研究生计算方法历年试卷
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2. 以下叙述中正确的是
*
（多项选择）
*
①方程 f(x)=0 在 [a,b] 内有根 x ，且 f(x) 在[a,b]上连续，f(a),f(b) 异 号，则用二分法求 f(x)=0 在[a,b]上的根一定收敛于 x 。 ②用 SOR 迭代法解线性方程组 Ax=b，如果 SOR 方法收敛,则 ω 必满足： 0< ω <2。 ③用 Newton 迭代求方程 f(x)=0 的根，若收敛，则收敛阶数必为二阶。 ④若 A 为严格主对角占优阵，则求解方程 Ax=b 的 Gauss-Seidel 迭代必 收敛 3. 在直角坐标系中画出 y=f(x)的一种图形， 使得用 Newton 迭代法解 f(x)=0 的近似根时发散, 并在 x 轴上标明 x0 的位置。
7.求次数不超过 3 次，且满足下列条件的插值多项式： x f(x) 0 1 1 1 2 1 3
f’(x) 0 该插值多项式为 8.切比雪夫（Tchebycheff）多项式所满足的递推关系式为：
Tn +1 ( x) =
其中 T0 ( x) =
2
Tn ( x)
， T1 ( x ) =
Tn −1 ( x)
f ' ( x)在[a − ε , b + ε ] 上连续。定义
1 x +ε f (t )dt 2ε ∫x −ε ' 1)证明：求 f ε ( x) = 0 的 Newton 迭代公式为： f ( xn + ε ) − f ( xn − ε ) x n +1 = x n − f ' ( xn + ε ) − f ' ( xn − ε )
⎧ y ' = f ( x, y ) 在 x n 处的近似值，记 en = y ( x n ) − y n ⎩ y ( x0 ) = y 0
x
为整体截断误差，则 en 所满足的关系式为 en ≤ 13.设 f ( x) = e ，用分段线性插值求 f ( x) 在区间 [0,1] 中的近似 时，绝对误差 ≤ 1 × 10 值，则当等分区间的步长 h ≤ 14.初等反射阵（Householder 阵）的全部可能的特征值是 15.设 A = ( aij ) n×n ， A
H (0) = f (0) H (1) = f (1) H ' (0) = f ' (0) H ' (1) = f ' (1)
三次 Hermite 插值多项式 2)构造如下的数值积分公式：
1 1 1 I = ∫ f ( x)dx ≈ [ f (0) + f (1)] + [ f ' (0) − f ' (1)] 0 12 2
1 , h = 0.2 4
3) 取 [a, b] = [0,1], f ( x) = x e , y 0 = 用 1)中的格式求 y (h) 的近似值 y1 4) 计算误差 y ( h) − y1 (保留六位小数)
三、（15 分） 已知 A = ⎜ ⎜
⎛1 1⎞ ⎟ ⎟ 的两个特征值为 λ1＝1，λ 2＝2 ，对应的特征向量分别为 ⎝0 2⎠ ν 1＝(1,0) T 与ν 2＝(1,1) T , 取初始向量 x0 = ν 1 + ν 2 . 作迭代
迭代法的迭代公式是 。 3.用 Jacobi 迭代公式 xk+1=Jxk 求解方程 Ax=b,对于以下几种情 况， 一定收敛的是： A. A 为严格对角占优阵 B.J 为严格对角占优阵 C.A 为对称正定阵 D.A 的谱半径小于 1 E.J 的谱半径小于 1 F.J 的列范数小于 1
⎡− 1 4 6 ⎤ ⎢ ⎥ 4. 对矩阵 A = ⎢− 3 14 24 ⎥ ⎢ 0 12 ⎥ ⎣1 ⎦
⎧ y k = Ax k ⎪ ... ⎨ x = yk 1 , 2 , 3 ,... k = k ⎪ 2 ⎩ 1) 写出 x k 的精确表达式
T x8 Ax8 T x8 x8 3) 计算 || x8 − ν 2 ||1 与 | τ 8 − λ 2 |
2) 计算
τ 8＝
四、（20 分） 设对任意给定的 ε > 0,
11. 设用 n 等分[0,1]区间的复化梯形公式求积分 当n ≥ 时，保证误差不超过
∫e
0
1
x
dx ,
1 －4 × 10 2
12. 设 f(x,y)关于 y 满足李普希兹（Lipschitz）条件，即： | f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 ) |≤ L | y1 − y 2 | , y n 是用欧拉（Eular）公式 求得的方程 ⎨
并求余项
01 研究生计算方法试题（A）
一、填空题（选做其中 10 题，每小题 3 分）
⎡2 5 2⎤ ⎡8⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⒈对方程 Ax=b 用 Gauss 消元法求解， 其中 A = 1 2 3 ，b = 12 则第一步消元相当于 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣3 1 5⎥ ⎣13⎥ ⎦ ⎦ 方程两边左乘矩阵 L1 = [ ]
9. f ( x) = x + 3 x + 1 在 [-1,1] 上的一次最佳一致逼近多项式是 10. 用 求 解
∫
b
a
f ( x)dx 的 梯 形 公 式 T =
H = (b − a) f (
a+b ) 作组合，得到具有高精度的求积公式 S，则 S= 2
b−a ( f (a) + f (b)) 和 中 矩 形 公 式 2
(k ) k →∞
−6
(k ) = (aij ) n×n ，则 lim A ( k ) = A 的定义是
二、（14 分） 1)试导出解
y n +1
⎧ y ' = f ( x, y ) 的中点折线法： ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0 = y n −1 + 2hf ( x n , y n ) n=1,2,…
为步长，
1 Hn = h∑ f [a + (i + )h] 为复化中矩形公式， Tn 为复化梯形公式， T2 n 为步长减半后的 2 i=0
复化梯形公式，
n −1 n −1 1 h Sn = [ f (a ) + 4∑ f (a + (i + )h) + 2∑ f (a + ih) + f (b)] 为复化 Simpson 公式， 6 2 i=0 i =1 则 Sn , Tn 和Hn 所满足的关系为 。 4 7.设 f ( x ) ∈ C [ 0,1] ，则求积公式 1 1 1 ∫0 f (x )dx ≈ 2 [ f (0) + f (1)] + 12 [ f ' (0) − f ' (1)]
99 研究生计算方法试题（A 卷）
姓名 班级
一、填空题：（每小题 4 分） 1. 设 P＝3.14159 是π的近似值，则该近似值具有 相对误差限为 。
位有效数字； 绝对误差限为
；
⎡ 2 1 0⎤ ⎢ ⎥ 2.设 A = ⎢1 2 1⎥ ⎢ ⎣ 0 1 2⎥ ⎦
⎡1⎤ ⎢⎥ b = ⎢1⎥ ， 则求解方程 Ax=b 的 Gauss-Seidel ⎢ ⎣1⎥ ⎦
b
(15 分) 四、给出下表的数据， 1)用最小二乘法求一个形如 y = a + bx 的经验公式；
2
2)对任意多个点的拟合问题，应如何合理地定义拟合的均方 误差？ i xi
i
1 44 97.8
2 38 73.3
3 31 49.0
4 25 32.3 （15 分）
5 19 19.0
yi
五、已知 u = ( 2,5,2,2,1,) ，求一个初等反射阵 H，使得：
2
作 LU 分解，则 L=
;U=
。
5.用 Newton 迭代求 f ( x ) = x − x − 2 的零点 x=-1 的近似值，若取
x0 = −0.9 ，则 x1 =
6. 为 了 计 算 积 分
n −1
。
∫
b
a
f ( x ) dx 的 近 似 值 ， 对 积 分 区 间 n 等 分 ， h =
b−a n
二、 （15 分） 1) 试证
⎧ y ' = f ( x), a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ y (a) = y 0
的四阶 Runge-Kutta 法是：
y n +1 = y n +
2) 它与数值积分有什么关系
2 2x
h h ( f ( x n ) + 4 f ( x n + ) + f ( x n + h)) 6 2
2
若 f(a)=f(b)=0,则：
a ≤ x≤b
max| f ' ' ( x )|≥
12 (b − a) 3
∫
b
a
f ( x ) dx
一般地，有：
a ≤ x≤b
max| f ' ' ( x )|≥
12 (b − a ) 3
∫
1 f ( x ) dx − [ f (b ) + f ( a )](b − a ) a 2
T
Hu=(2,5,-3,0,0)
（15 分）
00 研究生计算方法试卷 A
一、（20 分） 设
⎛1 3 4⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ 3 1 2 ⎟ ⎜4 2 1⎟ ⎝ ⎠
记
⎛ 20 ⎞ ⎜ ⎟ b= ⎜ − 7 ⎟ ⎜ − 18 ⎟ ⎝ ⎠
1) 2) 3) 4) 5)
1 ( Au, u ) − (b, u ) u ∈ R3 2 3 * 给出 J (u ) 在 R 中的点 u 取得极值的必要条件 * 用数值方法求解 1)中的 u 求正交阵 H , 使 HAH 为三对角阵 求 || HAH ||1 和 || HAH || ∞ 写出求解 Ax = b 的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的格式 J (u ) =
(a11 , a 22 ≠ 0) 的近似解，则迭代收敛的充要条件是
5.设 A 是非奇异矩阵， Ax = b ≠ 0 且 A( x + δx) = b + δb ，则解的相对误差 为 6. 一
|| δx || 的上限 || x ||
， 满 足
个
次
数
不
高
于
5
次
的
多
项
式
P5 ( x)
1 1 1 1 P5 (0) = f (0), P5' (0) = f ' (0), P5 ( ) = f ( ), P5' ( ) = f ' ( ), P5 (1) = f (1), P5' (1) = f ' (1) 且 2 2 2 2 ( 6) f ( x) 连续，则该插值多项式的余项 f ( x) − P5 ( x) =
4.
用⎨
⎧
x1( k ) =
(k ) ⎩ x2
1 ( k −1) (b1 − a12 x 2 ) ⎧ a11 x1 + a12 x 2 = b1 a11 (k=1,2,3,ٛ )求方程组 ⎨ 1 ⎩a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 = (b2 − a 21 x1( k −1) ) a 22
的余项为 。 8.设 x0 , x1 ,..., xn 为[a,b]上 n+1 个互异的节点， l0 ( x ), l1 ( x ),..., ln ( x ) 是拉格朗日插值基函数, 则
∑
n n +1 i i= 0 i
x
l ( 0) =
。
Leabharlann Baidu
⎧ y ' = ax + b 1 2 ax + bx 是初始问题 ⎨ 的精确解，h 为步长， yn 是由梯形公式求解 2 ⎩ y ( 0) = 0 。 上述问题在 xn = nh 的近似值，则局部截断误差 y ( xn ) − yn = 1 T T 。 10.设 u = ( 2,2,1) , H = I − 2uu ,其中 I 为单位阵，则矩阵 H 的谱半径是 3
9.已知 y =
二、设
I=
∫ 1+ x
0
1
4
2
dx
（15
n 为[0,1]区间的等分数， 分别取 n=1,n=2 和 n=4 用复化梯形公式计算 I 的近似值 T1 , T2 和T4 并用 Romberg 方法进行加速。 （最终结果保留 5 位小数） 分） 三、设 f ( x ) ∈ C [ a , b ] 证明：
" * *
序列 {x n } 收敛到 xε 。
*
五、（15 分） 已知试验数据如下： x 3 2 1 y 9.296 6.078 2.000 且有经验知 x, y 间有关系：y= a1 x+ a 2 ln x, 用最小二乘法求系数 a1、a 2 和均方误差 六、（15 分） 设 f(x) 在 [0,1] 上具有连续的四阶导数，且 f(0), f(1), f ' (0)和f ' (1) 已知。 1) 求满足条件
f ε ( x) =
（ *）
2)设 xε 是 f ε ( x) 的零点，如果在 xε 的领域内 f ε ( x) 满足
*
'
*
"
| f ε" ( x) − f ε" ( y ) |≤ L | x − y |
且 f ε ( xε ) ≠ 0 。 证明对于充分靠近 xε 的初值 x0 迭代公式(*) 所产生的
*
（多项选择）
*
①方程 f(x)=0 在 [a,b] 内有根 x ，且 f(x) 在[a,b]上连续，f(a),f(b) 异 号，则用二分法求 f(x)=0 在[a,b]上的根一定收敛于 x 。 ②用 SOR 迭代法解线性方程组 Ax=b，如果 SOR 方法收敛,则 ω 必满足： 0< ω <2。 ③用 Newton 迭代求方程 f(x)=0 的根，若收敛，则收敛阶数必为二阶。 ④若 A 为严格主对角占优阵，则求解方程 Ax=b 的 Gauss-Seidel 迭代必 收敛 3. 在直角坐标系中画出 y=f(x)的一种图形， 使得用 Newton 迭代法解 f(x)=0 的近似根时发散, 并在 x 轴上标明 x0 的位置。
7.求次数不超过 3 次，且满足下列条件的插值多项式： x f(x) 0 1 1 1 2 1 3
f’(x) 0 该插值多项式为 8.切比雪夫（Tchebycheff）多项式所满足的递推关系式为：
Tn +1 ( x) =
其中 T0 ( x) =
2
Tn ( x)
， T1 ( x ) =
Tn −1 ( x)
f ' ( x)在[a − ε , b + ε ] 上连续。定义
1 x +ε f (t )dt 2ε ∫x −ε ' 1)证明：求 f ε ( x) = 0 的 Newton 迭代公式为： f ( xn + ε ) − f ( xn − ε ) x n +1 = x n − f ' ( xn + ε ) − f ' ( xn − ε )
⎧ y ' = f ( x, y ) 在 x n 处的近似值，记 en = y ( x n ) − y n ⎩ y ( x0 ) = y 0
x
为整体截断误差，则 en 所满足的关系式为 en ≤ 13.设 f ( x) = e ，用分段线性插值求 f ( x) 在区间 [0,1] 中的近似 时，绝对误差 ≤ 1 × 10 值，则当等分区间的步长 h ≤ 14.初等反射阵（Householder 阵）的全部可能的特征值是 15.设 A = ( aij ) n×n ， A
H (0) = f (0) H (1) = f (1) H ' (0) = f ' (0) H ' (1) = f ' (1)
三次 Hermite 插值多项式 2)构造如下的数值积分公式：
1 1 1 I = ∫ f ( x)dx ≈ [ f (0) + f (1)] + [ f ' (0) − f ' (1)] 0 12 2
1 , h = 0.2 4
3) 取 [a, b] = [0,1], f ( x) = x e , y 0 = 用 1)中的格式求 y (h) 的近似值 y1 4) 计算误差 y ( h) − y1 (保留六位小数)
三、（15 分） 已知 A = ⎜ ⎜
⎛1 1⎞ ⎟ ⎟ 的两个特征值为 λ1＝1，λ 2＝2 ，对应的特征向量分别为 ⎝0 2⎠ ν 1＝(1,0) T 与ν 2＝(1,1) T , 取初始向量 x0 = ν 1 + ν 2 . 作迭代
迭代法的迭代公式是 。 3.用 Jacobi 迭代公式 xk+1=Jxk 求解方程 Ax=b,对于以下几种情 况， 一定收敛的是： A. A 为严格对角占优阵 B.J 为严格对角占优阵 C.A 为对称正定阵 D.A 的谱半径小于 1 E.J 的谱半径小于 1 F.J 的列范数小于 1
⎡− 1 4 6 ⎤ ⎢ ⎥ 4. 对矩阵 A = ⎢− 3 14 24 ⎥ ⎢ 0 12 ⎥ ⎣1 ⎦
⎧ y k = Ax k ⎪ ... ⎨ x = yk 1 , 2 , 3 ,... k = k ⎪ 2 ⎩ 1) 写出 x k 的精确表达式
T x8 Ax8 T x8 x8 3) 计算 || x8 − ν 2 ||1 与 | τ 8 − λ 2 |
2) 计算
τ 8＝
四、（20 分） 设对任意给定的 ε > 0,
11. 设用 n 等分[0,1]区间的复化梯形公式求积分 当n ≥ 时，保证误差不超过
∫e
0
1
x
dx ,
1 －4 × 10 2
12. 设 f(x,y)关于 y 满足李普希兹（Lipschitz）条件，即： | f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 ) |≤ L | y1 − y 2 | , y n 是用欧拉（Eular）公式 求得的方程 ⎨
并求余项
01 研究生计算方法试题（A）
一、填空题（选做其中 10 题，每小题 3 分）
⎡2 5 2⎤ ⎡8⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⒈对方程 Ax=b 用 Gauss 消元法求解， 其中 A = 1 2 3 ，b = 12 则第一步消元相当于 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣3 1 5⎥ ⎣13⎥ ⎦ ⎦ 方程两边左乘矩阵 L1 = [ ]
9. f ( x) = x + 3 x + 1 在 [-1,1] 上的一次最佳一致逼近多项式是 10. 用 求 解
∫
b
a
f ( x)dx 的 梯 形 公 式 T =
H = (b − a) f (
a+b ) 作组合，得到具有高精度的求积公式 S，则 S= 2
b−a ( f (a) + f (b)) 和 中 矩 形 公 式 2
(k ) k →∞
−6
(k ) = (aij ) n×n ，则 lim A ( k ) = A 的定义是
二、（14 分） 1)试导出解
y n +1
⎧ y ' = f ( x, y ) 的中点折线法： ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0 = y n −1 + 2hf ( x n , y n ) n=1,2,…
为步长，
1 Hn = h∑ f [a + (i + )h] 为复化中矩形公式， Tn 为复化梯形公式， T2 n 为步长减半后的 2 i=0
复化梯形公式，
n −1 n −1 1 h Sn = [ f (a ) + 4∑ f (a + (i + )h) + 2∑ f (a + ih) + f (b)] 为复化 Simpson 公式， 6 2 i=0 i =1 则 Sn , Tn 和Hn 所满足的关系为 。 4 7.设 f ( x ) ∈ C [ 0,1] ，则求积公式 1 1 1 ∫0 f (x )dx ≈ 2 [ f (0) + f (1)] + 12 [ f ' (0) − f ' (1)]
99 研究生计算方法试题（A 卷）
姓名 班级
一、填空题：（每小题 4 分） 1. 设 P＝3.14159 是π的近似值，则该近似值具有 相对误差限为 。
位有效数字； 绝对误差限为
；
⎡ 2 1 0⎤ ⎢ ⎥ 2.设 A = ⎢1 2 1⎥ ⎢ ⎣ 0 1 2⎥ ⎦
⎡1⎤ ⎢⎥ b = ⎢1⎥ ， 则求解方程 Ax=b 的 Gauss-Seidel ⎢ ⎣1⎥ ⎦
b
(15 分) 四、给出下表的数据， 1)用最小二乘法求一个形如 y = a + bx 的经验公式；
2
2)对任意多个点的拟合问题，应如何合理地定义拟合的均方 误差？ i xi
i
1 44 97.8
2 38 73.3
3 31 49.0
4 25 32.3 （15 分）
5 19 19.0
yi
五、已知 u = ( 2,5,2,2,1,) ，求一个初等反射阵 H，使得：
2
作 LU 分解，则 L=
;U=
。
5.用 Newton 迭代求 f ( x ) = x − x − 2 的零点 x=-1 的近似值，若取
x0 = −0.9 ，则 x1 =
6. 为 了 计 算 积 分
n −1
。
∫
b
a
f ( x ) dx 的 近 似 值 ， 对 积 分 区 间 n 等 分 ， h =
b−a n
二、 （15 分） 1) 试证
⎧ y ' = f ( x), a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ y (a) = y 0
的四阶 Runge-Kutta 法是：
y n +1 = y n +
2) 它与数值积分有什么关系
2 2x
h h ( f ( x n ) + 4 f ( x n + ) + f ( x n + h)) 6 2
2
若 f(a)=f(b)=0,则：
a ≤ x≤b
max| f ' ' ( x )|≥
12 (b − a) 3
∫
b
a
f ( x ) dx
一般地，有：
a ≤ x≤b
max| f ' ' ( x )|≥
12 (b − a ) 3
∫
1 f ( x ) dx − [ f (b ) + f ( a )](b − a ) a 2
T
Hu=(2,5,-3,0,0)
（15 分）
00 研究生计算方法试卷 A
一、（20 分） 设
⎛1 3 4⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ 3 1 2 ⎟ ⎜4 2 1⎟ ⎝ ⎠
记
⎛ 20 ⎞ ⎜ ⎟ b= ⎜ − 7 ⎟ ⎜ − 18 ⎟ ⎝ ⎠
1) 2) 3) 4) 5)
1 ( Au, u ) − (b, u ) u ∈ R3 2 3 * 给出 J (u ) 在 R 中的点 u 取得极值的必要条件 * 用数值方法求解 1)中的 u 求正交阵 H , 使 HAH 为三对角阵 求 || HAH ||1 和 || HAH || ∞ 写出求解 Ax = b 的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的格式 J (u ) =
(a11 , a 22 ≠ 0) 的近似解，则迭代收敛的充要条件是
5.设 A 是非奇异矩阵， Ax = b ≠ 0 且 A( x + δx) = b + δb ，则解的相对误差 为 6. 一
|| δx || 的上限 || x ||
， 满 足
个
次
数
不
高
于
5
次
的
多
项
式
P5 ( x)
1 1 1 1 P5 (0) = f (0), P5' (0) = f ' (0), P5 ( ) = f ( ), P5' ( ) = f ' ( ), P5 (1) = f (1), P5' (1) = f ' (1) 且 2 2 2 2 ( 6) f ( x) 连续，则该插值多项式的余项 f ( x) − P5 ( x) =
4.
用⎨
⎧
x1( k ) =
(k ) ⎩ x2
1 ( k −1) (b1 − a12 x 2 ) ⎧ a11 x1 + a12 x 2 = b1 a11 (k=1,2,3,ٛ )求方程组 ⎨ 1 ⎩a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 = (b2 − a 21 x1( k −1) ) a 22
的余项为 。 8.设 x0 , x1 ,..., xn 为[a,b]上 n+1 个互异的节点， l0 ( x ), l1 ( x ),..., ln ( x ) 是拉格朗日插值基函数, 则
∑
n n +1 i i= 0 i
x
l ( 0) =
。
Leabharlann Baidu
⎧ y ' = ax + b 1 2 ax + bx 是初始问题 ⎨ 的精确解，h 为步长， yn 是由梯形公式求解 2 ⎩ y ( 0) = 0 。 上述问题在 xn = nh 的近似值，则局部截断误差 y ( xn ) − yn = 1 T T 。 10.设 u = ( 2,2,1) , H = I − 2uu ,其中 I 为单位阵，则矩阵 H 的谱半径是 3
9.已知 y =
二、设
I=
∫ 1+ x
0
1
4
2
dx
（15
n 为[0,1]区间的等分数， 分别取 n=1,n=2 和 n=4 用复化梯形公式计算 I 的近似值 T1 , T2 和T4 并用 Romberg 方法进行加速。 （最终结果保留 5 位小数） 分） 三、设 f ( x ) ∈ C [ a , b ] 证明：
" * *
序列 {x n } 收敛到 xε 。
*
五、（15 分） 已知试验数据如下： x 3 2 1 y 9.296 6.078 2.000 且有经验知 x, y 间有关系：y= a1 x+ a 2 ln x, 用最小二乘法求系数 a1、a 2 和均方误差 六、（15 分） 设 f(x) 在 [0,1] 上具有连续的四阶导数，且 f(0), f(1), f ' (0)和f ' (1) 已知。 1) 求满足条件
f ε ( x) =
（ *）
2)设 xε 是 f ε ( x) 的零点，如果在 xε 的领域内 f ε ( x) 满足
*
'
*
"
| f ε" ( x) − f ε" ( y ) |≤ L | x − y |
且 f ε ( xε ) ≠ 0 。 证明对于充分靠近 xε 的初值 x0 迭代公式(*) 所产生的