内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.1.5空间向量运算的坐标表示 共18张 精品
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内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法(1)
3.2 立体几何中的向量方法(1)
----直线的方向向量与平面的法向量
第一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工具 在立体几何中的应用.
第十三页，编辑于星期日：0
即
解得zx
2 0
y
取y=1,则x=2
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
所以，平面的一个法向量是 n (2,1, 0)
第十页，编辑于星期日：六点 三十六分。
练习：
在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，0），B(0,4,0)，C(0,0,2)， 求平面ABC的一个法向量。
第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1：已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC （1 t）OA tOB得
（0，y1，z1）（1 t）(1, -2,3) t(2,1, -3) （0，y1，z1） (1 t，- 2 3t，3 - 6t）
OP x a y b
这样，点O与向量a,b 不仅可以确定平面α的位
b O
P
置，还可以具体表示出α
a
内的任意一点。
这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。
第六页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分 别为a,b,点P为平面α上任意一点。
----直线的方向向量与平面的法向量
第一页，编辑于星期日：六点 三十六分。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工具 在立体几何中的应用.
第十三页，编辑于星期日：0
即
解得zx
2 0
y
取y=1,则x=2
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
所以，平面的一个法向量是 n (2,1, 0)
第十页，编辑于星期日：六点 三十六分。
练习：
在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，0），B(0,4,0)，C(0,0,2)， 求平面ABC的一个法向量。
第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1：已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC （1 t）OA tOB得
（0，y1，z1）（1 t）(1, -2,3) t(2,1, -3) （0，y1，z1） (1 t，- 2 3t，3 - 6t）
OP x a y b
这样，点O与向量a,b 不仅可以确定平面α的位
b O
P
置，还可以具体表示出α
a
内的任意一点。
这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。
第六页，编辑于星期日：六点 三十六分。
⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。
如图，设这两条直线相交于O点，它们的方向向量分 别为a,b,点P为平面α上任意一点。
2018学年高中数学选修2-1课件：3.1.5 空间向量的数量积 精品
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈A→B，B→C〉＝∠B.( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( ) (4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
[小组合作型]
求空间向量的数量积 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列向量的数量积． (1)B→C·E→D1； →→ (2)BF·AB1.
【精彩点拨】 法一(基向量法)： B→C与E→D1，B→F与A→B1的夹角不易求，可考虑用向量A→B，A→D，A→A1表示向量B→C， E→D1，B→F，A→B1，再求结论即可． 法二(坐标法)： 建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
∴|AC→′|＝ 85.
(2)法一：设AC→′与A→C的夹角为 θ，
∵ABCD 是矩形，∴|A→C|＝ 32＋42＝5.
由余弦定理可得
cos
θ＝AC′22＋ACA′C2·－ACCC′2＝852＋·2855－·525＝
85 10 .
法二：设A→B＝a，A→D＝b，AA→′＝c，
依题意得AC→′·A→C＝(a＋b＋c)·(a＋b)
1．若 a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且 a⊥b，则 x＝______. 【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得 x＝2.
【答案】 2 2．与向量 a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________． 【解析】 |a|＝ 12＋22＋22＝3，故与 a 方向相同的单位向量是|aa|＝13(1,2,2)
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：1.4.3含有一个量词的命题 共16张 精品
(3)平行四边形的对边相等；
(4) x∈R，x2-x+1＝0；x R, x2 x 1 0
(3)“存在平行四边形，它的对边不相等”
2.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（C ）
A.所有人都不遵纪守法；B.有的人遵纪守法； C.有的人不遵纪守法； D.很多人不遵纪守法. 3.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”
符号简记为：x∈M,p(x)
集 合
含有全称量词的命题，叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”
符号简记为：x∈M ,p(x)
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假的方法：
全称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
它的否定 p : x M,p(x)
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称 命题.方法是“改量词否结论”.
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中
每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合
M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
D.很多三角形，内角和不等于180o . 5.命题“乌鸦都是黑色的”的否定
为:_至__少__有___一__只__乌__鸦___不__是__黑__色___的____. 6.命题“有的实数没有立方根”的否定为真:___命
(4) x∈R，x2-x+1＝0；x R, x2 x 1 0
(3)“存在平行四边形，它的对边不相等”
2.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（C ）
A.所有人都不遵纪守法；B.有的人遵纪守法； C.有的人不遵纪守法； D.很多人不遵纪守法. 3.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”
符号简记为：x∈M,p(x)
集 合
含有全称量词的命题，叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”
符号简记为：x∈M ,p(x)
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假的方法：
全称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
它的否定 p : x M,p(x)
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称 命题.方法是“改量词否结论”.
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中
每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合
M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
D.很多三角形，内角和不等于180o . 5.命题“乌鸦都是黑色的”的否定
为:_至__少__有___一__只__乌__鸦___不__是__黑__色___的____. 6.命题“有的实数没有立方根”的否定为真:___命
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法3 精品
∴
y
m AB 0 2x ,令 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
设平面
PBC
的法向量为
n
(
x,
y,
z)
,
则
n
CB
0
n CP 0
( x,
(
x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y 0 z令源自yz'1,
n
(0, 1, 1)
mn 3
∴cos m, n
, ∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为
3
| m || n | 3
3
练习1：RtABC中，BCA 900,现将ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，1
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
C1
F1
B1
A1
D1 C
B
A 练习2：正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角的余弦.A1 B1
D1 C1
A
D
B
练例习33. 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD
2
与面SBA所成二面角的余弦值.
z
S
6
B
C
3
xA D y
小结 用向量的方法求角
cos cos a, b
a b
ab
(线线角公式)
人教A版高中数学选修2-1课件：3-1-4 3-1-5 空间向量的坐标运算 精品
1.空间直角坐标系与原点: O-xyz 2.坐标向量: i, j, k 3.坐标平面 通过每两个坐标轴的平面，分别称
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算 (共20张PPT)
• 相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
⒉平面向量的加减运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则
首同尾连向被减
首
尾
相
接
首
尾
a
连
三角形法则
b a
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平面向量的两个推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
概 平面内，具有大小和方向的量 念
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
空间向量
空间中，具有大小和方向的量
b a
C B
a+ b
O
A
uuur uuur uuur OB OA AB uuur uuur uuur CA OA OC
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
变式：长方体中u，uurAD=2，AA1=1，AB=3。
（1） 写出与 AuBuu相r 等的所有向量； （2）写出与向量 AA1 的相反向量。
例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
平面向量
概 平面内，具有大小和方向的量 念
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
⒉平面向量的加减运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则
首同尾连向被减
首
尾
相
接
首
尾
a
连
三角形法则
b a
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平面向量的两个推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
概 平面内，具有大小和方向的量 念
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
空间向量
空间中，具有大小和方向的量
b a
C B
a+ b
O
A
uuur uuur uuur OB OA AB uuur uuur uuur CA OA OC
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
变式：长方体中u，uurAD=2，AA1=1，AB=3。
（1） 写出与 AuBuu相r 等的所有向量； （2）写出与向量 AA1 的相反向量。
例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
平面向量
概 平面内，具有大小和方向的量 念
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.2
C
B A 分析:要求 CD 的长可以转化为求 D CD 的模的大小. 怎么求 CD 呢? 显然直接求 CD 出不来,这时可以
结合图形发现 CD 用其他已知向量来表示的关系式,从 而求 CD 转化为其他已知向量的运算使问题获解.
由图可知 CD CA AB BD
有了!
归纳：知道了点点距的求解之后，对于点线距、 线线距可以转化为用向量的方法求点点距问题.
3.2 立体几何中的向量方法(4)
----向量的方法解空间距离问题
引入：
类似用平面向量解决平面几何问题的“三部 曲”，可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三部曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(常建立坐标系来辅助)；
2ab cos a 2 b2 c 2 d22 . 进行向量运算 2 2 2 a b c d . 库底与水坝所成二面角的余弦值为 2ab
因此
运算结果几何化
空间“距离”问题
1. 向量法求空间“点点距”
2 2 2 2 利用公式 a a 或 a x y z
n
F D
x
C
即“点面距”是斜线向量与 法向量数量积的绝对值除以 法向量的模.
A
E
y
B
2、向量法求点到平面的距离：
例 例2: 2. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， 求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
G
归纳：知道了点面距 的求解之后，对于线 面距、面面距都可以 转化为用向量的方法 求点面距问题.
B A 分析:要求 CD 的长可以转化为求 D CD 的模的大小. 怎么求 CD 呢? 显然直接求 CD 出不来,这时可以
结合图形发现 CD 用其他已知向量来表示的关系式,从 而求 CD 转化为其他已知向量的运算使问题获解.
由图可知 CD CA AB BD
有了!
归纳：知道了点点距的求解之后，对于点线距、 线线距可以转化为用向量的方法求点点距问题.
3.2 立体几何中的向量方法(4)
----向量的方法解空间距离问题
引入：
类似用平面向量解决平面几何问题的“三部 曲”，可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三部曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(常建立坐标系来辅助)；
2ab cos a 2 b2 c 2 d22 . 进行向量运算 2 2 2 a b c d . 库底与水坝所成二面角的余弦值为 2ab
因此
运算结果几何化
空间“距离”问题
1. 向量法求空间“点点距”
2 2 2 2 利用公式 a a 或 a x y z
n
F D
x
C
即“点面距”是斜线向量与 法向量数量积的绝对值除以 法向量的模.
A
E
y
B
2、向量法求点到平面的距离：
例 例2: 2. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， 求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
G
归纳：知道了点面距 的求解之后，对于线 面距、面面距都可以 转化为用向量的方法 求点面距问题.
【人教.高中.数学】选修2-1：3.1.5空间向量运算的坐标表示【PPT课件】
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求 cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
uuuur BE1
1 ,
3 4
, 1
(1,1,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
uuuur DF1
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3 ,
3
, 1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程
3.代换 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = ± 2a
化简
第九页，编辑于星期日：六点 三十五分。
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
F1
cx a2 a (x c)2 y2
y
M
o
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a.b.c的关 系
a最大
F（±c，0）
F（0，±c）
a>0，b>0，但a、b没有 固定大小关系，
c2=a2+b2
若是，求出其焦点的坐标：
第十五页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
解:由题双曲线的焦点在 x 轴上，根据定义有：
∵ 2a = 6, c=5
∴ a = 3, c = 5
变题∴1:将b条2 =件c2改-a2为=5双2-3曲2 =线16上一点P到F1,F2的距离的差
等于6,如何?
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1
变题2:将条件改为点P到F1,F2的距离的差的绝9 对值1等6 于10,
如何?
第十六页，编辑于星期日：六点 三十五分。
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
2.3.1双曲线及其标准方程
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教版必修二同步课件：1.1空间几何体的结构
第十六页，编辑于星期日：六点 三十四分。
①过BC的截面截去长方体的一角， 截去的几何体是不是棱柱，余下 的几何体是不是棱柱？
答：都是棱柱．
②观察右边的棱柱，共有多少 对平行平面？能作为棱柱的底 面的有几对？
答：四对平行平面； 只有一对可以作为棱柱的底面．
第十七页，编辑于星期日：六点 三十四分。
练习：观察下面的几何体，哪些是棱柱？
(1)由简单几何体拼接而成的;
(2)简单几何体截去或挖去 一部分而成的.
第三十三页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
简单空间几何体的分类
多面体
旋转体
第三十四页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
锥体
台体
球
棱柱 圆柱 棱锥 圆锥
棱台 圆台
简单组合体的结构特征
第三十五页，编辑于台体
棱锥
圆锥 棱台
圆台
球体
第十一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
一、 棱柱的结构特征:
思考：具备哪些性质的几何体叫做棱柱?
A1
D1 B1
C1
A1
C1
A1
B1 B1
E1 D1
C1
D A
C
BA
C A
BB
E CD
第十二页，编辑于星期日：六点 三十四分。
1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱。
圆柱的结构特征:
1、定义：以矩形的一边 所
在直线为旋转轴，其余三边
旋转形成的面所围成的旋转
O1
体叫做圆柱。
①过BC的截面截去长方体的一角， 截去的几何体是不是棱柱，余下 的几何体是不是棱柱？
答：都是棱柱．
②观察右边的棱柱，共有多少 对平行平面？能作为棱柱的底 面的有几对？
答：四对平行平面； 只有一对可以作为棱柱的底面．
第十七页，编辑于星期日：六点 三十四分。
练习：观察下面的几何体，哪些是棱柱？
(1)由简单几何体拼接而成的;
(2)简单几何体截去或挖去 一部分而成的.
第三十三页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
简单空间几何体的分类
多面体
旋转体
第三十四页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
锥体
台体
球
棱柱 圆柱 棱锥 圆锥
棱台 圆台
简单组合体的结构特征
第三十五页，编辑于台体
棱锥
圆锥 棱台
圆台
球体
第十一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
一、 棱柱的结构特征:
思考：具备哪些性质的几何体叫做棱柱?
A1
D1 B1
C1
A1
C1
A1
B1 B1
E1 D1
C1
D A
C
BA
C A
BB
E CD
第十二页，编辑于星期日：六点 三十四分。
1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱。
圆柱的结构特征:
1、定义：以矩形的一边 所
在直线为旋转轴，其余三边
旋转形成的面所围成的旋转
O1
体叫做圆柱。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.5 空间向量运算的坐标表示
)
A.13
答案:C
B.
2 3
C.
3 3
D.23
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
解析:设底面 ABCD 的中心为 O.如图,建立空间直角坐标系 Oxyz, 令正四棱锥的棱长为 2,
则 A(1,-1,0),B(1,1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,
2),E
1 2
,
1 2
,
2 2
, ������������ =
1 = ������(1-������2),
∴ ������ = ������(-3������),
解得 x=0 或 2.
1-������ = ������(������ + 1),
(2)∵a⊥b,∴a·b=0,
即(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0.
∴1-x2+(-3x)x+(x+1)(1-x)=0,
(2,1,3)·(2,0,-6) 22+12+32× 22+02+(-6)2
=
-14 14×2
10=- 1305.
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= 29且 λ>0,则
λ=
.
答案:3
解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
-
2 5
=3t-552.
因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0 且<a,b>≠180°.①
人教A版高中数学选修2-1课件：3.1.4(3.1.5)空间向量的坐标运算
解：设M(x,y,z)是AB的中点，则
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
空间两点间的距离公式
已 知 A(x1 , y1 , z1 ),B(x2 , y2 , z2 ), 则
| AB | AB AB (x2 x1 )2 (y2 y1 )2 (z2 z1 )2 ;
例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求线段
AB的中点坐标和长度.
z B(1,0,5)
共线 a∥b (b≠0)<=>a=λb
即a∥b (b≠0)<=>
a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3,
a∥b<=>
a1 b1
a2 a3
b2 b3
垂直 a┻b a•b=0
a┻b a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 =0
例题
例1 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a+2b-c,求:p, q, p•q. 解:p=a-b
a•b= a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 .
在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点P,
相对与原点确定了一个向量OP，设
OP=xi+yj+zk
则 (x，y，z)就是P的坐标, 即P(x，y，z) .
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.1.5空间向量运算的坐标表示
练习:
⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5),
则 △ABC 的面积 S=_____. 7 3
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为
钝角，则 x 的取值范围为
. (1, 5 ) 2
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面
则 a b (a1 b1, a2 b2 ), a b (a1 b1, a2 b2 )
a (a1, a2 )( R), a b a1b1 a2b2
a // b a1 b1, a2 b2 ( R), a b a1b1 a2b2 0
(3)若A(x1, y1), B(x2 , y2 )则AB (x2 x1, y2 y1)
yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
第十七页，编辑于星期日：六点 三十六分。
小结
1.空间向量运算的坐标表示：加、减、数乘、数 量积、共线、垂直。
2.空间两点的距离公式、空间向量的夹角表示。
3.空间向量在立体几何中的简单运用。
第十八页，编辑于星期日：六点 三十六分。
空间向量的坐标运算：
若
a
a1 ,
a2
,
a3
,
b
b1, b2
, b3
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
a a1, a2 , a3 R
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3
第四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
a (a1,a2 ,a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算
EG x EH y EF
O
D
A
H
C
B
G
E
F
14
第十四页，编辑于星期日：六点 三十六分。
三.共面向量:
3.“四点共面”的充要条件：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使
AP x AB y AC
或对空间任一点O,有
OP OA x AB y AC
此式称为空间平面ABC的 向量表示式
5
第五页，编辑于星期日：六点 三十六分。
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1
G
B1
M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
C
解：(1) AB BC＝AC;
平面任意两个向量 a b（ b ≠ 0 ），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b
规定 : o与任一向量 a 是共线向量
8
第八页，编辑于星期日：六点 三十六分。
二、空间向量共线及其充要条件
1. 共线向量 :
空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫
做共线向量或平行向量.
a 平行于 b 记作 a // b
(1) a a (2) 当 0时，a的方向与a的方向相同；
当特别地0时，当，a的 0方或向a 与 0a时的，方a向相0 反. ；
类似地,我们是否可以定义空间向量的数乘运 算呢?
3
第三页，编辑于星期日：六点 三十六分。
最新-内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修21课件：3.1.3空间向量的数量积运算 共16张 精品
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可！
P O A
l
例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b . 起点相同
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2.两个空间向量的数量积定义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
不平行,由共面向量条件,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l mn 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m
n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
练习巩固:
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
3.1.3 空间向量的数量积运算
回顾：平面向量数量积定义？ 已知两个非零向量a与b，它们的夹
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b 的数量积（或内积），记作a·b.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
数量积的几何意义？
回顾：平面向量数量积定义： 已知两个非零向量a与b，它们的夹
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可！
P O A
l
例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b . 起点相同
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2.两个空间向量的数量积定义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
不平行,由共面向量条件,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l mn 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m
n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
练习巩固:
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
3.1.3 空间向量的数量积运算
回顾：平面向量数量积定义？ 已知两个非零向量a与b，它们的夹
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b 的数量积（或内积），记作a·b.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
数量积的几何意义？
回顾：平面向量数量积定义： 已知两个非零向量a与b，它们的夹
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教版必修二同步课件：1-1空间几何体的结构(共35张PPT)
Ｄ１ Ａ１ Ｂ１
Ｃ１
Ｄ
Ａ
Ｃ Ｂ
3.1.3
多面体
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
由若干个平面多边 形围成的几何体．
Ｄ１ Ａ１ Ｂ１
Ｃ１
旋转体 由一个平面图形绕它 所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封 闭几何体．
Ｄ
Ａ
Ｃ Ｂ
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 生活中的立体图形
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
底面
侧面 侧棱 顶点
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、 四边形、五边形、 …… 把这样的棱柱分别 叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
三棱柱
四棱柱
五棱柱
侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
半径
球心 2、球的表示法： 用表示球心的字 母表示，如球O
B
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
思考：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截
一个球，截面是
圆面。
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
简单组合体的结构特征：
答：都是棱柱．
②观察右边的棱柱，共有多 少对平行平面？能作为棱柱 的底面的有几对？
答：四对平行平面； 只有一对可以作为棱柱的底面．
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
练习：观察下面的几何体，哪些是棱柱？
Ｃ１
Ｄ
Ａ
Ｃ Ｂ
3.1.3
多面体
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
由若干个平面多边 形围成的几何体．
Ｄ１ Ａ１ Ｂ１
Ｃ１
旋转体 由一个平面图形绕它 所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封 闭几何体．
Ｄ
Ａ
Ｃ Ｂ
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 生活中的立体图形
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
底面
侧面 侧棱 顶点
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、 四边形、五边形、 …… 把这样的棱柱分别 叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
三棱柱
四棱柱
五棱柱
侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
半径
球心 2、球的表示法： 用表示球心的字 母表示，如球O
B
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
思考：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截
一个球，截面是
圆面。
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
简单组合体的结构特征：
答：都是棱柱．
②观察右边的棱柱，共有多 少对平行平面？能作为棱柱 的底面的有几对？
答：四对平行平面； 只有一对可以作为棱柱的底面．
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
练习：观察下面的几何体，哪些是棱柱？
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思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
时，夹角在什么范围内？
三、应用举例
例1．已知 a (2, 3,5),b (3,1, 4) 求a b, a b,| a |,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3, 5) (3,1, 4) (5, 4, 9) | a | 22 (3)2 52 38 8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
所以
EF
DA1
(
1 2
,
1 2
,
1) 2
(1
,
0
, 1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习:
⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5),
则 △ABC 的面积 S=_____. 7 3
3)若A(x1, y1), B(x2, y2)则AB (x2 x1, y2 y1)
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
a // b a b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ;
a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
a
a a
a12
a
2 2
a32
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
cos a, b
cos a b
ab
a1b1 a2b2
a12
a
2 2
b12 b22
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
cos a, b
cos a b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
a12
a
2 2
a32
b12 b22 b32
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
若Aa1,b1, Ba2,b2 ，则A, B两点间的距离
dAB AB a2 a1 2 b2 b1 2
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
若Aa1,b1, c1 , Ba2 ,b2 , c2 ，则A, B两点间的距离
p
e3
e1
O e2
y
x
复习回顾
2．平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若 p xi y j(i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) 则 p的坐标为(x, y)
(2)若a (a1, a2 ),b (b1,b2 )
则 a b (a1 b1,a2 b2),a b (a1 b1,a2 b2)
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
复习回顾
1.空间向量的坐标表示：
给定一个空间坐标系和向
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 z 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作.P=(x,y,z)
注意：此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(xu2u,ury2 , z2 )，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
dAB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
若Ax1, y1, z1 , Bx2 , y2 , z2 则
AB
__(_x_2___x_1 _, _y_2___y_1_,_z_2___z_1_)______
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a a a a12 a22
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a b a1 b1, a2 b2
a
a1 ,
a2
R
a
b
a1
b1, a2
b2
a b a1b1 a2b2
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
y
BE1
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1
.
1
,
3 4
,
1
(1
,
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
a (a1, a2 )( R), a b a1b1 a2b2
a // b a1 b1, a2 b2( R),a b a1b1 a2b2 0
(3)若A(x1, y1), B(x2, y2)则AB (x2 x1, y2 y1)
类比平面向量的坐标运算，空间向量的运算 律怎样用坐标表示呢？
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3)1 5 (4) 29
三、应用举例
例2 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求： 线段 AB 的长度；
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
a a a a12 a22 a32
3.空间向量在立体几何中的简单运用。
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为
钝角，则 x 的取值范围为
. (1, 5 ) 2
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面
yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
小结
1.空间向量运算的坐标表示：加、减、数乘、 数量积、共线、垂直。 2.空间两点的距离公式、空间向量的夹角表示。
44
例例43.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1
中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 建立如图空间直角坐标系 O-xyz
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
பைடு நூலகம்22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
d AB AB
a2 a1 2 b2 b1 2 c2 c1 2
一、空间向量的坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
a (a1,a2,a3),( R) ;
a a1, a2 , a3 R
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a// b a b a1 b1, a2 b2 R,
a b a b 0 a1b1 a2b2 0
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
,
x
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1
.
BE1
DF1
0 0
1 1 4 4
15
11 15 16
| BE1 |
17 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1•DF1 BE1 | | DF1
|
16 15 . 17 17 17