第3章 数据分析初步 3.3 方差和标准差
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要点精析：
x1 x x2 x xn x n
.
(1)极差能够反映数据的变化范围．
(2)标准差(或平均差)与方差一样反映的是数据在平均数附
近的波动情况，标准差(或平均差)越大，数据的波动越大．
知2－讲
例2 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示 (有两个数据被遮盖).
知3－讲
解：(2)A与B比较，B组中各数据比A组中对应的数据多 10，相应地 x B x A 10, 而方差不变，即
2 2 SB SA .
A与C比较，C组中各数据为A组中对应的数据的
2 2 2 x 10 x , S 10 S 10倍，相应地 C A C A.
A与D比较，D组中各数据比A组中对应的数据的
够完成的生产零件个数.定额太低，不利于提高效
率；定额太高，不利于提高积极性，因此我们可以 从平均数、中位数、众数这几个统计量中考虑如何 确定定额.
（来自《教材》）
知4－讲
解： 15名工人这一天生产的机器零件的平均个数是
x 6 1 7 2 8 4 9 1 10 2 11 1 13 1 15 2 16 1 15 10.1(个).
(1)分别算出甲、乙两人的平均成绩.
(2)根据这两人的成绩，在图3-1中画出折线统计图.
(3)现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪 一位比较适宜？为什么？
知1－导
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射
击成绩都接近平均数8，而乙每次的射击成绩偏离平
均数较大.在评价数据的稳定性时，我们通常将各数 据偏离平均数的波动程度作为指标.
知1－导
现在我们来计算甲、乙两人每次射击成绩与平均 成绩的偏差的平方和. 甲:(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2 ＝2 ； 乙:(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16.
你发现了什么?
如果直接计算甲、乙 每次射击成绩与平均数的
（来自《教材》）
1.方差或标准差反映的是一组数据的稳定程度或波
哪块地小麦长得比较整齐？ 解： x甲
1 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 13(cm); 10 1 x乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 13(cm); 10 2 2 2 2 2 1 2 S甲 [ 12 13 13 13 14 13 15 13 10 13 10 2 2 2 2 2 16 13 13 13 11 13 15 13 11 13 ]
组员 得分 甲 81 乙 79 丙 丁 戊 标准差 平均成绩 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是( D ) A．80，2 B．80， 2 C．78，2 D．78， 2 导引： 根据题意得：80×5－(81＋79＋80＋82)＝78， 标准差为
81 80
2
79 80 78 80 80 80 82 80
第3章
数据分析初步
3.3
方差和标准差
1
课堂讲解
方差的概念和计算 标准差的概念和计算
2
课时流程
逐点 导讲练
方差的变化规律
统计量的选择
课堂 小结 作业 提升
如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试
成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选 手？
知1－导
知识点
合作学习
1
方差的概念和计算
甲、乙两人的测试成绩统计如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8
偏差的和，结果如何？
（来自《教材》）
知1－导
归
纳
容易看出，上述各偏差的平方和的大小还与射
击的次数有关.所以我们可进一步用各偏差平方的平
均数来衡量数据的稳定性.
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数
1 S x1 x n
2
x
2
2
x
2
xn x
x
2
2
x
2
2
2，则S＝________ .
知3－讲
知识点
3 方差的变化规律
方差是一组数据中的各数据与它们平均数的差的
平方的平均数，它能具体地反映数据的波动情况，并
且反映的是所有数据的平均波动情况．方差越大，数 据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．根据方 差的性质可以进行科学的决策.
的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平
均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时， 比较方差，选择波动较小的一组数据．
知1－练
1
某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行 统计分析，结果如下：
2 2 x甲 1.69m， x乙 1.69m,S甲 0.0006, S乙 0.0315，
3.6(cm2 );
（来自《教材》）
知1－讲
2 S乙
2 2 2 2 2 1 [ 11 13 16 13 17 13 14 13 13 13 10 2 2 2 2 2 19 13 6 13 8 13 10 13 16 13 ]
（来自《教材》）
知4－讲
总
结
在实际情境中，车间管理者在决策时可能还需 要考虑其他一些因素，如 技术的更新、工人素质的 提高等.
（来自《教材》）
知4－练
1
一分钟投篮测试规定，得6分及以上为合格，得9分及以上
为优秀，甲、乙两组同学的一次测试成绩如下： 成绩(分) 甲组人数 乙组人数 4 1 1 5 2 1 6 5 4 7 2 5 8 1 2 9 4 2
则这两名运动员中的________的成绩更稳定。 2 (中考· 上海)下列各统计量中，表示一组数据波动程 度的量是( A．平均数 C．方差 ) B．众数 D．频率
知1－练
3
(中考· 广州)两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经 计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学 的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的 ( )
生产零件的个数 ( 个 ) 6 工人人数 ( 人 ) 1 7 2 8 4 9 10 11 13 15 16 1 2 1 1 2 1
为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实 行“每天定额生产，超产有奖”的措施.如果你是管 理者，你将如何确定这个定额？
（来自《教材》）
知4－讲
管理者所确定的定额应该是大多数工人经过努力能 分析：
知4－练
2
某工艺品厂草编车间共有 16 名工人，调查每个工人的 日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力(件） 10 人数 1 11 3 12 5 13 4 14 2 15 1
(1)求这16名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数. (2) 若要使占75%的工人都能完成任务，应选什么统计量 ( 平均数、中位数、众数)作日生产件数的定额？
2
叫做这组数据的方差(variance). 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株
苗，测得苗高如下(单位：cm):
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11; 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
S甲 3.6 1.90(cm); S乙 15.8 3.97(cm).
（来自《教材》）
知2－讲
1.拓展：
(1)极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据 的极差；即：极差＝最大值－最小值．
(2)平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对
值的平均数叫做这组数据的平均差，即：
平均差
D：3
5
7
9
11
2 7 8 x D ________ ，SD ________ ；
知3－讲
(2)比较A与B，C，D的计算结果，你发现了什么规
律？
(3)若一组数据x1，x2，· · · ，xn的平均数为 x, 方差为 S2，则另一组数据 3x1－2，3x2－ 2，· · · ，3xn－2 的平均数是________，方差是________． 导引： 分别求平均数与方差，寻找规律，然后根据规律解 决问题．
A．众数
C．方差
B．中位数
D．以上都不对
知2－讲
知识点
2 标准差的概念和计算
一般地，一组数据的方差的算术平方根
1 S x1 x n
x
2
2 x
2
xn x
2
称为这组数据的标准差(standard deviation). 上例中，两个标准差分别是：
15.8(cm2 ).
2 2 因为 S甲 所以甲这块地的小麦长得比较整齐. ＜S乙 ，
（来自《教材》）
知1－讲
总
结
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先 计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数
据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据
的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的 习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据
知3－练
1 如图是小强同学根据杭
州市某天上午和下午各 四个整点时的气温绘制 成的折线统计图. 根据该统计图回答：
该天上午和下午的气温
哪个更稳定？ 答: __________________; 理由是___________________________.
（来自《教材》）
知3－练
2
如果一组数据 x1 ， x2 ， … ， xn 的方差是 3 ，则另一组 数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是( ) B．8 C．9 D．14
2 2 22 SA . 2倍多1，相应地 x D 2 x A 1, SD
(3) 3 x 2;9S 2
知3－讲
总
结
(1)若将一组数据的每个数都加上(或减去)同一个数，
则新数据的平均数也加上(或减去)这个数，方差 不变． (2)若将一组数据的每个数都乘(或除以)同一个数(不 为0)，则新数据的平均数也乘(或除以)这个数，方 差乘(或除以)这个数的平方．
2 2 2
2Fra Baidu bibliotek
5
2.
知2－讲
总
结
先根据平均数的计算公式，求出丙的得分，再 根据标准差公式进行计算即可得出答案．
知2－练
1
数据－2，－1，0，3，5的方差是________，
（来自《教材》）
标准差是__________(精确到0.01).
2 x是平均数，S是标准差，若 x x 1
x
8
x
如果以平均个数“10”作为定额，那么将有8名工 人可能完不成任务，因此不可取. 工人生产零件个数的中位数是9个.如果以中位数 “9”作为定额，那么可能有7名工人完不成任务. 工人生产零件个数的众数是8个.如果以众数“8”作
为定额，那么大多数工人都能完成或超额完成任务，有
利于调动工人的积极性.因此可以把定额确定为8个.
知3－讲
例3 (1)观察下列各组数据并填空：
A： 1
2
3
4
5
2 3 2 x A ________ ，SA ________ ；
B：11
12
13
14
15
2 13 2 x B ________ ，SB ________ ；
C：10
20
30
40
50
2 30 200 ； xC ________ ，SC ________
(1)请你根据上述统计数据，
把下面的图和表补充完 整；
知4－练
一分钟投篮成绩统计分析表 组别 甲组 乙组 6.8 平均数 (分 ) 方差 (分2) 2.56 1.76 中位数 (分 ) 6 合格率 80.0% 86.7% 优秀率 26.7% 13.3%
(2) 下面是小明和小聪的一段对话，请你根据 (1) 中的表， 写出两条支持小聪的观点的理由．
A．3
知4－讲
知识点
4 统计量的选择
平均数、中位数、众数描述一组数据的集中程度， 方差、标准差描述一组数据的离散程度.在实际生活中， 我们不仅关注数据的集中程度，也关注数据的离散程度， 在数据分析时要合理选择和恰当运用.
（来自《教材》）
知4－讲
例4 车间有 15名工人，某一天他们生产的机器零件个数 统计如下:
x1 x x2 x xn x n
.
(1)极差能够反映数据的变化范围．
(2)标准差(或平均差)与方差一样反映的是数据在平均数附
近的波动情况，标准差(或平均差)越大，数据的波动越大．
知2－讲
例2 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示 (有两个数据被遮盖).
知3－讲
解：(2)A与B比较，B组中各数据比A组中对应的数据多 10，相应地 x B x A 10, 而方差不变，即
2 2 SB SA .
A与C比较，C组中各数据为A组中对应的数据的
2 2 2 x 10 x , S 10 S 10倍，相应地 C A C A.
A与D比较，D组中各数据比A组中对应的数据的
够完成的生产零件个数.定额太低，不利于提高效
率；定额太高，不利于提高积极性，因此我们可以 从平均数、中位数、众数这几个统计量中考虑如何 确定定额.
（来自《教材》）
知4－讲
解： 15名工人这一天生产的机器零件的平均个数是
x 6 1 7 2 8 4 9 1 10 2 11 1 13 1 15 2 16 1 15 10.1(个).
(1)分别算出甲、乙两人的平均成绩.
(2)根据这两人的成绩，在图3-1中画出折线统计图.
(3)现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪 一位比较适宜？为什么？
知1－导
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射
击成绩都接近平均数8，而乙每次的射击成绩偏离平
均数较大.在评价数据的稳定性时，我们通常将各数 据偏离平均数的波动程度作为指标.
知1－导
现在我们来计算甲、乙两人每次射击成绩与平均 成绩的偏差的平方和. 甲:(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2 ＝2 ； 乙:(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16.
你发现了什么?
如果直接计算甲、乙 每次射击成绩与平均数的
（来自《教材》）
1.方差或标准差反映的是一组数据的稳定程度或波
哪块地小麦长得比较整齐？ 解： x甲
1 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 13(cm); 10 1 x乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 13(cm); 10 2 2 2 2 2 1 2 S甲 [ 12 13 13 13 14 13 15 13 10 13 10 2 2 2 2 2 16 13 13 13 11 13 15 13 11 13 ]
组员 得分 甲 81 乙 79 丙 丁 戊 标准差 平均成绩 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是( D ) A．80，2 B．80， 2 C．78，2 D．78， 2 导引： 根据题意得：80×5－(81＋79＋80＋82)＝78， 标准差为
81 80
2
79 80 78 80 80 80 82 80
第3章
数据分析初步
3.3
方差和标准差
1
课堂讲解
方差的概念和计算 标准差的概念和计算
2
课时流程
逐点 导讲练
方差的变化规律
统计量的选择
课堂 小结 作业 提升
如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试
成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选 手？
知1－导
知识点
合作学习
1
方差的概念和计算
甲、乙两人的测试成绩统计如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8
偏差的和，结果如何？
（来自《教材》）
知1－导
归
纳
容易看出，上述各偏差的平方和的大小还与射
击的次数有关.所以我们可进一步用各偏差平方的平
均数来衡量数据的稳定性.
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数
1 S x1 x n
2
x
2
2
x
2
xn x
x
2
2
x
2
2
2，则S＝________ .
知3－讲
知识点
3 方差的变化规律
方差是一组数据中的各数据与它们平均数的差的
平方的平均数，它能具体地反映数据的波动情况，并
且反映的是所有数据的平均波动情况．方差越大，数 据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．根据方 差的性质可以进行科学的决策.
的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平
均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时， 比较方差，选择波动较小的一组数据．
知1－练
1
某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行 统计分析，结果如下：
2 2 x甲 1.69m， x乙 1.69m,S甲 0.0006, S乙 0.0315，
3.6(cm2 );
（来自《教材》）
知1－讲
2 S乙
2 2 2 2 2 1 [ 11 13 16 13 17 13 14 13 13 13 10 2 2 2 2 2 19 13 6 13 8 13 10 13 16 13 ]
（来自《教材》）
知4－讲
总
结
在实际情境中，车间管理者在决策时可能还需 要考虑其他一些因素，如 技术的更新、工人素质的 提高等.
（来自《教材》）
知4－练
1
一分钟投篮测试规定，得6分及以上为合格，得9分及以上
为优秀，甲、乙两组同学的一次测试成绩如下： 成绩(分) 甲组人数 乙组人数 4 1 1 5 2 1 6 5 4 7 2 5 8 1 2 9 4 2
则这两名运动员中的________的成绩更稳定。 2 (中考· 上海)下列各统计量中，表示一组数据波动程 度的量是( A．平均数 C．方差 ) B．众数 D．频率
知1－练
3
(中考· 广州)两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经 计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学 的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的 ( )
生产零件的个数 ( 个 ) 6 工人人数 ( 人 ) 1 7 2 8 4 9 10 11 13 15 16 1 2 1 1 2 1
为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实 行“每天定额生产，超产有奖”的措施.如果你是管 理者，你将如何确定这个定额？
（来自《教材》）
知4－讲
管理者所确定的定额应该是大多数工人经过努力能 分析：
知4－练
2
某工艺品厂草编车间共有 16 名工人，调查每个工人的 日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力(件） 10 人数 1 11 3 12 5 13 4 14 2 15 1
(1)求这16名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数. (2) 若要使占75%的工人都能完成任务，应选什么统计量 ( 平均数、中位数、众数)作日生产件数的定额？
2
叫做这组数据的方差(variance). 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株
苗，测得苗高如下(单位：cm):
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11; 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
S甲 3.6 1.90(cm); S乙 15.8 3.97(cm).
（来自《教材》）
知2－讲
1.拓展：
(1)极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据 的极差；即：极差＝最大值－最小值．
(2)平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对
值的平均数叫做这组数据的平均差，即：
平均差
D：3
5
7
9
11
2 7 8 x D ________ ，SD ________ ；
知3－讲
(2)比较A与B，C，D的计算结果，你发现了什么规
律？
(3)若一组数据x1，x2，· · · ，xn的平均数为 x, 方差为 S2，则另一组数据 3x1－2，3x2－ 2，· · · ，3xn－2 的平均数是________，方差是________． 导引： 分别求平均数与方差，寻找规律，然后根据规律解 决问题．
A．众数
C．方差
B．中位数
D．以上都不对
知2－讲
知识点
2 标准差的概念和计算
一般地，一组数据的方差的算术平方根
1 S x1 x n
x
2
2 x
2
xn x
2
称为这组数据的标准差(standard deviation). 上例中，两个标准差分别是：
15.8(cm2 ).
2 2 因为 S甲 所以甲这块地的小麦长得比较整齐. ＜S乙 ，
（来自《教材》）
知1－讲
总
结
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先 计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数
据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据
的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的 习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据
知3－练
1 如图是小强同学根据杭
州市某天上午和下午各 四个整点时的气温绘制 成的折线统计图. 根据该统计图回答：
该天上午和下午的气温
哪个更稳定？ 答: __________________; 理由是___________________________.
（来自《教材》）
知3－练
2
如果一组数据 x1 ， x2 ， … ， xn 的方差是 3 ，则另一组 数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是( ) B．8 C．9 D．14
2 2 22 SA . 2倍多1，相应地 x D 2 x A 1, SD
(3) 3 x 2;9S 2
知3－讲
总
结
(1)若将一组数据的每个数都加上(或减去)同一个数，
则新数据的平均数也加上(或减去)这个数，方差 不变． (2)若将一组数据的每个数都乘(或除以)同一个数(不 为0)，则新数据的平均数也乘(或除以)这个数，方 差乘(或除以)这个数的平方．
2 2 2
2Fra Baidu bibliotek
5
2.
知2－讲
总
结
先根据平均数的计算公式，求出丙的得分，再 根据标准差公式进行计算即可得出答案．
知2－练
1
数据－2，－1，0，3，5的方差是________，
（来自《教材》）
标准差是__________(精确到0.01).
2 x是平均数，S是标准差，若 x x 1
x
8
x
如果以平均个数“10”作为定额，那么将有8名工 人可能完不成任务，因此不可取. 工人生产零件个数的中位数是9个.如果以中位数 “9”作为定额，那么可能有7名工人完不成任务. 工人生产零件个数的众数是8个.如果以众数“8”作
为定额，那么大多数工人都能完成或超额完成任务，有
利于调动工人的积极性.因此可以把定额确定为8个.
知3－讲
例3 (1)观察下列各组数据并填空：
A： 1
2
3
4
5
2 3 2 x A ________ ，SA ________ ；
B：11
12
13
14
15
2 13 2 x B ________ ，SB ________ ；
C：10
20
30
40
50
2 30 200 ； xC ________ ，SC ________
(1)请你根据上述统计数据，
把下面的图和表补充完 整；
知4－练
一分钟投篮成绩统计分析表 组别 甲组 乙组 6.8 平均数 (分 ) 方差 (分2) 2.56 1.76 中位数 (分 ) 6 合格率 80.0% 86.7% 优秀率 26.7% 13.3%
(2) 下面是小明和小聪的一段对话，请你根据 (1) 中的表， 写出两条支持小聪的观点的理由．
A．3
知4－讲
知识点
4 统计量的选择
平均数、中位数、众数描述一组数据的集中程度， 方差、标准差描述一组数据的离散程度.在实际生活中， 我们不仅关注数据的集中程度，也关注数据的离散程度， 在数据分析时要合理选择和恰当运用.
（来自《教材》）
知4－讲
例4 车间有 15名工人，某一天他们生产的机器零件个数 统计如下: