矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换是指对一个分块矩阵进行基本的矩阵变换，例如行交换、行加减等操作。
这些操作可以用来简化计算、求解线性方程组、矩阵的逆等。
对于分块矩阵，其基本的初等变换有以下几种：
1. 行交换：将矩阵中的两行交换位置，即交换它们在矩阵中的行号。
2. 行加减：将矩阵中的某一行加上（或减去）另一行的某一倍，得到新的行替换原来的行。
3. 列交换：将矩阵中的两列交换位置，即交换它们在矩阵中的列号。
4. 列加减：将矩阵中的某一列加上（或减去）另一列的某一倍，得到新的列替换原来的列。
这些初等变换可以用来求解线性方程组，例如将系数矩阵进行初等变换，得到一个简化的矩阵，再将方程组进行相应的变换，得到一个等价的方程组。
这个等价的方程组可以更容易地求解。
此外，分块矩阵的初等变换也可以用来求矩阵的逆，例如将待求逆的矩阵与单位矩阵组成增广矩阵，对其进行初等变换，使得待求逆的矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的另一半就是所求的逆矩阵。
总之，分块矩阵的初等变换是求解线性方程组、求矩阵的逆等问题中不可或缺的工具。
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矩阵的初等变换及其应用
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。
在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
矩阵的初等变换及其应用
三类 变换 并 不会 改 变 方 程组 的解 ， 们 称 这 三 种 我
Ａ。（ ） 兰 一
例 １ 将矩阵 Ａ 一
方 程 的运 算 为方 程 组 的初 等变 换 ． 这 三类 初 等 把
变换 转移 到 矩 阵上 ， 就是矩 阵的初 等变 换 。 定 义 １ 对 矩 阵进 行 下 列 三种 变 换 ， 为 矩 称 阵 的初 等行 变 换 ： 对 换 矩 阵 两 行 的 位 置 ； 用 ① ②
根 性 ３ Ｌｓｔ 据 质 ． ｒ 一 ￣ ｉ］ ｎ
一
一 号
（） ４ｒ
０
￡
ｔ
ａｒ ａｎ ｃｔ Ｓ
所 以
（） ５ｒ ＝！ ｅｔ Ｊ －ｄ Ｓ￡
解：
—
ｃ 一ｒ ｎ）ｊ＝号 号 ａｔ Ｉ ｃ ｓ一 ａ 。
（） ， ￡ ５ 设 （）一 １ ｃｓ 一 ｏ
（）设 ， ￡ １ （）一 ｓ ｔ 则 Ｆ（）一 Ｌ 厂 ￡］ ｉ ３， ｎ ｓ ［ （）
１ ４ １ １ ４
因此可 利用 矩 阵的初 等变换 解线性 方程 组 。 例 ４ 解方 程组
ｆ １一 ｘ２一 ｘ３ ２，
４ 用初等 变换 法求 解矩阵 方程
． ｘ — ２ ３ ３— １ ｛ ｌ — ｘ ２ ，
【ｘ１ ２ ２ ５ ３ ＋ ｘ — ｘ３— ０ ．
设 矩阵 Ａ可 逆 ， 求解 矩阵方 程 Ａｘ — Ｂ等 则 价 于求 矩 阵 Ｘ ： Ｂ， 这此 可采 用类 似于初 等行 变 换 求逆矩 阵 的方 法 ， 构造 矩 阵 （ ； ） 对 其 施 Ａ Ｂ ，
Ｂ ＝ ＝
ｂ ２
，
●
则 利用 矩阵 的乘法 ， 线性 方程组 （ ） １ 表
：
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
矩阵的初等变换及其应用
㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。
矩阵初等变换的性质及其应用
摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。
关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。
2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。
2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。
初等变换与矩阵的乘法应用
初等变换与矩阵的乘法应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，而初等变换是矩阵运算的重要工具之一。
在数学和工程领域，初等变换与矩阵的乘法应用广泛，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨初等变换与矩阵的乘法在数学和工程中的应用。
一、初等变换的基本概念与分类初等变换是指矩阵的行（列）允许进行的三种基本运算，包括互换两行（列），某一行（列）乘以一个非零常数，以及某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这三种运算构成了初等变换的基本操作。
初等变换可以分为三类：互换两行（列）的操作，将某一行（列）乘以一个非零常数的操作，以及将某一行（列）加上另一行（列）的若干倍的操作。
这些操作在矩阵乘法中起到重要的作用，能够通过变换将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，从而解决线性方程组、计算行列式等问题。
二、初等变换的应用举例1. 线性方程组求解通过初等变换，我们可以将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后利用矩阵的乘法运算进行计算。
例如，考虑如下线性方程组： 2x + 3y + 4z = 53x + 4y + 5z = 64x + 5y + 6z = 7将其写成增广矩阵的形式：[2, 3, 4, 5][3, 4, 5, 6][4, 5, 6, 7]然后利用初等变换，通过矩阵的乘法运算将其转化为简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵求逆矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，通过初等变换和矩阵的乘法，我们可以求得矩阵的逆。
逆矩阵的运用在计算机图形学、电路分析等领域具有重要意义。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，初等变换和矩阵的乘法可以帮助我们求解矩阵的特征值与特征向量，从而得到矩阵的谱分解、对角化等结果。
三、矩阵的乘法应用举例1. 线性变换线性变换是矩阵乘法在几何学中的一个应用，它可以将向量映射到其他向量空间中。
通过定义一个线性变换矩阵，可以实现对向量的旋转、平移、伸缩等操作，广泛应用于计算机图形学、机器人学等领域。
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质
行倍乘会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
行倍加
定义
行倍加是指将矩阵中的某一行的所有元素加上另一个行的对应元素。
性质
行倍加会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
03
矩阵的初等列变换
定义与性质
定义
矩阵的初等列变换是指通过三种基本操作（列交换、列倍乘、列倍加）对矩阵进 行变换。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且与行变换具有相似的性质，如可逆性、结合性和 分配性。
线性代数第五讲矩阵的初 等变换及其性质
目录
• 矩阵的初等变换 • 矩阵的初等行变换 • 矩阵的初等列变换 • 矩阵的初等变换的应用
01
矩阵的初等变换
定义与性质
定义
矩阵的初等变换是指通过三种基本操 作（交换两行、某行乘以非零数、某 行加上另一行的倍数）将矩阵变为标 准型。
性质
初等变换不改变矩阵的秩，且矩阵经 过初等变换后，其等价标准型是唯一 的。
列交换
总结词
列交换是指交换矩阵中的两列。
详细描述
通过交换矩阵中的两列，可以得到一个新的矩阵。这种变换在解决线性方程组时非常有用，可以改变系数矩阵 的顺序，使其更容易进行后续的行变换。
列倍乘
总结词
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
详细描述
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
列倍加
具体来说，可以通过消元法或迭代法等算法，对方程组的增广矩阵进行初等行变换或列变换，将其化为阶梯形 矩阵，然后回代求解。
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，它 反映了矩阵中线性无关的行或列的个 数。通过矩阵的初等变换，可以求得 矩阵的秩。
具体来说，可以通过将矩阵化为阶梯 形矩阵或行最简形矩阵，然后数矩阵 中非零行的个数，得到矩阵的秩。
矩阵的初等变换及应用(吴礼斌)
对 B 进一步化为行简化矩阵
3. 求逆矩阵
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046
2
线性代数
0 1 1 设矩阵 A = 1 1 2 ，求 A −1 。 2 −1 0
解：A 是 3 阶矩阵，在 A 的右边写上 3 阶单位矩阵，并对其施行初等行变换，得
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046 5
线性代数
其中 c1 , c 2 为任意常数。 （2）求解齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0, 3x + 2 x + x + x − 3x = 0, 1 2 3 4 5 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 0, x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 = 0.
再由行简化形矩阵写出原方程组的同解方程组为
x1 − 2 x2 − 2 x4 = −4 +1 x =5 2 4 2 x3
移项得
x1 = −4 + 2 x 2 + 2 x 4 5 −1 x3 = 2 2 x4
令 x2 = c1 , x4 = c2 ，代入上面同解方程组得原方程组的通解（一般表示形式）为
线性代数
矩阵的初等行变换及应用
一、矩阵的初等行变换概念
定义。 初等行 定义。对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等 初等行变换。 变换 (1)交换矩阵某两行的位置； (2)用一个非零数乘以矩阵某一行的每一个元； (3)将矩阵某一行的元都乘以数 λ 后对应加到另一行上. 并称(1)为换法行变换，称(2)为倍法行变换，称(3)为倍加行变换. 若把对矩阵施行的三种“行”变换改为对“列”的三种变换，称为矩阵的初等列 变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 初等变换。 初等变换。 为了表示的方便，我们引入如下的一组变换运算符号： ri ↔ rk 表示交换矩阵的第 i 行与第 k 行的位置；
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矩阵的初等变换及应用
内容摘要：
矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代
数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念
定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,….,
n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵
二矩阵初等变换的概念
定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换
1. 初等行变换
矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.);
(2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…);
(3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为).
1.初等列变换
把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换
3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
⑴反身性；
(2) 对称性若小丄,，则；
(3) 传递性若丄丄,/,则」.
三矩阵初等变换的应用
1.利用初等变换化矩阵为标准形
定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形
■
4■
■
1
F行二0
■
■
< 泓1
2. 利用初等变换求逆矩阵
求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1)
即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1))
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化
为行阶梯形矩阵时，
若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵」可逆，则求解矩阵方程丄「丄「等价于求矩阵
X=A A S,
为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵J 匚，对其施以初等行变换将矩阵」化为单位矩阵.，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵丄「化为二丁，即
这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程二I -］的方法.
同理，求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利
用初等列变换求矩阵二：.即
3. 利用矩阵初等变换求矩阵的秩
矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线
性方程组等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的，这个数实质上就是矩阵的“秩”，鉴于这个
数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.
定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R(A) =R(B)
为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
4. 行列式的计算一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形5．求线性方程组的解一般格式:
(1)齐次线性方程组AX=O , A是m x n矩阵
1 °对系数矩阵A 进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出
r(A) 。
若r(A)=n，贝U AX=0，只有零解；若r(A) v n, 则AX=0有非零解，转入2°
2°对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的
线性方程组，以非零行首个非零元对应的k 个未知量为基本未知量，其余的n-k 个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令
自由未知量中一个为1 ，其余全为0，求得AX=0 的基础解系：X 1, X 2,…,Xn-k
3 ° n-k个解向量的线性组合：C 1 X 1 +C2X 2 +…+Cn-kXn-k(C 1, C2,…，Cn-k为任意常数)就是AX=0 的通解。
⑵非齐次线性方程组AX=B , A是m x n矩阵
1°对增广矩阵(AB) 进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，
求出r(A)与r(AB)，若r(A) v r(AB)，则AX=B 无解；若
r(A)=r(AB) 则AX=B 有解，转入2°
2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n ，则AX=B 有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若
r(A)=r(AB)=k v n,贝U AX=B有无穷多解，转入3°
3°以非零行的首个非零元对应的k 个未知量为基本未知量，
其余n-k 个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B 的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B 的一个特解X0
4°在AX=B 的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0 的一般解，分别令一个自由未知量为1 其余自由未知量都为
0,求出导出组AX=0的基础解系，X 1, X 2,…，Xn-k与
通解C 1 X 1 + C2 X2 +••• + C n-kXn-k
5°AX=B 的一个特解加导出组AX=0 的通解C1 X1+C 2
X2+…+Cn -kXn-k+X0(C 1,…，Cn-k 为任意常数)就是AX=B 的通解。
6. 确定向量组的线性相关性
—般格式：设向量组为a 1 a 2 ............. a m，以a 1 a 2 ......... a m 为列构成矩阵A ，对A 施行
初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出
其秩r (A),若r (A) =m,
贝》a 1 a 2 a m线性无关，若r (A) <m , 则a 1 a 2……a m线性相关。
7. 确定一向量能否由另一向量线性表出
一般格式：以向量组a 1 a 2 ............ a m与向量B为列构成矩阵A，然后对A施行初等行变换，化为行最简形矩阵B
8. 求向量组的秩与极大无关组
—般格式：设向量组a 1 a 2 ........... a m，以它们为列构成矩阵A
B的非零行的首个元素所在的列向量对应的 a 1 a 2……a m中
的向量a i1 ....... a ir
构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组 a 1 a 2……a m 的秩。
结论
矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。
但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。
计算格式1 既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施行这些变换时要注意使行列式保值。
计算格式3 既可以用初等行变换也可以用初等列变换，但是我们一般只用初等行变换。
其余计算格式只能使用初等行变换。