江苏省南京三中学年高二数学12月月考(无答案)
2022-2023学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．102．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2 B ．0C ．2D ．±23．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x 4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车 6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√338．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA→的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝1011．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ）A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为4√2C．圆M上一定存在4个点到l的距离为2√2D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知a＞0，若圆（x﹣a）2+y2＝2与圆x2+（y﹣a）2＝8外切，则a＝．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18．则这组数据的70百分位数是．15．设函数f（x）＝2x+log a x﹣8（a＞1）的零点为x0．若x0≥3，则a的最小值为．16．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且P A⊥PB，则F A+FB的最小值是．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱BC上的点（不与点C重合），AD⊥DC1．（1）证明：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若AC＝CC1＝2，求CC1与平面ADC1所成角的正弦值．19．（12分）已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x﹣1上，直线2x+y＝0与圆M相切．（1）求圆M的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段PB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．10解：∵（2+i ）z ＝3﹣4i ，∴z =3−4i2+i =(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ， ∴|z|=√(25)2+(−115)2=√5． 故选：B ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行， 所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，检验当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意， 故m ＝﹣2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x解：双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，可得e =ca =√3， 即有c =√3a ，由c 2＝a 2+b 2， 可得b =√2a ，即有渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故选：B ．4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：因为直线y =√3x 的倾斜角为60°，直线y ＝x +1的倾斜角为45°，由直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称可得l 与y =√3x 与直线y ＝x +1的夹角相等，都为15°， 所以直线l 的倾斜角为30°． 故选：B ．5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车解：两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米； 则上底面积S ＝18×8，中截面积S 0＝19×9，下底面积S 1＝20×10， 所以该建筑材料的体积为V =16×1×(144+684+200)=5143立方米， 所以建筑材料重约5143×32=257（吨），需要的卡车次为257÷4＝64.25，所以至少需要运65车． 故选：B ．6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3解：已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β）， 整理得：sin αcos β+cos αsin β＝2sin αcos β﹣2cos αsin β， 故sin αcos β＝3cos αsin β， 所以tanαtanβ=3．故选：D ． 7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．√33解：由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 又|F 1B |：|F 2B |＝7：3， 所以|BF 1|=7a 5，|BF 2|=3a 5， 根据题意可得|AF 1|＝|AF 2|=√c 2+b 2=a ， 所以|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝a +3a5， 所以cos ∠F 1BF 2＝cos ∠F 1BA ， 所以|BF 1|2+|BF 2|2−|F 1F 2|22|BF 1||BF 2|=|BF 1|2+|AB|2−|AF 1|22|BF 1||AB|，所以(7a 5)2+(3a 5)2−(2c)22×7a 5×3a 5=(7a 5)2+(a+35a)2−a 22×7a 5×(a+3a5)， 所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=49a 2+64a 2−25a 2112a 2，所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=1114，所以25a 2＝100c 2， 所以c 2a 2=14，所以e =c a =12， 故选：C ．8．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA →的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4解：分别以AD ，AB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，B （0，3），D （2，0）， AB →=（0，3），AD →=（2，0），E 在线段CD 上，设E （2，m ），（0≤m ≤3），AE →=（2，m ）， 设AF →=k AE →=（2k ，mk ），则BF →=AF →−AB →=（2k ，mk ﹣3）， ∵BF ⊥AE ，∴BF →⋅AE →=4k +m （mk ﹣3）＝0，k =3mm 2+4， DF →=AF →−AD →=（2k ﹣2，mk ），DF →⋅DA →=（2k ﹣2，mk ）•（﹣2，0）＝4﹣4k ＝4−12mm 2+4， m ＝0，DF →⋅DA →=4， 0＜m ≤3时，12m m 2+4=12m+4m≤2√m⋅m=3，当且仅当m =4m ，即m ＝2时，取等号， 此时，DF →⋅DA →的最小值为1． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定解：由图可以看出，甲城市7天的气温为：22°C ，22°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ，26°C ， 乙城市7天的气温为：23°C ，23°C ，24°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ， 对于A ，乙城市日均气温的极差为25°C ﹣23°C ＝2°C ，故A 错误， 对于B ，乙城市日均气温的众数为24°C ，故B 正确，对于C ，甲城市的中位数为24°C ，甲城市的平均数为17×(22+22+24+24+25+25+26)=24°C ，故C 正确，对于D ，由图中可以看成，乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错误． 故选：BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝10解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的准线为x ＝﹣1，故A 正确； 由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的焦点坐标为F （1，0）， ∴点F 到直线l 的距离为d =|1−0−2|√1+1=√22，故B 正确；由{y =x −2y 2=4x ，消去x 得y 2﹣4y ﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴y 1+y 2＝4，y 1y 2＝﹣8，∴x 1x 2=116（y 1y 2）2＝4，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝4﹣8＝﹣4，故∠AOB ≠π2，故C 不正确； 由弦长公式得|AB |=√(1+1k2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+1)[42−4×(−8)]=4√6，故D 不正确．故选：AB ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ） A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π解：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(13，1，23)，CP →=(13，0，23)，AD →=(−1，0，0)， 设异面直线CP 与AD 所成角为θ∈(0，π2]， 则cosθ=|cos ＜CP →，AD →＞|=|CP →⋅AD →||CP →|⋅|AD →|=|(13，0，23)⋅(−100)|√19+49=√55，故sinθ=√1−cos 2θ=2√55，tanθ=2，A 错误； 如图2，因为AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，因为BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1，故当点P 在BC 1上运动时，点P 到平面ACD 1的距离不变，即当C 1P →=λC 1B →(0＜λ＜1)时，四面体D 1ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接PB 1，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，B 1P ⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥B 1P 1，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，EP ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥EP ，因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设P （m ，1，n ），0≤m ≤1，0≤n ≤1，其中B 1（1，1，1）， 当PB 1＝PE 时，√(m −1)2+(1−1)2+(n −1)2=n ， 整理得：n =12(m −1)2+12，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当C 1P →=12C 1B →时，P 为BC 1的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN ∥CC 1，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ ∥PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM ∥QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ，则OB =OP =R ，OM =QN =12，OQ =MN ， 其中QB =√22，PN =12，设OQ ＝MN ＝h ，则PM =12−ℎ， 由勾股定理得OB =√OQ 2+QB 2=√ℎ2+12，OP =√OM 2+PM 2=√(12−ℎ)2+14，故√ℎ2+12=√(12−ℎ)2+14，解得：h ＝0，故R =√02+12=√22，4πR 2=2π， 当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确．故选：BCD ．12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为4√2C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为2√2D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上解：M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0化为标准方程：M ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝18．设M 到直线l 的距离为d ，则d ≤|OM |=√2， 对于A ：由垂径定理|AB|2=√18−d 2≥√16=4，即|AB |≥8，当且仅当d =√2，即OM ⊥l 时取等号，故弦AB 长的最小值为8，故A 正确；对于B ：△MAB 面积为12|AB|⋅d =d √18−d 2=√−d 4+18d 2，令t ＝d 2，则：△MAB 面积为√−t 2+18t ，t ∈（0，2]，而y ＝﹣t 2+18t ＝﹣（t ﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以y max ＝y |t ＝2＝32，于是△MAB 面积的最大值为4√2，B 正确；对于C ：当OM ⊥l 时，d =√2，到l 的距离为2√2的点由3个，C 错误；对于D ：A ，B 两点处圆的切线的交点坐标为（m ，n ），则直线AB 为切点弦所在直线方程，为：mx +ny +m +x ﹣（n +y ）﹣16＝0，由于直线AB 过原点，所以m ﹣n ﹣16＝0，即A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则a ＝ 3 ． 解：因为a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则√a 2+a 2=√2+2√2=3√2， 所以a ＝3． 故答案为：3．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18． 则这组数据的70百分位数是 13 ．解：根据题意，共有15个数据，则有15×0.7＝10.5， 故这组数据的70百分位数第11个数据，即13； 故答案为：13．15．设函数f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）的零点为x 0．若x 0≥3，则a 的最小值为 √3 ．解：由于y ＝2x +8和y ＝log a x （a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，则0＝f （x 0）≥f （3），即log a 3﹣2≤0，也即log a 3≤2（a ＞1），从而a 2≥3且a ＞1，故a ≥√3，故a 的最小值为√3， 故答案为：√3．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是 11 ．解：由抛物线C ：x 2＝4y ，可得焦点为F （0，1）， ∵点P 的坐标为（2，1），∴点P 在抛物线上，∵动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，∴P A ，PB 斜率存在且不为0，设P A 的斜率为k ，PB 的斜率为−1k，则直线P A 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）， 由{y −1=k(x −2)x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣4k +2）＝0，∴x ＝2或x ＝4k ﹣2，∴点A 的坐标为（4k ﹣2，k （4k ﹣4）+1），即A （4k ﹣2，4k 2﹣4k +1）， 同理可得B （−4k −2，4k 2+4k+1），∴|F A|+|FB|＝4k2﹣4k+1+1+4k2+4k+1+1＝4（k2﹣k+1k2+1k+1）＝4[（k−1k）2﹣（k−1k）+3），令t＝k−1k，则|F A|+|FB|＝4（t2﹣t+3）＝4[（t−12）2+114]≥11，当t=12时，等号成立，故|F A|+|FB|的最小值是11．故答案为：11．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：因为cosB=2√77，B为三角形内角，则sinB=√1−cos2B=√217，选①：（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，展开得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为A为三角形内角，故A＝60°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即b217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；选②：tanA=√3bcb2+c2−a2，由余弦定理得sinAcosA=√3bc2bccosA，故sinA=√32，因为A为三角形内角，故A＝60°或120°，当A＝60°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；当A＝120°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77−12×√217=√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=√2114，解得b＝6，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×6×3×√32=9√32， 综上△ABC 的面积为3√32或9√32；选③：asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0， 从而sinA =√3cosA ，显然cos A ≠0，所以tanA =√3， 因为A 为三角形内角，所以A ＝60°，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×2√77+12×√217=3√2114， 由正弦定理得bsinB=c sinC ，即√217=3√2114，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 18．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），AD ⊥DC 1． （1）证明：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若AC ＝CC 1＝2，求CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值．解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 故C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故AD ⊥C 1C ， 又C 1C ∩C 1D ＝C 1，故AD ⊥平面BCC 1B 1， 又AD ⊂平面ADC 1，故平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）由（1）得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1，且AD ⊥BC ，故D 为BC 的中点， 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则∠CC 1H 即为CC 1与平面ADC 1所成角， 因为AC ＝CC 1＝2，故CD ＝1，C 1D =√5， 所以sin ∠CC 1D =CD C 1D =√55，故CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√55．19．（12分）已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，直线2x +y ＝0与圆M 相切． （1）求圆M 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，设圆的圆心（a ，a ﹣1），直线2x +y ＝0与圆M 相切．可得√a 2+(a −1)2=|2a+a−1|5，解得a ＝2，所以圆的圆心（2，1），半径为：√5， 所以圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．（2）圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．圆的圆心（2，1），半径为√5，如图，圆的图形如图，圆过原点，并且经过（0，2）点，过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，观察可知，y 轴，就是所求直线之一，即x ＝0，M 到y 轴的距离为2，所以设另一条直线l 的方程为y ＝kx +4， 可得√1+k 2=2，解得k =−512， 所以另一条直线l 的方程为y =−512x +4．即5x +12y ﹣48＝0． 综上所求直线方程为：x ＝0或5x +12y ﹣48＝0．20．（12分）某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中0＜p ＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率． 解：（1）由题意可知，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)=13， 解得，p =23，q =12；（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况有两种，当甲恰好得8分时的概率为：C 21×23×13×12×12=19， 当甲恰好得10分的概率为：23×23×12×12=19，所以甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率：19+19=29．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ， 由条件得|QA|+|QB|=|QA|+|QT|=|AT|=r =4＞2√3=|AB|， 所以Q 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2√3， 所以b ＝1，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足题意的直线l ，且l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx +2（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{y =kx +2x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，解得k 2＞34， 则x 1+x 2=−16k 1+4k2，又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=41+4k2，所以MN 的中点坐标为(−8k 1+4k2，21+4k2)，因此，MN 的中垂线方程为y −21+4k2=−1k(x +8k 1+4k2)，要使|PM |＝|PN |，则点P （0，﹣1）应在MN 的中垂线上， 所以−1−21+4k2=−1k ⋅8k 1+4k 2，解得k 2=54＞34， 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为y =±√52x +2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：（1）依题意可得M （﹣a ，0），N （a ，0），又点P （﹣1，1） 所以PM →=（﹣a +1，﹣1），PN →=（a +1，﹣1）， 由PM →⋅PN →=2﹣a 2＝1，可得a ＝1， 又双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，所以ca=√3，c =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）可得M （﹣1，0），N （1，0），若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ，不合题意，故l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝k （x +1）+1，联立{y =k(x +1)+12x 2−y 2=2，可得（2﹣k 2）x 2﹣（2k 2+2k ）x ﹣k 2﹣2k ﹣3＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+2k 2−k2，x 1x 2=k 2+2k+3k 2−2，直线OP 的方程为：y ＝﹣x ，直线AN 的方程为y =y 1x 1−1（x ﹣1）， 即可得D （y 1x 1+y 1−1，−y 1x 1+y 1−1），则k 1k 2=−y 1x 1+y 1−1y 1x 1+y 1−1+1⋅y 2x 2+1=y 1y 2(x 1+2y 1−1)(x 2+1)=k 2x 1x 2+(k 2+k)(x 1+x 2)+k 2+2k+1(2k+1)(x 1+x 2+x 1x 2+1)=k 2⋅k 2+2k−12−k2+k 2+2k+1(2k+1)(k 2−32−k2+1)=4k+22k+1=2．所以k1k2为定值．。
江苏省南京市2023～2024学年九年级上学期12月月考数学试卷
数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每个小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．一元二次方程x (x －1)＝0的根是A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝2，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝12．平面内，若⊙O 的半径为2，OPP 在⊙OA ．内B ．上C ．外D ．内或外3．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点A ．（－4，2）B ．（－2，－4）C ．（2，4）D ．（4，－2）4．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是A ．5，4B ．5，6C ．6，5D ．6，65．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是A ．c ＜0B ．b 2－4ac ＜0C ．a －b ＋c ＜0D ．图象的对称轴是直线x ＝36．如图，已知点C 为圆锥母线SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB ＝6，AB ＝4．一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为A ．5B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．二次函数y ＝(x ＋1)2＋2图象的顶点坐标为▲．8．一组数据：2，3，－1，5的极差为▲．9．已知x 1、x 2是方程x 2－2x －4＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为▲．10．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的图象所对应的函数表达式为▲．（第5题）（第6题）11．如图，若甲、乙比赛成绩平均数相等，则2S 甲▲2S 乙（填“＞”、“＜”或“＝”)．12．已知圆锥的底面半径为6cm ，母线长为8cm ，它的侧面积为▲2cm ．13．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x ，可得方程▲．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD 至点E ，已知∠AOC ＝140°，那么∠CDE＝▲°．15．如图，点E 在y 轴上，⊙E 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，若C （0，9），D （0，－1），则线段AB 的长度为▲．16．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，点D 为平面内一点，且∠BDC ＝90°，以AC 、CD 为边作□ACDE ，则CE 的最小值为▲．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）解下列方程：（1）x 2＋4x －1＝0；（2）2x (x －3)＝x －3．（第11题）（第14题）（第15题）（第16题）18.（8分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7（1）将下表填写完整：平均数极差方差甲▲3▲乙8▲ 3.2（2）根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会▲（填“变大”或“变小”或“不变”）．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…－3－2－101…y…0－3－4－30…（1）这个二次函数的表达式是▲；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，当－4＜x＜0时，y的取值范围为▲．20．（7分）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）若∠BOC ＝100°，则⌒AB 的度数为▲°；（2）若AB ＝13，BC ＝10，求⊙O 的半径．21．（6分）如图，已知线段a 及∠ACB ．请仅用直尺．．和．圆规．．作⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO ＝a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．（不写作法，保留．．．．．．．作．图痕迹．．．）．22．（8分）若关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x 2＋2x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝－2，则方程x 2＋2x ＝0是“隔根方程”．（1）方程x 2－x －20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0是“隔根方程”，求m 的值．23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是⌒BD的中点，过点C 作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE、DE的长．24．（9分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出▲个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出▲个台灯；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．25.（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当－1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．26．（8分）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为35m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m ，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．27．（10分）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请运用．．此结论．．．，解决以下问题：如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（60°＜α＜180°）．点D 是BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE ，连接BE ．（1）求证：A 、E 、B 、D 四点共圆；（2）如图2，当AD ＝CD 时，⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，求证：AC 是⊙O 的切线；（3）已知α＝120°，BC ＝6，点M 是边BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心P 与点M 距离的最小值．图1图2图1图2备用图。
高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)
专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
2021-2022年高二12月月考 数学 含答案
2021年高二12月月考 数学 含答案一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分)1．命题“如果，那么”的逆否命题是 （ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么 2．已知则是的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90D.180°4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m < D ．m <－1或1<m <25．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( ) A.B.5，2C.D.-5，-27．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）9．已知圆锥曲线的离心率e 为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )A． B． C． D．11．椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）A．198 B．199 C．200 D．20112．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是 .14.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则= 。
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
江苏省南京三中2012-2013学年高二10月阶段性检测数学试题
南京三中2012-2013学年高二10月阶段性检测数学试题一、填空题：（本大题共14小题,每小题3分,计42分，请将各题答案填在答卷相应位置）1、抛物线y x 42=的准线方程为 ▲ ．2、已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上, 若其离心率是,21焦距是８，则该椭圆的方程 为 ▲3．过点P (－3，－2)且与圆：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的直线方程是 ▲ .4、圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ▲ ．5、若双曲线122=-ny m x 的离心率为2，且双曲线的一个焦点恰好是抛物线28y x =的 焦点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．6、圆221:210240C x y x y +-+-=与222:2280C x y x y +++-=公共弦的长为 ▲ ．7、若椭圆1422=+y m x 的离心率为21，则m 为 ▲ ． 8、如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为,2则实数a 的取值范围 是 ▲ ． 9、椭圆131222=+y x 的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 如果线段1PF 的中点M 在y 轴的 正半轴上, 那么点M 的坐标是 ▲ ．10、已知双曲线121422=-y x ，12,F F 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上一点， 且2211,,PF F F PF 成等差数列，则21F PF ∆的面积为 ▲ ．11、已知圆C 1：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线10x y --=对称， 则圆C 2的方程为 ▲ ． 12、已知21,F F 为双曲线136922=-y x 的焦点，点A 在双曲线上，点M 坐标为)3,3(且 21F AF ∆的一条中线恰好在直线AM 上，则线段AM 长度为 ▲ ．13、若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 ▲ ．14.给出下列命题，其中正确命题的序号是 ▲ （填序号）。
南京市江宁区竹山中学2022-2023学年第一学期初二数学12月月考试题及解析
②该药店应如何进货才能使销售总利润最大?并求出最大利润．
27.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内 动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
6.如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】先由∠CAE＝∠BAD得到∠CAB＝∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．
19.计算：
（1） ；
（2） ．
20.求下列各式中x的值：
（1） ；
（2） ．
21.已知某正数的两个平方根分别 和 ， 的立方根为 ．
（1）求 的值．
（2）求 的立方根．
22.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
3.若点 在一次函数 的图像上，则点 一定不在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断 是直角三角形的是（）
A B. ， ，
C. D.
5.如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为E，交 于D，若 ，则 周长为（）
A. B. C. D.
6.如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a3．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．7．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A．①B．②C．③D．④8．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．1210．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．30011．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题。
江苏省南京市秦淮区第一中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案解析)
江苏省南京市秦淮区第一中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中是二次函数的是（）A ．31y x =-B ．21y x x=+C ．22(1)y x x =+-D ．231y x =-2．一组数据：5、4-、3、4、6、8-，这组数据的极差是（）A ．10B ．11C ．13D ．143．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：x11.11.2 1.3 1.4y1-0.49-a0.59 1.16那么方程2350x x +-=的一个近似根的取值范围为（）A ．1 1.1x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1.2 1.3x <<D ．1.3 1.4x <<4．若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），P （8，y 3）在抛物线y ＝12x 2+2x 上，则下列结论正确的是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A ．()2521y x =-+B ．()2521y x =++C ．()2521y x =--D ．()2521y x =+-6．二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a +＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．已知二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，则a 的取值范围是___________．8．学校将平时成绩、期中成绩和期末成绩按3∶3∶4计算学生的学期平均成绩．若某同学的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别是90分、85分、90分，则该同学数学学期平均成绩是_____分．9．在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为45，则袋子内共有球____个．10．已知二次函数2)(5)y x x =-+（的图象与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的长度为___________．11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x …－10123…y…105212…则当y ＜5时，x 的取值范围是_______．12．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上黑色，让一个小球自由滚动，最终停在白色方砖上的概率是___________．13．若函数22y x x m =-+的图像与坐标轴有三个公共点，则m 的取值范围是____________．14．如图，一段抛物线：(3)(03)y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ：将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ：将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A .过抛物线1C ，3C 顶点的直线与1C ，2C ，3C 围成的如图中的阴影部分，那么该面积为_________.15．已知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，其对称轴为直线=1x -，下列结论：①0abc >；②24b ac >；③420a b c -+<；④2a b =；⑤30a c +>．其中，正确的是___________．三、解答题17．用配方法将二次函数2245y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式．18．已知二次函数的图像经过点（0，－4），且当x=2，有最大值—2．求该二次函数的关系式：19．一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．20．甲、乙两人在相同的情况下各打靶10次，打靶成绩（单位：环）如下图所示：(1)填表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）命中9环及9环以上的次数甲▲7 1.2▲乙77.5▲3(2)从两个不同的角度评价甲、乙两人打靶的成绩．21．如图，用一段长为20m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长10m ．设AB 长为x m ，矩形的面积为y 2m ．问：当AB 长为多少米时，所围成的花圃ABCD 面积最大？最大面积是多少？22．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）．(1)求证：不论m 为何值，该函数图像与x 轴没有公共点；(2)把该函数的图像沿y 轴向下平移___________个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x （元/千克）55606570销售量y （千克）70605040(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为多少？24．已知二次函数2123y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；(2)设一次函数2()0y kx b k =+≠的图象经过B 、C 两点，请直接写出满足12y y ≤的x 的取值范围是___________．25．如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．26．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？27．在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：224y ax ax =-+()0a ≠(1)当1a =时①抛物线L 的对称轴为直线x =______.②若在抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，则m 的取值范围是______.(2)抛物线L 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．【详解】A 、31y x =-是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B 、21y x x=+不是二次函数，故此选项不符合题意；C 、22(1)y x x =+-整理后21y x =+是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；D 、231y x =-是二次函数，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．D【分析】根据极差的定义，用最大值减去最小值即可求解．【详解】由题意可知，极差是6(8)14--=．故选：D ．【点睛】本题考查了求极差，掌握极差的定义是解题的关键．3．B【分析】根据解析式求得0a >，观察表格即可求解．【详解】解：由235y x x =+-，当 1.2x =时，21.231.250.040a =+⨯-=>当 1.1x =时，0.490y =-<，∴方程2350x x +-=的一个近似根在1.1和1.2之间．故选：B ．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．4．A【分析】把点M 、N 、P 的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．【详解】解：x ＝﹣2时，y ＝12x 2+2x ＝12×（﹣2）2+2×（﹣2）＝2﹣4＝﹣2，x ＝﹣1时，y ＝12x 2+2x ＝12×（﹣1）2+2×（﹣1）＝12﹣2＝﹣32，x ＝8时，y ＝12x 2+2x ＝12×82+2×8＝32+16＝48，∵﹣2＜﹣32＜48，∴y 1＜y 2＜y 3．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．5．A【分析】根据函数平移的法则：上加下减，左加右减进行求解．【详解】解：∵抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位∴平移后解析式为：()2521y x =-+故选：A【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数平移的法则是解答此题的关键．6．D【分析】由一次函数y=ax+a 可知，一次函数的图象与x 轴交于点（-1，0），即可排除A 、B ，然后根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数y ax a +＝可知，一次函数的图象与x 轴交于点10-（，），排除A B 、；当a 0＞时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a 0＜时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C ；故选D ．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．7．1a <【分析】根据二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，得出二次项系数小于0，即可求解．【详解】 二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，10a ∴-<．故答案为：1a <．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．88.5【分析】根据加权平均数的计算方法列式进行计算，即可得解．【详解】解：根据题意得：该同学数学学期平均成绩是：903853904334⨯⨯⨯＋＋＋＋＝88.5（分）．故答案为：88.5．【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．9．20【分析】设袋子内共有球x 个，利用概率公式得到445x x -=，然后利用比例性质求出x 即可．【详解】解：设袋子内共有球x 个，根据题意得445x x -=，解得x=20，经检验x=20为原方程的解，即袋子内共有球20个．故答案为20．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．10．7【分析】令0y =，解方程，得,A B 的坐标，进而即可求解．【详解】令0y =得：02)(5)x x =-+（，解得：12x =，25x =-，AB ∴的长度为：2(5)7--=，故答案为7．【点睛】本题考查了求二次函数与x 轴的截线长，解一元二次方程是解题的关键．11．04x ＜＜【分析】根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴x ＝2，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大，进一步得出x ＝4时，y ＝5，然后写出y ＜5时，x 的取值范围即可．【详解】由表可知，∵二次函数的两个对称点为（1，2），（3，2）对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜2时，y 随着x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随着x 的增大而增大，∴x ＝4时，y ＝5，∴y ＜5时，x 的取值范围为0＜x ＜4．故答案为：0＜x ＜4．【点睛】此题考查二次函数的性质，利用表格发现数据的对应计算规律得出对称点，求得对称轴是解决问题的关键．12．79【分析】根据概率公式直接求解即可．【详解】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有共7个，故最终停在白色方砖上的概率是：79．故答案为：79．【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率公式求概率是解题的关键．13．m>-1，且m≠0【分析】由抛物线y=x 2-2x+m 与坐标轴有三个公共点知抛物线不过原点且与x 轴有两个交点，据此可得．【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与坐标轴有三个公共点，∴△=（-2）2-4×1×m ＞0，且m≠0，解得：m ＜1且m≠0，故答案为m ＜1且m≠0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数．14．272【分析】先求出点A 1、A 2、A 3的坐标，进一步可求出抛物线C 1的顶点F 、抛物线C 2的顶点H 、抛物线C 3的顶点G 的坐标，由题意可判断F 、A 1、H 三点共线、H 、A 2、G 三点共线，再根据抛物线的对称性可得：S 阴影=S △FGH ，继而可得结果.【详解】解：对于抛物线C 1：(3)(03)y x x x =--≤≤，当y =0时，(3)0x x --=，所以120,3x x ==，∴点A 1的坐标为（3，0）；由题意：将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ，将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，∴点A 2的坐标为（6，0），点A 3的坐标为（9，0）；设抛物线C 1的顶点为F ，抛物线C 2的顶点为H ，抛物线C 3的顶点为G ，则F 、H 、G 的坐标分别为（39,24）、（99,24-）、（159,24），连接A 1F 、A 1H ，如图，根据题意可知F 、A 1、H 三点共线，同理H 、A 2、G 三点共线，∴由抛物线的对称性可得：S 阴影=S △FGH =1153927()22222⨯-⨯=.故答案为272.【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和旋转的性质，解答的关键是把阴影面积转化为△FGH 的面积.15．5【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E ，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值.【详解】解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，，∴当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.16．②③④⑤【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点逐项判断即可．【详解】解：由图像可知，当0x =时，0y <，0c ∴<，a ∴>>0b ∴，则<0abc ∴①不正确；当0y =时，与x 轴有两个交点，则24b ac >；∴②正确；2x =-时，y 0<，即420a b c -+<；∴③正确；对称轴12b x a=-=-，∴2b a =，∴④正确；1x =时，230y a b c a a c a c =++=++=+>．故⑤正确；故答案为：②③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．22(1)7y x =--【分析】根据配方法将一般式化为顶点式即可求解．【详解】解：2245y x x =--()22217x x =-+-()2217x =--，【点睛】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．18．21y x 2x 42=-+-.【详解】试题分析：由二次函数当x=2时，有最大值是—2，得到二次函数的顶点坐标为（2，—2），设出二次函数的顶点式方程，将（0，—4）代入求出a 的值，即可求出二次函数的解析式．试题解析：由二次函数当x=2时，有最大值是—2，得到顶点坐标为（2，—2），设二次函数解析式为()2y a x 22=--（a≠0），将x=0，y=—4代入得：—4=4a—2，解得：1a 2=-.则二次函数解析式为()21y x 222=---，即21y x 2x 42=-+-.考点：待定系数法求二次函数解析式．19．(1)12(2)16【分析】（1）直接根据概率的概念求解；（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A )的结果有2种，所以P (A )＝24＝12．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为事件B )的结果只有1种，所以P (B )＝16．【点睛】用列举法计算概率时，要注意求出事件发生情况的数目及其中一个事件发生的数目，而且每一种情况发生的可能性都相同，需要一次操作即可完成的事件，用概率公式来求解；需要两次或两次以上的操作完成的事件，先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况，再利用概率计算公式求解．20．(1)7；5.4；1(2)甲打靶的成绩更稳定，（答案不唯一）理由见解析【分析】（1）根据图象将甲乙打靶成绩都写出来，然后依据平均数及方差的计算方法求解即可；（2）评价方法可以从平均数或者方差方面进行分析即可．【详解】（1）解：由图可得甲的打靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，∴甲打靶的平均成绩为：()19578768677710+++++++++=，乙的打靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，∴乙打靶的方差为：()()()()()()()()()()22222222222127476787777787979710710S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦=5.4；甲成绩中命中9环及以上的只有1次，故答案为：7；5.4；1；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．例如：①甲、乙打靶的成绩的平均数都是7环，说明两人的打靶实力相当；②甲、乙两人打靶的成绩的方差分别是1.2环2和5.4环2，说明甲打靶的成绩更稳定．【点睛】题目主要考查计算数据的平均数及方差，利用平均数或方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用平均数及方差的计算方法是解题关键．21．AB 长为5m 时，花圃面积最大，最大面积为250m 【分析】根据题意，得出y 关于x 的函数，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．【详解】根据题意得，22(202)2202(5)50y x x x x x =-=-+=--+，∴当5x =时，y 有最大值，y 的最大值为50，∴当AB 长为5m 时，花圃面积最大，最大面积为250m ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．22．(1)见解析(2)3【分析】（1）令0y =，得到方程22230x mx m -++=，计算判别式得出Δ0<，即可得证；（2）将二次函数化为顶点式求得顶点坐标为(,3)m ，进而根据平移后的顶点落在x 轴上，即可求解．【详解】（1）证明：令0y =，得到方程22230x mx m -++=，∴2244(3)120m m ∆=-+=-<，∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点．（2）解：22223()3y x m x m x m =-++=-+ ，∴抛物线2223y x mx m =-++的顶点坐标为(,3)m ，当把抛物线2223y x mx m =-++平移后的顶点落在x 轴上，∴抛物线2223y x mx m =-++沿y 轴向下平移3个单位长度．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴交点问题，二次函数的平移，掌握以上知识是解题的关键．23．(1)2180y x =-+(2)当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元(3)为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为60千克【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）根据利润=销售量×每千克的利润列出二次函数关系式，配方求解即可；；（3）根据题意列出一元二次方程求解，然后根据（1）的结论，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为0y kx b k =+≠（），将表中数据()5570，、()6060，代入得：55706060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2180k b -⎧⎨⎩＝＝．∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．（2）解：设当天的销售利润为w 元，则：502180w x x =--+（）（）()2270800x =--+，∵20-<，∴当70x =时，w 最大值800=．所以，当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元；答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．（3）解：由题意得：()()502180600x x --+=，整理得：214048000x x -+=，解得126080x x ==，．∴为保证某天获得销售利润不低于600元利润，x 范围为：6080x ≤≤由（1）2180y x =-+，∴当60x =时，销售量最大为60千克答：为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为60千克．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24．(1)(1,0)A -，(3,0)B ，(1,4)D -，见解析(2)03x ≤≤【分析】（1）根据解析式，分别令,0x y =，求得与坐标轴的交点坐标，进而根据顶点式求得顶点坐标，根据函数对称性画出图象即可求解；（2）根据交点坐标，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：对于抛物线2123y x x =--，令0y =，得到2230x x --=，解得=1x -或3，∴(1,0)A -，(3,0)B 令0x =，得到=3y -，(0,3)C ∴-，22123(1)4y x x x =--=-- ，∴顶点(1,4)D -．图形如图所示：（2）解：∵()3,0B ,()0,3C -,根据函数图象可知：满足12y y ≤的x 的取值范围为：03x ≤≤．【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴交点坐标，图象法求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．（1）二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）P （﹣4，5）（2，5）．【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A （1，0），C （0，﹣3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，求出b 、c 的值，即可得到函数解析式是y=x 2+2x ﹣3．∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3），∴1b c 0{c 3++==-，解得b 2{c 3==-．∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）求出A 、B 两点坐标，得到AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标：∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1．∴A （1，0），B （﹣3，0）．∴AB=4．设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10，∴12AB•|n|=10，解得：n=±5．当n=5时，m 2+2m ﹣3=5，解得：m=﹣4或2．∴P （﹣4，5）（2，5）．当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5，方程无解．∴P （﹣4，5）（2，5）．26．21(4)49y x =--+，能【分析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，令x ＝7，求出y 的值，与3m 比较即可作出判断．【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，4），求出手时的坐标为（0，209），设抛物线解析式为2(4)4y a x =-+，将点（0，129）代入可得：201649a +=，解得：19a =-，则抛物线的解析式为21(4)49y x =--+，当x =7时，21(74)439y =--+=，∵3m=3m ，∴此球能准确投入．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．27．(1)1m>2或0m <(2)4132a -<≤-或4a =【分析】（1）把1a =代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线L 的对称轴；②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，进而可得m 的取值范围；（2）根据题意先求出点M 、A 、B 的坐标，再结合图象，即可求a 的取值范围．【详解】（1）①∵当1a =时，抛物线L 为224y x x =-+，∴抛物线L 的对称轴为212x -=-=，故答案为：1；②当1a =时，抛物线为224y x x =-+，如图，当2x =或0x =时，14y =，∵抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，∴()2,m y 在点()0,4左边抛物线上或点()2,4右边的抛物线上，∴m 的取值范围是m>2或0m <；故答案为：m>2或0m <；（2）∵抛物线L ：224y ax ax =-+的对称轴为1x =，且对称轴于x 轴交于点M ，∴点M 的坐标为（1，0），∵点M 与点A 关于y 轴对称，∴点A 的坐标为（1-，0），∵点M 向右移3个单位长度得到点B ，∴点B 的坐标为（4，0），依题意，抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，把点A （1-，0）代入224y ax ax =-+可得43a =-；把点B （4，0）代入224y ax ax =-+可得12a =-；把点M （1，0）代入224y ax ax =-+可得4a =；根据图象可知抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点时可得4132a -<≤-或4a =．数图象与几何变换，结合图象作答是解题的关键．。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案
南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。
江苏省南通市部分学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题
A． 7
B．3
C． 3 2
D．5
10．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 (3,0),(0,6) ，过 A、O、B 三点
作圆，点 C 在第一象限部分的圆上运动，连接 CO ，过点 O 作 CO 的垂线交 CB 的延长线
试卷第 2 页，共 7 页
于点 D，下列说法：① AOC BOD ；② tan ODB 1 ；③ CD 的最大值为 15．其中 2
对应点 D ， E ， F ），且 VABC 与 VDEF 的相似比为 2：1．其中点 B 坐标为 4, 2 ．
(1)画出 VDEF ； (2)点 E 坐标为________；
(3)线段 AC 上一点 x, y 经过变换后对应的点的坐标为________．
试卷第 4 页，共 7 页
21．如图，一扇窗户垂直打开，即 OM OP ， AC 是长度不变的滑动支架，其中一端 固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 45 到达 ON 位置，此时，点 A 、 C 的对应位置分别是点 B 、 D ．测量出 ODB 为 30 ，点 D 到 点 O 的距离为 40cm ．
B． 20
C． 22.5
D． 30
6．如图，点 P 是 VABC 的 AB 边上一点，下列条件不一定保证△ ACP ∽△ ABC 的是（ ）
A． ACP B B． APC ACB C． AC AP AB AC
D． PC AC BC AB
7．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形 OABC ．若 AB BC 1，
(1)求 B 点到 OP 的距离； (2)求滑动支架 AC 的长．（结果保留根号）． 22．如图， AB 与 e O 相切于点 A，半径 OC∥ AB ， BC 与 e O 相交于点 D，连接 AD ．
2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题1(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则满足2na n≤的正整数n 的集合为（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3D ．{}1,2,4【正确答案】B【分析】已知n S 求n a 分情况讨论，得到数列通项公式，再通过代入n 值验证不等式即可.【详解】根据21n n S a =-可得，当1n =时，1121S a =-，即11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则()11122n n n a n N --*=⨯=∈，故不等式2na n≤，即22n n -≤，验证可得1,2,3,4n =.故选：B.2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数学期望()E X 是（）A ．115B ．125C ．135D ．145【正确答案】A【分析】本题需要“取到有两种不同颜色的球”，则既有可能是取三次（2白1其他颜色或者2黑1其他颜色），也有可能是取两次（1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色），通过上述计算出它们的概率，再算出它们的期望．【详解】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为23、，()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，所以()411123555E X =⨯+⨯=，所以随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A本题考查的是概率以及期望，计算概率时首先要明白题目所给的限制条件，再根据条件得出满足条件的几种可能，再依次计算出概率．3．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．70B ．70-C ．56D ．56-【正确答案】A【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】根据题意，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()8821881C 1C r r rr r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有()44581C 70T =-=；即81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令X =“任取的5个球中红球的个数”，则()2P X ==（）A ．821B ．623C ．1021D ．1331【正确答案】C【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】()2346510C C 102C 21P X ===.故选：C.5．已知随机变量服从正态分布N (3，4)，则()21E ξ+与()21D ξ+的值分别为（）A ．13，4B ．13，8C ．7，8D ．7，16【正确答案】D【分析】由期望和方差的性质公式可得答案.【详解】由已知得()3E ξ=，()4D ξ=故()()21217E E ξξ+=+=，()()21416D D ξξ+==.故选：D6．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种【正确答案】A【详解】试题分析：根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A 43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32A 42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选A ．计数原理的应用．7．在三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，若点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，则O 到平面ABC 的距离为（）A B C D 【正确答案】B【分析】由条件可将三棱锥补成一个正方体，三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的中心，由正方体性质求O 到平面ABC 的距离.【详解】因为三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，故可将三棱锥补成一个边长为2的正方体，如图：因为点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，所以O 为三棱锥-P ABC 的外接球的球心，又三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的外接球的球心，即正方体的中心，所以O 为正方体的中心，所以222222223OP =++=3OP ，连接DP ，交平面ABC 与点H ，因为AB PE ⊥，AB PC ⊥，PE PC P = ，,PE PC ⊂平面PEC ，所以AB ⊥平面PEC ，PD ⊂平面PEC ，所以AB PD ⊥，同理可证AC PD ⊥，又AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，所以PH ⊥平面ABC ，所以13P ABC ABCV SPH -=，又13P ABC C ABP ABPV V SCP --==，所以ABCABPSPH SCP =，又23ABCS=2ABP S =△，2CP =，所以322PH =⨯，所以233PH =，又3OP =所以33OH =，所以O 到平面ABC 的距离为33.故选：B.8．在正项等比数列{}n a 中，24a =，416a =，满足21231m m a a a a a += ，则m =（）A ．4B ．3C ．5D ．8【正确答案】A根据等比数列的公比为正数，利用24,a a 的关系求得公比q 的值，进而得到通项公式，然后代入已知等式123m a a a a =21m a +，得到关于m 的指数方程，求解即得.【详解】由题意得公比2q ==，首项21422a a q ===，∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a += ，()(1)12212331 (2)2222222m m m mm++++++=== 可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.本题考查等比数列的通项公式的运用，求得通项公式是关键，将通项公式代入已知等式，对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算，结合等差数列的求和公式化简，是解决此题的一个小难点.二、多选题9．已知事件A ，B ，C ，且()0.5P A =，()0.3P B =，则下列结论正确的是（）A ．如果()1P ABC = ，那么()0.2P C =B ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B = ，()0P AB =C ．如果B A ⊆，那么()0.5P A B = ，()0.6P B A =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.65P A B = ，()0.35P A B ⋅=【正确答案】BCD【分析】通过举例说明选项A 错误，通过计算说明选项BCD 正确.【详解】A.设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，设A =球的编号是偶数，B =球的编号是1,2,3，C =球的编号是奇数，满足()1P A B C = ，但是()0.5P C =，所以该选项错误；B.如果A 与B 互斥，那么()()()0.8P A B P A P B =+= ，()0P AB =，所以该选项正确；C.如果B A ⊆，那么()()0.5P A B P A == ，()P B A =()0.30.6()0.5P AB P A ==，所以该选项正确；D.如果A 与B 相互独立，那么()()()()0.50.30.50.3P A B P A P B P AB =+-=+-⨯ 0.65=，()P A B ⋅(()0.50.70.35P A P B ==⨯=.所以该选项正确.故选：BCD10．（多选）已知()0nx a⎛> ⎝的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中各偶数项的二项式系数和为512B ．展开式中第5项和第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含4x 的项的系数为210【正确答案】AD【分析】根据二项式系数公式可求得n ，令x ＝1可求得a ，再根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.【详解】由题意知28C C n n =，∴n ＝10，∴10n x x⎛⎛= ⎝⎝，令x ＝1，则()1010121024a +==，∴a ＝1.对于A ，展开式中各偶数项的二项式系数和为10125122⨯=，故A 正确；对于B ，∵n ＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B 错误；对于C ，展开式的通项为()310102211010C C 010,rr r rr r T xxxr r ---+=⋅≤≤⋅⋅=∈N ，令31002r -=，得203r =∉Z ，故展开式中不存在常数项，故C 错误；对于D ，令31042r -=，得r ＝4，故展开式中含4x 的项的系数为410C 210=，故D 正确.故选：AD.11．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B ABBC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=--，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACES︒=⨯=.设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE 的距离为AF n d n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．化简：()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++= ______.【正确答案】np由11=k k n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++ ，再由二项式定理可得答案.【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===----- ，∴()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++ ()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p---------+-+-++ ()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣ 1[(1)]n np p p -=-+11n np -=⋅np=故np本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.14．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 夹角的余弦值为4，SA 与圆锥底面所成角为60 ，若SAB △的面积为2，则该圆锥的体积为___________.【正确答案】π3【分析】利用2SABS =可求得母线长，进而确定圆锥底面圆半径和高，代入圆锥体积公式即可.【详解】由题意知：cos 4ASB ∠=，1sin 4ASB ∴∠=，211sin 228SABSSA SB ASB SA ∴=⋅∠==，解得：4SA =，1cos60422OA SA ∴==⨯= ，sin 604SO SA ===∴圆锥体积211ππ433V OA SO =⋅⋅=⨯⨯.故答案为15．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.【正确答案】775【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A 恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==.故775四、双空题16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n 次，则当n ＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n ＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.【正确答案】516##0.或25【分析】根据独立重复试验的概率公式求n ＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n 次移动时向左移动的概率为12，事件n ＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，所以事件n ＝6时质子位于原点的概率为3336115C 12216P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭,事件第25m +次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在25m +次移动中向右移了5m +次，所以第25m +次移动后质子位于5对应点处的概率25251C2m m m P ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()25251C2m m m f m ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()()()2512725!1!6!16C 4441C !5!27!2627m m m m f m m m m m m f m m m m m m ++++++++==⋅=+++++，令()()11f m f m >+可得()()()()16412627m m m m ++>++，化简可得224282442642m m m m ++>++，所以9m >，N m *∈，所以()()()1011f f f m >>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅令()()11f m f m <+可得9m <，N m *∈，所以(9)(8)(1)f f f >>⋅⋅⋅>，又(9)10154=1(10)2425f f ⨯=⨯，所以m=9或m =10，即23n =或25n =时，质子位于5对应点处的概率最大.故516；23或25.五、解答题17．已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.()1a <（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13A x x =-<<；（2）3a ≤-.【分析】（1）解分式不等式411x >+即可得到答案.（2）首先解不等式得到{}2B x a x a =-<<-，根据题意得到A B ⊆，从而得到1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x -<<，故{}13A x x =-<<；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，因为1a <，所以{}2B x a x a =-<<-.由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.所以1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-.18．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为32.【分析】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，求出()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意X 服从二项分布，X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，()37215656P A ⨯∴==，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，()656P AB ∴=，()()()27P BA P B A P A ∴==∣;（2）由题可知白球个数13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()()331311130,1C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33233313112C ,3C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P18383818所以X 的数学期望为.()13313012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，且60ABC ∠= ，2AB =，3AD =，PA ⊥平面ABCD ，13BM BC =．(1)点N 在棱PD 上，且13PN ND =，求证：PB 平面AMN ；(2)若异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为4，求平面PAM 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，可知OBMODA △△，得到13BO OD =，进而得到ON PB ∥，即可证明；（2）ABM 中，由余弦定理和勾股定理可得AM AD ⊥，再以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式表达出异面直线AB 与PD 所成角的余弦值，进而求出点P 的坐标，再利用空间向量解决二面角问题即可.【详解】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，在平行四边形ABCD 中，BC AD ∥，则13BO BM OD AD ==，又因为13PN ND =，所以PN BOND OD=，则有ON PB ∥，ON ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ，所以PB平面AMN ．（2）在ABM 中，2AB =，1BM =，60ABM ∠= ，则AM ==有2224BM AM AB +==，于是得90AMB ∠= ，即AM BC ⊥，AM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，)1,0B-，()0,3,0D ，设()0,0,P a ，0a >，有)1,0AB =- ，()0,3,DP a =-，因异面直线AB 与PDcos,4AB DP〈=〉=，解得a=(0,DP=-，)1,0DC AB==-，设平面PCD的法向量(),,n x y z=r，则·30·0n DP yn DC y⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，令1x=，得()n= ，取平面PAM的法向量()0,1,0m=，设平面PAM与平面PCD所成锐二面角为θ，则cos cos,13m nm nm nθ⋅=〈〉==，所以平面PAM与平面PCD13．20．某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值μ（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分()2~,14X Nμ，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：()0.6827P Xμσμσ-≤≤+≈，()220.9545P Xμσμσ-≤≤+≈，()33P Xμσμσ-+≈≤≤0.9973．【正确答案】(1)第75百分位数约为76分，平均值为65分(2)数学期望为1.1814次．【分析】（1）根据百分位数和平均数的计算即可求解，（2）根据正态分布的对称性可求概率，进而得分布列.【详解】（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则所以()701681090.75401040x -++++⨯=，解得76x ≈（分），352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）．所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；（2）设随机变量Y 表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y 的可能取值为1，2，3，由已知及（1）得，()2~65,14X N ，()()()10.68271790.8413522P Y P X P X μσ===+≈+=≤≤，()()()0.95450.68272799320.13592P Y P X P X μσμσ-==<=+<+≈=≤≤，()()()393210.841350.13590.02275P Y P X P X μσ==>=>+≈--=，其分布列为Y 123P0.841350.13590.02275所以()10.8413520.135930.02275 1.1814E Y =⨯+⨯+⨯=．所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：AC BC ⊥；（2）若1111,2AO AC BC A B ====，求二面角1B BC A --的大小.【正确答案】（1）证明见解析；（2）56π.【分析】（1）先证1A O AC ⊥再结合1AC A B ⊥，即可证明AC ⊥平面1A BO ，则可证AC BC⊥（2）以O 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面11BB C C 和ABC 的法向量，利用夹角向量公式即可求解．【详解】解：（1）因为1A O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A O AC ⊥.又因为1AC A B ⊥，111A B AO A ⋂=，1A B ⊂平面1A BO ，1A O ⊂平面1A BO ，所以AC ⊥平面1A BO ，又因为BC ⊂平面1A BO ，所以AC BC ⊥；（2）以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O，1,0)A -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A .所以(0,1,0)OB =，(AB =-uu u r，1(0,0,1)OA = ，于是4AB =.由111ABC A B C -是三棱台，所以11//AB A B .又因为112A B =所以111(2A B AB ==.所以1111(OB OA A B =+=.设平面11BB C C 的法向量(,,)n x y z =，由100n OB n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩取1x =，则0y =，z =n =.因为1OA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为1(0,0,1)OA =.所以111cos,2||⋅<>==⋅n OAn OAn OA，因为二面角1B BC A--为钝二面角，所以二面角1B BC A--的大小是56π．方法点睛：求二面角常用方法：(1)几何法：二面角的大小常用它的平面来度量；(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角．22．已知正四面体ABCD的棱长为3cm.(1)已知点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足//EP平面ABD，试求点P的轨迹；(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率.【正确答案】(1)点P的轨迹为线段QM(2)727【分析】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据面面平行判定定理证明平面QEM∥平面ABD，即可得出点P的轨迹；（2）先求出所有等可能基本事件总数4381=，共走了四条棱，分别算出第一条棱有几种选择，第二条棱有几种选择，第三条棱有几种选择，再根据分步计数原理即可求解.【详解】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，所以EQ∥AD，EQ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以EQ∥平面AB D.同理可得：MQ∥平面AB D.因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，所以平面QEM∥平面ABD，所以得到点P的轨迹为线段QM.（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，所以小虫共走过了4条棱，因为每次走某条棱均有3种选择，所以所有等可能基本事件总数为4381=.当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择.所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能.所以所求的概率为217 8127=.方法点睛：（1）证明面面平行时，先证明两条相交线平行同一个平面是关键，线面平行的证明常用的方法有：中位线，平行四边形性质等；（2）古典概型的概率，求出基本事件是关键，再逐个分析所有符合条件要求的情况，分类还是分步要充分考虑清楚，要做到不重不漏.。
2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题含答案
( )2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题 含答案注意事项：本试卷共20小题，时间100分钟，总分值120分；选择题 填涂在答题卡 上, 填空题和解答题直接答在试卷上，解答题写出必要的文字说明或步骤 。
祝同学们考试顺利!、选择题（本题共 10小题，每小题4分，每题只有一个正确答案） 1.若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是A. 三棱锥 B .四棱锥 D.三棱台B. a 丄丫且B 丄丫7.如图是某平面图形的直观图，则原平面图形的面积是（2.若经过（a , -3 ）和（1, 2）两点的直线的倾斜角为 135°,则 a 的值为（A -6B 6C -4D 4 3. 一个体积为8cnf 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 2 2 A . 8 n cm B . 12 n cm C 2 .16 n cm D 2.20 n cm4.有一个几何体的三视图及其尺寸（单位 则该几何体的表面积及体积为（3 2 A.24 n cm , 12 n cm 2 3n cm , 12 n cm2 C.24 n cm , 336 n cm D.以上都不正确5.已知直线a 、 b 与平面(X、B 、Y ,下列条件中能推出 a / B 的是C.圆锥 C. a a , b B , a / bD. a a, b a , a / B ,b //6.如图，a A B =, A € a ,B € a , ABA = D, C € B , C?,贝V 平面 ABC 与平面 B 的交线是（ ）.A.直线AC B .直线ABC .直线CD D.直线 BCAB 为直径的圆所在平面，C 为圆周上除A B 外的任意一点,F 列不成立的是8.PA 垂直于以 C . 4 D . 8A. PC 丄CBB. BC 丄平面PACC. AC 丄PBD. PB 与平面PAC的夹角是/ BPC9. 下列命题中错误的是（）A •如果平面，，，那么B •如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面C .如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D •如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面10. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84n，则圆台较小底面的半径为（）A、7 B 、6 C 、5 D 、3二、填空题（本题共5小题，每小题4分）11. 已知A（3,5）,O 为坐标原点，则与0A垂直的直线斜率为12 •长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是.13. 空间四边形ABCD中, E、F、G H分别是AB BC、CD DA的中点.①若AC=BD则四边形EFGH是__________________ ;②若则四边形EFGH是。
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题(无答案)
2024年高二年级上期中模拟测（数学）（时间：120分钟 满分：150分）命题人： 审卷人： 2024年10月28日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）A ．B ．1C D ．52．设，，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ）A ．BCD ．04．已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）AB ．CD ．5．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，当取得最小值时，最大内角的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为，深度为，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）z ()13i 3i z -=-i z z =35()2,3A-()1,2B (),P x y AB 1y x +[]2,3-()2,3-][(),23,-∞-+∞ ()(),23,-∞-+∞ ()1:2400l mx y m m +--=>x y 1l 2:3310l x y +-=a b c 1a = 2b = 3c = ,,3a b a b c π=+= a b + c 143c 76c ABC A B C a b c 2b =()cos2cos 1cos B B A C +=--2a c +ABC 12-4m 0.5mA ．B ．C ．D ．7．已知直线，圆，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），圆与圆分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）．A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省苏州园三2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（ ）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（ ）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−， 解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（ ）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为 ）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ， 两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−， 即12122492y y x x −×−=×−， 即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−， 故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−， 由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=， 化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=， 整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（ ）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率， 设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞， 故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =， 则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++， 则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++， 整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小， 所以当1n =时，()11441n ++最大，且38， 即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确； 对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确； 对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=， 则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确． 故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（ ）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离； 对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错； 对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对； 对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为 ，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ， 所以蒙日圆方程2224x y b +=； 对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切， 则圆心到直线l422b b=，解得1b =； 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<， 又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=， 不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=； 将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=， 联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=； 由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+， 原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立， 因此AOBD 正确； 故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =， 所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ， 所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=， 得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直， 如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =， 所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列， 所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ． （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−， 综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在， 设直线l 的方程为：y mx =， 圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,； （2170y +−=； （3）2100x −=． 【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===， 由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==， 设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l 170y+−=； 【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ， 直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ， 由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =， 所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程； （2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程． 【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围； （3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =， 因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =， 当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列， 故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+， 故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−， 故188(4)4339n n T n =+⋅−； 【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n ++++−++故()()11f n f n +=>， 即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤， 即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=， 所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。
江苏省南京市中华名校2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南京市中华名校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．与468-角的终边相同的角的集合是 A ．{}360456,k k Z αα=⋅+∈ B ．{}360252,k k Z αα=⋅+∈ C ．{}36096,k k Z αα=⋅+∈ D ．{}360252,k k Z αα=⋅-∈2．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 A ．3B ．6C ．9D ．123．已知 2.10.32.1log 0.3,0.3, 2.1a b c ===， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b >c >aB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a4．函数()()122x xf x x =+∈R 的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．5．若lg 2,lg3a b ==，则12log 5=（ ） A ．12aa b-+ B ．2a ba b++ C ．12aa b-+ D ．2a ba b++ 6．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A 2B ．2C ．13D ．13-7．已知函数()()log 4(0a f x ax a =->且1a ≠)在[]0,2上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()0,2D ．[)2,∞+8．函数2log y x =的图像为M ，直线()12:,:8210l y m l y m m +==>，21,l l 分别与M 相交于,,,C A B D （从左到右），曲线段,CA BD 在x 轴上投影的长度为a ，b ，当m 变化时2log ba的最小值为（ ）A ．72B ．52C ．92D ．1二、多选题9．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（ ）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=10．下面选项中正确的有（ ）A ．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B ．命题“∀x ∈R ，x 2+x +1<0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+x +1>0”C ．“α=k π+β，k ∈Z ”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 11）．A ．0B ．1C ．2D ．312．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．若函数()2xf 的定义域为[]1,2，则函数()f x 的定义域是[]2,4；B ．函数()()1log 211x a f x a x -=+--（其中0a >，且1a ≠）的图象过定点()1,0；C ．当0α=时，幂函数y x α=的图象是一条直线；D ．若1log 12a>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.三、填空题13．已知cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6α5π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.14．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是 _ _ . 15．若2,3a b >>且满足3250a b ab +--=，则223ba b +--的最小值是_________． 16．已知1x 是方程lg 6x x +=的一个根，2x 是106x x +=的一个根，则12x x +=__________． 四、解答题17．已知3sin 5α=-，且α是第___象限角．从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： (1)求cos α，tan α的值；(2)化简求值：3sin(π)cos()sin π2cos(2022π)tan(2022π)ααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-．18．（1()()122325log 3log 44⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭； （219．已知函数3()lg 1x f x x -=-定义域为A ，集{}22|240B x x mx m =-+-≤. （1）求集合A ，B ；（2）若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元. (1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润. 21．已知函数3()3f x x x =-． (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)用定义证明函数()f x 在[]0,1 上为减函数； (3)已知[]0,2x π∈，且(sin )(cos )f x f x =，求x 的值．22．已知函数()2226f x x mx m =-++，()2x g x =.(1)求()()g f m 的值；(2)若方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解，求实数m 的取值范围；(3)对任意m R ∈，若关于x 的不等式()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.2022-2023学年江苏省南京市中华名校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．与468-角的终边相同的角的集合是 A ．{}360456,k k Z αα=⋅+∈ B ．{}360252,k k Z αα=⋅+∈ C ．{}36096,k k Z αα=⋅+∈ D ．{}360252,k k Z αα=⋅-∈ 【答案】B 【分析】在0360范围内找出与468-角终边相同的角，然后可得出与468-角终边相同的角的集合.【详解】因为4682360252-=-⨯+，所以252角与468-角的终边相同，所以与468-角的终边相同的角的集合为{}360252,k k Z αα=⋅+∈. 故选B ．【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在0360范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.2．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】B【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可. 【详解】设扇形的半径为R ，由题意可得：63R=，则2R =， 扇形的面积1162622S lR ==⨯⨯=.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知 2.10.32.1log 0.3,0.3, 2.1a b c ===， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b >c >aB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.【详解】 2.1 2.1log 0.3log 10a =<=， 2.100.3.3100b <==<， 0.302.21.11c >==，则c b a >>.故选：D.【点睛】比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小. 4．函数()()122x xf x x =+∈R 的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】由题意，得函数f （x ）为偶函数，利用排除法可得答案．【详解】∵函数()()12R 2xxf x x =+∈满足f （-x ）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，其图像关于y 轴对称，可排除ACD ， 故选：B ．5．若lg 2,lg3a b ==，则12log 5=（ ） A ．12aa b-+ B ．2a ba b++ C ．12aa b-+ D ．2a ba b++ 【答案】C【分析】根据对数的运算法则求出lg51lg122a a b =-=+，，结合对数的换底公式即可得出结果. 【详解】由题意知，lg 2lg3a b ==，， 所以210lg5lg1lg 21lg12lg(23)2lg 2lg322a ab ==-=-=⨯=+=+，， 所以12lg 51log 5lg122aa b-==+. 故选：C6．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ）A B ．C ．13D ．13-【答案】A【分析】将题设条件等式两边平方，可得72sin cos 9θθ=，再将目标式平方并结合角的范围即可求sin cos θθ-.【详解】216(sin cos )12sin cos 9θθθθ+=+=，则72sin cos 9θθ=，而22(sin cos )12sin cos 9θθθθ-=-=，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos θθ>，则sin cos θθ-=故选：A7．已知函数()()log 4(0a f x ax a =->且1a ≠)在[]0,2上单调递减,则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．[)2,∞+【答案】B【分析】直接根据复合函数的单调性结合函数的定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数4y ax =-在[]0,2上单调递减； 函数()()log 4(0a f x ax a =->且1a ≠)在[]0,2上单调递减,故log a y x =在()0,∞+上单调递增，故1a >，考虑定义域：420a ->，解得2a <. 综上所述：12a <<. 故选：B.8．函数2log y x =的图像为M ，直线()12:,:8210l y m l y m m +==>，21,l l 分别与M 相交于,,,C A B D （从左到右），曲线段,CA BD 在x 轴上投影的长度为a ，b ，当m 变化时2log ba的最小值为（ ）A ．72B ．52C ．92D ．1【答案】A【解析】由2log y x =，821,y m y m ==+的图象，分析知821|22|m m a --+=-，821|22|m m b +=-，可得28log 21b m a m =++，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意，可得如下示意图：即,C A 在2log y x =-且01x <<的分支上，令8218(2,)21m C m -++，(2,)m A m -； ,B D 在2log y x =且1x >的分支上，令(2,)mB m ，8218(2,)21m D m ++； ∴821|22|m m a --+=-，821|22|m m b +=-，0m >，即82122821228log log ||2122mm m m b m a m +--+-==++-2181218172221222122m m m m ++=+-≥⋅=++当且仅当32m =时等号成立. 故选：A【点睛】本题考查了对数函数，应用数形结合、基本不等式求目标式的最值，并考察了指对数的运算，属于中档题.二、多选题9．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（ ）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=【答案】ABD【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=， 所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD10．下面选项中正确的有（ ）A ．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B ．命题“∀x ∈R ，x 2+x +1<0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+x +1>0”C ．“α=k π+β，k ∈Z ”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 【答案】ACD【分析】选项A ，求出原命题的否命题后再进行判断；选项B ，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项C ，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项D ，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.【详解】对于A ：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A 正确；对于B ：命题“∀x ∈R ，x 2+x +1<0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+x +1≥0”，故B 错误；对于C ：当“α=k π+β，k ∈Z ”时，“tanα=tanβ”成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=k π，k ∈Z ”，即为“α=k π+β，k ∈Z ”.故“α=k π+β，k ∈Z ”是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C 正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0，b =0”时，则“ab =0”，反过来，a ，b ∈R ，若“ab ≠0”时，则能推出“a ≠0”且“b ≠0”，故设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确． 故选：ACD ． 11）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】BD【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答. 【详解】令2sin cos ()|sin ||cos |x xf x x x ==+， 当x 为第一象限角时，sin 0,cos 0x x >>，则()3f x =， 当x 为第二象限角时，sin 0,cos 0x x ><，则()1f x =，当x 为第三象限角时，sin 0,cos 0x x <<，则()3f x =-， 当x 为第四象限角时，sin 0,cos 0x x <>，则()1f x =-. 故选：BD12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．若函数()2xf 的定义域为[]1,2，则函数()f x 的定义域是[]2,4；B ．函数()()1log 211x a f x a x -=+--（其中0a >，且1a ≠）的图象过定点()1,0；C ．当0α=时，幂函数y x α=的图象是一条直线；D ．若1log 12a>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】ABD【解析】根据指数函数、对数函数的图象与性质，复合函数的定义域判断各选项．【详解】A ．函数()2xf 的定义域为[]1,2，即12x ≤≤，则224x ≤≤，∴函数()f t 中t 的取值范围，即定义域为[2,4]，即()f x 定义域是[2,4]，A 正确；B ．令1x =，则0(1)log 110a f a =+-=，∴图象过定点(1,0)．B 正确；C ．0y x =中0x ≠，它的图象是直线1y =上去掉点(0,1)，不是直线，C 错；D ．1a >时，1log 02a <，不合题意，01a <<时，1log 1log 2a a a ，12a <，∴112a <<．D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查函数的定义域，掌握指数函数与对数函数的图象与性质是解题关键．三、填空题13．已知cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6α5π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】【分析】本题可根据诱导公式得出结果.【详解】5cos cos cos 666πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：14．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是 _ _ .【答案】(]2,2-【详解】当20a -=，2a =时不等式即为4<0- ，对一切x R ∈恒成立 ①当2a ≠时，则须()()220 {421620a a a -<-+-<＝ ，∴22a -<<② 由①②得实数a 的取值范围是(]2,2-， 故答案为(]2,2-.15．若2,3a b >>且满足3250a b ab +--=，则223b a b +--的最小值是_________．【答案】1##1【分析】由3250a b ab +--=变形为()()231a b --=；化22312323b a b a b +=++----应用基本不等式可求最小值．【详解】因为2,3a b >>满足3250a b ab +--= 所以()()23326561a b ab a b --=--+=-+=，则123a b =-- 所以223323111232323b b a b a b a b -++=+=++≥=------当且仅当2233a b =--，即()2322a a =--时取“=”，解得2a =,3b =所以223b a b +--的最小值为1；故答案为：1．16．已知1x 是方程lg 6x x +=的一个根，2x 是106x x +=的一个根，则12x x +=__________． 【答案】6【分析】将已知得方程变形得lg 6,106,x x x x =-=-令()lg ,()10,()6,x f x x g x h x x ===-画出图象，根据函数的对称性求解即可．【详解】将已知得方程变形得lg 6,106,x x x x =-=-， 令()lg ,()10,()6,x f x x g x h x x ===- 画出它们的图象，如图所示：设()f x 与()h x 的交点为11(,),()A x y g x 与()h x 的交点为22(,)B x y ，根据函数的性质可知,A B 两点关于y x =对称，则1221,,x y x y ==将A 点坐标代入直线方程()6h x x =-得116y x =-，1211116 6.x x x y x x ∴+=+=+-=故答案为:6.四、解答题17．已知3sin 5α=-，且α是第___象限角． 从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：(1)求cos α，tan α的值；(2)化简求值：3sin(π)cos()sin π2cos(2022π)tan(2022π)ααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-．【答案】(1)答案见解析； (2)1625.【分析】（1）由已知可得α为第三象限或第四象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可求解．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可计算得解．【详解】（1）解：因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角； 若选③，24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4ααααα=---==； 若选④，24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4ααααα=-===-. （2）解：原式22sin cos (cos )316cos 1cos tan()525αααααα-⎛⎫===-= ⎪-⎝⎭．18．（1()()122325log 3log 44⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2 【答案】（1）152；（2）1.【分析】（18=，1225542⎛⎫= ⎪⎝⎭，log 23×log 34=log 24=2，整理即可； （2）由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可．【详解】（1()()122325log 3log 44⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭ 255158log 410222=-+=-=；（2= sin 40cos40cos40sin140︒︒︒-=-︒ cos40sin 40cos40sin 40︒︒-︒-=︒1=． 19．已知函数3()lg1x f x x -=-定义域为A ，集{}22|240B x x mx m =-+-≤. （1）求集合A ，B ；（2）若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(–,13,)A =∞+∞，[]2,2B m m =-+；（2）(,1)(5,)-∞-+∞.【解析】（1）利用对数函数的定义域和一元二次不等式的解法化简求解集合AB 、即可. （2）根据x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，得集合B 是A 的真子集，求解得实数m 的取值范围.【详解】解：（1）由题意知：30(3)(1)01x x x x ->⇔-->-，解得3x >或1x <. ∴集合()(–,13,)A =∞+∞.对于集合B 满足：2224(2)(2)0x mx m x m x m -+-=---≤+. 又22m m -<+，∴[]2,2B m m =-+.（2）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，则集合B 是A 的真子集，由（1）知，只需满足21m +<或23m ->即可，解得1m <-或5m >.综述，满足题意的m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-+∞．【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，相关结论为：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=， 当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元. 21．已知函数3()3f x x x =-．(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)用定义证明函数()f x 在[]0,1 上为减函数；(3)已知[]0,2x π∈，且(sin )(cos )f x f x =，求x 的值．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)4x π=或54π【分析】(1）根据函数奇偶性的定义进行证明．（2）利用函数单调性的定义进行证明．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【详解】（1）根据题意, 函数3()3f x x x =-是奇函数,证明：函数3()3f x x x =-, 其定义域为R ,有()3()3()f x x x f x -=--=-, 则函数 ()f x 为奇函数; （2）（2）证明：设 1201x x ≤<≤,则()()()()()()3322121122121122333f x f x x x x x x x x x x x -=---=-++-, 又由 1201x x ≤<≤, 则120x x -<,同时: 2211221,1,1x x x x <<<, 则有22112230x x x x ++-<,故()()120f x f x ->,故函数()f x 在[]0,1上为减函数；（3）()f x 在R 上为奇函数且()f x 在[]0,1上为减函数,则有 ()f x 在 [1,1]- 也是减函数,若[0,2]xπ, 则1sin 1,1cos 1x x -≤≤-≤≤,若(sin )(cos )f x f x =,必有sin cos x x =,解可得 4x π=或54π; 故4x π=或54π. 22．已知函数()2226f x x mx m =-++，()2x g x =.(1)求()()g f m 的值；(2)若方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解，求实数m 的取值范围；(3)对任意m R ∈，若关于x 的不等式()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)64(2)[)(]2,01,3-(3)(,-∞【分析】（1）根据题意得()f m 的值，代入求解即可；（2）根据题意得222762=2x mx m -++，所以()()110x m x m ---+=，根据零点位置和区间端点位置判断即可求解；（3）根据题意得22222222+212220x x x x x x m m t ， 化简得22(2)(2)22222x x x x t --++≤+，构造()22(2)(2)2222x x x x x ϕ--++=+求解即可. 【详解】（1）因为222266f m m m m ，所以()()()66264g f m g ===（2）由()()128g f x =，得222762=2x mx m -++，即22267x mx m -++=，即22210x mx m -+-=，因式分解得()()110x m x m ---+=，解得1x m =+或1x m =-，因为方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解，注意到11m m +>-，所以11212m m -≤-≤⎧⎨+>⎩或11112m m -<-⎧⎨-≤+≤⎩解得13m <≤，或20m -≤<. 所以m 的取值范围是[)(]2,01,3-.（3）由()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦，所以2222222+6+222+622xx x x x x m m m m t ，整理得22222222+212220x x x x x x m m t ① 因为①式对任意m R ∈恒成立，所以222222422+212220x x x x x x t 恒成立， 所以()()()()2222222+212220x x x x x x t ---⎡⎤+-⨯+-+≤⎢⎥⎣⎦， 整理得222222+222x x x x t ，即22(2)(2)22222x x x x t --++≤+ ② 记()22(2)(2)2222x x x x x ϕ--++=+， 因为②式在x R ∈上恒成立，所以()2min t x ϕ≤恒成立，令22x x u -=+，因为122222x x x x -+=+≥=， 当且仅当0x =时，等号成立，所以2u ≥则()()22020+u x h u u u uϕ+===≥当且仅当[)2,u =+∞时，等号成立，所以()min x ϕ=.所以2t ≤t ≤t 的取值范围是(,-∞.。
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猜想1
1 1 1 20112
江苏省南京三中2020学年高二12月月考数学试题
、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答卷纸相应区域） 1. 命题“ x R , x 2 4x 2 0 ”的否定是： ▲
2. (理科做)已知向量 a = (1 , 3, 2 ), b = (1
, 0, 1 ) , p = ka - 2b, q = 3a + 4b ,
若p // q ，则实数k = ▲
a bi
(文科做)已知=上_
3 i , (a , b R , i 是虚数单位)，则a b ▲
2 i
-------
3. (理科做)空间三点 A (1 , - 1, a ) , B ( 2 , a , 0 ) , C ( 1 , a , - 2 )，若(AB - 2AC ) 与
BC 垂直，则实数a 等于 ▲
(文科做)设(1 2i)z 3 4i (i 是虚数单位)，则z ▲
2
4.抛物线x 2y 的焦点坐标是
▲
1 2
5.函数f （x ） —x In x 的单调减区间为
▲
2
6•“x 2”是“ x 2 4”的 ▲ 条件（在“充要” “充分不必要” “必要不充分” “既不 充分也不必要”中选一个）
7•若曲线f （x ） 2ax 3 ax 在点（1 , a ）处的切线与直线2x y 1 0平行，贝U 实数a 的 值为 ▲
2 2
&双曲线— 厶 1上一点M 到它的右焦点的距离是 3，则点M 的横坐标是 ▲
4
12
9.设双曲线的渐近线方程为
x 3y 0 ,则双曲线的离心率为
10.观察下列式子:
1 1 3
2 42
则可以
x
是 ▲
3 2
20
14
・若函数f(x) x ax (a 0)在区间(——, 3
有整数解的实数a 的个数是 ▲ 二、解答题(本大题共 6小题，共90分，请将答案写在答卷纸相应区域，解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤) 15. (14分)已知双曲线 C 的两个焦点分别为
F 1( 6,0) , F 2(6,0)，且经过点P(5,2)
(1) 求双曲线C 的标准方程； (2) 求以双曲线C 的左顶点为焦点的抛物线方程
•
16. (14分)设命题p :关于x 的方程x 2 kx 1 0无实根；命题q :函数
f (x) x 3 kx 2 3kx 1在(,
)上既有极大值又有极小值，
若命题"p 或q ”是真命题，“ p 且q ”是假命题，求实数 k 的取值范围.
17. (15 分)已知函数 f (x) a ^n ^(a R), f‘ (1) 3 (1求a 的值；
~2
a
b 2
1(a b 0)上，AB // x 轴，AD 过左焦点F ，则椭圆的离心率 e
13. M 是椭圆
x 2
圆M 与y 轴交于P , Q 两点，若
f '(x) f(x)
0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴 切于椭圆的右焦点,
PQM 是钝角三角形，则椭圆的离心率
e 的取值范围
)上单调递增，则使方程 f(x) 1000
2
x
2
2
a
2
⑵若对任意的x 1, e , f(x) c2 c恒成立，求c的取值范围
18. (15分)如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的
同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距40.. 3km。
两厂要在河
岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲、乙两厂的水管费用分别为每千米a元与2a元.若设CBD ，水管的总费用为y元.
⑴试建立y关于的函数关系式，并写出的取值范围;
⑵ 取何值时，y取得最小值，最小值是多少？
19. (16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(a,0)(a 0) , B(0, a), C( 4,0) , D(0,4), 设AOB 的外接圆圆心为E,
⑴求圆E的方程；
⑵若O E与直线CD相切，求实数a的值；
⑶设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的O E是
否存在，若存在，求出O E的方程；若不存在，说明理由.
⑶讨论方程f(x) k 0的解的个数。