第二章(完全信息静态博弈)

伯特兰德寡头模型——价格博弈分析（2）
解此方程组，得 ：
P1*
P2*
d1 2b2 (a2 b2 c2 ) (a1 b1c1 ) 4b1b2 d1d 2 4b1b2 d1d 2
d2 2b1 (a1 b1c1 ) (a2 b2 c2 ) 4b1b2 d1d 2 4b1b2 d1d 2

很显然，上述猜硬币博弈中两博弈方 都以1/2 的相同概率随机选择正面、反面 时，双方都无法根据对方的选择获益。 这种博弈方以一定的概率分布在可选 策略中随机选择的策略，称为“混合策 略”。 与此相对，把原来意义上的策略称为 “纯策略”。
3、混合策略定义

定义： 在博弈 G {S1 , , Sn ; u1 , , un } 中，博弈方 i Si {si1 , , sik } ，则博弈方 i以概率 的策略空间为 分布 pi ( pi1 , , pik ) 随机在其 k 个可选择策略 中选择的“策略”，称为一个 “混合策 pij 1 略” 0 。其中 对于 j=1,…, k都成立， 且 pi1 pik 1
博弈方2 左 博弈 上 1，0 0，4 中 1，3 0，2 右 0，1 2，0
方1
下
图2.1
严格下策反复消去法算例分析
博弈方2 左 中 博弈 上 1，0 1，3 方 1 下 0，4 0，2
图 2.2 消去博弈方2 右策略后的博弈
博弈方2 左 中 博弈 上 1，0 1，3 方1
图2.3 进一步消去 博弈方1下策后的博弈
哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这
个预测结果最终真会成为博弈的结果。
一致预测性在博弈分析中是重要的，原因在于 一个博弈方在博弈中所作预测的内容包括他自己的 选择，因此博弈方有可能会利用预测改变自己的选 择，而具有一致预测性质的博弈分析概念就能避免 这样的矛盾，从而是稳定的和自我强制的（Self enforcing），相应选择也才是真正可预测的。 纳什均衡具有一致性预测的性质，而且只有纳 什均衡才有这种性质，任何非纳什均衡的预测都不 是一致预测，因此一致预测正是纳什均衡的本质属 性。
q q 2
* 1 * 2
博弈结果效率比较
纳什均 合谋均 衡 衡
q1
q2
2
1.5
2
4 4 8
1.5
3 5 9
Q P U
古诺寡头模型——产量博弈分析（3）
从两厂商的总体来看，根据总体利益 最大化确定产量效率更高。换句话说，如 果两厂商更多考虑合作，联合起来决定产 量，先定出使总利益最大的产量后各自生 产一半（1. 5单位），则各自可分享到的利 益为4. 5，比只考虑自身利益的独立决策行 为得到的利益要高。
0，0 1，3
图2.6 划线法分析夫妻之争
四、箭头法
箭头法的基本思路是对博弈中的每个策
略组合进行分析，考察在每个策略组合处各 个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增 加得益。如能，则从所分析的策略引一箭头， 到能够带来更多得益的策略。最后综合对每 个策略组合的分析情况，形成对博弈结果的 判断。
箭头法分析
G {S1 , , S n ; u1 , un } ， n个参与人的策略式表达博弈：
* } 是一个纳什均衡，如果 策略组合 S * {S1* ,, Si* ,Sn
对于每一个 i，si* 是给定其他所有参与人选择
* * * * * S { S , , S , S S 1 1 i 1 i 1 n } 的情况下第 i个参与人的
u1 q1 P(Q) c1q1 q1[8 (q1 q2 )] 2q1 6q1 q1q2 q12
古诺寡头模型——产量博弈分析（1）
两厂商的利润函数分别为：
u1 q1 P(Q) c1q1 q1[8 (q1 q2 )] 2q1 6q1 q1q2 q
。
4、混合策略和混合策略纳什均衡
三、纳什均衡与上述分析方法的关系
（一）纳什均衡与上策均衡的关系 上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均衡 概念
纳什 均衡
上策均衡
图2.8 纳什均衡与上策均衡的关系
G {S1 , , S n ; u1 , u n }
（二）纳什均衡与严格下策反复消去法

命题2.1 在 n个博弈方的博弈 G {S1 , , S n ; u1 , un } 中， * * ( s , , s 如果严格下策反复消去法排除了除 n ) 之外 * * ( s , , s 的所有策略组合，那么 1 n ) 一定是该博弈唯 一的纳什均衡。
二、反应函数
前面讨论的两寡头古诺模型中，根据两厂商的 利润最大化条件可以得到两厂商的反应函数 （Reaction Function） ：
1 q 1 R1 ( q2 ) (6 q2 ) 2 q R ( q ) 1 (6 q ) 2 2 1 1 2
q2 (0,6)
第二章 完全信息静态博弈


基本分析思路和方法
纳什均衡 无限策略博弈分析和反应函数

混合策略和混合策略纳什均衡
第一节 基本分析思路和方法
上策均衡
；
严格下策反复消去法；
划线法; 剪头法。
一、上策Fra Baidu bibliotek衡

博弈中如果不管其他博弈方选择什么策略，一博
弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其他策
囚徒2 坦白 抵赖
囚 坦白 -5，-5 徒 1 抵赖 -8，0
0，-8
-1，-1
图2.7 箭头法分析囚徒的困境
第二节
纳什均衡的定义
纳什均衡
（Nash Equilibrium）


纳什均衡与严格下策反复消去法
sij G {S Si1 , , S n ; u1 , u n }
一、纳什均衡的定义
略（至少不低于其他策略），这种策略为该博弈
方的 “上策”（Dominant-strategy）。

如果一个博弈的某个策略组合是由各个博弈方各 自的上策构成的，这个策略组合必然是该博弈的 稳定的结果，称这样的策略组合为该博弈的一个 “上策均衡”（Dominant-strategy Equilibrium）。
设两厂商无固定成本，边际生产成本分别为 c1 和 c2 ，策略空间分别为 s1 [0, P1max ] ， s2 [0, P2 max ] ， 两厂商是同时决策的。
伯特兰德寡头模型——价格博弈分析（1）
两厂商的利润函数（关于价格的函数）：
u1 u1 (P1 , P2 ) P1q1 c1q1 (P1 c1 )q1 (P1 c1 )(a1 b1 P1 d1 P2 )
划线法算例分析
博弈方2 左 中
右
0，1 2，0
博弈 上 方1 下
1，0 0，4
1，3 0，2
图2.4 划线法分析
无法用划线法确定结果的博弈

猜硬币
猜硬币方 正面 反面
盖硬 正面 币方 反面
-1，1 1，-1
1，-1 -1，1
图2.5 划线法分析猜硬币博弈

夫妻之争（Battle of Sexes） 丈夫 时装 足球 妻 时装 2，1 0，0 子 足球
二、严格下策反复消去法
（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies） 一博弈方的某个策略给他带来的得益总比其它策略带 来的得益小，就称这种策略为“严格下策”。通过对可选 策略的相互比较，把不可能采用的较差策略排除掉，从而 筛选出较好的策略。
设一市场有1、2两家厂商生产同样的产品。如果 厂商1的产量为 q1 ，厂商2的产量为 q2 ，则市场总产 量为 Q q1 q2 。设市场出清价格P（可以将产品全部 卖出去的价格）是市场总产量的函数：
P P(Q) 8 Q
再设两厂商的生产都无固定成本，且每增加一单 位产量的边际成本相等 c1 c2 2 。最后强调两厂商同 时决定各自的产量，即他们在决策之前都不知道另 一方的产量。
2 1
u 2 q2 P(Q) c2 q2 q2 [8 (q1 q2 )] 2q2
2 6q2 q1q2 q2
古诺寡头模型——产量博弈分析（2）
利润最大化条件：
* * 6 q2 2 q1 0 * * 6 q 2 q 1 2 0
解得：
* * (P 1 , P 2 )
为该博弈唯一的纳什均衡 。
第四节

混合策略和混合策略纳什均衡
严格竞争博弈和混合策略的引进
多重均衡博弈和混合策略


混合策略和严格劣策略重复剔除
混合策略反应函数
一、严格竞争博弈和混合策略的引进
1、猜硬币博弈
猜硬币方 正面 反面 -1，1 1，-1 1，-1 -1，1
盖硬 正面 币方 反面
图2.10 猜硬币博弈
2、严格竞争博弈原则

第一个原则：自己的策略选择不能预先被 另一方知道或猜中。这正是没有纳什均衡 博弈与存在唯一纳什均衡博弈之间的一个 重要的本质区别。
第二个原则：在该博弈的多次重复中，博 弈方一定要避免自己的选择带有规律性， 在该博弈中博弈方必须随机选择策略。
u2 u2 (P1 , P2 ) P2 q2 c2 q2 (P2 c2 )q2 (P2 c2 )(a2 b2 P2 d 2 P1 )
两厂商对对方策略（价格）的反应函数为：
1 (a1 b1c1 d1P2 ) 1 R1 ( P 2) P 2b1 P R ( P ) 1 (a b c d P ) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 b 2
1

命题2.2 在n个博弈方的博弈 G {S1 , , S n ; u1 , un } 中， * * ,, s n ) 是G的一个纳什均衡，那么严格下 如果 (s1 策反复消去法一定不会将它消去。
第三节

无限策略博弈分析和反应函数
古诺的寡头模型
反应函数

伯特兰德寡头模型
q1
一、古诺寡头模型——产量博弈

严格下策反复消去法并不能解决所有 博弈的分析问题。（如猜硬币博弈、石头• 剪子•布博弈）

严格下策反复消去法失效的原因，仍 然是在典型的博弈问题中，博弈方之间普 遍存在策略依存的特征，也就是说一个博 弈方的不同策略之间，往往不存在绝对的 优劣关系，而只存在相对的、有条件的优 劣关系。
三、划线法
正是由于纳什均衡是一致性预测，因此才进一 步有下列性质：首先，各博弈方可以预测它，可以 预测他们的对手会预测它，还可以预测他们的对手 会预测自己会预测它，……；其次，预测任何非纳 什均衡策略组合将是博弈的最终结果，意味着要么 各博弈方的预测其实并不相同（预测不同的纳什均 衡会出现等），要么预期至少一个博弈方要“犯错 误”，包括对博弈结构理解的错误，对其他博弈方 的策略预测错误，其理性和计算能力有问题，或者 是实施策略时会出现差错等。
q1 R1 (q2 )
(0,3)
(2,2)
q2 R2 (q1 )
(3,0) (6,0) q1 图2.9 古诺模型的反应函数几何描述
三、伯特兰德寡头模型——价格博弈
当厂商1和厂商2价格分别是 P 1和 P 2 时，它们各 自的需求函数为 ：
q1 q1 ( P 1, P 2 ) a1 b1 P 1 d1 P 2 q2 q2 ( P 1, P 2 ) a2 b2 P 2 d2 P 1
先找出自己针对其他博弈方每种策略或 策略组合（对多人博弈）的最佳对策，即自 己的可选策略中与其他博弈方的策略或策略 组合相配合，给自己带来最大得益的策略 （这种相对最佳对策总是存在的，不过不一 定唯一），然后在此基础上，通过对其他博 弈方策略选择的判断，包括对其他博弈方对 自己策略判断的判断等，预测博弈的可能结 果和确定自己的最优策略。
* * 最优策略。即：ui (Si* , S ) u ( S , S 1 i i 1 ) 对于任意
Si Si
和任意的 i都成立。
二、纳什均衡的一致预测性质
一致预测性是纳什均衡的本质属性。 “一致性预测”是指：如果所有博弈方都预 测
一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方
的实际行为选择都会与他们的预测一致，即没有