(完整word版)垂直平分线角平分线培优提高练习
第13章全等三角形线段垂直平分线与角平分线专题训练含答案
第13章全等三⾓形线段垂直平分线与⾓平分线专题训练含答案华东师⼤版数学⼋年级上册第⼗三章全等三⾓形线段垂直平分线与⾓平分线专题训练题1如图，已知△ ABC ，求作⼀点P ,使P 到/A 的两边的距离相等，且 PA = PB ，下列确定P 点的⽅法正确的是（）A . P 为/A ，/B 两⾓平分线的交点B . P 为/ A ⾓平分线与AB 的垂直平分线的交点C . P 为AC , AB 两边上的⾼的交点D . P 为AC , AB 两边的垂直平分线的交点2?如果⼀个三⾓形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三⾓形是（）A .锐⾓三⾓形B .钝⾓三⾓形C . BP 平分/ APCD . PA = PC4. 如图，C 是⼛ABE 的BE 边上⼀点，F 在AE 上，D 是BC 的中点，且 AB = AC = CE ，对于下列结论: ①AD 丄BC ;②CF 丄AE ;③/ 1 = Z 2;④AB + BD = DE.其中正确的结论有（）BE C6. 如图，已知在Rt △ ABC 中，/ ABC = 90° ,点D 是BC 边的中点，分别以B , C 为圆⼼，⼤于线段 BC 长度⼀半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上⽅的交点为 P ,直线PD 交AC 于点E ,连结BE ,则下列结1论：①ED 丄BC ;②/ A = Z EBA :③EB 平分/ AED :④ED = ~AB 中，⼀定正确的是（）D .不能确定B . BP 平分/ABC A . 1个 B . 2个 5.如图，△ ABC中，/ B = 40 则/ C 等于（）,AC 的垂直平分线交 AC 于D ,交BC 于E ,且/ EABA . 28°B . 25°C . 22.5D . 20°C ?直⾓三⾓形P ,则下⾯结论正确的是（A . BP 不平分/ ABCB .①②④C .①③④D.②③④7. 如图，在△ ABC中，/ ABC = 50° / ACB = 60°点E在BC的延长线上，/ ABC的平分线BD与/ ACE的平分线CD相交于点D，连结AD，下列结论中不正确的是（）B./ DOC = 90°C./ BDC = 35 ° D . / DAC = 55 °& 如图所⽰，在⼛ABC中，/ C= 90 ° DE是AB的垂直平分线， / BAD :/ BAC = 1 : 3,则/ B=9.如图，在△ ABC中，AD是它的⾓平分线，AB = 6 cm, AC = 8 cm,CD = .则SSBD : SSCD =,BD :10.如图，已知BD丄AN于B,交AE于点O, OC丄AM 于点C,且ADB = .OB= 0C,如果/ OAB = 25° 贝11.如图，/ AOB内有点P, P1, P2分别是P关于OA, OB的对称点,cm.P1P2交0A于M，交0B于N，若12.如图, 18 cm,则BD是/ ABC的⾓平分线，DE丄AB于E, DF丄BC于F,DE的长是_________ .S^ABC = 45 cm2, AB = 12 cm, BC =BE 丄AC 于E ,且BD = CE , BE 交CD 于点O ?求证：AO 平分/ BAC.14 .如图所⽰，点 P 在线段AB 的垂直平分线上，PC 丄PA , PD 丄PB , AC = BD ，求证：点P 在线段CD 的垂直平分线上.15. 已知如图， AD 是/ BAC 的⾓平分线，DE 丄AB , DF 丄AC ，垂⾜分别是E , F. 求证：AD 垂直平分EF.16. 如图，在△ ABC 中，/ ACB = 90° CE 丄AB 于点 E , AD = AC , AF 平分/ CAB 交 CE 于点 F , DF 的延长线交AC 于点G ,试问：(1) DF 与BC 有何位置关系？请说明理由； (2) FG 与FE 有何数量关系？请证明你的结论.17. 如图，△ OBC中，BC的垂直平分线DP交/ BOC的平分线于D，垂⾜为P.(1)若/ BOC = 60 ° 求/ BDC 的度数；⑵若/ BOC = a则/ BDC = ____________ (直接写出结果).答案：1---5 BCBBA 6. B 7. B8. 22.5 °9. 3 : 4 3 : 410. 40 °11. 512. 3cm13. v OD 丄AB , OE 丄AC, / BDO =Z CEO = 90 °⼜BOD =Z COE , BD = CE , /?△BOD ◎△ COE , OD = OE，⼜由已知条件得△ AOD和⼛AOE都是直⾓三⾓形，且OD = OE , OA = OA, ? Rt△AOD也Rt△ AOE , ?/ DAO =/ EAO，即AO 平分/ BAC14. v点P 在AB 的垂直平分线上，? PA= PB, v PC丄PA, PD 丄PB, ?/ BPD = / APC = 90 ° ⼜AC = BD , ? Rt A APC也Rt A BPD( H.L.),? PD = PC ,?点P在线段CD的垂直平分线上15. v AD 是/ BAC 的⾓平分线，DE 丄AB , DF丄AC , ? DE = DF , ?/ 1 = / 2, v/ AED =/ AFD = 90°/ 3 =/ 4, AE = AF , v AD是等腰三⾓形AEF的顶⾓平分线,? AD垂直平分EF(三线合⼀)AC= AD16. (1)DF// BC,理由是：v AF 平分/ BAC, ?/ CAF=/ DAF,在⼛CAF 和⼛DAF 中，/ CAF=/ DAF, ?AF= AF△CAF^A DAFSA.S) , ?/ ADF=/ ACF, v CE1 AB , / ACB= 90° , ?/ CEB=/ ACB= 90° , ?/ ACF^ / BCF= 90° , / B+/ BCF= 90° , ?/ B=/ ACF=/ ADF, ? DF/ BC(2)FG = EF ,证明：v DF // BC , / ACB = 90 ° ?/ AGF = / ACB = 90 ° , ? FG丄AC ,⼜v CE 丄AB , AF 平分/ CAB , ? FG= EF17.(1)过点D作DE丄OB ,交OB延长线于点E , DF丄OC于F, v OD是/ BOC的平分线，? DE= DF, v DP是DB= DCBC 的垂直平分线,? BD= CD,在Rt A DEB和Rt A DFC中，，?△ DEB^A DFC(H.L.)，?/ BDE=DE= DF/ CDF, / BDC=Z EDF, v/ EOH [JP]/ EDF= 180° , / BOO 60° , /-Z BDC=Z EDF= 120°⑵v/ EOF+/ EDF = 180 °, / BOC = a, ?/ BDC = / EDF = 180。
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习册
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习册一、知识回顾1. 线段的定义是什么？- 线段是由两个端点确定的有限长部分。
2. 垂直平分线的定义是什么？- 垂直平分线是指能够将线段垂直地平分为两个等长的部分的线。
3. 角平分线的定义是什么？- 角平分线是指能够将一个角平分为两个相等的角的线。
二、选择题练1. 下图中的线段AB上是否存在一个垂直平分线？- [ ] 存在- [ ] 不存在2. 下图中的角ABC上是否存在一个角平分线？- [ ] 存在- [ ] 不存在三、填空题练1. 在下图中，线段CD的中点为E，则线段DE的长度为__。
2. 在下图中，角XYZ的角平分线为BD，角ZBD的度数为__。
四、解答题练1. 如图所示，线段AB的中点为O，通过O作线段AB的垂直平分线，分别交线段AB于点C和D。
求证：AC=BD。
2. 如图所示，通过角BAC的顶点A作角BAC的角平分线，交边BC于点D。
若$\angle BAC = 80^\circ$，求$\angle BAD$的度数。
五、应用题1. 小明要在一段木杆上找出中点，并通过中点作垂直平分线将木杆分成两段。
如果木杆的长度为36厘米，求垂直平分线两端点与中点的距离分别是多少？2. 甲乙两个角的度数之和为180度，并且甲角的角平分线与乙角的边相交于点P。
如果甲角的度数是乙角的3倍，求甲角的度数。
六、综合题1. 小明和小红要测量一块土地的面积。
他们找到了该土地的一块长方形区域，边长分别为32米和18米。
为了准确测量面积，他们通过长方形的边作了垂直平分线和角平分线，将长方形划分为四个部分。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
垂直平分线角平分线培优提高练习
垂直平分线角平分线培优提高练习一．选择题（共6小题）1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．下列各语句中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（）A．45°B．47°C．49°D．51°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．66．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二．填空题（共5小题）7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于．8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=．9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为．三．解答题（共6小题）12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．15．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．。
角平分线与垂直平分线练习题非常好精编版
6）角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。
求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。
例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图BPABCD GHFE DCBA形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习题(K12教育文档)
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八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》练习题班级姓名一、选择题1．如图1,在△ABC中，BC＝8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2。
如图，AC=AD，BC=BD，则（）A。
CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC。
CD平分∠ACB D.以上结论均不对3.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么,这个三角形是（）A。
直角三角形B。
锐角三角形 C。
钝角三角形 D.等边三角形4.下列命题中正确的命题有（ )①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线。
A。
1个 B.2个 C.3个 D。
4个5。
△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm,BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cm C。
8 cm D.9 cm二．填空题1、如图，（1)、AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=(2）、AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是（3）、AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28°，那么∠EBC是2.在△ABC中,AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线．．．．．相交所成锐角为50°,△ABC的底角∠B的大小为_______________。
中考数学轮冲刺考前查漏补缺《角平分线的性质与线段的垂直平分线》提高版含答案 (一)
中考数学轮冲刺考前查漏补缺《角平分线的性质与线段的垂直平分线》提高版含答案(一)数学是中考考试中非常重要的科目，而在数学中，角平分线的性质与线段的垂直平分线是常见的考题，也是数学考试中的比较难理解的知识点之一。
因此，针对这些知识点，对于即将进行中考的同学来说，理解掌握基本是最关键的事情。
本篇文章将介绍角平分线的性质与线段的垂直平分线，帮助同学们达到冲刺考前查漏补缺的效果。
第一部分：角平分线的性质1.角平分线的定义在角的内部，将这个角的两边所在的直线分别延长，使它们相交于一点，这条相交的直线就叫做角的平分线。
2.角平分线的性质（1）角平分线平分角：在称之为A的角ABC中，AD是BC的平分线，则∠BAD=∠CAD。
（2）一个点到角两边的距离相等：在称之为A的角 BCD 中，如果AD 是角BCD的平分线，则点A到线段BC的距离等于点A到线段CD的距离。
（3）角的平分线上的点到另外一边的距离相等：在称之为A 的角 BCD 中，如果 AD 是角BCD的平分线，则点D到线段BC的距离等于点D到线段CD的距离。
第二部分：线段的垂直平分线线段的垂直平分线是将一个线段恰好平分为两个长度相等并且互相垂直的线段的直线。
当线段的垂直平分线穿过线段的中心时，称为线段中垂线。
1.线段的垂直平分线的性质（1）线段的垂直平分线将线段平分。
（2）线段的垂直平分线两侧的线段的长度相等。
（3）线段的垂直平分线是线段中心的唯一直线。
（4）线段的中垂线是线段两端点连线的延长线的交点，也是在该线段上到两端点的距离相等的点的唯一点。
（5）当两线段的中垂线相交时，两线段平行。
（6）线段的垂直平分线与线段之间的夹角是90度。
（7）线段的垂直平分线与线段的两端延长线的夹角是180度。
以上就是关于中考数学轮冲刺考前查漏补缺《角平分线的性质与线段的垂直平分线》提高版的介绍，相信通过学习本篇文章，对这些常见的数学知识点会有更加深入的理解，为中考发挥出自己的最好水平提供坚实基础。
专题13.2线段的垂直平分线专题(限时满分培优训练)-【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上
【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.2线段的垂直平分线专题（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．8B．6C．4D．22．（2022秋•东宝区期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点3．（2022秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3 cm C．2cm D．1cm4．（2022秋•长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（）A．三条高线的交点处B．三条中线的交点处C．三个角的平分线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处5．（易错题）（2023秋•青秀区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC 的数量关系是（）A．2∠BOC+∠BPC＝360°B．∠BOC+2∠BPC＝360°C．3∠BOC﹣∠BPC＝360°D．4∠BPC﹣∠BOC＝360°6．（易错题）（2022秋•汉南区校级期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I 为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（）A．x+y＝90°B．x﹣2y＝90°C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°7．（易错题）（2022秋•东阿县校级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠OEB ＝46°，则∠AOC＝（）A．92°B．88°C．46°D．86°8．（易错题）（2022春•雅安期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（）A．105°B．100°C．110°D．140°9．（培优题）（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠CC．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF10．（培优题）（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°二．填空题（共6小题）11．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长．12．（2022秋•德城区校级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝°．13．（易错题）（2023春•甘州区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为．14．（易错题）（2023春•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，4），作AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C坐标为．15．（2023春•振兴区校级期中）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝．16．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为．三．解答题（共7小题）17．（2023•渭南一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD 垂直平分EF．18．（2022春•合浦县期中）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．19．（易错题）（2023春•新民市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．（易错题）（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．21．（培优题）（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．（1）试说明：AB＝CE；（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．22．（培优题）（2023春•定边县校级期末）已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；（2）求证：∠B=12∠AED．23．（培优题）（2023春•兴庆区校级期末）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；（2）若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；（3）若∠ACB＝a（90°＜a＜180°），则∠DCE＝．。
垂直平分线练习题
垂直平分线练习题垂直平分线练习题垂直平分线是几何学中的一个重要概念，它在很多数学题目中经常被用到。
垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两段相等的线段的直线。
在本文中，我们将探讨一些与垂直平分线相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
练习题一：垂直平分线的构造假设有一条线段AB，我们的目标是通过构造一条垂直平分线来将其平分为两段相等的线段。
请你描述一下如何进行这一构造。
解答：首先，我们需要绘制一条与线段AB垂直的直线。
可以使用直尺和铅笔来辅助作图。
接下来，在线段AB的两个端点上分别作两个等长的弧，这两个弧的半径可以任意选择。
然后，我们将直尺的一边放在其中一个端点上，另一边与另一个端点的弧交点相连，得到的直线就是垂直平分线。
练习题二：垂直平分线的性质垂直平分线具有一些重要的性质，下面我们来探讨其中的一些。
性质一：垂直平分线将线段分为两段相等的部分。
证明：由于垂直平分线将线段分为两个等长的弧，所以它也将线段分为两段相等的部分。
性质二：垂直平分线与线段的中垂线重合。
证明：设垂直平分线为CD，线段AB的中点为E。
由于CD与AB垂直且等分，所以CD与AE、BE都垂直。
而根据垂直平分线的定义，CD与AE、BE也相等。
因此，CD即为线段AB的中垂线。
练习题三：垂直平分线的应用垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，下面我们来看一个实际问题。
问题：假设有一个正方形ABCD，以及一条通过点A和点C的直线l。
请你证明直线l是正方形ABCD的对角线，并找出它的垂直平分线。
解答：首先，我们知道正方形的对角线互相垂直且相等。
因此，我们只需要证明直线l与正方形的两条对边垂直，并且它们的长度相等。
设正方形的边长为a。
由于直线l通过点A和点C，所以它与正方形的边AB和边CD相交。
设交点分别为E和F。
我们可以通过计算证明AE=CF=a/2，从而证明直线l与正方形的两条对边相等。
接下来，我们需要证明直线l与正方形的两条对边垂直。
由于正方形的两条对边互相垂直，所以我们只需要证明直线l与边AB垂直即可。
线段的垂直平分线---巩固提高(提高)
线段的垂直平分线——巩固练习（提高）【巩固练习】一．选择题1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE 的值是（）A、6B、4C、6D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB6.（2015秋•陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上二．填空题7．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC 于点E，则△BCE的周长为．8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______________．10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD 的周长为_________ cm．三．解答题：13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．14.（2015秋•扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．15.（2016秋•农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C；【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．2．【答案】B;【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．3.【答案】D；【解析】∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠B CE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．4【答案】B；【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；D、根据C的证明过程．故该选项正确．5.【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．6.【答案】D；【解析】解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．二．填空题7.【答案】13；【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．8.【答案】6；【解析】∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=6．9.【答案】；【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=．故答案为：．10.【答案】60；【解析】由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．11.【答案】8；【解析】∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD=BD，AE=CE∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．△ADE 的周长等于8．12.【答案】13；【解析】∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，E 为垂足∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABC 的周长为19，∴AB+BC=13(cm).∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)．三．解答题13.【解析】证明：（1）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD =180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC ，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD ，∵在△DBH 和△DCA 中,BDH CDA BD CDHBD ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DBH ≌△DCA （ASA ），∴BH=AC ．（2）连接CG ，∵∠ABC=45°，CD ⊥AB （∠CDB=90°），∴∠BCD=45°=∠ABC ，∴DB=CD ，∵F 为BC 的中点，∴DF 垂直平分BC ，∴BG=CG ，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．14. 【解析】证明：连接CD，∵AC=BC，AD=BD，∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上，∴CD是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB=45°，∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠ACD=45°，∴CE=DE，∴DE=AE+AC=AE+BC．15.【解析】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．。
线段的垂直平分线练习(培优)
线段的垂直平分线练习（培优）一、选择题1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( )A．6个 B.5个 C.4个D3个三、填空1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= .3.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .4.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= .5.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.四、解答1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED的度数.2．如下图，在△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB ＝20cm，求△ABC两锐角及AD、DE、EB各为多少？CH M D B A 3．如图，AD 、BE 分别是等边△ABC 中BC 、AC 上的高，M 、N 分别在AD 、BE 的延长线上，∠CBM ＝∠ACN ．求证：AM ＝BN ．NM E D CBA4．已知，△ABC 中，∠ABC 为锐角，且∠ABC ＝2∠ACB ，AD 为BC 边上的高，延长AB 到E ，使BE ＝BD ，连结ED 并延长交AC 于F ．求证：AF ＝CF ＝DF ．5.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=︒75，∠DMC=︒45，AM=MD ．求证：AB=BC ．F ED C B参考答案【同步达纲练习】一、×××√×√二、D B C A B三、1.BC,BAC 2.10 3. .120° 4.30° 5.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25°∠DEB=65°。
(完整版)垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
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垂直平分线角平分线培优提高练习
一．选择题（共6小题）
1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．下列各语句中不正确的是（）
A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等
C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（）
A．45°B．47°C．49°D．51°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）
A．B．C．D．6
6．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
二．填空题（共5小题）
7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于．
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=．
9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为．
三．解答题（共6小题）
12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．
13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．
14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；
（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．
15．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．。