1.1.3 导数的几何意义优秀教案

1.1.3 导数的几何意义

学习目标 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义(重、难点).3.会求曲线在某点处的切线方程(重、难点).4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.

知识点1 曲线的切线

如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线. (1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；

(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 【预习评价】

有同学认为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )只有一个交点，你认为正确吗？

提示 不正确.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示.

知识点2 导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝0

lim x ∆→

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）

Δx

＝f ′(x 0).

【预习评价】 (正确的打√，错误的打×)

1.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，则切线不存在.(×) 提示 切线存在，且切线与x 轴垂直.

2.若f ′(x 0)>0，则切线的倾斜角为锐角；若f ′(x 0)<0，则切线的倾斜角为钝角；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行.(√) 知识点3 导函数的概念

对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0

lim x ∆→ Δy

Δx ＝0

lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx

.

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|x ＝x 0就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0). 【预习评价】

如何正确理解“函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？

提示 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关.

方向1 求曲线在某点处的切线方程

【例1－1】 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程.

解 因为点(1，3)在曲线上，曲线在点(1，3)处的切线的斜率为f ′(1)＝0

lim x ∆→

（1＋Δx ）3－（1＋Δx ）＋3－（1－1＋3）

Δx

＝0lim x ∆→ （Δx ）3＋3（Δx ）2＋2Δx

Δx

＝0

lim x ∆→[(Δx )2＋3Δx ＋2]＝2，

故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 方向2 求曲线过某点的切线方程

【例1－2】 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ Δy

Δx ＝0

lim x ∆→ 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx

＝0

lim x ∆→[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.

设切点的坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线的斜率k ＝2－3x 2

0， ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).

又∵切线过点(－1，－2)，

∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，

∴x 0＝0或x 0＝－32.

∴切点的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－32，38.

当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32，38时，切

线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－19

4(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.

综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 方向3 求切点的坐标

【例1－3】 曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

解 设点P 的坐标为(x 0，x 3

0)，则有

k ＝0

lim x ∆→

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）

Δx

＝0lim x ∆→ 3x 20Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）

3

Δx

＝0

lim x ∆→[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 2

0.

∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.

∴点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).

规律方法 (1)求曲线上某点(x 0，y 0)处切线方程的步骤