高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间角的计算1学案无答案苏教版选修

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2018年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算课件7苏教版选修2_1

15 因此, BE1与DF1所成角的余弦值是 . 17
探究1： Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
BC CA CC1，取A1B1、AC 的中点D1、F1， 1 1
C1
C
B1
D1
A1
|
cos n, AB
AB n
|
AB n
例2：在正方体ABCD-A1 B1C1 D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上， 1 且D1E1 D1C1，试求直线E1F 与平面D1 AC所成角的大小。 4
D1 E1 C1
A1
B1
D F A B
C
题型二：线面角探究二：在长方体 ABCD A AB= 5，AD 8, 1B 1C1D 1 中，
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角.
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),
z
N
D1
AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),
A
B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz z 如图所示，设 CC1 1 则： C
A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
题型一：线线角
例1 如图3.1 17, 在正方形 ABCD A1 B1C1 D1 中, E1 , F1分别是A1 B1 , C1 D1的一个四等分点, 求 BE1 与DF1 所成角的余弦值. 分析 BE1与DF1所成的角

江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质知识、方法要求学习建议空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．AB C OM N G 和计算方法及运算律．(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==u u u r u u u r u u u r u u u r 且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b c ++r r r 的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ；⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=r r r ，则()a b c ⋅r r r 的值= ____________；⑨1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角是____________；⑩已知,a b r r 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+r r r r r r r 则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OG u u u r ．解：23OG OM MG OM MN =+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴313161++=点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===．例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系z y x ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面?解：由z y x ++=可以得到z y +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：y x +=，或对空间任意一点O 有：y x ++=．例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点，求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 20EF BA CD =++=u u u r u u u r u u u r r 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE uuu r 、OF u u u r ， ∵1()2OE OA OD =+u u u r u u u r u u u r ，1()2OF OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．点评：若表示向量1a u r ，2a u u r ，…，n a u u r 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=u r u u r u u r r L ．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．分析：OA 与BC 的夹角即为OA u u u r 与BC uuu r 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，OA 与BC的夹角的余弦值为35-．点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ．例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u u r u u u r 来求面积解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r ，∴||3AB ==u u u r，||AC ==u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r ，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<>=u u u r u u u r ，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r 例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC u u u r u u u r ，//DC AB u u u r u u u r ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---u u u r ，(1,0,2)AC =-u u u r ，∵//DB AC u u u r u u u r ，∴DB AC λ=u u u r u u u r ，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，又∵//DC AB u u u r u u u r ，∴设DC u AB =u u u r u u u r ，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-r ，则与a r 平行的单位向量的坐标为．(3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=r r ，则||a b -r r 的最小值是．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-r r r ，若c ma nb =+r r r ，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； (2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； (3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a r ，→---AD =b r ，→---1AA =c r ，E 、F 分别是AD 1、BD 中点，试用a r 、b r 、c r 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ． 3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i r ，→--OB =j r ，→--OC =k r ，→--OP =a r ，→--OQ =b r ，→--OS =c r ，设→z =λa r ＋μb r ＋γc r ，则→z = i r ＋ j r ＋ k r ． 4．设a r 、b r 、c r 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--u r r r r r r u r r r r ，判断m u r 、n r 、p u r 是否共面． 5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c r r r 表示MN u u u u r ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试证：点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上． 8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-r r ，若9,4a c b c ⋅=⋅=-r r r r ，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a r 、b r 、c r 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+r r r ； (2)()()23a b b c -⋅+r r r r ； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-r r r r r r ．10．已知直角坐标系内的a r 、b r 、c r 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===r r r ； (2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--r r r ．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==r r r r r r 为,b c r r 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--r rB CD M G A(1)求a r 与b r 夹角余弦值的大小； (2)若c =r c r 分别与,a b r r 垂直，求c r ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长．14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高． 15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==u u u r u u u r ，都与()1,1,1OC =u u u r 成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙，是一个空间概念．它包括行星，星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念．现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇，古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天．这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞，＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p 都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3，．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间。

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2

§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：的法向量分别为μ，v，则设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量．解由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)．反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)．证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________．答案平行解析设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设存在满足题意的点E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)．答案 ③解析显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)．答案 ④解析由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________．答案 x －3y －z ＋4＝0解析由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)．又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________．答案－8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________．答案 12解析因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________．答案 ±2解析易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________．答案 4解析因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线，所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________．答案－1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________.答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案－3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z. ∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行，∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________.答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5.二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)，所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；(2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )，当z ＝12时，AP →＝BQ →，即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算课件苏教版选修21

∴A→E·B→F＝－2＋1＝－1.
∵|A→E|＝ 2，|B→F|＝3，
∴cos〈A→E，B→F〉＝|AA→→EE|·|BB→→FF|＝3－12＝－
2 6.
所以异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值为
2 6.
【答案】
2 (1)90° (2) 6
第十七页，共50页。
1．利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．
【自主解答】 (1)法一：A→1N＝12C→1C－C→1A1， A→M＝A→B＋B→M＝C→1B1－C→1A1－12C→1C， ∴A→1N·A→M＝12C→1C－C→1A1·C→1B1－C→1A1－12C→1C＝－14×16＋4＝0，∴A→1N⊥ A→M，即异面直线 AM 与 A1N 所成的角为 90°.
第十二页，共50页。
法二：如图所示，建立空间直角坐标系：
则 A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)， ∴A→1N＝(－2,0,2)，A→M＝(－2,2，－2)， ∴A→1N·A→M＝4＋0－4＝0，即A→1N⊥A→M，故异面直线 A1N 与 AM 所成的角为 90°.
2．向量法求异面直线所成角的步骤 (1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)； (2)求〈a，b〉； (3)利用 cos θ＝|cos〈a，b〉|，求 θ.
第十八页，共50页。
[再练一题] 1．如图 3-2-21 所示，三棱柱 OAB-O1A1B1 中，平面 OBB1O1⊥平面 OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且 OB ＝OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小．【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， ∴A→1B＝O→B－O→A1 ＝(－ 3，1，－ 3)，

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→，而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )．而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ，则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→，而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)，则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)．答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________．解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ，则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)．所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)．设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

2021年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算课件5苏教版选修2_1

即所求二面角得余弦值是6 3
点拨：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲〞。
〔1〕建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；〔化为向量问题〕
〔2〕通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
简解：（ 2 ）求 A D 与平面 A N M 所成的 z 角 .
A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0), M(5,2,4)
AM(5,2,4),
A1
N
B1
M
A
D1
C1
Dy
A1D(0,8,4),
B
C
AM•A1D＝ 0A1DAM. x
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
其中 A B l,A B ,C D l,C D
B
CA l
D
coscos AB,CDABCD
ABCD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l 〔库底与水坝的交线〕的距离AC和BD分别为
a和 b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
SA平面 ABCD,SAABBC1,AD1 2,求面 zSCD 与面 SBA
所成二面角的余弦值 . 解：建立空直角坐系 A -x y z 如所示 , S
A (0,0,0), C (-1,1,0), D (0,1 , 0 ),
2
S (0, 0,1)
B
C
易知面 S B A 的法向量 n 1 A D (0 ,1 ,0 )

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算讲义苏教版选修2-1-苏教版高二选

3.2.3 空间的角的计算学习目标核心素养1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的X 围．(易错点)1.通过求平面的法向量，培养数学运算素养．2.借助空间角的求解，提升逻辑推理素养.空间角的向量求法(1)两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)直线和平面所成角的向量求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，a 与n 的夹角为θ1，l 与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos_θ1|＝|a·n ||a ||n |.(1) (2)(3)二面角的向量求法设二面角αl β的大小为θ，α，β的法向量分别为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，θ取锐角还是钝角由图形确定．思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示] (1)设n 为平面α的一个法向量，a 为直线a 的方向向量，直线a 与平面α所成的角为θ，则θ＝⎩⎪⎨⎪⎧π2－〈a ，n 〉，〈a ，n 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，〈a ，n 〉－π2，〈a ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.(2)条件平面α，β的法向量分别为u ，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，υ〉＝φ，图形关系 θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ1．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32，∴θ＝60°，应选B.] 2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角为________．30° [由题意得，直线l 与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.]3．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为________．510[如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，C 1(1,1,3)．∴AC →＝(1,1,0)，BC 1→＝(0,1,3)， cos 〈AC →，BC 1→〉＝AC →·BC 1→|AC →||BC 1→|＝(1，1，0)·(0，1，3)2×10＝120＝510.综上，异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为510.] 4．已知二面角αl β，α的法向量为n ＝(1,2，－1)，β的法向量为m ＝(1，－3,1)，若二面角αl β为锐角，则其余弦值为________．6611 [cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m |＝1－6－16·11＝－6611. 又因二面角为锐角，所以余弦值为6611.]求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OAB O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)，∴A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)．∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →|·|O 1A →|＝|－3－1＋3|7·7＝17. ∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．2．由于两异面直线夹角θ的X 围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，而两向量夹角α的X 围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．1．已知四棱锥S ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23 C.33D.23C [依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S ABCD 的棱长为2，则A (0，－1,0)，B (1,0,0)，S (0,0,1)，D (－1,0,0)， ∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，SD →＝(－1,0，－1)，∴cos 〈AE →，SD →〉＝－162·2＝－33，故异面直线所成角的余弦值为33.故选C.]求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．[思路探究] (1)线面平行的判定定理⇒MN ∥平面PAB .(2)利用空间向量计算平面PMN 与AN 方向向量的夹角⇒直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．[解] (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)如图，取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz . 由题意知P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2， PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：2.如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 如图，建立空间直角坐标系O xyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0，0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.求二面角[探究问题]1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于π2，还是小于π2.法二：在二面角所含的区域内取一点P ，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P ，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值．[思路探究] (1)先证线面垂直，再证面面垂直； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．[解] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面PAD .因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F xyz .由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，0，所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝－23×2＝－33.所以二面角A PB C 的余弦值为－33.利用向量法求二面角的步骤1．建立空间直角坐标系；2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； 3．求两个法向量的夹角；4．判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 5．确定二面角的大小．3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．[解] (1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP . 又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.故所求的角为60°.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量n 1，n 2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.( )(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.23B.33C.23D.63B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，∴AD 1→＝(－1,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－x ＋y ＝0，令x ＝1，∴n ＝(1,1,1)，又∵BB 1→＝(0,0,1)，∴BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BB1→|n ||BB 1→|＝33.]3．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．27[AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝23，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)，cos 〈n ，OC →〉＝n ·OC→|n |·|OC →|＝2×0＋1×0＋23×322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×02＋02＋32＝27.] 4.如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．[解] 以点B 为原点，BA ，BC ，BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)，∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)，BA →＝(2,0,0)．设平面BDF 的一个法向量为n ＝(2，a ，b )．∵n ⊥DF →，n ⊥BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2a ＝0，2a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－2，∴n ＝(2,1，－2)．又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝BA →·n |BA →|·|n |＝42×3＝23，即AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.。

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2.3 空间角的计算(1)学案(无答案)苏教版选修2-1

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3.2.3空间角的计算⑴【学习目标】能用向量方法解决线线,线面,面面的夹角的计算问题．【学习重点】空间线线，线面，面面的夹角的计算用．【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式．【学习过程】一．知识要点立体几何中角的计算是建立在弄清概念，恰当作图,严格论证的基础上的．空间的角有三种：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．在学习了空间向量之后，我们可以用一种统一的模式来求以上各角．1．异面直线所成的角设l1 与l2 为异面直线，错误!与错误!分别为l1 与l2的方向向量，设l1 与l2所成的角为θ，则有错误!．2．直线和平面所成的角设错误!为直线l 的方向向量，错误!为平面α的法向量，θ为l 与平面α 所成的角，则有错误!,即错误!．3．平面与平面所成的角设二面角α −l −β的两个半平面α,β的法向量分别是错误!，错误!，二面角α−l −β的大小为θ，则有错误!．由于平面的法向量的选取的不同，有θ= 〈错误!，错误!〉，或θ= π−< 错误!,错误!〉．若可以确定二面角是锐角或钝角，则此二面角的大小可以唯一确定．综上，空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题，这样可以避免一些复杂的作图和证明过程，但在应用时要注意对结果的处理．二．例题讲解例1．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 1,O 2，O 3分别是面A 1B 1C 1D 1，面BB 1C 1C ，面ABCD 的中心．求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值．例2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 1在D 1C 1上,且D 1E 1= 错误!D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值．变题：若将题中的条件“F 是BC 的中点”改为“CF = 错误!CB ”呢?DCBD 1C 1B1A 1P O 3O 2 O 1DCBAD1 C 1B 1A 1例3．已知E ,F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，求：⑴A 1D 与EF 所成角的大小；⑵A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小； ⑶二面角C —D 1B 1—B 的大小．三．课堂练习1．设错误!，错误!分别是两条异面直线l 1，l 2 的方向向量，且cos 〈错误!，错误!> = −错误!,则异面直线l 1，l 2所成的角的大小为．2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点,则对角线DB 1与CM 所成的角的余弦值． 3．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为．四．课堂小结1．两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角（或其补角)．要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角，而两条直线的方向向量所成的角的范围DC BAD 1FE A 1C 1B 1是［0，π］，求解过程中要注意结果的处理；2．直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角；3．二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角）．若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量)，则两法向量所成的角与二面角的平面角互补;若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线，则两法向量所成的角与二面角的平面角相等．五．课后作业1：1．已知二面角α−l−β为60°，异面直线a，b分别垂直于平面α，β，则a,b所成的角的大小是．2．在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=错误!a，这时二面角B-AD—C的大小为．3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AA1,A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角是．4．已知锐二面角α−l−β的平面角是θ，m是平面α内异于l的一条直线，则m与β所成的角的范围是．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与A1B1CD平面所成角的大小．求二面角B-PA—C的大小．6．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．⑴证明：AB⊥平面VAD；⑵求平面VAD与面VDB所成的二面角的大小．A B CD V。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算学案苏教版选修21

3.2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一两条异面直线所成的角(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角． (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a·b ||a|·|b |.知识点二直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2. (3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有 sin θ＝|cos φ|＝|a·u||a|·|u|或cos θ＝sin φ.知识点三二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]． (2)二面角的向量求法：①若AB ，CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A ，C )，如图，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角．②设n 1、n 2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝|A 1B →·C 1D →||A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.反思与感悟建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋t －2·cos 60°，所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点．题型二直线与平面所成角的向量求法例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)，故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a2，2a )，BC 1→＝(－32a ，－a2，2a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)．又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n|BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.反思与感悟借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN与平面PMN 所成角的正弦值． (1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB . (2)解取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．于是cos 〈n ，AN →〉＝n ·AN →|n ||AN →|＝8525.设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝8525，∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.题型三二面角的向量求法例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值．(1)证明延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，且CK ∩AC ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD .(2)解如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34.反思与感悟设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．(1)证明设FC 中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (0，23，0)，C (－23，0，0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0.可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33，因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为________．答案 30°解析由cos 〈m ，n 〉＝－12知，直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．答案 45°或135° 解析 ∵co s 〈m ，n 〉＝12＝22， ∴二面角的大小为45°或135°.3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．答案 90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎪⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎪⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．答案63解析设正方体的棱长为1，建系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为DB 1→＝(1,1,1)．又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－332＝63. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．答案925解析如图，建立空间直角坐标系．由已知得A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，B 1(4，4,0)，C (0,4,3)． ∴A 1B →＝(0,4,3)，B 1C →＝(－4,0,3)，∴cos〈A 1B →，B 1C →〉＝925.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．。

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(

3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一空间向量的数乘运算【例1】设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式．【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二空间向量的共线问题【例2】如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三空间向量的共面问题【例3】已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间角的计算2学案无答案苏教版选修

3.2.3空间角的计算⑵【学习目标】能用向量方法解决线线，线面，面面的夹角的计算问题．【学习重点】空间线线，线面，面面的夹角的计算用．【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式．【学习过程】一．基础训练1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小是．2．已知等腰直角三角形ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB=2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角是．二．例题讲解Array例1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA = DC = 2，DD1 = 4，则二面角B-A1C1-C的余弦值为．例2．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是a，侧棱长是2a．则AC1与侧面ABB1A1所成的角为．例3．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）求二面角A -DF -B 的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60°．例4．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为3，侧棱AA 1 = 323，D 是CB 延长线上一点，且BD = BC ，求二面角B 1-AD -B 的大小．三．课堂练习在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 是CC 1的中点．⑴求证：OM →是平面A 1BD 的法向量； ⑵求二面角A -A 1B -D 的大小．四．课堂小结利用法向量求线面夹角、面面夹角．求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的发祥量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）．二面角的平面角的大小也可用平面角的两边所在直线的方向向量求解．五．课后作业1：1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC = 1，CB = 2，AA 1 = 1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点D ，B 1C 1的中点M ． ⑴求证：CD ⊥平面BDM ；⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．2．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD = PD ，E ，F 分别是CD ，PB 的中点．⑴求证：EF ⊥平面PAB ；⑵设AB = 2BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小．3．如图，已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，的底面是菱形，且∠BAD = 60°，AD = AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． (1)求证：直线MF ∥平面ABCD ； (2)求证：直线MF ⊥平面ACC 1A 1；(3)求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小．P ABCDA B 1CD FM。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间角的计算1学案无答案苏教版选修

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