线性代数习题课4

五、向量组的秩
定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: a1, a2,· · · , ar, 满足 (1)向量组A0: a1, a2,· · · , ar, 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线 性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无 关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.
用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形: 1 0 0 c1,r +1 c1,n d 1 0 1 0 c 2 , r +1 c 2 , n d 2 0 0 1 c r , r +1 c r , n d r , 0 0 0 0 0 d r +1 0 0 0 0 0 0 当dr+10时, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线 性方程组Ax=0的基础解系1, 2, · · · ,n-r和非齐次线性 方程组Ax=b的一个特解: *=(d1, d2, · · · , dr , 0, · · · , 0)T.
三、线性组合
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 定义: 给定向量组A: a1, a2, · · · , am, 对于任何一组 实数k1, k2, · · · ,km, 向量 k1a1 + k2a2 + · · · + kmam 称为向量组A: a1, a2,· · · , am一个线性组合, k1, k2, · · · ,km 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A: a1, a2, · · · , am和向量b, 如果存在一 组数1, 2, · · · ,m, 使 b = 1a1 + 2a2 + · · · + mam 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量 组A线性表示.
定义: 设有两向量组 A: a1, a2, · · · , am 与 B: b1, b2, · · · , bs . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
四、线性相关性
定义: 给定向量组A: a1, a2, · · · , am , 如果存在不全 为零的数 k1, k2, · · · ,km , 使 k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
(3)设
七、向量空间 定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间. 集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若a, b V, 则 a+b V; 若a V, R, 则 a V. 一般地, 由向量组a1, a2, · · · , am所生成的向量空间 为: V={ x=1a1+2a2+· · · +rar | 1, 2, · · · ,rR },
六、重要结论
定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(a1, a2, · · · , am)与B=(a1, a2, · · · , am, b)的 秩相等. 定理2: 向量组B: b1, b2, · · · , bs能由向量组A: a1, a2, · · · , am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1, a2, · · · , am) 的秩与矩阵(A|B)=(a1, a2, · · · , am, b1, · · · , bs)的秩相等, 即 R(A)=R(A|B). 推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A|B). 定理3: 若向量组B能由向量组A线性表示, 则 R(B)R(A). 推论1: 等价的向量组的秩相等.
习 题 课
一、向量的定义
定义: n 个有次序的数a1, a2, · · · , an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 iBiblioteka Baidu个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量. 行向量; 列向量.
二、向量的线性运算
向量按照矩阵运算法则进行运算. 向量的相等; 负向量; 零向量. 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算, 满足下列八条运算规则:
推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B). 定理4: 向量组a1, a2, · · · , am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, · · · , am)的秩小于向 量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理5: (1)若向量组A:a1, a2, · · · , am线性相关, 则向 量组B: a1, a2, · · · , am, am+1也线性相关; 反言之, 若向量 组B线性无关, 则向量组A也线性无关. (2) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量 个数m时一定线性相关 (4) 设向量组A: a1, a2, · · · , am线性无关, 而向量组 B: a1, a2, · · · , am, b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的.
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系: - c1,r +1 - c1,r + 2 - c1,n - c 2 , r +1 - c 2 ,r + 2 - c 2 ,n 1 = - c r , r +1 , 2 = - c r , r + 2 , , n - r = - c r , n . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
典
型
例
题
一、向量组线性相关性的判定
研究这类问题有两个常用的方法. 方法1. 从定义出发 令 k 1a 1 + k 2a 2 + · · · + kmam = 0, 即 a m1 0 a11 a 21 0 k 1 a12 + k 2 a 22 + + k m a m 2 = 0 a1 n a2n a mn 整理得齐次线性方程组: a11 k 1 + a 21 k 2 + + a m 1 k m = 0 a12 k 1 + a 22 k 2 + + a m 2 k m = 0 (1) a1n k 1 + a 2 n k 2 + + a mn k m = 0
(1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4) 对任一向量a, 存在负向量–a , 有a +(–a ) = O ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ; 其中a, b, g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量. 除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质: (1) 0a =O; (2) 若 ka = O, 则或者k=0, 或者a = O; (3) 向量方程: a + x = b, 有唯一解 x = a - b ; 其中a, b 为n维向量, 0为数零, k任意数, O为零向量.
2. 将第r+1, r+2, · · · , n列的前r个分量反号, 得解1, 2, · · · ,n-r的前r个分量: - c1,r +1 - c1,r + 2 - c1,n - c 2 , r +1 - c 2 ,r + 2 - c 2 ,n 1 = - c r ,r +1 , 2 = - c r ,r +1 , , n- r = - c r ,n ; * * * * * *
十一、非齐次线性方程组
解向量的性质 (1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解. (2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解.
求非齐次线性方程组的特解
八、子空间
定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1 是V2的子空间.
九、基与维数
定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量a1, a2, · · · , arV, 满足 (1) a1, a2, · · · , ar 线性无关; (2) V中任一向量都可由a1, a2, · · · , ar 线性表示. 则称向量组a1, a2, · · · , ar为向量空间V的一个基, 称整数 r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间. 说明1: 只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间, 因此它没有基． 说明2: 若把向量空间V看作向量组, 那末V的基就 是向量组V的最大无关组, V的维数就是向量组的秩. 说明3: 若向量组a1, a2, · · · , ar 是向量空间V的一个 基, 则V可表示为 V={ x=1a1+2a2+· · · +rar | 1, 2, · · · ,rR },
求齐次线性方程组的基础解系
1. 用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形: 1 0 b11 b1,n- r 0 1 br 1 br ,n- r A~ 0 0 0 0 0 0 0 0
a1 j a1 j a2 j a a j = 2 j , b j = , ( j = 1,2,, m ), a rj a rj a r +1 , j 即aj 添上一个分量后得向量bj. 若向量组A: a1, a2, · · · , am线性无关, 则向量组B: b1, b2, · · · , bm也线性无关; 反 言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关. 定理6: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于 它的行向量组的秩.
定义: 如果向量组1, 2, · · · , t 为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间的一组基, 则向量组1, 2, · · · , t 称为齐 次线性方程组Ax = 0的基础解系. 称向量组1, 2, · · · , t为齐次线性方程组Ax = 0的 基础解系, 如果 (1) 1, 2, · · · , t 是Ax = 0的一组线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, · · · , t 线性表出. 方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的. 如果向量组1, 2, · · · , t 为齐次线性方程组Ax = 0 的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + · · · + ktt 其中k1, k2, · · · , ktt 为任意常数.
十、齐次线性方程组
向量方程; 解向量. 解向量的性质 (1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解. (2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是 Ax = 0的解. 由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组 成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一 个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间.