《工程力学》加速度合成定理
合集下载
牵连运动为转动的加速度合成定理
τ
aa cos 30 = −ae cos 30
故顶杆AB的加速度为 故顶杆 的加速度为
n − ar
+ ac
2
aa =
n − ae − (ar
− ac ) cos 30 = − 2eω 9
可见， 的实际方向铅直向下。 可见， aa 的实际方向铅直向下。
太原理工大学教师 安美文
谢
谢
太原理工大学教师 安美文
太原理工大学教师 安美文
va = vr sin 30
0 = −ve + vr cos 30
因为 ve = OA ⋅ ω = 2eω 于是可解得 v = 2 3 eω a
3
4 3 vr = eω 3
2
动点的加速度合成矢量图如图。 动点的加速度合成矢量图如图 其中
2 r
ξ B
ae = OA ⋅ ω = 2eω
dvr d (v x′ i ′ + v y ′ j ′ + v z ′ k ′) = dt dt dv y ′ dv x ′ dv z ′ di ′ dj ′ dk ′ = i ′+ j′ + k ′ + v x′ + v y′ + v z′ dt dt dt dt dt dt = ar + ω e × vr
B
η
vr
ϕ
ve A va
ω
O
α
r
C
ξ
α = ϕ = 30
为动点， 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在 以杆端 为动点 静系取在地面上， 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴， 建立如图的投影坐标轴，由va = ve + vr 将各矢量 投影到投影轴上， 投影到投影轴上，得
加速度合成定理
31
6.3 加速度合成定理
3. 科氏加速度ac是由于动系为转动时，牵连运动与相 对运动相互影响而产生的。
4. 当牵连运动为平移时，e 0，因此 aC 0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该 瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
地理学的规律：北半球的江河，其右岸都受到明显的 冲刷。
va
其中 O1A
l2 r2
解：取曲柄OA上点A为动点，动系固
连于摇杆O1B上。则
ve va sin
sin r
l2 r2
va r
r 2
ve l 2 r 2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
ve O1A1
1
r 2
l2 r2
r 2
l2 r2
23
6.2 速度合成定理
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
运动为
xo' xo' (t)
yo' yo' (t)
(t)
x xo' x'cos y'sin
32
6.3 加速度合成定理
例：曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动。
当φ=30º时,其角速度ω =1rad/s，角加速度α=1rad/s2。求
导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。
33
6.3 加速度合成定理
6.3 加速度合成定理
3. 科氏加速度ac是由于动系为转动时，牵连运动与相 对运动相互影响而产生的。
4. 当牵连运动为平移时，e 0，因此 aC 0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该 瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
地理学的规律：北半球的江河，其右岸都受到明显的 冲刷。
va
其中 O1A
l2 r2
解：取曲柄OA上点A为动点，动系固
连于摇杆O1B上。则
ve va sin
sin r
l2 r2
va r
r 2
ve l 2 r 2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
ve O1A1
1
r 2
l2 r2
r 2
l2 r2
23
6.2 速度合成定理
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
运动为
xo' xo' (t)
yo' yo' (t)
(t)
x xo' x'cos y'sin
32
6.3 加速度合成定理
例：曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动。
当φ=30º时,其角速度ω =1rad/s，角加速度α=1rad/s2。求
导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。
33
6.3 加速度合成定理
牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
第七章 第三节 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
a ra e
n aa ae cos30 - a sin30 向x : e
w a
30º A
O2
va ve vr
C B
n ae
x
ar
ae
aa
C
r aa ( 3w 2 a ) 2
ve =rw va = ve sin30º =rw /2
D
分量形式的一般表达式
aa =ae+ar +
n ar
aa +
n aa =
ae +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n ae + ar
带 n 项可通过速度分析求得； 带 项有六个要素。如已知其中四个要素，可求其余两个要素。
例(P155例7-6)小车vA =0.2 m/s、aA =0.2 m/s2，杆AB长0.7m， 该瞬时w=1rad/s，a= 1rad/s2。试求此时点B的vB、 aB 解 (1)动点：杆AB上B点 动系：小车A (2)运动分析和速度分析 A
60°
vA aA
w a
ve =vA =0.2 m/s
vr ABw =0.7 m/s
2 2 va ve vr 2ve vr cos 30
=0.879 m/s
vr
B
vB =va =0.879 m/s
va
ve
例(P155例7-6)小车vA =0.2 m/s、aA =0.2 m/s2，杆AB长0.7m， 该瞬时w=1rad/s，a= 2rad/s2。试求此时点B的vB、 aB 解 (1)动点：杆AB上B点 vB =va =0.879 m/s 动系：小车A ae =aA =0.2 m/s2 (2)运动分析和速度分析 ar ABa =1.4 m/s2 (3)加速度分析 n ar ABw 2 =0.7 m/s2 v A
牵连运动为转动时_加速度合成定理
导航与定位
在飞行器的导航和定位系统中，转动加速度 也是需要考虑的重要因素之一。它可以帮助 我们判断飞行器的姿态和位置变化。
其他领域中的转动加速度问题
机器人学
在机器人学中，转动加速度也是需要考虑的 重要因素之一。例如，在机器人的运动规划 中，我们需要考虑机器人的姿态、速度和加 速度等因素，以保证机器人的稳定性和精度 。
02
基础知识
运动的描述方法
位置矢量
描述物体的空间位置，可用矢量形式表示。
位移
物体在一段时间内位置的变化量，可用矢量 表示。
速度
物体在单位时间内位移的变化量，即位移对 时间的导数。
刚体的转动运动学
角速度
描述刚体转动的快慢和方向，等于刚 体上任意一点的速度沿垂直于该点切 线方向的分量。
角加速度
描述刚体转动的加速度，等于角速度 对时间的导数。
加速度合成定理通常以矢量形式 表示，它包括了牵连加速度、相 对加速度和科里奥利加速度三部 分之和。
应用领域
加速度合成定理在许多领域都有 广泛的应用，如物理学、工程学 、天文学等。
研究不足与展望
研究不足
尽管加速度合成定理在许多领域都有广泛的应用，但目前对于该定理的理解和应用还存 在一些不足之处，如对于某些复杂运动形式，应用该定理可能会出现误差。
车辆工程
在车辆工程中，转动加速度也是需要考虑的 重要因素之一。例如，在车辆的转向系统中 ，我们需要考虑车轮的转速、转向角度等因
素，以保证车辆的操控性和稳定性。
05
结论与展望
研究结论
总结定理
当牵连运动为转动时，加速度合 成定理是一个重要的物理规律， 它描述了物体上各点加速度矢量 的合成方法。
定理形式
理论力学加速度合成定理
一般式
一般情况下(we 与vr不垂直时科) 氏加速度 a的c 计算可以用矢积
表示
大小: ac 2wevrsin
方向：按右手法则确定。
[例3] 已知：凸轮机构以匀 w 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 绝对运动: 直线;
va
vr
ve
绝对速度: va=? 待求, 方向//AB; 相对运动: 曲线;
相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动;
牵连速度: ve= w r ， 方向OA， 。
根据速度合成定理
vAB va ve tan w r tan
vr ve / cos w r / cos
绝对加速度 : aa ? , 方向 // AB 相对加速度 : arn vr2/ w2r2 / cos2θ ,
解：首先计算1点的加速度。
动点：圆盘上的1点 动系： 与框架固结
牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动
牵连加速度：aeτ 0
ar ae aa
vr
ae aen w22R 450 mm s2
相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动
相对加速度：a rτ 0 ar arn w12R 1250mm s2
绝对速度 va = ? , 方向AB ； 绝对加速度 aa=?, 方向AB，待求。
相对速度 vr = ? , 方向CA; 相对加速度 art =? 方向CA
牵连速度 ve=v0 , 方向 →;
a
n r
vr2
/
R
方向沿CA指向C
由速度合成定理 va ve vr , 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
工程力学：4-2 点的运动(速度合成定理)(1次课) 4-3 点的运动(加速度合成定理)(2次课)
北京交通大学力学系
点的运动方程合成
第二章 点的合成运动
点的运动方程合成——三种运动方程间的关系
设动点：M 牵连点： M
定系：Oxy
M
动系： Oxy
x x(t)
绝对运动方程 y y(t)
消去时间参数 t 得点的绝对运动轨迹
x x(t) 相对运动方程 y y(t)
消去时间参数 t 得点的相对运动轨迹
一点相对于圆盘以vr=r的相对速度逆时针运动。
北京交通大学力学系
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
第二章 点的合成运动
vr
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
ar
d2 x dt 2
i
d2 y dt 2
j
d2z dt 2
k
va ve vr
dva dve dvr dt dt dt
1
dva dt
解：取小环M为动点，动系固联于曲杆OBC
va ve vr
ve OM
0.1m s
vr
va ve
va ve cot 30 3ve 0.173m s
第二章 点的合成运动
例一 刨床的急回机构如图。当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O 转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴 O1摆动。设曲柄长 OA= r，两轴之间的距离 OO1= l。试求 当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度。
解：取滑块A为动点，动系固联于摇杆
O1B，由加速度合成定理有
aa ae ar aC
aC 2ωe vr
牵连运动为 任意运动！
北京交通大学力学系
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
加速度合成定理
20
6.2 速度合成定理
解：取杆AB上点A为动点，动
系固连于凸轮上，定系固
连于地面上。则
vr
va
φ
ve
va ve cot v0 cot
0.577 v0
方向向上。
21
6.2 速度合成定理
例：曲柄摆杆机构，OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1。
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
11
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两
个坐标系都有运动的点。
动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨
迹是已知的，或者能直接看出的。
12
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
2.动参考系：把固定在其他相对于地面运动参考体上的 坐标系，称为动参考系，简称动系。以O'x'y'z'坐标系表 示。
Байду номын сангаас3. 动点：所研究的点（运动着的点）。
4
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
6.2 速度合成定理
解：取杆AB上点A为动点，动
系固连于凸轮上，定系固
连于地面上。则
vr
va
φ
ve
va ve cot v0 cot
0.577 v0
方向向上。
21
6.2 速度合成定理
例：曲柄摆杆机构，OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1。
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
11
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两
个坐标系都有运动的点。
动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨
迹是已知的，或者能直接看出的。
12
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
2.动参考系：把固定在其他相对于地面运动参考体上的 坐标系，称为动参考系，简称动系。以O'x'y'z'坐标系表 示。
Байду номын сангаас3. 动点：所研究的点（运动着的点）。
4
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
知曲柄绕轴O以匀速n＝120 rpm转动，求当ϕ＝30°时滑道BCD
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
牵连点运动：水平直线
例7-4 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10 cm，已
2、分析三种运动。点作直线运动加速度为1 项；曲线运动加速度为2项。
3、速度分析（见前述）。若有科氏加速度，需要求相对 速度和牵连角速度。 4、加速度分析。
1）作加速度矢量图。法向加速度指向曲率中心，加 速度未知的指向可以假设。
7-4 加速度合成定理及其应用
科氏加速度方向由下法确定。
相对速度按牵连角速度转向绕动点转90度。 牵连运动为平移时最一般表达式
7-4 加速度合成定理及其应用
7-4 加速度合成定理及其应用
例7-5 偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一
直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
的速度和加速度。
= avr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ωv × vvr
avC = 2ωve × vvr
7-4 加速度合成定理及其应用
ava = ave +
科氏加速度
avr
+ avC
avC =
2ωve
× vvr
ωe是动系转动的角速度。
ωe = 0 ⇒
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
牵连点运动：水平直线
例7-4 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10 cm，已
2、分析三种运动。点作直线运动加速度为1 项；曲线运动加速度为2项。
3、速度分析（见前述）。若有科氏加速度，需要求相对 速度和牵连角速度。 4、加速度分析。
1）作加速度矢量图。法向加速度指向曲率中心，加 速度未知的指向可以假设。
7-4 加速度合成定理及其应用
科氏加速度方向由下法确定。
相对速度按牵连角速度转向绕动点转90度。 牵连运动为平移时最一般表达式
7-4 加速度合成定理及其应用
7-4 加速度合成定理及其应用
例7-5 偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一
直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
的速度和加速度。
= avr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ωv × vvr
avC = 2ωve × vvr
7-4 加速度合成定理及其应用
ava = ave +
科氏加速度
avr
+ avC
avC =
2ωve
× vvr
ωe是动系转动的角速度。
ωe = 0 ⇒
工程力学-加速度合成定理
10
例题
例 题6
§3 复合运动
解：1. 运动分析: 杆OA定轴转动，杆AB一般平面
O
运动，滑块B水平平动。
OA
2.动点动系选择: 动点----滑块B，
l
r
Bve
va
动系----固连于杆OA 动系的牵连运动—绕O轴定
A
3l
轴转动
vr
动点绝对运动轨迹--水平直线，
动点相对运动轨迹—以A为圆心，AB为半径的圆周
3.速度分析: va
方向 ✓
大小 ？
v由e 动点vB的r 速度合成由关于系vr 3lr 故得：
✓
✓
va vr tan lr ()
OB·OA? AB·r
OA
ve 2l
vr
2l cos
r
()
11
例题
例 题6
§3 复合运动
3. 加速度分析： 由动点加速度合成关系
aa
ae
aen
a0r
arn
牵连点为套筒上C点(动系定轴转动转轴)
a科
aeC' 0
C’ earCv' ac' vrc'
故动点C’的 加速度： aaC' arC' a科
26
牵连加速度 ae ----动系中与动点M重合的m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度 科氏加速度 ac ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
动ac系及动 点在科科同氏氏一加加平速速面度度内的的作方大平向小面：运由a动vcr时的:2方e向vr随 e 的转
e vr
动方向旋转90º后得到
60º
OA，O1B杆为定轴转动，CD杆水平 平移，AB杆一般平面运动，套筒C复 合运动。
加速度合成定理
例8-5 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运 动，且O、A、B 共线。凸轮上与点A接触的点为A`， 图示瞬时凸轮上点A`曲率半径为ρA ，点A`的法线与 OA夹角为θ，OA=l。 求：该瞬时AB的速度及加速度。
已知： 常数, O, A, B共线, OA l , A A , CAO , 求：v AB , a AB
点1的牵连加速度与相对加速度在同一直 2 线上，于是得 aa ae ar 1700 mm s 点２的牵连加速度
相对加速度大小为
科氏加速度大小为
ae 0 , 2 2 ar R1 1250 mm s , aC 2 e vr sin 90 1500 mm s 2 ,
2 1 2 2 2
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
3 加速度
l r
2
2
aan aet aen
2 2
ar ac
√ √
大小 r ? 1 O1 A ? 21vr 方向 √
√ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
va ve tan l tan
3 加速度 a a a t a e r
vr
arn aC
ve
cos
l
cos
? l 方向 √ √ 大
2
? v A √ √
2 r
21vr √
沿 轴投影
aa cos ae cos arn aC
第四节牵连运动为转动的加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
第
ar
v At t
四 节
ve
vr
M
At
牵
r
vr
连
运 动 为 转 动 的 加
lim
2vr sin
2
t 0
t
vr
相对速度 沿角速度 方向转900
ve
O
r1veMv vr
速 度
— 由牵连运动引起的相对速度的附加变化
合
成 定
科氏加速度的大小为相对速度与牵连角速度的乘积的
加
速 度
即： 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连
合
成 加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运
定
理 动为转动时的加速度合成定理。
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第 在北半球的河流
四 节
牵 连
运 动
vr
为 转
aC
vr
动
的 加
aC
速
牵
aC aet ar
连
运
aa
动 为
aen
转 动
ω1
ar : 大小未知， aen = r ω 0 2 /8，
的 加
ae t = (O1A) ，
速
度
合 成 定 理
aC
2ω1vr
2
ve O1 A
3 2
r0
3 4
r02
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第
由加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
三加速度合成定理
例11
机构如图，销钉Ｍ能在ＤＢＥ杆的竖直槽内滑动，又能在ＯＡ
槽内滑动，现ＤＢＥ以匀速度v ＝２０cm／ｓ向右平动。ＯＡ杆 以匀角速度ω＝ 2 rad／ｓ转动。当θ＝４５°时，Ｍ点运动 到图示位置，Ｌ＝３０cm。试求此瞬时销钉Ｍ的速度和加速度。
解: 动点:Ｍ 动系:ＯＡ
动点:Ｍ 动系:DBE
vM
ve1
aA
(3b OA ) 2
(3bOA2 )2
0.676 v2 b
如动点选在OA杆上的M点（与点B重合）结果如何? A
y
va ve vr
aaτ
aan
ae
arτ
arn
ac
x
M B
O
300
b
v
求速度和加速度因轨
迹变化复杂，相对速 度和相对法向加速度 无法求解，导致其他 速度和加速度解不出, 因此动点选取时应选 该动点不变的点，如 直角端点为动点。
l
l
O2 D
2
l
r 2tan 3
l
r
r
l
2
tan
31
2
l
r
例9
曲柄绕O转动，并通过滑块M带动滑槽绕O’摆动，已 知:匀，试求:摆杆摆动到300时的角加速度a1 。
解： 动点：滑块M 动系：摆杆
va ve vr
y’ 0 rM
vasin 300 = ve
ve =vasin 300 = r/2 1 =ve /(2r)=/4
三、加速度合成定理
z
由速度合成定理 va vr ve
将上式两边对时间求导数，得
vr
M M
r y vo
z
o
aa
7.3、加速度合成定理
ak 0.4
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
牵连运动为转动时_加速度合成定理
a a ae a r
3.定理的说明
特例
在瞬时t 在瞬时t’ 经过 t
va vr ve v a ' v r 'v e '
v a v a 'v a (v r 'v r ) (ve 've )
v a ve 've v r 'v r aa lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
C
O
MBC直线运动 牵连运动：OBC作定轴转动 绝对运动：M沿OA直线运动
O
M
vr C
va
ve
A
速度分析 大小 方向 解得: vr 加速度分析 大小 方向
v a v r ve
?
?
ve OM 10 cm
ve cos
B
s
20 cm s
v
地球北半 球上水流的科 a c 氏加速度
7. 应用
图示曲杆OBC绕O轴转动,使套在其上的小环M沿固定直杆 OA 滑 动 。 已 知 : OB=10cm,OB 与 BC 垂 直 , 曲 杆 的 角 速 度 0.5 rad s 。求当 60 0 时,小环M的加速度。 解：
一、选取动点、动系 动点：小环M 动系：曲杆OBC
ve 've ve 'v M 1 v M 1 ve lim0 lim0 lim0 t t t t t t
其中
a e lim0 t
v M1 v e t
第一项 大小：
ve ' ' AM ' , vM 1 ' AM1
ve ve
加速度合成定理公式
加速度合成定理公式加速度合成定理公式是物理学中一个重要的概念，在我们理解物体运动的变化方面发挥着关键作用。
咱先来说说啥是加速度合成定理公式。
简单来讲，就是当一个物体同时参与几个不同方向的运动时，它总的加速度等于各个分加速度的矢量和。
这就好比你在操场跑步，同时有风在吹，你实际感受到的加速的感觉，就是你自己跑步的加速度加上风的影响产生的加速度。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别有意思。
当时我在黑板上写下公式，开始讲解，大家都听得挺认真，可就这个小家伙一脸懵。
我问他是不是没听懂，他挠挠头说：“老师，这感觉好复杂，我脑子都乱了。
”我就笑了，跟他说：“别着急，咱们来举个例子。
”我就拿他喜欢的足球来说事儿。
假设一个足球在操场上，被一个小朋友用力往前踢，这时候足球有一个向前的加速度。
可同时呢，操场上还有侧风在吹，这风又给足球一个侧向的加速度。
那足球实际运动时的加速度，就是这两个加速度合成之后的结果。
我一边说，一边在纸上画图给他看。
这小家伙眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像懂啦！”在实际生活中，加速度合成定理公式的应用可不少。
比如开车的时候，车辆本身在加速前进，要是突然来个急转弯，这时候车辆的加速度就不是单纯的直线加速了，而是直线加速和转弯产生的向心加速度的合成。
再比如说飞机飞行，飞机既要向前飞，又可能因为气流的影响有上下左右的晃动，那飞机实际的加速度就是各种方向加速度的总和。
对于我们研究物体的运动，加速度合成定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解复杂运动的大门。
通过这个公式，我们能更准确地预测物体的运动轨迹，也能更好地控制和设计各种运动系统。
总之，加速度合成定理公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多结合实际例子去理解，多去思考生活中的各种运动现象，就能发现它其实就在我们身边，而且特别有用。
希望大家都能把这个公式掌握好，让它成为我们探索物理世界的有力工具！。
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。
即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理设O′x′y′z′为平移参考系，由于x′、y′、z′各轴方向不变，可使与定坐标轴x、y、z分别平行。
其中动点M相对于动系的相对坐标为x′、y′、z′，由于i′、j′、k′ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M的相对速度和相对加速度为（１）（２）利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：两边对时间求导，并注意到因动系平移，故i′、j′、k′ 为常矢量，于是得到其中，所以有：（３）这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例题１如下图所示，铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆O1A以等角速度ω=2rad/s绕轴O1转动。
AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
试求:当 =60o时，CD杆的加速度。
解：1. 运动分析动点：CD上的C点；动系：固连于AB杆于是三种运动分别为：绝对运动：Ｃ点的上下直线运动；相对运动：Ｃ点沿AB直线运动；牵连运动：随AB杆铅垂平面内曲线平移2.加速度分析：其中由于动系作平移，故动系AB杆上各点的加速度相同，因此动系AB杆上与动点套筒C相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:由平行四边形法则，得二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。
如下图所示，圆盘半径为R并以等角速度绕轴O转动，在邻近其边缘的上方，静止地悬挂一个小球P。
若以P为动点，圆盘为动系，则三种运动为：绝对运动静止；牵连运动是绕O轴作定轴转动；相对运动是以点O为圆心、R为半径，与盘上重合点反向的等速圆周运动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.计算科氏加速度:
a c vr
ac 2vr sin
方向垂直于OAB平面
av
c
r
1
a 2v sin900
c
r1
方向垂直于AB杆
定轴转动圆盘上的运动小球
ac v
6.自然现象中的科氏加速度
v
地球北半
球上水流的科 氏加速度
ac
7. 应用
图示曲杆OBC绕O轴转动,使套在其上的小环M沿固定直杆 OA 滑 动 。 已 知 : OB=10cm,OB 与 BC 垂 直 , 曲 杆 的 角 速 度 0.5rad s 。求当 600 时,小环M的加速度。
lim ve 've t0 t
? ar
lim vr 'vr t t0
v 'v
? ae
lim
t 0
e
e
t
(1) lim vr 'vr t t0
vr 'vr (vr 'vr2 ) (vr2 vr )
v 'v v 'v v v
lim r r lim r r2 lim r2 r
4. 加速度合成定理:
当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏 加速度的矢量和。即：
aa ar ae ac
式中 ac 2ωe vr
.难点： 理解科氏加速度 产生的原因 牵连运动与相对运动互相影响
计算科氏加速度，判断科氏加速度方向。
lim ve 'vM1 t0 t
lim AM ' AM1
t 0
t
vr
方向：与 ve 'vM1 一致，它垂直于 vr '
t 0,v ' v
r
r
即与 v 垂直，并与 转向一致。 r
ac 2 vr 方向垂直于 vr并与 转向一致 。
科氏加速度
ac 2ωe vr
va (aa ) vr (ar ) ve (ae )
速度合成定理
v v v
a
e
r
2.问题的提出:
牵连运动为平动时的加速度合成定理:
a a a
a
e
r
反例 a ,a
er
动点：小球 动系：圆盘
a 0 a
a a r 2
e
r
a a a
a
e
r
绝对运动：静止
牵连运动：圆盘以 作匀速转动
v v
M1
e
v e
v 'v (v 'v ) (v v )
e
e
e
M1
M1
e
lim ve 've lim ve 'vM1 lim vM1 ve
t t0
t t0
t t0
其中
ae
lim vM1 ve t t0
第一项 大小：
ve ' ' AM ' , vM1 ' AM1
lim vr 'vr2 t t0
lim
t 0
vr
'
lim
t 0
t
vr
v 'v 一致 t 0,
r r2
22 2
方向与 vr 垂直，并与 转向一致。
(2) lim ve 've t t0
v' v
e
M1
v' v
e
e
v' e
v M1
解：
O
B
一、选取动点、动系
C
动点：小环M
M
动系：曲杆OBC
A 二、运动分析
相对运动：M沿BC直线运动 牵连运动：OBC作定轴转动 绝对运动：M沿OA直线运动
O
B
O
B
M vr C
va
ve
aen M
ar
C
aa
ac
速度分析
A
大小 方向
va vr ve
??
v e
OM
10cm s
t t t t0
t0
t0
其中
ar
lim vr2 vr t t0
第一项 大小： vr ' vr2
v 'v
r
r2
2sin
2
v ' r
v' r v' v
r r
v ' v
r
r2
v v v
r
r2
r
方向：与
t 0, sin 2 2 , vr ' vr
解得: vr ve cos 20cm s
加速度分析 大小 方向
aaa aar araeaacc
a e
??
a OM 2 e
a 2v
c
r
A 根据投影定理：
0 a sin a cos
c
r
a a cos a sin a n
解得a： c
r
e
aa 35cm s2
思考题
点的速度合成定理 va ve vr 适用于动系
任何运动的情况， aa ae ar 适用于动系 平动的情况， aa ae ar ac 是否仅适用于 动系作定轴转动的情况？
谢谢பைடு நூலகம்家！
《工程力学》课件之
牵连运动为转动时
加速度合成定理
理学院工程力学系
1、点的合成运动简介：
(相对轨迹、 速度与加速度)
动点
(绝对轨迹、 速度与加速度)
动系
牵连运动 (刚体运动)
定系 (牵连速度与加速度)
动系上与动点 重合的点(牵连点)
合成
相对运动+牵连运动 绝对运动
分解
绝对速度（绝对加速度） 相对速度（相对加速度） 牵连速度（牵连加速度）
相对运动：小球以 作反方向匀
速圆周运动
3.定理的说明
特例
在瞬时t va vr ve 在瞬时t’ va ' vr 've '
经过 t
va va 'va (vr 'vr ) (ve 've )
aa
lim va t0 t
lim vr 'vr t0 t