马氏过程
随机过程马氏过程
Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,, t n ) P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 , X (t n2 ) xn2 ,,
一、马尔可夫过程的数学定义
二、满足马氏性的随机过程
三、马氏过程的分类 四、马氏过程的有限维分布族
1
一、马尔可夫过程的数学定义
马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性 的一类特殊的随机过程.
1 马尔可夫特性
若当某随机过程{X(t),t ∈ T}在某时刻tk 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t(t>tk) 处的状态只会与过程在tk时刻的状态有关，而与 过程在tk以前所处的状态无关。这种特性即称为 马尔可夫性,亦称之为无后效性。
19
例1.5 若每隔一分钟观察噪声电压，以X(n) 表示第n分钟观察噪声电压所得结果，则X(n) 为一随机变量，{X(n),n≥1}为一随机过程， 此过程是马氏过程吗？ 实际上,每隔一分钟观察所得噪声电压值 相互并不影响,且X(n)为一连续型随机变量, 因而{X(n),n≥1}是独立同分布的连续型随 机变量列,故知它为离散参数集,连续状态集的 马尔可夫过程.
X (t 2 ) x2 , X (t1 ) x1 }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t 2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 }
F ( x1 , t1 )F ( x2 , t2 | x1 , t1 )F ( xn , tn | xn1 , tn1 )
马氏试砷法化学方程式
马氏试砷法化学方程式
在马氏试砷法中，主要的化学反应过程可以用化学方程式来表示。
“马氏试砷法”是一种化学分析技术，该技术主要通过二氧化砷在酸性环境下与锌粉反应，生成微量的三氫化砷气体。
第一步，加入盐酸，将砷转化为三价砷。
化学反应用化学方程式为：
As2O3+6HCl=2AsCl3+3H2O。
此处，二氧化砷与强酸氢氯酸反应生成三氯化砷和水。
第二步，将三氯化砷与锌粉反应，生成三氢化砷。
化学方程式为：
2AsCl3+6Zn+6HCl=2AsH3+6ZnCl2。
此处，三氯化砷与锌粉和氢氯酸反应生成三氢化砷和氯化锌。
所形成的三氢化砷是稳定的，无色无味的气体。
第三步，为了便于观察，我们将三氢化砷置于硝酸银溶液中，可以观察到生成黑色的沉淀。
化学反应方程式为：2AgNO3+AsH3=Ag3As+3HNO3。
此处，三氢化砷与硝酸银反应生成硝酸和黑色的银砷化物沉淀。
这一化学反应是典型的氧化还原反应，并且硝酸银只是作为显色试剂。
以上就是马氏试砷法中涉及到的主要化学反应方程式，表达出这个方法的基本原理和过程。
这种分析方法可以对砷元素进行定量与定性的分析，具有一定的应用价值。
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
马氏规则的内容
马氏规则的内容马氏规则，也被称为马尔可夫性质或马尔可夫规则，是概率论和随机过程中的一种重要概念。
它描述了一个随机过程在给定当前状态的条件下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
具体来说，马氏规则可以用以下公式表示：P(X_n+1 = x | X_0, X_1, ..., X_n) = P(X_n+1 = x | X_n)其中，X_n表示随机过程在第n个时刻的状态，x表示可能的状态值。
这个公式表明，在已知当前状态X_n的情况下，下一个时刻的状态X_n+1的条件概率只与当前状态X_n有关，而与过去的状态X_0,X_1, ..., X_n无关。
马氏规则可以用来描述许多实际问题，例如天气预测、金融市场的分析、通信网络的性能评估等。
在天气预测中，每个时刻的天气状态可以看作是一个随机过程，根据当前的天气状态来预测下一个时刻的天气状态就是应用马氏规则的典型例子。
马氏规则的一个重要性质是：只要随机过程具有马氏性质，它的未来状态的概率分布就可以完全由当前状态确定。
这使得我们可以通过观察当前状态来预测未来状态的概率分布，从而在决策和规划中起到重要作用。
除了描述随机过程的状态转移概率，马氏规则还可以用来推导随机过程的平稳分布。
平稳分布指的是随机过程在长时间运行后，其状态分布趋于稳定的概率分布。
通过解马氏规则的平稳分布方程，我们可以计算出随机过程的平稳分布，从而了解随机过程在长时间运行后的行为。
总而言之，马氏规则是概率论和随机过程中的重要概念，它描述了一个随机过程在给定当前状态的条件下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马氏规则可以应用于各种实际问题，帮助我们预测未来状态的概率分布和计算随机过程的平稳分布。
马氏过程-1028
• Xn = fn (Xn−1 , ξn ), 其中 fn 是给定函数, {ξn : n ≥ 0} 为独立随机
变量序列
• X0 与 {ξn : n ≥ 1} 相互独立，或 X0 为某个确定值
特别地，如果 {ξn : n ≥ 1} 独立同分布， fn (x, t) 与 n 无关，那么这是 时齐马氏链, 而且一步转移概率为 pij = P {f (i, ξ1 ) = j } 思考：简单随机游动是否构成 Markov Chain? 如果带反射壁和吸收态 呢？
2014 年《随机过程》 马氏过程
时齐 Markov Chain 的概率分布
时齐 Markov Chain {Xn : n ≥ 0} 的概率分布:
• π 0 : 初始分布 • P : 一步转移矩阵
[P (Xn = i)]i = π 0 P n π 0 的维度是什么? 上式右侧 π 0 和 P n 的次序可以交换吗?
. . ..
马氏链 (Markov Chain)
. 胡鹏
2014 年秋季学期
华中科技大学管理学院
. .
2014 年《随机过程》
马氏过程
Markov Chain(马氏链)
本讲介绍马氏过程/马氏链的相关知识
1 . .
基本概念，初始分布与转移概率，C-K 方程 状态分类及性质，平稳分布和极限分布 马氏过程的应用
P {Xn+1 = j |Xn = i, Xn−1 = in−1 , · · · , X0 = i0 } = P {Xn+1 = j |Xn = i} 上述等式称为马氏性或无后效性
2014 年《随机过程》
马氏过程
6-马氏过程
5
2. 马尔可夫过程的定义
[定义6.1.1]
设{X (t ), t T }为一随机过程， E 为其状态空间， 若对任意的 n 1，任意的 t1 t2 tn t T， 任意的 x1 , x2 ,, xn , x E，随机变量 X (t ) 在已知条 件 X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn 下的条件分布函 数若只与 X (tn ) xn 有关，而与
P{ X ( t ) x | X ( t n ) = xn , X ( t1 ) = x1 } P{ X ( t ) x, X ( t n ) = xn , X ( t1 ) = x1 } = P{ X ( t n ) = xn , X ( t1 ) = x1 } P{ X ( t ) x } P{ X ( t n ) = xn } P{ X ( t1 ) = x1 } P{ X ( t n ) = xn } P{ X ( t1 ) = x1 } P{ X ( t ) x } P{ X ( t ) x | X ( t n ) = xn }
了解初始分布和绝对分布概念，会求
马氏链的绝对分布和任意有限维分布;
了解齐次马氏链的遍历性意义，会求
平稳分布.
3
§6.1 马尔可夫过程概念
马尔可夫过程，也称为“健忘” 过程，是在20世纪初由前苏联学者 马尔可夫在研究随机过程中得到的， 因而称马尔可夫过程，简称马氏过 程。马尔可夫过程是一类重要的随 机过程，它在信息理论、自动控制、 数值计算、近代物理、工程技术、 生物科学、经济交通等领域都起到 了非常重要的作用。
随机过程(七)-马氏链
第四章Markov过程主要内容⏹离散时间Markov链⏹转移概率⏹平稳分布⏹状态分类⏹极限定理⏹连续时间Markov链⏹Kolomogrov微分方程⏹连续时间马氏过程第一节 离散时间Markov 链一、Markov 链的定义⏹ 直观含义：要确定过程将来的状态，只需知道过程现在的状态就足够了，并不需要知道过程以往的状态。
⏹ 定义：随机过程{,0,1,2,}n X n =⋅⋅⋅称为马氏链（Markov 链），若它只取有限或可列个值E 0, E 1,E 2,…，且对任意的n ≥0及状态011,,,,,n i j i i i -⋅⋅⋅有10011111{|,,,,}{|}n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+===⋅⋅⋅=====用条件概率的语言来说11011{,,|,,,}{,,|}n n k k n k k n P X j X j X X X P X j X j X ++==⋅⋅⋅===注：1、E 0, E 1,E 2,…称为Markov 链的状态，通常用0，1，2，…来标记E 0, E 1,E 2,…。
{0，1，2，…}称为过程的状态空间，记为S 。
2、若Markov 链的状态是有限的，则称为有限链，否则称为无限链。
2、条件概率11{|}n n n n P X i X i --==，n ＝1，2，……称为Markov 链的一步转移概率。
3、若转移概率1{|}n n P X j X i -==只与状态,i j 有关，而与时间n 无关，则称该Markov 链是时齐Markov 链，并记1{|}ij n n p P X j X i -===，否则称Markov 链是非时齐的。
矩阵000102101112012()ij ij Sn n n p p p p p p P p p p p ∈⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为转移矩阵。
4、(){|}k ij n k n p P X j X i +===称为k 步转移概率，()k P 称为k 步转移矩阵。
马氏时间定律
马氏时间定律
（实用版）
目录
1.马氏时间定律的概念和定义
2.马氏时间定律的公式和原理
3.马氏时间定律的应用和实例
4.马氏时间定律的意义和影响
正文
马氏时间定律，又称马尔可夫过程，是一种用于描述随机过程中系统状态转移规律的数学模型。
该定律由俄国数学家安德烈·马尔可夫在 19 世纪末 20 世纪初提出，是一种重要的概率论方法。
马氏时间定律的公式和原理相对简单。
它描述了一个系统从一个状态转移到另一个状态的概率，只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
具体来说，马氏时间定律可以用以下公式表示：
P(X(t+1)=x|X(t)=x")=P(X(t+1)=x)，其中，X(t) 表示系统在时间 t 的
状态，x 和 x"分别表示系统在时间 t 和 t+1 的状态，P(X(t)=x) 表示系统在时间 t 处于状态 x 的概率。
马氏时间定律在实际应用中有着广泛的应用和实例。
其中，一个经典的应用是马尔可夫链。
马尔可夫链是一种用于描述状态转移过程的随机模型，它假设系统状态的未来只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
另一个重要的应用是状态转移概率矩阵。
状态转移概率矩阵是一个描述系统状态转移概率的矩阵，它包含了系统从当前状态转移到未来所有状态的概率。
马氏时间定律的意义和影响深远。
它不仅提供了一种描述和分析随机过程的数学工具，而且为许多实际问题的解决提供了重要的理论基础。
例如，在计算机科学中，马氏时间定律被广泛应用于模式识别、机器学习和自然语言处理等领域。
在经济学和社会学中，马氏时间定律也被应用于模
型构建和预测。
第3章马氏过程
(
) ( ) E (e F ) = E (e X )
iuX t s
4
Markov过程的判别 独立性定理 设X,Y为概率 过程的判别--独立性定理 过程的判别 独立性定理:设 为概率 空间( F 上的随机变量 上的随机变量, 的子σ代数 且设X 代数,且设 空间 ,F,P)上的随机变量 G为F的子 代数 且设 独立,Y关于 可测. 则对二元函数f(x,y), 关于G 与G独立 关于G可测 则对二元函数
E [ f ( X ,Y ) | G ] = E [ f ( X ,Y ) | Y ]
为一独立增量过程， 例 设{Bt,t≥0}为一独立增量过程，X t = e ≥ 为一独立增量过程 求证： 过程。 求证：{Xt,t≥0}为Markov过程。 ≥ 为 过程
α Bt
，
5
Markov过程的基本结论: 过程的基本结论 过程的基本结论 为马氏过程, 设{Xt ;−∞ < t < ∞}为马氏过程 − ∞ < tk < tk +1 < ...,< tk + j < ∞
(k ) p21 Pk = L p( k ) N1
p11Βιβλιοθήκη p12Lp22 L
(k )
L L
pN 2 L
(k )
p2 N . L (k ) pNN
(k )
p1N
随机矩阵
显然
( ( (i ) 0 ≤ pijn ) ≤ 1, i, j ∈ E; (ii ) ∑ pijn ) = 1, i ∈ E. j∈E
12
定理3.1.3 切普曼 柯尔莫哥洛夫 切普曼—柯尔莫哥洛夫 柯尔莫哥洛夫(Chapman定理 Kolmogorov) 方程 简称 方程, 简称C-K方程 方程. 方程 或
随机过程马氏过程
即lim p
( n) ij
pij 存在。
又如一齐次马氏链，状态空间为 E={1,2,3}，其一步转移概率矩阵,二步,三步转 移概率矩阵为
1 2 P 0 0
1 4 1 0
1 1 4 ( 2) 4 0 P 0 0 1
3 8 1 0
试说明此马氏链是平稳的,且其初始分布为其平 稳分布。
15
解 由平稳分布满足的方程组注意到
1 p1 (0) 3
14
例4.3 已知{X(n),n≥0}的初始分布为
1 1 1 P(0) ( p1 (0), p2 (0), p3 (0)) , , 3 3 3
其一步转移矩阵为
0.3 P 0.4 0.3
0.4 0.3 0.3
0.3 0.3 0.4
例4.1 设齐次马氏链的状态空间E={1,2,3}， 其一步转移概率为
1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1/ 2 1/ 2
试问此链是否具有遍历性?若有,试求其稳态 概率.
9
解：注意到
1 2 1 2 P 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 0 2 1 1 2 4 1 1 2 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1 2
我们注意到，齐次马氏链的n步转移概率当 n趋于无穷时,即过程的转移无限进行下去时,其 极限可能存在，而且也可能与起始状态i无关， 例如只有两个状态的马氏链，其一步转移概率 矩阵为 p q P p q 易知其任意步转移概率矩阵为
P
马氏过程
• 现代的一些隐写算法如OutGuess、F5都在最 大限度的减少嵌入后DCT系数的变化以及直 方图的变化，所以用二阶统计作为隐写分 析的特征来进行检测。 • 我们首先得到不同方向上的差分JPEG 2-D矩 阵，然后用马氏随机过程得出一步转换概 率矩阵，这就是我们的特征向量，进一步 检测隐写。
1.JPEG 2-D阵列
• 每个转换概率矩阵中有（2T+1）2 个元素， 总共就有4* （2T+1）2 个元素作为隐写分析 的特征，即有4* （2T+1）2 维的隐写分析特 征向量。同时选择对的T是关键。
2.差分JPEG 2-D阵列
• 通过得到矩阵中一个元素和它的邻居元素 的差值来观察嵌入信息后对原图像的影响。
• 差分阵列由以下公式产生，其中 u[1,su],v[1,sv], su是阵列在水平方向上的大小， sv是竖直方向上大小， 分别表示水平、竖直、主对角线、次对角 线上的差分阵列。
• 两矩阵相减： 将检测图像向右像素平移一位后，进行DCT 变换、量化，得到JPEG 2-D矩阵，进行矩阵 元素相减，得到的差值接近于0。 • T: 实验中用到了含有7560个JPEG图像的图像集， 用到的质量因子在70-90之间。差值元素的 值主要集中在区间[-T,T]中，当 T={1,2,3,4,5,6,7}时水平差分矩阵的平均元素 百分比数和标准偏差百分比数如下图：
• 如图所示，阵列由8*8DCT系数块组成，系 数已经过量化但未zig-zag排列和编码。
• 阵列元素使用DCT系数的绝对值： 量化后的DCT系数可能为正数、负数或0， 这些系数不是相互独立的，它们之间互相 联系影响。一个8*8分块中能量高度集中在 低频DC系数上，AC系数上的能量较少。量 化之后AC系数可能变为0，它们之间的能量 差更大。Z字排列扫描使能量按非递增排列， 非0系数的幅度按某种方式彼此相关联，在 各个方向上系数绝对值间存在相关性，两 个系数的绝对值之差主要集中在0附近。
马氏规则原理
马氏规则原理马氏规则原理马氏规则是一种概率统计学中的理论，它描述了在已知过去事件的情况下，预测未来事件发生的概率。
该原理由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出，并因此而得名。
一、马氏链要理解马氏规则，首先需要了解“马氏链”这个概念。
所谓“马氏链”，指的是一个随机过程，在该过程中，当前状态只与前一状态有关，与更早的状态无关。
这种特殊的随机过程被称为“马氏过程”。
二、条件概率为了理解马氏规则，还需要了解“条件概率”的概念。
所谓“条件概率”，指的是在已知某个事件发生时，另一个事件发生的概率。
用符号表示为P(A|B)，表示在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。
三、转移矩阵在马氏链中，每个状态之间都有一个转移概率。
这些转移概率可以用一个矩阵来表示，称为“转移矩阵”。
假设有n个状态，则转移矩阵为n×n的矩阵。
四、稳态分布在马氏链中，如果状态之间的转移概率是固定的，那么该链将会趋于一个稳态分布。
所谓“稳态分布”，指的是当时间趋近于无穷大时，各个状态出现的概率趋于一个固定值。
这个固定值就是该马氏链的稳态分布。
五、马氏规则了解了以上概念后，我们就可以来理解“马氏规则”了。
所谓“马氏规则”，指的是在已知某个状态下，预测未来状态发生的概率。
具体来说，假设当前处于状态i，想要预测下一步会进入状态j的概率，则可以通过以下公式计算：P(i→j) = P(j|i) × P(i)其中，P(j|i)表示从状态i转移到状态j的概率；P(i)表示当前处于状态i 的概率。
六、应用马氏规则在实际应用中有很多用途。
例如，在自然语言处理中，可以利用马氏模型来进行文本分类和词性标注；在金融领域中，可以利用马氏模型来预测股票价格等。
总之，马氏规则是一种非常有用且广泛应用的概率统计学理论。
了解马氏规则的原理和应用，可以帮助我们更好地理解和应用这个理论。
马尔科夫及其应用(02129057)
马尔可夫过程及其应用一． 马尔可夫过程的简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。
设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。
无后效的随机过程称为马尔科夫过程。
马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。
我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。
马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。
二． 马尔可夫过程的一般概念2.1定义设有一随机过程X(t)，t ∈T ，若在t1,t1,…tn-1,tn(t1<t2<…<tn-1<tn ∈T ) 时刻对X(t)观测得到相应的观测值x1,x2,…,xn-1,xn 满足条件:或则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。
其中代表在X(tn-1)=xn-1,…,X(t2)=x2,X(t1)=x1,的条件下,时刻X(tn)取xn 值的条件分布函数。
若把tn-1看做“现在”，因为t1<t2<…<tn-1<tn 则tn 就可以看成“将来”，t1,t2,…,tn-2就当做“过去”。
因此上述定义可表述为在现在状态X(tn-1)取值为xn-1的条件下，将来状态X(tn)与过去状态X(tn-2)X(tn-3),…,X(t1)是无关的。
2.2转移概率分布定义马氏过程的转移概率分布为或()12211221;|,,,,;,,,,X n n n n n n F x t x x x x t t t t ----()()(){}1111;|;|X n n n n n n n n F x t x t P X t x X t x ----=≤=()()(){}00000;|;|,X F x t x t P X t x X t x t t =≤=>转移概率分布是条件概率分布，对X 而言，它是一个分布函数，有以下性质： 1) FX(x;t|x0;t0)>=0 2) FX(∞;t|x0;t0)=1 3) FX(-∞;t|x0;t0)=04) FX(x;t|x0;t0)是关于x 的单调非降、右连续的函数。
马氏反应和反马氏反应
马氏反应和反马氏反应
马氏规则和反马氏规则是有机化学中描述不对称烯烃与亲电试剂加成反应产物区域选择性的两个重要规则。
马氏规则：
在1870年由俄国化学家马克西米利安·扎伊采夫的学生尼古拉·马尔科夫尼科夫提出，适用于亲电加成反应，例如氢卤酸（如HBr、HI）对不对称烯烃的加成。
根据马氏规则，在没有其他导向基团或特殊条件的影响下，当一个带有氢原子的亲电试剂加到一个不对称烯烃上时，氢原子会加到双键碳原子上，使得生成的碳正离子（C+）更稳定，即氢原子倾向于连接到含有较少烷基取代基或氢原子更多的碳原子上。
反马氏规则：
通常情况下，卤化氢按照马氏规则进行加成。
然而，在某些特定条件下，尤其是当有过氧化物存在时，加成反应会发生异常，遵循所谓的“反马氏规则”。
在这种情况下，卤素原子（如溴或氯）会加到含氢较多的碳原子上，而不是按马氏规则所预测的那样加到含氢较少的碳原子上。
这是因为过氧化物能够先与卤化氢反应，形成一个活泼的中间体——氢过氧化物，它在随后与烯烃反应时表现出了不同的区域选择性。
总结来说：
-马氏规则描述了常规的亲电加成过程中的区域选择性。
-反马氏规则描述了在特定条件下，特别是过氧化物催化下的非典型区域选择性现象。
马氏过程及Q矩阵概述
马氏过程及Q矩阵姓名：许丹妮学号：3100803113班级：金融101一、 马氏过程1 产生背景在确定性现象的研究中，用函数描述研究对象的变化规律，这个函数往往是某组微分方程（或偏微分方程）的解。
因此，如果已知函数的初始值（或加上边值条件）和方程，这个函数便完全确定。
此事实反映许多自然现象所共有的一种性质：已知研究对象现在的 情况，对象将来的变化情况与它过去的行为无关。
称此现象为无后效性。
在随机现象的研究中，用随机过程描述研究对象的变化规律。
大量的资料表明，许多随机现象也具有无后效性，只是这时的无后效性带有统计色彩。
它可表示为：给定随机过程{}T t X t ∈, ，若对于参数集中任意有n t Λ2,1,0=，和任意的I i i i n ∈,,,10Λ，}|{},,|{11110011n n n n n n n n i X i X P i X i X i X i X P =======++++Λ成立，那么称过程具有无后效性 。
即是说，已知过程t 时的情况，预言t 后事件的概率与过程在t 前的行为无关。
由于马尔科夫最先研究这类过程，故称这类过程为马尔科夫过程，称无后效性为马尔科夫性。
2 概念及定义马尔科夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：（1）时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔科夫链。
（2）时间连续、状态离散的马尔科夫过程，称为连续时间的马尔科夫链。
（3）时间、状态都连续的马尔科夫过程。
1）假设马尔科夫过程{}T t X t ∈,的参数集T 是离散的时间集合，即Λ2,1,0=t ，其相应t X 可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态集},,{10Λi i I = 定义 1 设有随机过程{}T t X t ∈,，若对于任意的整数T t ∈和任意的I i i i n ∈+110,,,Λ，条件概率满足：}|{},,|{11110011n n n n n n n n i X i X P i X i X i X i X P =======++++Λ 则称{}T t X t ∈,为马尔科夫链。
马尔可夫过程实例
马尔可夫过程实例
马尔可夫过程的大概意思就是未来只与现在有关，与过去无关。
简单理解就是渣男只在乎下一刻会不会爱你只取决于这一时刻
对你的新鲜感，而与你之前对这段感情的付出毫无关系。
设有一个随机过程X（t），如果对于下一个任意的时间序列,在给定随机变量的条件下的分布可表示为则称X（t）为马尔可夫过程或者简称马氏过程。
这种“下一时刻的状态至于当前状态有关，与上一时刻状态无关”的性质，称为无后效性或者马尔可夫性。
而具有这种性质的过程就称为马尔可夫过程。
在马尔可夫过程中有两个比较重要的概念：转移分布函数、转移概率马氏过程，称条件概率为过程的转移分布函数。
其条件概率为转移概率密度，称为转移概率。
马尔科夫链（Markov）是最简单的马氏过程，即时间和状态过程的取值参数都是离散的马氏过程。
时间和状态的取值都是离散值。
假定在每一个时刻(n=1,2,…)，所有可能的状态的集合S是可数的，即可表示为S={0,1,2,…}。
对应于时间序列t1，t2 ，…，tn，…，马氏链的状态序列为i1，i2，…, in，…。
对于马尔科夫链，若转移概率与n无关（即与哪一次转移无关，仅与转移前后的状态有关），则该马氏链为齐次马氏链；否则称为非齐次马氏链。
接下来我们仅讨论齐次马氏链。
第二章 Markov过程5
第二章 Markov 过程8．纯不连续马氏链的极限性质（一）纯不连续马氏过程的-h 离散骨架记})({)(j t X P t p j ==，S j ∈∀，称),)(()(S i t p t p i ∈∀=ρ，为纯不连续马氏过程}0,)({≥t t X 在t 时刻的分布，称),)0(()0(S i p p i ∈∀=ρ为初始分布。
注意：任意n 个时刻的联合分布率可由)0(p ρ和)(t P 唯一确定，且有关系：)()0()(t P p t p ρρ=定义：对于纯不连续马氏过程}0,)({≥t t X ，任取0>h ，记：0,)()(≥=n nh X h X n则}0,)({≥n nh X 是一离散时间的马氏链，称为以h 为步长的-h 离散骨架，简称h 骨架。
它的n 步转移概率矩阵为)(nh P 。
对于满足连续性条件的齐次纯不连续马氏过程，有以下结论： 命题：S i t ∈≥∀,0，有0)(>t p i i 。
证明：由01)0(>=i i p ，及连续性条件1)(lim 0==→i i i i t t p δ，可知： 对任意固定的0>t ，当n 充分大时，有0)/(>n t p i i ，由C －K 方程有：)()()()()(t p s p t p s p t s p i i i i Sk i k k i i i ≥=+∑∈因此可得：0)]/([)(>≥n i i i i n t p t p由此命题可知：对所有的0>h 及正整数n ，及S i ∈∀，有0)(>nh p i i ，这意味着对每一个离散骨架}0,)({≥n nh X ，每一个状态都是非周期的。
因此对于纯不连续的马氏过程，无需引入周期的概念。
定义：若存在0>t ，使得0)(>t p j i ，则称由状态i 可达状态j ，记为j i →；若对一切0>t ，有0)(=t p j i ，则称由状态i 不可达状态j ；若j i →且i j →，则称状态i 与j 相通，记作j i ↔。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、离散参数马氏链的定义
马氏过程当参数和状态集都离散是称为离散参数马 氏链
20.3.6
定义1 设 {X (n), n 0为,1随, 2,机L 序} 列，状 态空间 E {0,1, 2,L }，若对任意 k N , n1 n2
L nl及 N in1 , in2 ,L , inl , im , iml E
相应于概率转移函数，有如下定义
定义2 设为马氏链， {X (n), n 0,1, 2,L }
E {0,1, 2,L } ，称条件概率
pij (m, k) P( X (m k) j | X (m) k)
为该链在m时刻的k步转移概率。
显然，当 m, k 固定时，i, j 在 E中变化时，得到不
初始分布
，则{ p j , j E}
n N , j E p j (n) p j
20.3.6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证 由平稳分布的性质，
n N , j E p j pi pij (n) p j (n) iE
此时任意时刻的分布与初始分布相同。
推论 若齐次马氏链 {X (n), n 的0,状1, 2态,L空}间有限，
为
E，若{1,存2,在L 正, s}整数 ，对
n0
任意的 i, j ，E 步n转0 移概率 pi，j (n则0 )此 0链为遍历
的，且极限分布等于平稳分布。
20.3.6
例3 设通信系统中数字0,1的传送必须经过若干级， 而每一级被正确传送的概率为 pi (0 pi 1)
令X (n表) 示第n级传递的数字，则
20.3.6
第四章 马尔柯夫过程
马尔柯夫链在实际当中有着非常重要的应用。 §4.1 马尔柯夫过程的概念
定义1 给定随机过程 {X (t),t，T若}对于参 数集中任意有 t1 t2 L tn
P(X (tn) xn | X (t1) x1,L , X (tn1) xn1) P(X (tn) xn | X (tn1) xn1)
为马氏过程的概率转移函数，记为
p(s,t; x, y)
20.3.6
和一般过程一样，根据参数集和状态集的不同，马 氏过程可分为四类，见书。
例1 一维随机游动为一个离散参数的马尔柯夫链。
例2 独立过程是马氏过程。 证 仅需验证对于参数集中任意 t1 t2 L有 tn
P(X (tn ) xn | X (t1) x1,L , X (tn1) xn1) P(X (tn) xn | X (tn1) xn1) 上式对独立过程显然成立。
则称之为齐次马氏链，记 pij (m,1) pij
20.3.6
由定义，可得如下结论
定理 C 若{X (n), n 0是,1齐, 2次,L马}氏链，
m 则其 k步转移概率 pij (m和, k ) 无关。
证 直接利用方程将其花为一步转移概率。
三、齐次马氏链实际模型
例1 独立随机变量序列
见书。
例2 简单随机游动
质点在数轴上整数点上做随机游动，X (n表) 示
20.3.6
时刻质点的位置。质点在任意位置左移一个单位
的概率为q，右移一个单位的概率为 ，p （不
动的概率为 r），则
{ X (，n) n 0}为,1,齐L 次马氏链。
对该问题，有如下几种情况： 1、随机游动
此时其状态空间为整数集。转移矩阵见书。 2、两个吸收壁的随机游动
布由其所有一步转移概率和初始分布决定。
20.3.6
证明略。
对一般马氏链转移概率是四元函数，如果转移概率 与时间起点无关，则得如下马氏链
二、齐次马氏链
定义4 若马氏链 {X (n), n 0的,1一, 2步,L转} 移概率 与
m 时刻pij (m无,1)关，即
n N
P(X (m 1) j | X (m) i) P(X (n 1) j | X (n) i)
定义6 对齐次马氏链 {X (n), n 称0,1,L }
pi (n) P( X (n)为其i) 绝i对 分E 布
20.3.6
性质3 绝对分布由初始分布和转移概率确定，且
p j (n) P( X (n) j) = pi pij (n) iE
证 由全概率公式可得。 性质4 齐次马氏链的有限维分布由初始分布和转移
lim
n
pj (n)
j
0(j E)
20.3.6
定义8 设齐次马氏链 {X (n), n 0，,1,若2,存L在}
满足{v：j , j E}
（1）v j 0, j E
（2） v j vi pij j E iE
（3） v j 1 jE 则称 {v j , j 为E此} 马氏链的平稳分布。
20.3.6
则称随机过程 {X (t),t为T马}尔柯夫过程，也称为马氏 过程。
上述性质称为无后效性或马尔柯夫性。 即未来时刻过程的状态只取决于其现在状态，而与 过去无关。
定义2 对于 {X (t),马t 尔T柯} 夫过程，称
条件概率
P( X (tn ) xn | X (tn1) xn1)
L , X (tn1) X (tn2) xn1 xn2, X (tn1) xn1)
20.3.6
P(X (tn ) X (tn1) xn xn1 | X (tn1) xn1) P(X (tn ) xn | X (tn1) xn1)
k
k 1
pkj
20.3.6
唯一性：若还有 { j , j E} ，使得
s
j k pkj j=1,2,L ,s k 1
则 j k pkj = ( s psk ) pkj
kE
kE sE
s psj (2) L m pmj (n)
20.3.6
对平稳分布，有如下结论
性质6 遍历的齐次马氏链的极限分布是平稳分布。
性质7 设齐次马氏链 {X (n), n 0的,1平, 2稳,L分} 布
为 {v j ,，j 则 E}
n N ,V VPn
性质8 若齐次马氏链 {X (n), n 0的,1平, 2稳,L分}布恰好为
定义7 对马氏链{X (n), n 0，,1,如2,果L 对} 一切状态 ,
存在i,与j 无关的极i 限
lim
n
pij (n)
j
0(i,
j E)
则称此马氏链具有遍历性。
20.3.6
又任意 n 0， pij (n) 1 ，故 j 1 ，称
jE
jE
{ j , j E} 为该链的极限分布或最终分布，记
从而为马氏过程。 因而，二项记数过程是离散参数马氏链。
例4 维纳过程是马氏过程。
由于维纳过程是平稳独立增量过程，由例3知其为 马氏过程。 同样可得
例5 泊松过程是马氏过程。
20.3.6
§4.2 离散参数马氏链
由于多方面的原因，实际应用当中，我们对连续 参数的情况考虑的较少。往往是对考虑对象离散抽 样来进行研究，因而离散参数马氏链考虑得很多。
20.3.6
证 利用全概率公式
pij (m, k l) P( X (m k l) j | X (m) i)
P(X (m k l) j, X (m k) r | X (m) i) r0
P(X (m k l) j | X (m k) r, X (m) i) r0 P(X (m k) r | X (m) i)
3、两个反射壁的随机游动
20.3.6
4、两个弹性壁的随机游动
四、齐次马氏链的性质
性质1 齐次马氏链 pij (的k )转移概率满足
pij (k l) pir (k) prj (l) r0
由C-K方程可得。
性质2 齐次马氏链的n步转移矩阵等于一步转移 矩阵的n次方，即 P(n) Pn
s
j k pkj k 1
20.3.6
j=1,2,L ,s
的唯一解。
证 由于
s
j
lim n
pij (n)
=
lim(
n k 1
pik (n 1) pkj )
而 k E ，pkj >0 ，故
s
s
j
(lim
k 1 n
pik (n 1)) pkj
sE
mE
同时取极限， j m j j mE
20.3.6
从而有如下结论：
若 { j , j E} 为马氏链的极限分布，则
j k pkj j E ，且 kE n N , j E, j k pkj (n) kE
推论 设齐次马氏链 {X (n), n 具0,1有, 2遍,L历}性，则
20.3.6
P(X (m k l) j | X (m k) r) r 0 P(X (m k) r | X (m) i)
prj (m k,l) pir (m, k) r0
意义：高步转移概率分解为低步转移概率
定理 B 马氏链{X (n), n 0,的1, 2任,L意} 有限维分
20.3.6
证 由于 i, j E, pij (2) ， 从而pir prj r0
证 由于 i, j E, pij (2)， 从而pir prj r0
P(2) P2 ，由数学归纳法可证。