍去），或（舍去），；若去掉第二项，则构成等差数列，，解得（舍去），或（舍去），或；若去掉第三项，则构成等差数列，，解得，或（舍去），或（舍去）；若去掉第四项，则构成等差数列，，解得（舍去），所以满足题意的，选D.点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论思想，属于基础题。
2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(20201014103506)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为A∪B={x|x≤０或x≥1}，所以，故选 D.考点：集合的运算.2. 已知，则为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】3. 已知集合，集合为整数集，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：，所以，故选 D. 考点：集合的交集运算.视频4. 已知，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，设，则，所以，因为，所以，解得，故选 B.5. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A..................考点：函数零点点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．6. 定义在上的函数满足，，等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】因为，，所以令，得，所以，再令，得，所以，故选 A.7. 与函数的定义域相同的函数是（）A. B. ． C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为，A中定义域为；B中定义域为R；C中定义域为；D中定义域为；故选 C.8. 设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A9. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是偶函数，递增区间是B. 是偶函数，递减区间是C. 是奇函数，递减区间是D. 是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】由函数可得，函数的定义域为，且，故函数为奇函数，函数，如图所示，所以函数的递减区间为，故选 C.10. 幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设幂函数的解析式，则，解得，所以，所以他的单调递增区间是，故选 C.11. 函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝a x(x＜0)的图象关于x 轴对称，函数递增．故选:D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12. 设，，且，则下列关系中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，由图象可知，要使且成立，则有且，故必有且，又，即为，所以，故选 D.点睛：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，着重考查了指数函数单调性确定参数的取值范围，由于本题条件较多，且函数单调性相对比较复杂，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧是常用的一种判定函数单调性的一种方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设全集，，，则__________．【答案】{7,9}【解析】因为全集，所以，所以.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】试题分析：由得，所以，解得，故答案为.考点：指数方程；对数方程.15. 已知函数是定义在上的奇函数且，当时，，则__________．【答案】-3【解析】因为，所以函数的周期为，因为是定义在上奇函数，所以，则，所以，令，则，即，又函数为奇函数，所以，所以.点睛：本题主要考查了函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的转化，函数的赋值法，以及周期性的性质等知识点的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据函数的奇偶性和周期性的性质将条件转化是解答的关键.16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．【答案】或【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=当x≥０时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.求：（1）集合；（2）集合、.【答案】(1) ；或；（2）；或. 【解析】试题分析：（1）对数的真数大于求出集合，开偶次方的被开方非负，求出集合；（2）直接利用集合的运算求出集合.试题解析：（1）；或.（2）；或.18. 已知函数，，（为正常数），当时，函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）在上单调递增；在上单调递增.【解析】试题分析：（1）由已知中函数与的图象在轴上的截距相等，结合函数，，可以构造关于的方程，解方程可以求出的值；（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，利用零点分段法，可以将其转化为分段函数的形式，再由二次函数的性质，即可分析函数的单调递增区间.试题解析：（1）由题意，，又，所以.（2）.当时，，在上单调递增；当时，，它在上单调递增.19. 已知函数.（1）用定义证明：函数在区间上是减函数；（2）若函数是偶函数，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）－2.【解析】试题分析：（Ⅰ）设，计算的结果等于，可得，从而判断函数在区间上是减函数；（Ⅱ）因为函数，是偶函数，从而得到，由此求得的值.试题解析：（Ⅰ）设,且,所以=因为，所以<0，-2<0.所以>0.即.所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数.（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx，所以g（x）=-2x-2-mx=-（2+m）x-2.又因为g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）.所以-（2+m）（-x）-2=-（2+m）x-2. 所以2（2+m）x=0.因为x是任意实数，所以2+m=0.所以m=-2.点睛：本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，其具体步骤为：1、取值；2、作差；3、化简；4、判断，得结论.其关键步骤是化简中的因式分解，将最后的结果和0比较；考查了函数奇偶性的性质，若函数为偶函数，则对定义域内任意均有恒成立，代入后根据对应系数相等可得结果.20. 和盛机械生产厂每生产某产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（注：利润=销售收入－总成本）；（2）试问该工厂生产多少台产品时，可使盈利最多?【答案】（1）；（2）当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 3.6 万元．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据利润=销售收入-总成本，可得利润函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函数解析式，分段求最值，即可得出结论试题解析：(Ⅰ)由题意得∴．……………………6 分(Ⅱ)当时，∵函数递减，∴<=（万元）．当时，函数当时，有最大值为（万元）．∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为万元．……………………12 分考点：根据实际问题选择函数类型21. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）直接写出函数，的增区间；（2）写出函数，的解析式；（3）若函数，，求函数的最小值.【答案】（1）在区间，上单调递增；（2）；（3）的最小值为.【解析】试题分析：（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增函数；（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答.试题解析：（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.∵函数是定义在上的偶函数，且当时，.∴，∴.（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小；当时，为最小.综上，有：的最小值为.点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.22. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】试题分析：（1）利用已知条件，将代入，解不等式，求出的取值范围；（2）首先分情况进行讨论，利用仅有一解，即和的两种情况进行讨论；（3）利用函数的单调性，最大值和最小值，将不等式进行转换和化简从而求出的取值范围.试题解析：（1）由得解得（2）方程的解集中恰有一个元素.等价于仅有一解，等价于仅有一解，当时，，符合题意；当时，，解得综上：或（3）当时，，，所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为，.即，对任意成立.因为，所以函数在区间上单调递增，所以时，有最小值，由，得.故的取值范围为.考点：函数与不等式综合.。
部分重点中学2017-2018学年度上学期期中联考高一数学试题(解析版)含解斩
湖北省部分重点中学2017—2018学年度上学期期中联考高一数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集,，，则图中阴影部分所表示的集合为(）A。
B。
C。
D.【答案】C【解析】图中阴影部分所表示的集合为,全集，，所以，，故选C。
2。
下列四组函数中，表示同一函数的是（)A. 与B. 与C. 与D。
与【答案】D【解析】在选项中,前者的属于非负数,后者的，两个函数的值域不同；在选项中,前者的定义域为,后者为或，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同；在选项中，定义域是的定义域为，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D。
3。
函数的定义域为(）A。
B. C. D.【答案】B【解析】要使函数有意义，则，则，故函数的定义域是,故选B.4. 下列函数中为偶函数且在上单调递减的函数是（）A. B. C. D。
【答案】B【解析】项,定义域为，不是偶函数，故项错误;项，定义域为，，是偶函数，由反比例函数性质可得，在上单调递减，故项正确；项，在递增，故项错误；项,原函数是奇函数，故错误,故选B.5。
函数的单调递增区间是（）A。
B。
C。
D.【答案】A【解析】函数的定义域为，设，根据复合函数的性质可得函数的单调增区间即的单调减区间，的单调减区间为，函数的单调递增区间是，故选A.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减"的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）。
6。
已知函数，，则函数的值域为（)A. B. C. D。
【答案】B【解析】设，时，,时，，的值域为，故选B.7. 已知,则不等式的解集为（）A. B。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
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2017-2018学年第一学期北京科技大学
微积分AI 期中考试试题答案
一、填空题（本题共40分，每小题4分）
1、14x ≤≤. 2.不能. 3. ()2,10,11,01
1,1
x x x f x x x
x ⎧>⎪=⎪⎪=⎨-<<⎪⎪=-⎪⎩. 4.0. 5.5021225250cos 2sin 2sin 22x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 6. 9
4. 7.12
8.()250! 9.2e - 10.2π
二、单项选择题（本题共40分，每小题4分）
(1).D. (2) .B (3).C. (4) .A. (5) .D.
(6).B (7).C (8) .B (9) . A. (10) .D.
三、解答题（共14分，每小题7分）
1、1、设()1sin ,00,0
x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试确定α的取值范围，使得()f x 分别满足：（1）在0x =处右连续；（2）在0x =处右导数存在；（3）导函数()f x '在0x =处右连续.
解：（1）要使()f x 在0x =处右连续，则必须()()++001lim lim sin 00→→===x x f x x f x
α，所以0α> 2分 （2）要使()f x 在0x =处右导数存在，则必须()()++10001lim lim sin -→→-=x x f x f x x x
α存在，所以1α> 2分 （3）当0x ≠时，()1211sin cos f x x x x x
ααα--'=- -------- 1分 要使()f x '在0x =处右连续，则必须()f x 在0x =处右导数存在，由（2）得1α>，并且
()()++12+001100lim lim sin cos --→→⎛⎫''===- ⎪⎝⎭
x x f f x x x x x ααα，所以2α>. -------- 2分
2、利用泰勒展开式求极限()30e sin 1lim x x x x x x →-+
解：由于分母为3x ，因此，先求分子的3阶麦克劳林展开式，
()2233211sin 11()()26x e x x x x x o x x x o x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
331()3x o x =+ --------4分 所以，()3333001()sin 113lim lim 3x
x x x o x e x x x x x →→+-+== -------- 3分
四、证明题（6分）以下两题，任选一题
1、设函数()f x 在[]0,1上有界，且对10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，有()()22f x f x =. 证明：（1）()00f =；（2）()0lim 0x f x +→=. 证明：（1）将0x =带入()()22f x f x =得()()020f f =，所以()00f =. -------- 3分 （2）当10,
2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()()22n n f x f x =，可记()[],0,1f x M x ≤∈，于是， 当10,2n x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()()1222
n n n M f x f x =≤，所以()0lim 0x f x +→=. -------- 3分 2、设()f x 在[0,]a 上存在三阶导数，且()()00f f a ==，设()()3F x x f x =.证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'''=
证明：由所给条件知，()F x 在[0,]a 上满足罗尔定理条件，
所以，存在1(0,)a ξ∈，使得1()0F ξ'=， -------- 1分 由于()()()233F x x f x x f x ''=+，()00F '=.所以，()F x '在1[0,]ξ上满足罗尔定理条件，因此，存在21(0,)ξξ∈，使得2()0F ξ''=， -------- 2分 再由()()()()()()()()2232363366F x xf x x f x x f x x f x xf x x f x x f x '''''''''=+++=++， 得()00F ''=,所以，()F x ''在2[0,]ξ上满足罗尔定理条件，因此，存在2(0,)(0,)a ξξ∈⊂，使得()0F ξ'''=. -------- 3分。