2020年河南省高考数学一诊试卷(文科)
【2020年高考必备】河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)及解析
河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）iA. - 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a<2}B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}3. （5 分）设向量；=（1，m），b = （m- 1，2），且；工匸，若（；-E）丄；，贝U实数m=（）A. 2B. 1C. —D.3 24. （5分）下列说法正确的是（）A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2，则a v b”的逆命题为真命题C. ? x o€（0，+x），使3%>4%成立D. 若….「亠，则「是真命题265. （5分）我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）开始结束A. 4B. 5C. 2D. 36. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于（）正视囹侧视图A. 10cm3B. 20cm3C. 30cm3D. 40cm37. （5分）若将函数f （x）=7n（2x+二）图象上的每一个点都向左平移三个单位，得到g （x）的图象，则函数g （x）的单调递增区间为（）Jl JT / 、JI 371 / 〜A. [k n-—, k n+ ] (k€ Z)B. [k n+ , k n+ ] (k€Z)9jr IT IT RJTC. [k n- , k n-—] ( k€ Z)D. [k n- —, k n^ , ] ( k€ Z)8. (5 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为S n, a1=1, a2=2，且a n+2- 2a n+什a n二0(n€9. （5分）已知函数*V°（aER），若函数f （x）在R上有两个零2x-a, x>0点，则实数a的取值范围是（）r◎二马,A-1A S=S-a+An=^-l£?=M=1!S=0±W=12018—【广：，则T2018=（2018C 403620192019/输出川/-■5r俯视圏N ),记T nA .（0，1]B . [1，+x ）C . （0, 1） D. （-X, 1]2210. （5分）已知椭圆—I — I b'-n'的左顶点和上顶点分别为 A ，B,a b z左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为（ ）A . 〔 B. C. 一」D.二2 2 2 211.（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝「J 的最小值为（）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）'垃>113. _____ （5分）设变量x , y 满足约束条件r 十则目标函数z=4x- y 的最小值 为 . 14. （5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ （a - 1） y=a - 7平行，则a ___ . 15. （ 5 分）已知数列｛氏｝满足〔匚：：「「：，且 a i +a 2+a 3+^+a i0=1, 贝U log 2 （a ioi +a io2+…+a iio ） = ____ .2 216. （5分）已知双曲线：.J ：-'-的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近甲乙8 768 x Q 8 0 2 y65 g1 36A冷B. 2 C 9D.912. (5 分） 若对于任意 :的正实数 x , y 都有血 —)-ln —成立,e x me的取值范围为（ )A .(-e・1) B.e 1]C . 爲 e ,e]D .(0,丄] e 则实数m界I?线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N,若」则双曲线的渐近线方程为 ______ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （i2分）在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2ccosB=2e+b. （1）求角C;（2）若厶ABC的面积为::斗,求ab的最小值.18. （i2分）20i7年i0月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校iOOO名（男生800名，女生200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取i00名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的i000名且测试等级为优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为良好”或优秀”的学生为体育达人”其它等级的学生（含病残免试）为非体育达人”根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.0i0的前提下认为是否为体育达人”与性别有关？非体育达人总计临界值表:P (K2》k0) 0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879n(ad-bc) 2附:，其中n=a+b+c+d)19. (12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC, AB=6, h .h 7, 工&汀D, E为线段AB上的点，且AD=2DB PD丄AC.(1)求证：PD丄平面ABC(2)若亠丄二—：，求点B到平面PAC的距离.fi20. (12 分)已知圆C: x2+y2+2x- 2y+1=0 和抛物线E: y2=2px (p >0)，圆心C 到抛物线焦点F的距离为—.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点的动直线I交抛物线于A，B两点，且满足OA丄OB.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线I的距离最大时的直线I方程.21. (12分)已知函数f (x) =lnx-a (x+1)，a€ R在(1, f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求f (x)的单调区间；2 1(2)若存在X0> 1,当x€( 1, X0)时，恒有：.| ' I .：■ - 1.1■.：成立，求k的取值范围.22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1, 0),倾斜角为a,以坐1 解不等式f (x)v g (x)；标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）iA.- 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i［解答】解：二二：•・'=-1-3ii i-（-i）故选A2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a< 2}【解答】解：B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}••• A H B=A,••• A? B.•••集合A={x| 1v x v 2}，B={x| x v a}，••• a> 2故选：D.设向量a= （1，m）， b = （m - 1，2），且乞工b，若（乞-b）丄目，贝U实数m=（）A. 2B. 1C.D.3 2【解答】解：：（-■'，(I - ■) ? i=0，即？- ? 1=0，3. (5 分)即1+m2-( m - 1+2m) =0, 即m2- 3m+2=0,得m=1 或m=2,当m=1 时，量；=(1, 1), b = (0, 2),满足；工亍，当m=2 时，量a= (1, 2), b = (1, 2),不满足 a b,综上m=1,故选：B.4. (5分)下列说法正确的是( )A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2,则a v b”的逆命题为真命题C. ? x o€(0, +x),使3^>4%成立D. 若…-二，则，一”是真命题2 6【解答】解：若a> 1,则a2> 1”的否命题是若a< 1,则a2< 1”故A错；若am2v bm2，则a v b”的逆命题为假命题，比如m=0,若a v b，则am2=bm2, 故B 错；对任意x>0,均有3x v4x成立，故C错；对若■—,则，一”的逆否命题是若a=，则sin a = ”为真命题，2 6 6 2则D正确.故选D.5. (5分)我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=( )结束A. 4B. 5C. 2D. 3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1, A=1, S=0, n=1S=2不满足条件S> 10,执行循环体，n=2, a= , A=2, S=''不满足条件S> 10,执行循环体，n=3, a= , A=4, S=4 4不满足条件S> 10,执行循环体，n=4, a—, A=8, S=8 8满足条件S> 10,退出循环，输出n的值为4.故选：A.6. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于（）正视圏侧视圏俯视图A . 10cm 3B . 20cm 3 C. 30cm 3 D . 40cm 3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:棱柱的高为5;底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4,•••几何体的体积 7= X 3X 4X 5-二3X 4 X 5=20 (cm 3).232故选B .7. (5分)若将函数f (x ) sin (2x+=)图象上的每一个点都向左平移单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( A . [k n-, k n +三](k € Z ) B. [k n +, k n +] (k € Z )4444C. [k n -^, k n -— ] ( k € Z )D . [k n-= , k n+ ] ] ( k € Z )【解答】解：将函数f (x ) =「sin (2x+丄)图象上的每一个点都向左平移 23 单位，得到 g (x ) ^-sin[2 (x+—) +2L]=-丄sin2x 的图象，2332u故本题即求 y=sin2x 的减区间，令 2k n + < 2x < 2k故函数g (x )的单调递增区间为[kj , ], k e 乙故选：B.8. (5 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a i =1, a 2=2，且 a n +2- 2a n +什a n =0(n €―【广：，则 T 2018=( )C4036 D2018m .【解答】解：数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1=1, a 2=2,且a n +2- 2a n +什a n =0 (n €■■个,求得 k n +< x <N ),则：数列为等差数列.设公差为 d ,则:d=a?- a i =2 - 1=1, 贝U: a n =1 + n - 1=n .所以： 2*2018 4036 ^Oia^OlS+l "2019 故选：C9. (5分)已知函数f&)二"«°@€或，若函数f (x )在R 上有两个零 2x-a, x>0 点，则实数a 的取值范围是()A . (0, 1]B . [1, +x)C . (0, 1) D. (-X, 1]【解答】解：当x < 0时，f (x )单调递增，••• f (x )< f (0) =1 - a , 当x >0时，f (x )单调递增，且f (x )>- a . ••• f (x )在R 上有两个零点，•••・汙,解得O v a < 1.-a<0I故选A .2 210. (5分)已知椭圆：I 「的左顶点和上顶点分别为 A , B, a b左、右焦点分别是F 1, F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为()=八,=故:(n+l) 2A 返B3^/^ C_]+码D'~ ' 2 ' ~2~ ' 2【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A (- a, 0), B (0, b), F i ( - c, 0), F2 (c, 0),•直线AB的方程为厶丄j,整理得：bx- ay+ab=0,设直线AB上的点P -a by),贝U bx=ay- ab, x=—y - a, ••• PF 丄PF2,则777^\= (- c- x,- y) ? (c-x,- y) =x2 3+y2- c2=(令)1J b(7y- a)x f+2y,•••由f'(y) =0得：y="；'，于是x=- _-2丄1 22丄L 2a +b a +b•疋?可二(整理得：2K2' =c?,又b2=a2- c2,整理得：c4+3c?c2- a4=0,两边同时除以a4, a2+b2由e2= ,• e4- 3e2+ 仁0,二e2=_ ,,，又椭圆的离心率e€( 0, 1),• e2_-；— !■-°= Y * _椭圆的离心率的平方」,£故选B.方法二：由直线AB的方程为••- - •，整理得：bx- ay+ab=0,-a b由题意可知：直线AB与圆O: x2+y2=c2相切，可得d= 亍_=c,两边平方，整理得：c4+3c?c2-a4=0,两边同时除以a4,由Va2 + b22e2= , e4- 3e2+1=0,a (X, 2+y2令 f (y)=(皂)2+y2- c2,则f'(y) =2b...e2/土丑，又椭圆的离心率 e €（ 0, 1）, ••• e 2壬亞.2 2椭圆的离心率的平方上丄211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝厂J 的最小值为（）【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1;由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+80X 3+90X 3+ （0+2+y+1+3+6） =598+y , 乙班学生的平均分是86,且总分为86X 7=602，所以y=4, 若正实数a 、b 满足：a, G , b 成等差数列且x , G , y 成等比数列, 则 xy=G ?, 2G=a^b ，即有 a+b=4, a >0, b >0, 则 1(a+b )(丄+：)二丄(1+4+二+」)』(5+2_.也..,匚门)二丄X 9二一,a b 4a b 4a b 47 a b 44A . 甲868 x0 80 6 5 g 1 123246D . 94.B 2 C乙当且仅当b=2a=:时，------ 的最小值为3 a%412. (5分)若对于任意的正实数x, y都有成立，则实数m e K me的取值范围为( )A •丄. .B. - - C. ^^ - D. 11,—e e e e【解答】解：根据题意，对于(2x- - ) ?ln：< '，变形可得一(2x- J In- < e x me ye xI!5m即(2e-上)In上< —x x m设t=i，贝U( 2e- t) Int< —，t>0，X ID设 f (t) = (2e-1) Int， (t > 0)则其导数f (t) =- lnt+迦—1，t又由t>0,则f (t)为减函数，且f (e) =—lne+ 一-仁0,则当t €(0, e)时，f (t)> 0, f (t)为增函数，当t €( e, +x)时，f (t)v 0, f (t)为减函数，则f (t)的最大值为f (e),且f (e) =e,若f (t) = (2e —t) lnt w丄恒成立，必有e w ,m ID解可得0v m w ■，即m的取值范围为(0, * ];e e故选：D.二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)'垃>113. (5分)设变量x, y满足约束条件r+y-4<0则目标函数z=4x- y的最小值为 1 .垃＞1【解答】解：设变量x, y满足约束条件r+yr-X,。
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：该题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |x >2}，则A ∩B 等于（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x >2}【答案】A【命题意图】该题考查集合的交运算，属于基础题．【解析】根据题意作出数轴，故选A ．【点评】根据交集的定义取公共部分即可241i +）A ．1B ．﹣1C ．1D ．﹣1i【答案】D 【命题意图】该题考查复数的乘除运算，属于基础题．()2422(2i)1411i 14-++====-． 故选D ．【点评】通过复数代数形式的乘除运算化简求得答案．3．已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=（ ）A ．64B ．81C ．128D ．243【答案】A【命题意图】该题考查等比数列通项公式及运算．【解析】a 2+a 3=q （a 1+a 2）=3q =6，所以q =2，故 a 1（1+q ）=3，所以a 1=1，因此a 7=26=64．故选A ．【点评】由题意得q ，a 1，再根据等比数列通项公式求解．4．有四个关于三角函数的命题：P 1：∃x ∈R ，sin 22x +cos 2122x =； P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）=sin x ﹣sin y ；P 3：∀x ∈[0，π]=sin x ； P 4：sin x =cos y ⇒x +y π2=． 其中假命题的是（ ）A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 1，P 3D ．P 2，P 3 【答案】A【命题意图】该题以命题的形式考查三角函数求值、公式等，属于基础题．【解析】P 1：∀x ∈R ， sin 22x +cos 22x =1，因此P 1错误； P 2：取特殊值，x =y =0时满足式子，故P 2正确；P 3：∀x ∈[0，π]，sin x >0，1﹣cos2x =2sin 2x =sin x ，故P 3正确； P 4：x =0，3π2y =，sin x =cos y =0，故P 4错误． 故选A ． 【点评】P 1：sin 22x +cos 212x =恒成立，错误； P 2：存在特值满足即可；P 3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式．P 4不一定成立，三角函数的周期性可判命题错误．5．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB =AD =1，CD =2．沿BD 将ABCD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，则折后经过A ，B ，C ，D 四点的球面面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】B【命题意图】该题考查空间几何的相关问题，折叠问题，需要一定空间想象能力，属于基础题．【解析】作图，如图所示AD=AB=1，BC=因BC⊥BD，所以AC==，因BD=AB=所以球心O为△ABD的中点且垂直于△ABD的连线，且O为CD的中点，即球心O为CD的中点，所以R=1，则S=4π×12=4π．故选B．【点评】根据题意，求出球的半径，最后求出球的表面积．6．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）=sin 23 x+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π【答案】C【命题意图】该题考查三角函数的性质，属于基础题．【解析】f（x）=sin 23x+cos3x的最小正周期转化为函数y=sin23x的最小正周期2π3π23=与函数y=cos3x的最小正周期2π3的最小公倍数．因此答案为6π．故选C．【点评】通过三角函数性质即可得到答案．7．若直线x ya b+=1（a>0，b>0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【答案】B【命题意图】该题考查了“1的妙用与基本不等式的性质，属于基础题．【解析】211a b+=，则2a+b=（2a+b）（21a b+）=522b aa b++≥5+4=9，当22b aa b=且211a b+=，即a=b=3时取等号，此时取得最小值9．故选B．【点评】利用“1的妙用”与基本不等式的性质即可得出8．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．qNM=B．qMN=C．qNM N=+D．qMM N=+【答案】D【命题意图】该题考查逻辑框图的循环结构，需要一定计算能力．【解析】想要计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，输出的结果是及格率，因此图中空白框内应填入q M M N=+．故选D ． 【点评】根据框图运算，理解判断即可得到应该填入的表达式．9．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则m n等于（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．25【答案】B【命题意图】该题考查等可能事件的概率的求法，属于基础题．【解析】从5条线中任取3条不同取法有C 53=10种取出的3条线段能组成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5三种，组成钝角三角形的有2种结果，因此概率是21105=，故选B ． 【点评】5条线中任取3条不同取法有C 53种，将所有满足条件情况列出有2，3，4；3，4，5；2，4，5三种，其中能够组成钝角三角形的有2种结果，得到概率．10．设a ，b ，c 均为正数，且2a 12log a =，1212b log b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212clog c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 【答案】A【命题意图】该题考点是对数值大小的比较，考查指数函数对数函数的单调性，通过图像解较为简单，需要一定数形结合能力，属于基础题． 【解析】函数图像如图所示y 1212xy log x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，y =2x ，y =log 2x 的图象，观察它们的交点情况． 因此a <b <c ．故选A ．【点评】通过基本初等函数的单调性，观察题设中的三个数a ，b ，c ，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 【答案】A【命题意图】该题考查椭圆的离心率，椭圆的方程性质，及三点共线的条件，属于中档题．【解析】设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0），设AE 的方程为y =k （x +a ），令x =﹣c ，得M （﹣c ，k （a ﹣c ）），令x =0，可得E （0，ka ），设OE 的中点为H ，得H （0，2ka ），由B ，H ，M 三点共线，得k BH =k BM ， 即为()2ka k a c a c a-=---，化简可得12a c a c -=+，即为a =3c ，可得e 13c a ==． 解法二：由△AMF ∽△AEO ，可得a c MF a OE-=， 由△BOH ∽△BFM ，可得2a OH OE a c FM FM==+，即有()2a c a c a a -+=即a =3c ，可得e 13c a ==．故选A ． 【点评】根据题意可知F ，A ，B 的坐标，令AE 的方程y =k （x +a ），使x =﹣c ，x =0，得M ，E 的坐标，再求得中点H 的坐标，根据三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．12．已知数列{a n }满足a n +2﹣2a n +1+a n =1，且a 1=1，a 2=2，则a 10=（ ）A ．29B ．29﹣1C ．56D ．46 【答案】D【命题意图】该题考查数列递推式求通项公式，需要一定转化能力，属于中档题．【解析】因为a n +2﹣2a n +1+a n =1，所以（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=1，又a 1=1，a 2=2，a 2﹣a 1=1，所以数列{a n +1﹣a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n +1﹣a n =n ，所以a 10=（a 10﹣a 9）+（a 9﹣a 8）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=9+8+7+…+2+1+1()1992+⨯=+1=46．故选D ． 【点评】根据题意可知a n +2﹣2a n +1+a n =1；（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=1，因此数列{a n +1﹣a n }是1为公差的等差数列，累加求和即可得到a 10的值．二、填空题：该题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a b +r r 与向量k a b -r r 垂直，则k = ．【答案】1【命题意图】该题考查向量垂直的判别条件以及向量模的性质，向量模的平方等于向量的平方， 属于中档题．【解析】因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，又因a b ka b +-r r r r 与垂直，所以()()0a b ka b +⋅-=r r r r ， 即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=r r r r r 所以k =1，故答案为：1．【点评】根据向量垂直则数量积为0；在通过向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k 值．14．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|= ．【答案】6【命题意图】该题考查双曲线的定义，内角平分线定理属于中档题．【解析】设点A 在双曲线的右支上，因为AM 为∠F 1AF 2的角平分线，所以1122824AF F M AF MF ===， 又因为AF 1|﹣|AF 2|=2a =6，解得|AF 2|=6，故答案为6．【点评】根据内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再依据双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．15．已知λ∈R ，函数f （x ）2443x x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，，当λ=2时，不等式f （x ）<0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．【答案】{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）【命题意图】该题考查分段函数以及函数零点问题，需要一定的转化思想及数形结合方法，属于中档题．【解析】f （x ）242432x x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，，，显然x ≥2时，不等式x ﹣4<0的解集：{x |2≤x <4}；x <2时，不等式f （x ）<0化为：x 2﹣4x +3<0，解得1<x <2，综上所述：不等式的解集为：{x |1<x <4}．当函数f （x ）恰有2个零点时，函数f （x ）2443x x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，的草图如图： 若函数f （x ）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．因此答案为：{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）．【点评】分段函数转化求解不等式；根据函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．16．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A ﹣BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ．”【答案】S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD 2【命题意图】该题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．【解析】通过类比作出猜想：S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD 2．故答案为：S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD 2．【点评】通过类比推理即可三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin B +sin C 的最大值．【命题意图】该题主要考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知2a b c R sinA sinB sinC===， 则a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，因为2a sin A =（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ，所以2a 2=（2b +c ）b +（2c +b ）c ，则a 2=b 2+c 2+bc ，根据余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A 因此cos A 12=-，A =120°．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin B +sin C =sin B +sin （60°﹣B ）=cos B 12+sin B =sin （60°+B ）， 因此B =30°时，sin B +sin C 取得最大值1．【点评】（Ⅰ）2a b c R sinA sinB sinC===，将 sin A ，sin B ，sin C 代入2a sin A =（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C 求出a 2=b 2+c 2+bc 再根据余弦定理联立方程组，求出cos A 的值，从而求出A 的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A 的值，则c =60°﹣B ，化简得sin （60°+B ）根据三角函数的性质，得出最大值．18．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BB 1的中点．（1）求证：截面AEC 1⊥侧面AC 1；（2）若AA 1=A 1B 1=1，求B 1到平面AEC 1的距离．【命题意图】该题考查面面垂直的判别，以及高的求法，属于中档题．【解析】（1）分别设O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，AC 1与A 1C 相交于F ．因为ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，由于侧面A 1C ⊥底面ABC ．因为O 是正三角形ABC 边AC 的中点，所以OB ⊥AC ．所以OB ⊥侧面AC 1．因为OO 1∥BB 1，OO 1=BB 1，E ，F 是中点，所以EBOF 是平行四边形．所以EF ∥OB ，所以EF ⊥侧面AC 1．又EF ⊂平面AEC 1，所以截面AEC 1⊥侧面AC 1；（2）因为AA 1=A 1B 1=1，则1AE EC ===，1AC ==，故△AEC 1的面积为12=．又因为A 到平面B 1BCC 1的距离为2，△B 1EC 1的面积为1111224⨯⨯=． 设B 1到平面AEC 1的距离为d ，因为1111B AEC A B EC V V --=，因此111334d ⨯=，所以d =因此B 1到平面AEC 1的距离为4．【点评】（1）分别设O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，且AC 1与A 1C 相交于F ．证EF ⊥侧面AC 1．则截面AEC 1⊥侧面AC 1；（2）首先求解△AEC 1的面积与△B 1EC 1的面积，根据A 到平面B 1BCC 1求B 1到平面AEC 1的距离．19．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集．整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：30≤x <40，40≤x <50，50≤x <60，60≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90≤x ≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．c ．40个国家的人均国内生产总值（万美元）和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9960美元．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，解答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第几？（2）是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？ （3）用（1）（2）得到的结论，结合所学知识．合理解释d 中客观存在的数据．附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【命题意图】该题考查了频率分布直方图与独立性检验，属于中档题．【解析】（1） “国家创新指数得分”，在70≤x ≤100的频率为（0.03+0.005+0.005）×10=0.4． 因此，中国的国家创新指数得分排名为0.4×40+1=17．（2）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得2×2列联表如下；人均国内生产总值≤2人均国内生产总值>2国家创新指数得分≥65 2 20 国家创新指数得分<65126()224012202614.4314261822K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；由于14.43>10.828，因此有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．（3）答：（2）的结论说明，“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”； 我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高， 恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”． 【点评】（1）根据频率分布直方图即可计算70≤x ≤100内的频率，求得得分排名； （2）根据统计图可得列联表，由列联表计算观测值，对照临界值得出结论； （3）解释说明即可．20．如图，抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求|MN |； （Ⅱ）若|AF |2=|AM |•|AN |，求圆C 的半径．【命题意图】此题考查抛物线的简单性质，韦达定理，以及圆的综合应用，属于中档题． 【解析】（I ）抛物线的准线为l ：x =﹣1，则C （1，2），因此C 到准线的距离d =2，又|OC|=所以|MN==2．（II ）设C （204y ，y 0），则圆C （x 204y -）2+（y ﹣y 0）2420016y y =+，因此x 2202y x -+y 2﹣2y 0y =0，由x =﹣1得y 2﹣2y 0y +1202y +=0， 设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），2220002012441240212y y y y y y ⎧⎛⎫=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩V ， 根据韦达定理，由|AF |2=|AM |•|AN |，得|y 1y 2|=4，所以122y +=4，解得y0=△>0 所以圆心C 的坐标为（32，，|OC |2334=， 从而|OC|2=． 即圆C． 【点评】（I ）求出焦点F 的坐标及准线方程，进而C 到准线的距离，再通过圆中弦长公式即可求出|MN |的长；（II ）利用C （204y ，y 0），表示出圆C 的方程方程，联立方程组，设M （﹣1，y 1），N （﹣1，y 2），利用根与系数的关系表示出y 1y 2，通过|AF |2=|AM |•|AN |，根据|y 1y 2|=4，解得C 的纵坐标，从而得到圆心C 坐标，由两点间的距离公式求出|OC |的长，即为圆的半径． 21．已知函数f （x ）=ln （1+x ）﹣x 22k x +（k ≥0）． （Ⅰ）当k =2时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间．【命题意图】该题考查导数的几何意义以及求切线方程，需要分类讨论，推理证明思想，属于中档题． 【解析】（I ）K =2，则f （x ）=ln （1+x ）﹣x +x 2，f ′（x ）11x=-+1+2x ， 由于f （1）=ln （2），f ′（1）32=，因此切线方程为y ﹣ln232=（x ﹣1）．即3x ﹣2y +2ln2﹣3=0； （II ）f '（x ）11x=-+1+kx （x >﹣1） 当k =0时，f ′（x ）1x x=-+， 因此在区间（﹣1，0）上，f '（x ）>0；在区间（0，+∞）上，f '（x ）<0； 所以f （x ）的单增区间为（﹣1，0），单减区间为（0，+∞）； 当0<k <1时，f ′（x ）()11x kx k x +-==+0，得x 1=0，x 21kk-=>0； 因此，在区间（﹣1，0）和（1k k -，+∞）上，f '（x ）>0；在区间（0，1kk-）上，f '（x ）<0； 即函数f （x ）的单增区间为（﹣1，0）和（1k k -，+∞），单减区间为（0，1kk-）； 当k =1时，f ′（x ）21x x=+，f （x ）的递增区间为（﹣1，+∞）当k >1时，由f ′（x ）()11x kx k x +-==+0，得x 1=0，x 21kk-=∈（﹣1，0）；因此，在区间（﹣1，1k k - ）和（0，+∞）上，f '（x ）>0，在区间（1kk-，0）上，f '（x ）<0； 即函数f （x ）的单增区间为（﹣1，1k k -）和（0，+∞），单减区间为（1kk-，0）． 【点评】（I ）求解f （x ）在x =1处的导数，从而求出切线的斜率，确定切点坐标，再用点斜式写出直线方程；（II ）求导得导函数f '（x ），分别讨论k =0，0<k <1，k =1，k >1四种情形，在函数的定义域内解不等式f ˊ（x ）>0和f ˊ（x ）<0即可．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρπ24cos θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M0），求11MA MB-的值． 【命题意图】该题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的关系，韦达定理，需要一定转化思想，属于基础题型．【解析】（1）根据2211t x t +=-，所以2101x t x -=≥+，所以x <﹣1或x ≥1． 因为()222222221444[)411t t x y t t ⎛⎤+ ⎥-=-= -⎥-⎝⎦， 因此C 的直角坐标方程为()22114y x x -=≠-．由于π24cos ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()cos sin θθ-=x y -=所以直线l的直角坐标方程为0x y --=．（2）由（1）可设l的参数方程为2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入C的方程得：231602t ++=， 其两根t 1，t 2，由韦达定理可以，满足123t t +=-12323t t =． 因此12121212111112t tMA MB t t t t --=-===±--．【点评】（1）参数方程极坐标方程直角坐标方程三者之间进行转换． （2）根据一元二次方程根与系数关系式的应用求出结果． [选修4–5：不等式选讲]（10分）23．设函数f （x ）=|ax |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）． （1）当a =1时，求不等式f （x ）<0的解集；（2）若∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）<0成立，求a 的取值范围．【命题意图】该题考查绝对值不等式的解法及不等式的恒成立问题，属于中档题． 【解析】（1）当a =1时，转化为|x |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）<0．（*） 进行分类讨论，（ⅰ）当x <0时，（*）化为，（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）>0，0x <<； （ⅱ）当0≤x ≤2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+3x +1）<0， 所以，0≤x <2；（ⅲ）当x >2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）<0， 所以，无解；综上所述，a =1时，不等式f （x ）<0的解集为{|2}x x <<． （2）当x ∈（2，+∞），原不等式f （x ）<0化为：|a |x （x ﹣2）（x +2）﹣（x ﹣2）（x +1）<0， 所以()12x a x x +<+．根据函数()()()111211x x x x x x ϕ+==++-+在x ∈（2，+∞）上是减函数，因此()()328x ϕϕ<=． 因此∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）<0成立，必须使38a <． 故3388a -<<． 【点评】（1）将a =1代入，分类讨论解不等式或者即可； （2）转化为()12x a x x +<+，令()()()111211x x x x x x ϕ+==++-+即可得解．。
2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷（文科）一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合{|13}A x x =剟，{|2}B x x =>，则A B I 等于( ) A ．{|23}x x <… B ．{|1}x x … C ．{|23}x x <… D ．{|2}x x >2．（54等于( )A ．1B ．1-+C ．1-D ．1-3．（5分）已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236a a +=，则7(a = ) A ．64B ．81C ．128D ．2434．（5分）有四个关于三角函数的命题：1:P x R ∃∈，221sincos 222x x +=； 2:P x ∃、y R ∈，sin()sin sin x y x y -=-；3:[0P x ∀∈，]πsin x =； 4:sin cos 2P x y x y π=⇒+=．其中假命题的是( ) A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．2P ，3P5．（5分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =．沿BD 将ABCD 折成直二面角A BD C --，则折后经过A ，B ，C ，D 四点的球面面积为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π6．（5分）干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sin cos33xf x x =+的最小正周期为( ) A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π7．（5分）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．68．（5分）如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．Nq M=B ．M q N=C ．Nq M N=+D ．Mq M N=+9．（5分）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则mn等于( ) A ．110B ．15C ．310 D ．25 10．（5分）设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．3412．（5分）已知数列{}n a 满足2121n n n a a a ++-+=，且11a =，22a =，则10(a = ) A ．92B ．921-C ．56D ．46二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a b +r r 与向量ka b -r r 垂直，则k = ．14．（5分）已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = ．15．（5分）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是 ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．16．（5分）在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ．”三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值．18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中点．（1）求证：截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）若1111AA A B ==，求1B 到平面1AEC 的距离．19．（12分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集．整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：3040x <…，4050x <…，5060x <…，6070x <…，7080x <…，8090x <…，90100)x 剟； b ．国家创新指数得分在6070x <…这一组的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．c ．40个国家的人均国内生产总值（万美元）和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9960美元．（以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，解答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第几？（2）是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？ （3）用（1）（2）得到的结论，结合所学知识．合理解释d 中客观存在的数据．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．（12分）如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，||CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求||MN ； （Ⅱ）若2||||||AF AM AN =g，求圆C 的半径．21．（12分）已知函数2()(1)(0)2k f x ln x x x k =+-+…． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos()4ρπθ=+．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点(5M 0)，求11||||MA MB -的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数2()||(4)|2|(1)f x ax x x x =---+． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(2,)x ∃∈+∞，使得不等式()0f x <成立，求a 的取值范围．2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合{|13}A x x =剟，{|2}B x x =>，则A B I 等于( ) A ．{|23}x x <… B ．{|1}x x …C ．{|23}x x <…D ．{|2}x x >【解答】解：如图， 故选：A ．2．（5413i-等于( ) A ．13i B ．13i -+ C ．13i - D ．13i -【解答】4222(2)(13)4(13)131313(13)(13)i i i i iii i +-+===-----+． 故选：D ．3．（5分）已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236a a +=，则7(a = ) A ．64B ．81C ．128D ．243【解答】解：由2312()36a a q a a q +=+==，2q ∴=，1(1)3a q ∴+=， 11a ∴=，67264a ∴==．故选：A ．4．（5分）有四个关于三角函数的命题：1:P x R ∃∈，221sincos 222x x +=； 2:P x ∃、y R ∈，sin()sin sin x y x y -=-；3:[0P x ∀∈，]πsin x =； 4:sin cos 2P x y x y π=⇒+=．其中假命题的是( ) A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．2P ，3P【解答】解：1:P x R ∀∈都有22sincos 122x x+=，故1P 错误； 2:0P x y ==时满足式子，故2P 正确；3:[0P x ∀∈，]π，sin 0x >，且21cos22sin x x -=sin x =，故3P 正确； 4:0P x =，32y π=，sin cos 0x y ==，故4P 错误． 故选：A ．5．（5分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =．沿BD 将ABCD 折成直二面角A BD C --，则折后经过A ，B ，C ，D 四点的球面面积为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【解答】解：根据题意，如图所示：所以：1AD AB ==，BC = 由于BC BD ⊥，所以AC =，由于BD AB ==所以球心O 为ABD ∆的中点且垂直于ABD ∆的连线，且O 为CD 的中点， 即球心O 为CD 的中点， 所以1R =， 则2414S ππ=⨯=． 故选：B ．6．（5分）干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sin cos33xf x x =+的最小正周期为( ) A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π【解答】解：函数2()sincos33x f x x =+的最小正周期相当于函数2sin 3y x =的最小正周期2323ππ=与函数cos3y x =的最小正周期23π的最小公倍数． 故答案为6π． 故选：C ． 7．（5分）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，211a b+=， 则21222(2)()5549b aa b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当22b aa b=且211a b +=，即3a b ==时取等号，此时取得最小值9． 故选：B ．8．（5分）如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A．NqM=B．MqN=C．NqM N=+D．MqM N=+【解答】解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入MqM N=+．故选：D．9．（5分）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则mn等于()A．110B．15C．310D．25【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，从5条线中任取3条不同取法有3510C=种取出的3条线段能组成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5三种，其中能够组成钝角三角形的有2种结果，∴满足条件的概率是21105= 故选：B ．10．（5分）设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：分别作出四个函数121(),log 2x y y x ==，2x y =，2log y x =的图象，观察它们的交点情况．由图象知：a b c ∴<<．故选：A ．11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：由题意可设(,0)F c -，(,0)A a -，(,0)B a ， 设直线AE 的方程为()y k x a =+，令x c =-，可得(M c -，())k a c -，令0x =，可得(0,)E ka ， 设OE 的中点为H ，可得(0,)2ka H ， 由B ，H ，M 三点共线，可得BH BM k k =，即为()2kak a c a c a-=---，化简可得12a c a c -=+，即为3a c =， 可得13c e a ==． 另解：由AMF AEO ∆∆∽， 可得a c MFa OE-=， 由BOH BFM ∆∆∽， 可得2a OH OEa c FM FM ==+， 即有2()a c a ca a-+=即3a c =， 可得13c e a ==． 故选：A ．12．（5分）已知数列{}n a 满足2121n n n a a a ++-+=，且11a =，22a =，则10(a = ) A ．92B ．921-C ．56D ．46【解答】解：2121n n n a a a ++-+=Q ， 211()()1n n n n a a a a +++∴---=，又11a =，22a =，211a a -=，∴数列1{}n n a a +-是以1为首项，1为公差的等差数列，1n n a a n +∴-=，1010998211()()()a a a a a a a a ∴=-+-+⋯+-+987211=+++⋯+++(19)912+⨯=+ 46=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a b +r r 与向量ka b -rr 垂直，则k = 1 ．【解答】解：Q a b ⊥rr ∴0a b =r r g Q a b ka b +-r rr r 与垂直∴()()0a b ka b +-=r r r r g即220ka ka b a b b +--=r r r r r g g1k ∴=故答案为：114．（5分）已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = 6 ． 【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上AM Q 为12F AF ∠的平分线∴1122||||82||||4AF F M AF MF === 又12||||26AF AF a -==Q 解得2||6AF = 故答案为615．（5分）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是 {|14}x x << ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．【解答】解：当2λ=时函数24,2()43,2x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩…，显然2x …时，不等式40x -<的解集：{|24}x x <…；2x <时，不等式()0f x <化为：2430x x -+<，解得12x <<，综上，不等式的解集为：{|14}x x <<． 函数()f x 恰有2个零点，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…的草图如图：函数()f x 恰有2个零点，则13λ<…或4λ>． 故答案为：{|14}x x <<；(1，3](4,)+∞U ．16．（5分）在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++= ．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++=．故答案为：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设2sin sin sin a b cR A B C===则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++Q方程两边同乘以2R 22(2)(2)a b c b c b c ∴=+++整理得222a b c bc =++Q 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos 2A =-，120A =︒（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin B C +sin sin(60)B B =+︒-31cos sin 2B B =+ sin(60)B =︒+故当30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1．18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中点． （1）求证：截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）若1111AA A B ==，求1B 到平面1AEC 的距离．【解答】（1）证明：设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ． 111ABC A B C -Q 是正三棱柱，∴侧面1A C ⊥底面ABC ．O Q 是正三角形ABC 边AC 的中点，OB AC ∴⊥．OB ∴⊥侧面1AC ．11//OO BB Q ，11OO BB =，E ，F 是中点，EBOF ∴是平行四边形．//EF OB ∴，EF ∴⊥侧面1AC ．又EF ⊂平面1AEC ，∴截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）解：1111AA A B ==Q ，∴221151()2AE EC ==+=，221112AC =+=，1AEC ∴∆的面积为13622⨯⨯=． 又A Q 到平面11B BCC 的距离为3，△11B EC 的面积为1111224⨯⨯=． 设1B 到平面1AEC 的距离为d ，Q 1111B AEC A B EC V V --=，∴16131334d ⨯⨯=⨯⨯，∴24d =． 即，1B 到平面1AEC 的距离为2．19．（12分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集．整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：3040x <…，4050x <…，5060x <…，6070x <…，7080x <…，8090x <…，90100)x 剟； b ．国家创新指数得分在6070x <…这一组的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．c ．40个国家的人均国内生产总值（万美元）和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9960美元．（以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，解答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第几？（2）是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？ （3）用（1）（2）得到的结论，结合所学知识．合理解释d 中客观存在的数据．附：22()n ad bc K -=．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（1）由国家创新指数得分的频率分布直方图可得“国家创新指数得分”， 在70100x 剟的频率为(0.030.0050.005)100.4++⨯=． 因此，中国的国家创新指数得分排名为0.440117⨯+=．（2）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得22⨯列联表如下；人均国内生产总值2…人均国内生产总值2>国家创新指数得分65…2 20 国家创新指数得分65<126由22⨯列联表可得240(122026)14.4314261822K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；由于14.4310.828>，所以有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．（3）答：（2）的结论说明，“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”； 事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高， 恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．(答案．．应围绕着上述加点的黑体字作答，一段是数学的，一段是现实的，) 20．（12分）如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，||CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求||MN ； （Ⅱ）若2||||||AF AM AN =g，求圆C 的半径．【解答】解：()I 抛物线2:4E y x =的准线:1l x =-，由点C 的纵坐标为2，得(1,2)C ，故C 到准线的距离2d =，又||5OC =， 22||||542MN OC d ∴=-=-=．()II 设20(4y C ，0)y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+， 即22200202y x x y y y -+-=，由1x =-得22002102y y y y -++=，设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则222000201244(1)240212y y y y y y ⎧=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩V ， 由2||||||AF AM AN =g，得12||4y y =， 2142y ∴+=，解得06y =0>∴圆心C 的坐标为3(2，6)，233||4OC =，从而33||OC =． 即圆C 33．21．（12分）已知函数2()(1)(0)2k f x ln x x x k =+-+…． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【解答】解：()I 当2K =时，2()(1)f x ln x x x =+-+，1()121f x x x'=-++， 由于f （1）ln =（2），f '（1）32=， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为： 32(1)2y ln x -=-．即322230x y ln -+-=；1()()1(1)1II f x kx x x'=-+>-+ 当0k =时，()1xf x x'=-+， 因此在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<； 所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞； 当01k <<时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得10x =，210kx k-=>；因此，在区间(1,0)-和1(k k -，)+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk -上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和1(k k -，)+∞，单调递减区间为1(0,)kk-；当1k =时，2()1x f x x'=+，()f x 的递增区间为(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x +-'==+，得10x =，21(1,0)kx k -=∈-；因此，在区间(1-，1k k -)和(0,)+∞上，()0f x '>，在区间1(kk-，0)上，()0f x '<； 即函数()f x 的单调递增区间为1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间为1(kk-，0)． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()4ρθ=+．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B两点，定点M 0)，求11||||MA MB -的值． 【解答】解：（1）Q 2211t x t +=-，∴2101x t x -=+…，1x ∴<-或1x …． Q 222222221444[()]41(1)t tx y t t +-=-=--，C ∴的直角坐标方程为221(1)4y x x -=≠-．Q 2cos()4ρθ=+∴(cos sin )θθ-=∴x y -= ∴直线l的直角坐标方程为0x y --=．（2）由（1）可设l的参数方程为2(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入C的方程得：231602t ++=，其两根1t ，2t满足12t t +=12323t t =．∴1212121211111||||2t t MA MB t t t t --=-===±--． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数2()||(4)|2|(1)f x ax x x x =---+． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(2,)x ∃∈+∞，使得不等式()0f x <成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，原不等式可化为2||(4)|2|(1)0x x x x ---+<．(*) （ⅰ）当0x <时，(*)化为，2(2)(1)0x x x -+->，0x <<； （ⅱ）当02x 剟时，(*)化为2(2)(31)0x x x -++<， 所以，02x <…；（ⅲ）当2x >时，(*)化为2(2)(1)0x x x -+-<，第21页（共21页）所以，无解；综上，1a =时，不等式()0f x <的解集为{2}x x <<． （2）当(2,)x ∈+∞，原不等式()0f x <化为：||(2)(2)(2)(1)0a x x x x x -+--+<， ∴1||(2)x a x x +<+． 由于函数11()1(2)(1)1x x x x x x ϕ+==++-+在(2,)x ∈+∞上是减函数， ∴3()(2)8x ϕϕ<=． (2,)x ∴∃∈+∞，使得不等式()0f x <成立，必须使3||8a <． 因此，3388a -<<．。
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{1}B ．(1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．（5分）复数1(iz i i+=是虚数单位）在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设132a =，231()4b =，21log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．（5分）设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则()A ．若//αβ，则//l mB ．若//m α，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．3256．（5分）若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则2y x -的最小值是( )A ．1-B ．6-C ．10-D ．15-7．（5分）已知函数()y f x =的图象由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()y f x =的对称轴方程为( ) A ．212k x ππ=+，k Z ∈ B ．26k x ππ=+，k Z ∈ C ．12x k ππ=+，k Z ∈ D ．6x k ππ=+，k Z ∈8．（5分）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则(m = ) A ．5-或15B ．5或15-C ．21-或1D ．1-或219．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A ．22154x y += B ．221259x y +=C ．221169x y += D ．2212516x y +=10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC ∆为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．17πD 11．（5分）关于函数()sin |||cos |f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递减③()f x ④当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．（5分）已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x xx e x e e--=+-，则其实根的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab的最小值为 ．14．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若6OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2c o s (2A a C =，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足12a =，222345a a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11(*)(1)(1)n n n b n N a a -=∈++，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？20．（12分）设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数21()f x ax x ln x=--．（Ⅰ）若()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，求()f x 在点(1，f （1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()223f x f x ln +<-． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （Ⅰ）求不等式()f x m …的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …，求m 的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{1}B ．(1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}【解答】解：{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，{1AB ∴=，2}．故选：B ． 2．（5分）复数1(iz i i+=是虚数单位）在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1(1)1i i i z i i i i+-+===--在复平面内对应的点(1,1)-位于第四象限． 故选：D ．3．（5分）设132a =，231()4b =，21log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【解答】解：103221a =>=，203110()()144b <=<=，221log log 102c =<=，a b c ∴>>．故选：A ．4．（5分）设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则()A ．若//αβ，则//l mB ．若//m α，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥【解答】若//αβ，则直线l 与m 平行或异面，故A 错误． 若//m α，则平面α与β平行或相交，故B 错误．若m α⊥，m β⊂，平面β经过平面a 的垂线m ，由线面垂直的判定定理，得αβ⊥，故C 正确．若αβ⊥，则l 与m 平行或异面，或相交，故D 错误．故选：C ．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为9， 向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率800220005P ==； 而9s P =，则295s =， 解可得，185S =； 故选：B ．6．（5分）若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则2y x -的最小值是( )A ．1-B ．6-C ．10-D ．15-【解答】解：令2z y x =-，得2y x z =+，作出变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………对应的可行域，平移直线2y x z =+，由平移可知当直线2y x z =+经过点A 时， 直线2y x z =+的截距最小，此时z 取得最值，由0340x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A -，将(2,2)-代入2z y x =-，得2226z =--⨯=-， 即2z y x =-的最小值为6-． 故选：B ．7．（5分）已知函数()y f x =的图象由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()y f x =的对称轴方程为( ) A ．212k x ππ=+，k Z ∈ B ．26k x ππ=+，k Z ∈ C ．12x k ππ=+，k Z ∈ D ．6x k ππ=+，k Z ∈【解答】解：已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到： 先将()g x 的图象向右平移6π个单位长度，可得cos()6y x π=-的图象， 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数()cos(2)6f x x π=-的图象， 令26x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 故选：A ．8．（5分）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则(m = ) A ．5-或15B ．5或15-C ．21-或1D ．1-或21【解答】解：圆222410x y x y +-++=的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切， 由圆心(1,2)-到直线的距离等于半径得|38|25m -+=， |5|10m -=，故5m =-，或15， 故选：A ．9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A ．22154x y += B ．221259x y +=C ．221169x y += D ．2212516x y +=【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，可得35c a =，5a =，所以3c =，则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=．故选：D ．10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC ∆为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．17πD 【解答】解：由题意如图所示：设底面外接圆的圆心为O '， 因为三角形ABC 是直角三角形，所以O '为斜边的中点，则底面外接圆的半径r 等于斜边的一半，即r ==， 过O '做垂直于底面的直线OO '交三棱锥的中截面与O 点，则O 为外接球的球心，且2PB OO '==222517344R r OO '=+=+=， ∴球的表面积2417S R ππ==，故选：C ．11．（5分）关于函数()sin |||cos |f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递减③()f x ④当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④【解答】解：①()sin |||cos()|sin |||cos |()f x x x x x f x -=---=-=， ()f x 是偶函数．②当(2x π∈，)π时，sin ||sin x x =，|cos |cos x x =-则()sin (cos )sin cos )4f x x x x x x π=--=+=+，在(2π，)π上单调递减．③当(0x ∈，]2π时，()sin cos )4f x x x x π=-=-，此时()f x 最大值1，当(2x π∈，]π时，()sin cos )4f x x x x π=+=+， 此时()f x 最大值1，当(x π∈，3]2π时，()sin cos )4f x x x x π=++， 此时()f x 最大值1-，当3(2x π∈，2]π时，()sin cos )4f x x x x π=-=-， 此时()f x 最大值1-， 所以()f x 最大值为1．④当(0x ∈，]4π时，()sin cos )04f x x x x π=-=-<，又因为()f x 是偶函数，当(4x π∈-，0]时，()0f x <，所以，当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立， 故正确的是①②④， 故选：D ．12．（5分）已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x xx e x e e--=+-，则其实根的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：x =不是方程2222(3)23(3)x x x e x e e--=+-的根，所以方程可变形为2222333x x e x e e x e--=--，原问题等价于考查函数2y e =-与函数22233()3x x e x g x e x e -=--的交点个数，令2()3xe h x x =-，则222(23)()(3)x e x x h x x --'=-，列表可得：函数231y x e x=-在有意义的区间内单调递增， 故()g x 的单调性与函数()h x 的单调性一致， 且()g x 的极值(1)g g -=（3）33122e e =-+， 绘制函数图象如图所示，观察可得，2y e =-与函数()g x 恒有3个交点，即方程实数根的个数是3， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为 32． 【解答】解：0a >，0b >，24a b +=，由基本不等式可得，4…2ab ∴…，当且仅当2b a =即2b =，1a =时取等号则3ab 的最小值为32． 故答案为：32． 14．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63338S S =，则6542a a a =+ 13．【解答】解：等比数列{}n a 中，63338S S =， 显然1q ≠，∴6311(1)9(1)18a q a q q -=--， 3918q +=， ∴12q =， 则5261435411222123()132a a q q a a a q q q ====+++．故答案为：13故选：A15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若6OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为54． 【解答】解：由题意可得4a =，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，(,0)F c ， 可得||MF b ==，在直角三角形OMF 中，可得||OM a ===，则OMF ∆的面积为1262ab b ==，可得3b =，5c =，则54c e a ==． 故答案为：54．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2c o s (2A a C=，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD =．【解答】解：2cos cos )A a C =，2c =，cos cos c A a C ∴-，∴由正弦定理可得sin cos sin cos C A A C A +=，sin()sin A C B A ∴+==，b ∴=，由p ，p a -，p c -=p b -， 由三角形的海伦面积公式可得222222()2ABC a a a a a a aS ∆+--+-+===， 当212a =，即a =时，b =ABC ∆的面积取得最大值，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，AD ∴， ∴由余弦定理可得222264cos 2BD b c a A bc +-+-==解得BD =．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足12a =，222345a a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11(*)(1)(1)n n n b n N a a -=∈++，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{}n a 为递增数列，可得公差0d >，由12a =，222345a a a +=，可得222(22)(23)(24)d d d +++=+，解得22(3d =-舍去），则22(1)2n a n n =+-=； （Ⅱ）111111()(1)(1)(21)(21)22121n n n b a a n n n n -===-+++--+，11111111(1)((1)2335212122121n nS n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===， ∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1AC BC =， G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DGCG G =，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A DBD D =，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112AG A B ==，DG ，∴1111122A DGSAG DG =⨯⨯=⨯ ∴三棱锥1G A DC -的体积：11111233G A DC C A DG A DGV V SCD --==⨯==．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为： (0.020.040.02)100.8++⨯=，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8． （Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为： (0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40，50)内的人数为1001000.955-⨯-=， 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为550025100⨯=， （Ⅲ）设3名男生分别为A ，B ，C ，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A ，}B ，{A ，}C ，{A ，1}，{A ，2}，{B ，}C ，{B ，1}，{B ，2}，{C ，1}，{C ，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A ，1}，{A ，2}，{B ，1}，{B ，2}，{C ，1}，{C ，2}，共6种，设事件{A =抽取的2人中男女同学各1人}，则P （A ）63105==， 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是35．20．（12分）设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【解答】解：（1）曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． ∴由抛物线定义得232p+=，解得2p =， ∴曲线C 方程为24x y =．（2）以PQ 为直径的圆过原点O ，OP OQ ∴⊥，设直线OP 的方程为y kx =，(0)k ≠，与曲线C 方程24x y =联立，得24x kx =， 解得0x =（舍)或4x k =，2(4,4)P k k ∴，又直线OQ 的方程为1y x k =-，同理4(Q k -，24)k ，又直线PQ 斜率存在，PQ ∴的直线方程为222444444y k x k k k k k--=---， 1()4y k x k ∴=-+，∴直线PQ 恒过定点(0,4)．21．（12分）已知函数21()f x ax x ln x=--．（Ⅰ）若()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，求()f x 在点(1，f （1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()223f x f x ln +<-． 【解答】解：（1）21()f x ax x ln x=--，1()21f x ax x∴'=+-， 由题意可得，k f ='（1）2a =，因为()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，22a ∴=即1a =，f ∴（1）0=，故切点(1,0)，切线方程22y x =-，（2）2121()2ax x f x ax x x-+'=-+=，2210ax x ∴-+=在(0,)+∞上有两个不等的实数根1x ，2x ，∴1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩∴108a <<， 又2212212121()()()f x f x ax ax x x lnx lnx +=+-+++，212121212[()2]()a x x x x x x lnx x =+--++，11124lna a=-- 令12t a =，1()12g t lnt t =--，4t >， 则112()022t g t t t-'=-=<，()g t ∴在(4,)+∞上单调递减，()g t g <（4）43223ln ln =-=-，即12()()223f x f x ln +<-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．【解答】解：()I 将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，所以曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为1212(,),(,),0,02A B πρθρθρρ+>>，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=． [选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （Ⅰ）求不等式()f x m …的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …，求m 的取值范围． 【解答】解析：()I 由()f x m …，得，不等式两边同时平方，得22(1)(21)x x -+…， 即3(2)0x x +…，解得20x -剟． 所以不等式()f x m …的解集为{|20}x x -剟． （Ⅱ）设()|1||21|g x x x =--+， 12,21()3,122,1x x g x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=--<⎨⎪-->⎪⎪⎩……，()0()f n g n m ⇔-厖因为(2)(0)0g g -==，(3)1g -=-，(4)2g -=-，g （1）3=-，又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …， 所以21m -<--…，故m 的取值范围为[1，2)．。
2020年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|2A x x =-…或3}x …，B N =，则()(R B A =⋂ð ) A ．{1-，0，1，2} B ．{1}- C ．{1-，0}D ．{0，1，2}2．（5分）复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞3．（5分）设a 与b 都是非零向量，则“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1,2)-，则tan 2(α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．435．（5分）已知定义在[5m -，12]m -上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为( ) A ．15-B ．7-C ．3D ．156．（5分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有( )A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人7．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为( )米．A ．B ．30C ．D ．358．（5分）设函数3()f x alnx bx =+在点(1,1)-处的切线经过点(0,1)，则实数a b +的值为() A ．2-B ．1-C ．0D ．19．（5分）已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，*12(n n n F F F n N --=+∈且3)n …，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则(n = )A ．10B ．18C ．20D ．2210．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆2222:O x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若△12MF F 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D11．（5分）将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[π-，]π有两个零点 ④()f x 在区间5[6π-，]6π上单调 其中所有正确结论的标号是( ) A ．①③④B ．①②④C ．②④D ．①③12．（5分）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是( )A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则m = ．14．（5分）已知点(0,2)A ，动点(,)P x y 的坐标满足条件0x y x ⎧⎨⎩……，则||PA 的最小值是 ．15．（5分）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点0M 出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点0N 出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形．假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是 ．16．（5分）若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<⋯<-<⋯，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足*221()n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB =-，求直线l 的方程． 19．（12分）底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若4DA DH DB ===，3AE CG ==．（1）求证：EG DF ⊥； （2）求三棱锥F BEG -的体积．20．（12分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．()i 用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率． 21．（12分）已知函数()sin xaf x x e =+，a R ∈，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：(x ∀∈-∞，0]，()1f x …； （2）若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c a a b c++…；（22>．2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|2A x x =-…或3}x …，B N =，则()(R B A =⋂ð ) A ．{1-，0，1，2} B ．{1}-C ．{1-，0}D ．{0，1，2}【解答】解：集合{|2A x x =-…或3}x …， (2,3)R A ∴=-ð，B N =，(){0R B A ∴=⋂ð，1，2}，故选：D ． 2．（5分）复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：()(1)111(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-的实部小于虚部， ∴1122a a+-<，解得0a <． ∴实数a 的取值范围是(,0)-∞．故选：A ．3．（5分）设a 与b 都是非零向量，则“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a 与b 都是非零向量，则“向量a 与b 夹角为锐角” ⇒ “0a b >”，反之不成立，可能同向共线．因此“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：B ．4．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1,2)-，则tan 2(α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．43【解答】解：由三角函数的定义可知，tan 2α=-，22tan 44tan 21143tan ααα-===--． 故选：D ．5．（5分）已知定义在[5m -，12]m -上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为( ) A ．15-B ．7-C ．3D ．15【解答】解：由奇函数的对称性可知，5120m m -+-=，4m ∴=-，0x >时，()21x f x =-，则()(4)f m f f =-=-（4）15=-． 故选：A ．6．（5分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有( )A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人【解答】解：根据图形，抽取的总人数1020%50÷=，其中C 所占的百分比为：12500.24÷=， 故1000(0.240.20.46)10000.9900⨯++=⨯=， 故选：D ．7．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为( )米．A ．B ．30C ．D ．35【解答】解：如图所示，依题意可知45AEC ∠=︒，1806015105ACE ∠=︒-︒-︒=︒1804510530EAC ∴∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理可知sin sin CE ACEAC CEA=∠∠ sin sin CE EAC AC CEA ∴∠=∠，sinsin CE CEAAC AC EAC∠∴===∠米∴在Rt ABC ∆中，sin 30AB AC ACB =∠==米 所以旗杆的高度为30米 故选：B ．8．（5分）设函数3()f x alnx bx =+在点(1,1)-处的切线经过点(0,1)，则实数a b +的值为() A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：由题意，2()3af x bx x'=+，0x >． f '（1）3a b =+，∴函数()f x 在点(1,1)-处的切线方程为：1(3)(1)y a b x +=+-．切线经过点(0,1)， 11(3)(01)a b ∴+=+-，整理，得32a b +=-． 又f （1）1=-，代入函数()f x 表达式，得1b =-．231a b ∴=--=， 0a b ∴+=．故选：C ．9．（5分）已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，*12(n n n F F F n N --=+∈且3)n …，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则(n = )A ．10B ．18C ．20D ．22【解答】解：模拟程序的运行，可得1i =，1a =，1b =，满足条件10i <，执行循环，输出斐波那契数列的前2项，2a =，3b =，2i = 满足条件10i <，执行循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，5a =，8b =，3i =⋯每经过一次循环，输出了斐波那契数列的2项，9i =时，共输出了斐波那契数列的前18项， 此时10i =，不满足条件，退出循环体．故程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，18n =． 故选：B ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆2222:O x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若△12MF F 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D【解答】解：设1||MF m =，2||MF n =， 由双曲线的定义可得2m n a -=，① 由||||OM ON =，12||||OF OF =，可得四边形12F NF M 为平行四边形，圆22222:O x y a b c +=+=， 由直径所对的圆周角为直角，可得 四边形12F NF M 为矩形， 即有2224m n c +=，②12S mn ab ==，③由①②③可得22444c ab a -=， 即为b a =，可得ce a==． 故选：A ．11．（5分）将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[π-，]π有两个零点 ④()f x 在区间5[6π-，]6π上单调 其中所有正确结论的标号是( )A ．①③④B ．①②④C ．②④D ．①③【解答】解：()sin cos )f x a x b x x x =+=)x θ=+．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则())3g x x πθ+-．()g x 的对称中心为坐标原点，∴sin()03πθ-=，得3k πθπ-=，则3k πθπ=+，k Z ∈．())3f x x k ππ∴++．()f x ∴的最小正周期2T π=，故①正确；若()f x 的最大值为22=，a 不一定为1，故②错误； 由()0f x =，得sin()03x k ππ++=，即sin()03x π+=，在[π-，]π有两个零点3π-，23π，故③正确； 当5[6x π∈-，]6π时，[,]322x k k k ππππππ++∈-+， 当k 为偶数时，()f x 单调递增，当k 为奇数时，()f x 单调递减，故④错误． ∴其中所有正确结论的标号是①③．故选：D ．12．（5分）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．正方体1111ABCD A B C D -的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），的等边三角形， 所以正方体在平面α内的正投影面积是122S =⨯=．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则m = 1 ． 【解答】解：向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则0a b =， 即2360m ⨯-=，则1m =， 故答案为：1．14．（5分）已知点(0,2)A ，动点(,)P x y 的坐标满足条件0x y x ⎧⎨⎩……，则||PA【解答】解：动点(,)P x y 所满足的可行域如图：则||AP 的最小值转化成点A 到直线y x =的距离d ==．15．（5分）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点0M 出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点0N 出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形．假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是121．【解答】解：如图：由题可得点M 运动了两秒钟，OM 扫过的是半径为2，圆心角为120︒的扇形AOB ；且其面积为：2120423603ππ⨯⨯=； 点N 运动了两秒钟，ON 扫过的是半径为1，圆心角为180︒的扇形COF ；且其面积为：211122ππ⨯=； 公共部分是半径为1，圆心角为30︒的扇形COD ；其面积为：230136012ππ⨯⨯=； ∴所求概率：11241213212p ππππ==+-．故答案为：121． 16．（5分）若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<⋯<-<⋯，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足*221()n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是 1(,)2-∞ ．【解答】解：因为221n n S a t =+-， 则11221n n S a t --=+-，把这两个等式相减，得122n n n a a a -=-， 所以12nn a a -=， 因为11221S a t =+-，所以112a t =-， 则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1112(12)2n n n a a t --=⨯=-⨯，211(12)22n n a t --=-⨯， 所以3113(12)22n n n a a t ---=-⨯，2113(12)22n n n a a t -+-=-⨯，231111()()3(12)23(12)2022n n n n n n a a a a t t --+----=-⨯--⨯>，解得12t <， 故答案为：1(,)2-∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）由已知{}n a 为等差数列，记其公差为d ． ①当2n …时，1121121n n nn a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩，两式相减可得12d d +=，所以1d =，②当1n =时，21121a a +=+，所以11a =． 所以11n a n n =+-=； （2）(1)2n n n S +=，12112()(1)1n S n n n n ==-++， 所以1111111122[(1)()()()]2(1)22334111n nT n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB =-，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹方程E 为：24y x =．（2）①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB =-≠-，不符合条件； ②当l 的斜率存在且不为0时，设:(1)l y k x =-， 则2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212224k x x k ++=，121x x =．因为向量FA ，FB 方向相反，所以12121224||||(1)(1)(1)(4)8FA FB FA FB x x x x x x k=-=-++=-+++=-+=-， 所以21k =，即1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+．19．（12分）底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若4DA DH DB ===，3AE CG ==．（1）求证：EG DF ⊥； （2）求三棱锥F BEG -的体积．【解答】（1）证明：连接AC ，由//AE CG ，AE CG =，可知四边形AEGC 为平行四边形，//EG AC ∴，由题意知AC BD ⊥，AC BF ⊥，EG BD ∴⊥，EG BF ⊥， BDBF B =，EG ∴⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，EG DF ∴⊥； （2）解：设ACBD O =，EGHF P =，由已知可得：平面//ADHE 平面BCGF ，//EH FG ∴，同理可得：//EF HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，得P 为EG 的中点，又O 为AC 的中点，//OP AE ∴且OP AE =， 由3OP =，4DH =，由梯形中位线定理得2BF =． ∴142BFG S BF BC ∆=⨯⨯=． //EA FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊂/平面BCGF ，//EA ∴平面BCGF ，∴点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为．∴13F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---∆===⨯．20．（12分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．()i 用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．【解答】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=； （2）()i 由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为1x ，2x ，⋯，6x ；B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为1y ，2y ，3y ，4y ；记样本的平均数为x ，样本的方差为2s ； 由题意可知，1261234()()56 5.545.21010x x x y y y y x ++⋯+++++⨯+⨯===，2222( 5.2)[(5)0.2](5)20.2(5)0.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+，1i =，2，⋯，6；2222( 5.2)[( 5.5)0.3]( 5.5)20.3( 5.5)0.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+，1i =，2，⋯，4；22222212614( 5.2)( 5.2)( 5.2)( 5.2)( 5.2)10x x x y y s -+-+⋯+-+-+⋯+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===；所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5，易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为1x ，2x ，3x ；B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为1y ，2y ；从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为： 1(x ，2)x ，1(x ，3)x ，2(x ，3)x ，1(y ，2)y ，1(x ，1)y ， 2(x ，1)y ，3(x ，1)y ，1(x ，2)y ，2(x ，2)y ，3(x ，2)y ，其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为：1(x ，1)y ，2(x ，1)y ，3(x ，1)y ，1(x ，2)y ，2(x ，2)y ，3(x ，2)y ；记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ，所以63()105P A ==． 21．（12分）已知函数()sin xaf x x e =+，a R ∈，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：(x ∀∈-∞，0]，()1f x …； （2）若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()sin x f x x e =+，则1()cos x f x x e-'=+， 当(x ∈-∞，0]时，01x e <…，则11xe --…，又因为cos 1x …， 所以当(x ∈-∞，0]时，1()cos 0x f x x e-'=+…，仅0x =时，()0f x '=， 所以()f x 在(-∞，0]上是单调递减，所以()(0)1f x f =…，即()1f x …．（2）()cos xa f x x e -'=+，因为(,0)2x π∈-，所以cos 0x >，0x e >， ①当0a …时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(,0)2π-上单调递增，没有极值点．②当0a >时，()cos x a f x x e -'=+在区间(,0)2π-上单调递增，因为2()02f a e ππ'-=-<，(0)1f a '=-+．当1a …时，(,0)2x π∈-时，()(0)10f x f a ''=-+剟，所以()f x 在(,0)2π-上单调递减，没有极值点．当01a <<时，(0)10f a '=-+>，所以存在0(,0)2x π∈-，使0()0f x '=，当0(,)2x x π∈-时，()0f x '<，0(x x ∈，0)时，()0f x '>，所以()f x 在0x x =处取得极小值，0x 为极小值点． 综上可知，若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，则实数(0,1)a ∈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积．【解答】解：（1）由(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数ϕ，可得曲线1C 的普通方程为2212x y +=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得曲线1C 的极坐标方程为2222cos 2sin 20ρθρθ+-=．由ρ=，得22ρ=，则2C 的直角坐标方程为222x y +=；（2）当4πϕ=时，P ，sin xOP ∠=，cos xOP ∠=， 将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线2C 于点Q ，又曲线1C 的上顶点为点T ，||OQ ∴=，||1OT =，则11||||sin())2622OTQ S OQ OT xOP π∆=-==． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c a a b c++…；（22>．【解答】解：（1）a ，b ，0c >，333b c ab c aa b ca b c++=…；当且仅当a b c ==取等号， 故原命题成立；（2）已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长，要证2>，只需证明22()a b c +>++，即证a b c >++，则有2b c a =++>，a >，b c ，三式左右相加得a b c >++， 故命题得证．。
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，则A∩B=（）A．{1}B．（1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【答案】B【命题意图】该题考查集合列举法、描述法，集合的交集运算，属于基础题，较为简单．【解析】因为A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，所以A∩B={1，2}．故选B．【点评】进行交集的运算，取公共部分．2．复数z1ii+=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【命题意图】该题考查复数的乘除运算及复数与复平面内的点一一对应，属于基础题较为简单．【解析】z()i1i1ii i i-++===-⋅1﹣i，因此在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点评】利用复数的乘除运算以及复数与复平面内的点一一对应的关系即可得出．3．设a=213，b=（14）23，c=log212，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【命题意图】该题考查有理指数幂与对数的运算性质，属于基础题，较为简单．【解析】由于a=213>20=1，0<b=（14）231()14<=，c=log212<log21=0，因此a>b>c．故选A．【点评】通过指数幂与对数的运算性质借助中间量0,1，比较a，b，c,的大小得答案．4．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则（）A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥βC．若m⊥α，则α⊥βD．若α⊥β，则l⊥m【答案】C【命题意图】该题考查空间线面关系的判定，需要一定空间想象能力，属于基础题．【解析】若α∥β，则直线l与m也可能异面，故A错误．若m∥α，则平面α与β也可能相交，故B错误．若m⊥α，m⊂β，平面β经过平面a的垂线m，由线面垂直的判定定理，得α⊥β，故C正确．若α⊥β，则l与m也可能平行或异面，或相交，故D错误．故选C．【点评】通过线面的位置关系，加以判断．5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【答案】B【命题意图】该题考查几何概型的应用，属于基础题，较为简单．【解析】设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P800220005==；而P9s=，则295s=，因此S185=；故选B．【点评】根据几何概型的定义即可求解，设阴影部分的面积为S，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P25=；，又由几何概型可得P9s=，联立解可得答案．6．若变量x，y满足约束条件340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则y﹣2x的最小值是（）A．﹣1B．﹣6C．﹣10D．﹣15【答案】B【命题意图】该题考查线性规划，需要一定的数形结合思想，属于基础题．【解析】令z=y﹣2x，则y=2x+z，作340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，根据z的几何意义可知，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由340x yx y+=⎧⎨+-=⎩，解得A（2，﹣2），将（2，﹣2）代入z=y﹣2x，得z=﹣2﹣2×2=﹣6，因此z=y﹣2x的最小值为﹣6．故选B．【点评】根据不等式组作出可行域，再令z=y﹣2x，平移变换即可．7．已知函数y=f（x）的图象由函数g（x）=cos x的图象经如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数y=f（x）的对称轴方程为（）A．xππ212k=+，k∈Z B．xππ26k=+，k∈ZC．x=kππ12+，k∈Z D．x=kππ6+，k∈Z【答案】A【命题意图】该题主要考查三角函数图象变换规律以及余弦函数的图象的对称性，属于基础题．【解析】先将g（x）的图象向右平移π6个单位长度，可得y=cos（xπ6-）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2xπ6-）的图象，令2xπ6-=kπ，则f（x）的图象的对称轴方程为xππ212k=+，k∈Z，故选A．【点评】根据三角函数左加右减的变换规律，结合余弦函数的图象的对称性，可得结论．8．直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则m=（）A．﹣5或15B．5或﹣15C．﹣21或1D．﹣1或21【答案】A【命题意图】考查直线与圆的位置关系，属于基础题，较为简单．【解析】圆标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=4，因为直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径得2385m-+=，|m﹣5|=10，因此m=﹣5，或15，故选A．【点评】将元的一般方程转化为标准方程再根据圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径，求出m即可．9．已知椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）A．2254x y+=1B．22259x y+=1C．22169x y+=1D．222516x y+=1【答案】D【命题意图】该题考查椭圆的标准方程以及性质属于基础题．【解析】因为椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则35ca=，a=5，解得c=3，则b=4，因此椭圆的方程为：222516x y+=1．故选D．【点评】根据已知条件，求出a，c，再根据椭圆的基本性质求解b，即可得到结果．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球面上，PB⊥平面ABC．PB，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，且AB=1，BC=2．则球的表面积为（）A ．5πB ．10πC ．17πD 【答案】C【命题意图】考查几何体外接球的半径及外接球的表面积公式，需要一定空间想象能力属于基础题． 【解析】根据题意作出如下图，设底面外接圆的圆心为O '， 因三角形ABC 是直角三角形，所以O '为斜边的中点，因此底面外接圆的半径r 等于斜边的一半，即r 22==， 过O '做垂直于底面的直线OO '交三棱锥的中截面与O 点，则O 为外接球的球心，且OO '2PB ==R 2=r 2+OO '254=+3174=， 因此S =4πR 2=17π，故选C ．【点评】PB ⊥平面ABC ，侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，且底面为直角三角形，因此底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和三棱锥的高的一半构成直角三角形，根据勾股定理由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 11．关于函数f （x ）=sin|x |﹣|cos x |有下述四个结论：①f （x ）是偶函数;②f （x ）在区间（π2，π）单调递减;③f （x ④当x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立 其中正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】D【命题意图】该题考查三角函数的图象和性质，以及函数的奇偶性单调性，属于中档题．【解析】①f （﹣x ）=sin|﹣x |﹣|cos （﹣x ）|=sin|x |﹣|cos x |=f （x ），满足偶函数定义，f （x ）是偶函数． ②x ∈（π2，π），sin|x |=sin x ，|cos x |=﹣cos x因此f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+），复合函数单调性（π2，π）上单调递减．③x ∈（0，π2]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），因此f （x ）最大值1，x ∈（π2，π]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值1，x ∈（π，3π2]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值﹣1，x ∈（3π2，2π]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），则f （x ）最大值﹣1，因此f （x ）最大值为1．④x ∈（0，π4]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-）<0， 因f （x ）是偶函数，x ∈（π4-，0]，也有f （x ）<0， 因此x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立，故正确的是①②④，故选D ． 【点评】①根据定义可知，f （﹣x ）=f （x ），所以正确．②x ∈（π2，π），f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+）根据复合函数单调性可知，在（π2，π）上单调递减．③将函数转化为分段函数在不同区间上求最值，分别在x ∈（0，π2]时，当x ∈（π2，π]时，当x ∈（π，3π2]时，当x ∈（3π2，2π]时，确定f （x ）最大值． ④x ∈（0，π4]，f （x ）<0，又因f （x ）是偶函数，当x ∈（π4-，0]时，f （x ）<0，由函数的对称性可知．12．已知关于x 的方程为22(3)xx e -=3e x ﹣22e+（x 2﹣3），则其实根的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【命题意图】该题考查函数与方程之间的关系，通过数形结合的方法，属于难题．【解析】因为x =22(3)xx e -=3e x ﹣22e +（x 2﹣3）的根， 因此方程可变形为2222333x xe x e e x e--=⋅--， 根的个数问题转化为两函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e -=⋅--的交点个数， 构造h （x ）23xe x =-，则h ′（x ）()22223(3)x e x x x --=-，列表可得：x （﹣∞，）（﹣1） （﹣13）（3，+∞）h ′（x ） + + ﹣ ﹣ + h （x ） 单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增因为函数y 231x e x=-在有意义的区间内单调递增， 故g （x ）的单调性与函数h （x ）的单调性一致， 并且g （x ）的极值g （﹣1）=g （3）3312e=-+2e ， 则函数图像如图所示， 通过观察分析可知，y 2e=-与函数g （x ）恒有3个交点， 因此方程实数根的个数是3，故选B ．【点评】将方程变形为2222333x x e x e e x e --=⋅--，根的个数问题转化为函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e-=⋅--的交点个数，通过导数研究g （x ）单调性，极值，根据数形结合法，即可得到答案．二、填空题：该题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a >0，b >0，2a +b =4，则3ab的最小值为 ． 【答案】32【命题意图】该题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 【解析】由题意可知a >0，b >0，2a +b =4，根据基本不等式得，4≥， 因此ab ≤2，当b =2a 即b =2，a =1时取等号 因此3ab 的最小值为32．故答案为：32． 【点评】通过基本不等式求解ab 的范围，从而转化为函数求最值问题． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．【答案】13【命题意图】该题考查等比数列通项公式，属于基础题，较为简单．【解析】63338S S =，显然q ≠1，因此()()613119118a q a q q -=--， 1+q 398=，解得12q =，又因()5261435411222123132a a q q a a q a q q ====+++．故答案为：13． 【点评】根据等比数列求和以及已知条件化简求公比q ，然后代入等比数列的通项公式即可求解．15．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a >0，b >0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF =6，则双曲线C 的离心率为 ． 【答案】54【命题意图】该题考查双曲线的方程和性质以及离心率与渐近线等内容，有一定综合性，属于基础题． 【解析】根据题意可知a =4，设双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay =0，焦点为F （c ，0）， 则|MF|==b ，在t R ∆ OMF 中，可得|OM|===a ，则△OMF 的面积为12ab =2b =6，可得b =3，c ==5，则e 54c a ==．故答案为：54． 【点评】通过定义设渐近线方程以及焦点坐标，通过点到直线的距离公式和双曲线的a ，b ，c 的关系，可得a ，再根据三角形的面积公式得c ，从而求解离心率．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos A =a-cos C ），c =2，D 为AC 上一点，AD ：DC =1：3，则△ABC 面积最大时，BD = ．【命题意图】该题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形面积公式的运用，需要一定的转化思想，转化为二次函数的最值求法，属于难题． 【解析】2cos A =a-cos C ），c =2，则c cosA=-a cos C，根据正弦定理可知sin C cos A+sin A cosC=A，因此sin（A+C）=sinB=A，因此b=，根据p22a++=，p﹣a22a-+=，p﹣c22a+-=，p﹣b22a+-=，通过三角形面积的海伦公式可得S△ABC===，在a2=12，即ab，△ABC的面积取得最大值，因为D为AC上一点，AD：DC=1：3，因此AD=，则cosA2222642BDb c abc+-+-===，解得BD=．．【点评】根据题意结合三角形的正弦定理和三角函数和差公式，可得b=，再由三角形的海伦面积公式，转化为二次函数的最值求法，即可得到三角形的面积取得最大值时a的值，再通过余弦定理计算可得所求值．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}为递增数列，且满足a1=2，a32+a42=a52．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n ()()1111n n a a -=++（n ∈N *），S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n ． 【命题意图】该题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，需要一定计算能力，属于基础题较为简单．【解析】（Ⅰ）因为数列递增所以d >0，根据a 1=2，a 32+a 42=a 52，可得（2+2d ）2+（2+3d ）2=（2+4d ）2， 解得d =2（23-舍去），又因a n =2+2（n ﹣1）=2n ； （Ⅱ）b n ()()()()11111121212n n a a n n -===+++-（112121n n --+）， S n 12=（1111113352121n n -+-++--+L ）12=（（1121n -+）21n n =+． 【点评】（Ⅰ）根据等差数列通项公式，可以求得公差且d >0，解方程可得公差，从而求得通项公式； （Ⅱ）数列的裂项相消求和，化简可得所求和-18．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．【命题意图】该题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，需要对线面垂直的判定以及几何体求体积的方法加以掌握，属于中档题．【解析】（Ⅰ）根据题意可知，在图（1）中，AC =BC，AD =BD =CD =2，因此在三棱锥A 1﹣BCD 中，A 1D =BD ，A 1C =BC ，且G 是A 1B 的中点，所以DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，又因DG ∩CG =G ，所以A 1B ⊥面DGC ，因为点M ，N ，分别为A 1C ，BC 的中点．所以MN ∥A 1B ，可证MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）由图（1）知CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，因此CD ⊥平面A 1DG ，又因为∠A 1DB =60°，所以△A 1DB 是等边三角形，故DG ⊥A 1B ，A 1B =2，A 1G 12=A 1B =1，DG =所以1111122A DG S AG DG =⨯⨯=⨯=V ， 所以通过体积转化的方法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积：11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==V ．【点评】（Ⅰ）通过题意得A 1D =BD ，A 1C =BC ，因此DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，可得A 1B ⊥平面DGC ，从而得出MN ∥A 1B ，通过传递性可知MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）根据CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，推导出CD ⊥平面A 1DG ，因此△A 1DB 是等边三角形，根据等体积法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积11113G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯V ，由此能求出结果． 19．2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？【命题意图】该题考查频率直方图由样本估计整体，属于基础题，较为简单．【解析】（Ⅰ）根据图标可知：高于60分的概率为（0.02+0.04+0.02）×10=0.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．由样本估计总体，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）样本中分数不小于50的频率为：（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，因此分数在区间[40，50）内的人数为100﹣100×0.9﹣5=5，总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为5005100⨯=25，（Ⅲ）将所有可能结果列出，则设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件A={抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）63 105 ==，因此抽取的2人中男女同学各1人的概率为3 5．【点评】（1）根据频率直方图求得分数高于60的频率，再根据样本总是，计算出分数高于60的概率，（2）首先计算分数不小于50的频率，再算出分数在区间[40，50）内的人数，从而估算出总体中分数在区间[40，50）内的人数．（3）计算从这5名同学中选取2人的事件，再计算抽取的2人中男女同学各1人的事件，再求抽取的2人中男女同学各1人的概率．20．设曲线C ：x 2=2py （p >0）上一点M （m ，2）到焦点的距离为3．（Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【命题意图】该题考查抛物线方程的求法，考查直线是过定点的判断与求法，需要直线与抛物线的位置关系等内容加以判断，属于中档题，有一定计算量．【解析】（1）根据题意结合抛物线定义得22p +=3，解得p =2， 因此曲线C 方程为x 2=4y ．（2）根据以PQ 为直径的圆过原点O ，因此OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，解得x =0（舍）或x =4k ，因此P （4k ，4k 2），且OQ 的直线方程为y 1x k =-，同理可得Q （4k -，24k）， 又因为直线PQ 斜率存在，因此PQ 的直线方程为222444444y k x k k k k k--=---， 得y =（k 1k-）x +4，可证直线PQ 恒过定点（0，4）． 【点评】（1）根据抛物线定义可知，22p +=3，因此能求得C 方程． （2）由题意OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，求出P （4k ，4k 2），设直线OQ 的方程为y 1x k =-，同理求得Q （4k -，24k），因此得到直线PQ 的方程为y =（k 1k-）x +4，因此PQ 恒过定点（0，4）． 21．已知函数f （x ）=ax 2﹣x ﹣ln1x ． （Ⅰ）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，求f （x ）在点（1，f （1））的切线方程； （Ⅱ）若函数f （x ）在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【命题意图】该题考查导数几何意义以及导数的应用判断函数单调性以及极值最值，属于难题．【解析】（1）f ′（x ）=2ax 11x+-， 根据题意可知，k =f ′（1）=2a ，因f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，因此2a =2即a =1，则f （1）=0，因此切点（1，0），所以切线方程y =2x ﹣2，（2）f ′（x ）=2ax 2121ax x x x-+-+=，则2ax 2﹣x +1=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2， 根据韦达定理以及两根判别公式可得方程组1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩V 解得108a <<， 又因f （x 1）+f （x 2）2221ax ax =+-（x 1+x 2）+ln x 1+ln x 2，=a (()2121212[)2x x x x x x ⎤+--++⎦ln x 1x 2， 11124ln a a =-- 换元令t 12a=，则g （t ）=ln t 12t --1，t >4， 对函数求导，()112'22t g t t t -=-=<0， 因此g （t ）在（4，+∞）上单调递减，g （t ）<g （4）=ln4﹣3=2ln2﹣3，f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【点评】（I ）根据导数的几何意义可求，（II ））f ′（x ）=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2，根据二次函数的实根分布可求a 的范围，代入f （x 1）+f （x 2），借助函数单调性可求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P 312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其参数方程x acos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值． 【命题意图】该题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程和极坐标方程的互相转化，以及三角函数关系式的恒等变换属于基础题，较为简单．【解析】（ I ）将点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线E方程，则132acos αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，，因此a 2=4， 求得曲线E 的直角坐标方程为22143x y +=， 因此极坐标方程为22211143cos sin ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设点A ，B 的极坐标分别为()1212π002A B ρθρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，，，，，， 根据题意可得222211222222111431π1π(14232cos sin cos sin ρθρθρθρθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，， 即222122221114311143cos sin sin cos θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，． 因此2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=． 【点评】（1）通过直角坐标方程参数方程，极坐标方程之间的关系进行转化（2）通过极径应用以及三角函数化简求得结果．[选修4–5不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|+m ．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．【命题意图】该题考查绝对值不等式解法，以及参数范围问题，需要注意可以通过平方去绝对值也可通过分段函数去掉绝对值号，属于基础题．【解析】（Ⅰ）根据题意，不等式两边同时平方，得（x ﹣1）2≥（2x +1）2，化简为3x （x +2）≤0，得﹣2≤x ≤0．因此不等式f （x ）≥m 的解集为{x |﹣2≤x ≤0}．（Ⅱ）令g （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|，()122131221x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，， f （n ）≥0等价于g （n ）≥﹣m因g （﹣2）=g （0）=0，g （﹣3）=﹣1，g （﹣4）=﹣2，g （1）=﹣3，恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，因此﹣2<﹣m ≤﹣1，故m 的取值范围为[1，2）．【点评】（Ⅰ）两边同时平方进行求解（Ⅱ）转化为分段函数根据分段函数图像即可得到参数范围．。
2019-2020学年河南省高考数学一诊试卷(文科)
高
您 4．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 A=
且 b=6，则 c=（ ）
，
=2sinAsinB，
祝A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：△ABC 中，A= ，b=6，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA，
即 a2=36+c2﹣6c①；
又
=2sinAsinB，
7．（5 分）若对于任意 x∈R 都有 f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数 f（2x）
考 图象的对称中心为（ ）
A．
（k∈Z） B．
（k∈Z） C ．
（k
∈Z） D．
高（k∈Z）
您 8．（5 分）设 x，y 满足约束条件
，若 z=﹣ax+y 取得最大值的最优解不
祝唯一，则实数 a 的值为（ ）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．（5 分）在△ABC 中，| + |=| ﹣ |，| |=2，则 • = 14．（5 分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始
终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的
概率为
A．128π 平方尺B．138π 平方尺 C．140π 平方尺 D．142π 平方尺
6．（5 分）定义[x]表示不超过 x 的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）
=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的 x=5.8，则输出的 z=（ ）
！
功
成
到
马 A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8
20．（12 分）如图，椭圆 W： + =1（a＞b＞0）的焦距与椭圆 Ω： +y2=1
2020年河南省六市联考一模-(文)数学考试试题
2020年河南省六市高三第一次联合调研检测数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分．考试用时120分钟.注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.第Ⅰ卷 选择题(共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =( )A ．22 B ．32 C ．102 D ．122. 集合},4|{2Z x x y y M ∈-==的真子集的个数为A.7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为( ) A.15 B. 14 C.13 D. 124.已知()(cos ),(0,),2xf x πθθ=∈设21(log 7),2a f =4(log 3),b f =16(log 5),c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a c b >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >> 5.已知π3cos ,25α⎛⎫+=⎪⎝⎭且π3π,,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则tan α=（ ） A ．43B ．34 C ．3 4- D ．34± 6.设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D ．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量a r ，b r 满足a b a b +=-r r r r ，且3a =r，1b =r ，则向量b r 与a b -rr 的夹角为( )A. 3πB. 23π C.6π D. 56π9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为( )A ．84B ．56C ．35D ．2810.已知点M 是抛物线24x y =上的一动点,F 为抛物线的焦点,A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点,则MA MF +的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且b ＝2，A ＝2B ，则a 的取值范围为( )A. B ．(2, C. 4) D ．(0,4)12．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b +=的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB C D第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为 .14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若3s 7=，6s 63=，则1a =_______．15.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得函数图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小值为____________.16.在直三棱柱111C B A ABC -中，31=AA ，底面三边长分别为3、5、7，P 是上底面111C B A 所在平面内的动点，若三棱锥ABCP-的外接球表面积为3244π，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为_________________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
河南省郑州市2020年高中毕业班第一次质量预测数学文科试卷
河南省郑州市2020年高中毕业班第一次质量预测数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在答卷上的无效。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式()()()P A B P A P B =g g如果事件A 在一次实验中发生的概率是P343V R π=球那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合2{|10},{|20}A x x B x x x =-<=-≤，则 ()A B ⋂= A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x x <≥或D ．{|12}x x x ≤>或2．已知向量( 5.3),(2,)a x b x =--=，且a b ⊥，则由x ＝A ． 2或3B ．－1或6C ．6D ．23．已知双曲线的方程为22236x y -=，则此双曲线的离心率为A ．32B C ． D 4．已知2:231,:310p x q x x -<--<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若数列{}n a 的通项公式为23n a n =+，则13599a a a a ++++=…A ．5150B ．2700C ．9270D ．48606．设e 为椭圆221(2)2x y m m-=>-的离心率，且,1)2e ∈，则实数m 的取值范围为A ．（－1，0）B ．（－2，－1）C ．（－1,1）D ．（－2,－12） 7．函数12()xy x R -=∈的反函数的解析式为A ．21log (1)2xy x -=< B ．22log (1)1y x x =<-C ．22log (0)y x x=>D ．2log (0)2xy x =>8．若log 3log 30a b <<，则下面结论成立的是 A ．01a b <<< B ．01a b <<<C ．01b a <<<D ．01b a <<<9．线段AB 长为2，两个端点A 、B 分别在一个直二面角的两个面上，A B 和两个面所成的角分别是045和030，那么A 、B 在则个二面角的棱上的射影C 、D 间的距离是A ．1B ．12C ．2 D10．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为A ．－1B ．1或3C ．－2或6D ．0或411．若以连续掷骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 的直线5x y +=下方的概率为A ．16B ．14C ．112D ．1912．若曲线2y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．440x y -+= B ．440x y --=B ．4120x y --=D ．440x y --=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式251()x x+的展开式中4x 的系数为________ .（用数字作答） 14．在ABC ∆中，内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=_______。
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R【解答】解：由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【解答】解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+ii=1−i ， ∴z ＝﹣2﹣i ，∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．（5分）已知函数f(x)={(x −1)3，x ≤1lnx ，x ＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ） A ．1a +1＜1b +1B ．√a 3＞√b 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）【解答】解：易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√a 3＞√b 3正确． 故选：B ．4．（5分）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解：从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数g(x)=sin(2x +π4)的图象，则φ的最小值为（ ） A ．π4B ．3π8C ．π2D ．5π8【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−π4）的图象，即得到g(x)=sin(2x +π4)的图象， ∴2φ−π4=2k π+π4，k ∈Z ，∴φ的最小值为π4，故选：A ．6．（5分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣20【解答】解：根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2． 由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(a 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814． 根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．（5分）已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （π2−2α）＝（ ）A ．79B ．59C ．−59D ．−79【解答】解：由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23，∴cos α=√23，∴sin （π2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59．故选：C ．8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√5【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为F（c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ）， ∴MF 的中点坐标为（a+c 2，b2）．代入方程可得(a+c 2)2a −(b 2)2b =1，∴(a+c)24a 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？【解答】解：i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立；运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立；运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立；运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立；运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立，输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x1+x2＝2pk，∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：−1 k，∴|CD|＝2p（−1k）2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2＝4+4k2，∴p＝2，∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1，以下结论正确的个数为（）①当a＝0时，函数f（x）的图象的对称中心为（0，﹣1）；②当a≥3时，函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数；③若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a＜3；④当a＝12时，f（x）在[﹣4，5]上的最大值为15．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确．②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a ≥3，所以f '（x ）＜0在（﹣1，1）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）≥0，此时f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a ＞0． 令f '（x ）＝0，解得x =±√3a3．因为f （x ）在（﹣1，1）上不单调，所以f '（x ）＝0在（﹣1，1）上有解， 所以0＜√3a3＜1，解得0＜a ＜3，即③正确． ④令f '（x ）＝3x 2﹣12＝0，得x ＝±2．当x ∈[﹣4，5]时，f （x ）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣2）或f （5），因为f （﹣2）＝15，f （5）＝64，所以最大值为64，即④错误． 故选：C ．12．（5分）已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．√26B ．13C ．√23D ．1【解答】解：如图所示，由题意可得：ED ⊥平面ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．（5分）已知向量a →=（1，1），|b →|=√3，（2a →+b →）•a →=2，则|a →−b →|＝ 3 ． 【解答】解：由题意可得|a →|=√2，(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4， ∴a →⋅b →+4=2，解得a →⋅b →=−2，∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3． 故答案为：3．14．（5分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为 2 ． 【解答】解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．（5分）将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π ．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−ℎ√3=r 2，解得h =√3−√32r ． 故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√3r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(r+2−r )2=√3π．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3π． 故答案为：√3π．16．（5分）如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则2sinA+2sinB=4√103．【解答】解：由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ，cos A =AB 2+AD 2−BC 2−CD 22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =AB 2+BC 2−AD 2−CD 22(AB⋅BC+AD⋅CD)=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−cos 2B =√1−(119)2=6√1019． 所以2sinA+2sinB=2√10+6√10=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1＝2，且a n+1a n=2a n a n+1+1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝[lg （log 2a n ）]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1，求数列{b n }的前2020项和． 【解答】解：（I ）由题意，且a n+1a n=2a n a n+1+1，即a n+12−a n +1a n ﹣2a n 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数，∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n ．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n ）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤n ＜101，10≤n ＜1002，100≤n ＜10003，1000≤n ＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953．18．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，CC 1＝2，△ABC ，△ACC 1，均为正三角形，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC 1∥平面B 1CE ；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去三棱锥B 1﹣﹣CBE 后剩余部分的体积．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1∥平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ．因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为VB 1−BCE=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12， 而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^（其中a ^，b ^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中，b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ n i=1(t i −t)2，a ^=y −b t ．【解答】解（Ⅰ）根据题意，b=∑ni=1(t i−t)(y i−y)∑n i=1(t i−t)2=1.530.45=3.4，a=y−b t=6.8−3.4×0.54=4.964，∴y=3.4t+4.964．又t＝lgx，∴y=3.4lgx+4.964．∴x＝10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4，设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P=8 15．（ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为√3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32x +m ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{x 24+y 23=1y =−√32x +m，消去y 可得6x 2﹣4√3mx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3m 3，即x 1=2√3m3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=y 1x 1−2=−√32x 1+m x 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32x 2+m−√3x 2， 所以k 1k 2=−√32x 1+m x 1−2•−√32x 2+m−√3x 2，=34x 1x 2−√32m(x 1+x 2)+32x 1+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−√32m⋅2√3m 3+32(2√3m 3−x 2)+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−32x 2(x 1−2)x 2=34．故k 1k 2为定值．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=ax ，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点． h ′（x ）=1x 2x +m ＝m −116+（√x −14）2 ①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以1√x 1＞14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x14x 1＞0，所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，OP →=2OQ →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ）， 则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2， 设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα，（t 为参数）， 代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立， 此时l 的普通方程为x +y ﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：a 2+b 2+c 2≥13；（Ⅱ）求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2． 【解答】证明：（Ⅰ）∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|＝1， ∴a +b +c ≥1．∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ac ， ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝（a +b +c ）2≥1， ∴a 2+b 2+c 2≥13．（Ⅱ）∵a 2+b 2≥2ab ，2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b)，同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c)，√c 2+a 2≥√22(c +a)，三式相加，得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．。
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{1}B ．(1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．（5分）复数1(iz i i+=是虚数单位）在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设132a =，231()4b =，21log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．（5分）设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则()A ．若//αβ，则//l mB ．若//m α，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．3256．（5分）若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则2y x -的最小值是( )A ．1-B ．6-C ．10-D ．15-7．（5分）已知函数()y f x =的图象由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()y f x =的对称轴方程为( ) A ．212k x ππ=+，k Z ∈ B ．26k x ππ=+，k Z ∈ C ．12x k ππ=+，k Z ∈ D ．6x k ππ=+，k Z ∈8．（5分）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则(m = ) A ．5-或15B ．5或15-C ．21-或1D ．1-或219．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A ．22154x y += B ．221259x y +=C ．221169x y += D ．2212516x y +=10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC ∆为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．17πD 11．（5分）关于函数()sin |||cos |f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递减③()f x ④当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．（5分）已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x xx e x e e--=+-，则其实根的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab的最小值为 ．14．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若6OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2c o s (2A a C =，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足12a =，222345a a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11(*)(1)(1)n n n b n N a a -=∈++，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？20．（12分）设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数21()f x ax x ln x=--．（Ⅰ）若()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，求()f x 在点(1，f （1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()223f x f x ln +<-． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （Ⅰ）求不等式()f x m …的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …，求m 的取值范围．。
2020年高考数学模拟河南省洛阳市高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥γ，n⊥γ，则m∥nC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 5．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．46．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．7．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．98．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，将其图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，现将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x），若，则＝（）A．B．C．D．10．已知函数，若函数y＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3] C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）11．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．12．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A•tan C＝1，b＝3c cos A，则cos C＝．16．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？（2）若考生甲的成绩为280分，能否被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精确到个位，概率精确到千分位）19．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°．（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF．（2）点N为线段上CE一动点，求三棱锥F﹣CDN体积的取值范围．20．设函数f（x）＝x2﹣ax+lnx．（1）若当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：．21．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）求的值．（2）A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证：BQ∥PA1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥γ，n⊥γ，则m∥nC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α⊥γ，β⊥γ，得α∥β或α与β相交，故A错误；对于B，由m⊥γ，n⊥γ，利用线面垂直的性质可得m∥n，故B正确；对于C，由α⊥β，m⊂α，n⊂β，得m⊥n或m∥n或m与n相交不存在或m与n异面不存在，故C错误；对于D，由α∥β，m⊂α，n⊂β，得m∥n或m与n异面．∴判断正确的是B．故选：B．5．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．6．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．7．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，将其图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，现将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x），若，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用函数的周期求解ω，函数的图象的平移求解φ，通过伸缩变换求出g（x）的解析式，利用已知条件求解A，然后求解f（）即可．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，可得ω＝2，将其图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，可得y＝A sin（2x﹣+φ）0＜φ＜π，所以φ＝，所以φ＝．将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）＝A sin（x+），若，可得：＝A sin（+），可得A＝，∴f（x）＝sin（2x+），f（）＝sin（+）＝﹣sin＝，故选：B．10．已知函数，若函数y＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3] C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【分析】依题意，函数f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，作出图象，观察图象即可得解．解：依题意，函数f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，而当x＞0时，，作出图象如下图所示，由图象可知，m∈（﹣1，3）．故选：A．11．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．12．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A•tan C＝1，b＝3c cos A，则cos C＝．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．解：△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由于b＝3c cos A，则sin B＝3sin C cos A，则：sin（A+C）＝3sin C cos A，整理得：，故tan A＝2tan C，所以：，则：（负值舍去）．所以时，解得：．故答案为：16．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．∴a1+a4＝9，a1a4＝a2a3＝8．解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1（舍），解得q＝2，即数列{a n}的通项公式a n＝2n﹣1；（2）S n＝＝2n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+﹣＝﹣＝1﹣．18．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？（2）若考生甲的成绩为280分，能否被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精确到个位，概率精确到千分位）【分析】（1）设（0.002+0.0029+x）×100＝0.5，解得：x．可得其中位数．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000＝200.280～300分的人数为：0.0041×100×2000×＝164．进而判断出结论．解：（1）设（0.002+0.0029+x）×100＝0.5，解得：x＝0.0001．∴可得其中位数为：200+×（300﹣200）≈202．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000＝200．280～300分的人数为：0.0041×100×2000×＝164．而164+200＞300．∴考生甲的成绩为280分，不能被录取．19．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°．（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF．（2）点N为线段上CE一动点，求三棱锥F﹣CDN体积的取值范围．【分析】（1）如图所示，作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分别为P，Q．由∠ABC＝60°．可得CP＝BQ＝，QP＝AD＝1．DP＝．利用勾股定理的逆定理可得：BD⊥DC．利用平面BDEF ⊥平面ABCD，可得CD⊥平面BDEF，即可证明平面CDE⊥平面BDEF．（2）由平面CDE⊥平面BDEF．BD⊥DE．可得BD⊥平面CDE．设点N到平面ABCD的距离为h，h∈（0，]．三棱锥F﹣CDN体积V＝BD•DC•h，即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分别为P，Q．由∠ABC＝60°．可得CP＝BQ＝，QP＝AD＝1．DP＝．∴BD2＝DP2+BP2＝3，∴BD2+DC2＝4＝BC2．∴BD⊥DC．∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD．∴CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面BDEF．（2）解：∵平面CDE⊥平面BDEF．平面CDE∩平面BDEF＝DE．BD⊥DE．∴BD⊥平面CDE．设点N到平面ABCD的距离为h，h∈（0，]．三棱锥F﹣CDN体积V＝BD•DC•h＝××1×h＝h∈．20．设函数f（x）＝x2﹣ax+lnx．（1）若当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：．【分析】（1）对f（x）求导，根据x＝1时，f（x）取得极值，求出a的值，再令导数f'（x）＞0，f'（x）＜0，分别求解单调增区间与单调减区间即可；（2）证明不等式，则需证明，不妨设x2＞x1＞0，即证＞，令，则，求函数h（t）的取值范围即可．解：（1），∵x＝1时，f（x）取得极值．∴f'（1）＝0，a＝3．∴，解f'（x）＞0得，或x＞1；解f'（x）＜0，得，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（2），∵f（x）存在两个极值点，∴方程f'（x）＝0即2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有两个不等实根．∵，，∴．＝∴所证不等式等价于，即．不妨设x2＞x1＞0，即证，令，，则，∴h（t）在（1，+∞）上递增，∴h（t）＞h（1）＝0，∴成立，∴成立．21．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）求的值．（2）A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证：BQ∥PA1．【分析】（1）设直线AB的方程为（t为参数，α不为90°的倾斜角），代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值；（2）设直线AB的方程为y＝kx+2，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线平行的条件，由直线的斜率公式，化简计算可得证明．解：（1）设直线AB的方程为（t为参数，α不为90°的倾斜角），代入抛物线C：x2＝4y可得t2cos2α﹣4t sinα﹣8＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，可得t1+t2＝，t1t2＝﹣，＝+＝＝＝＝＝；（2）证明：设直线AB的方程为y＝kx+2，联立x2＝4y，可得x2﹣4kx﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，由A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2），可得中点Q（，﹣2），即Q（2k，﹣2），可得k BQ＝＝，＝＝﹣，由k BQ﹣＝＝＝0，即＝k BQ，可得BQ∥PA1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．。
2020年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x ≤﹣2或x ≥3}，B =N ，则B ∩（∁R A ）=（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1}C ．{﹣1，0}D ．{0，1，2}【答案】D【命题意图】本题主要考查补集的求法及交集，以及数集的定义，属于基础题比较简单 【解析】由题意可知∁R A =（﹣2，3），∵B =N ，∴B ∩（∁R A ）={0，1，2}，故选D ． 【点评】首先求出∁R A =（﹣2，3），在根据交集求解 2．复数i1ia ++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】A【命题意图】本题主要考查复数的乘除法，需要注意除法定义， 要掌握复数的基本概念，属于基础题. 【解析】∵()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a +-++-==+++-，要保证原式的实部小于虚部，只需要1122a a +-<， 则a <0．所以实数a 的取值范围是（﹣∞，0）．故选A ．【点评】先将复数化为i a b +的形式，再根据实部虚部的定义进行大小比较列出不等式进行求解. 3．已知非零向量a r，b r，则“a r •b >r0”是“向量a r，b r夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【命题意图】本题考查向量点乘积与向量夹角之间的关系，需要注意向量共线夹角为0︒ 或者是180︒，需要一定推理能力和逻辑思维能力，属于基础题．【解析】由题意知，a r 与 b r 非零向量，“向量a r与 b r 夹角为锐角”⇒“0a b ⋅>r r ”， “0a b ⋅>r r ”推不出但是两向量夹角为锐角，可能同向共线．因此“0a b ⋅>r r ”是“向量a r与 b r 夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B ．【点评】容易忽略向量共线的情况，向量同向点乘积为正但是夹角为0，通过这一特例，即可判断出结论．4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点（1，﹣2），则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】D【命题意图】本题考查正切函数定义及倍角公式的带入求值，较为简单，属于基础题.【解析】由三角函数定义，tan α=﹣2，又因为tan2α22tan 441tan 143αα-===--．故选D ．【点评】三角函数定义可知tan α，通过倍角公式tan2α22tan 1tan αα=-计算求解． 5．已知定义在[m ﹣5，1﹣2m ]上的奇函数f （x ），满足x >0时，f （x ）=2x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．﹣15 B ．﹣7C ．3D ．15【答案】A【命题意图】主要考查奇函数定义，定义域关于原点对称，带入求值即可得到答案，属于基础题. 【解析】根据奇函数定义域关于原点对称可得，m ﹣5+1﹣2m =0， 即m =﹣4，又因为x >0时，f （x ）=2x ﹣1， 所以f （m ）=f （﹣4）=﹣f （4）=﹣15．故选A ．【点评】奇偶函数的前提条件就是定义域关于原点对称，根据这个求出m 的值，再根据奇函数定义求出f （m ）的值6．某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有（ ）A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人【答案】D【命题意图】本题主要考查频率直方图跟饼状图的主要定义及计算，属于根据样本估计总体的题目类型，基础题目.【解析】根据频率直方图跟饼状图，可以得到抽取的总人数10÷20%=50，C 所占的百分比为：12÷50=0.24， 因此C 级及以上的级别学生共有：1000×（0.24+0.2+0.46）=1000×0.9=900，故选D ．【点评】根据频率直方图跟饼状图，计算出抽取的总人数在计算C 的百分比，即可达到答案7．2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为（ ）米．A ．B ．30C ．D ．35【答案】B【命题意图】主要考查了解三角形及解三角形在现实生活中的实际应用，该类问题需要将现实问题转化为数学模型，通过数学知识解决问题，属于中档题.【解析】由题意及图可知，∠AEC =45°，∠ACE =180°﹣60°﹣15°=105° 则∠EAC =180°﹣45°﹣105°=30° 根据正弦定理sin sin CE ACEAC CEA=∠∠即CE sin ∠EAC =AC sin ∠CEA ，即AC sin sin CE CEAAC EAC∠===∠因此在直角△ABC 中，AB =AC •sin ∠ACB =30米 综上旗杆的高度为30米,故选B ．【点评】通过题目已知条件求得∠AEC 和∠ACE ，即可求出∠EAC ，根据正弦定理求出AC ，再在直角△ABC 中利用AB =AC •sin ∠ACB 即可求得AB 的长．8．设函数f（x）=a ln x+bx3在点（1，﹣1）处的切线经过点（0，1），则实数a+b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【答案】C【命题意图】主要考查切线方程以及导数的几何意义，通过题意列等式求解方程组，最后即可求得未知数的值，考查计算能力及导数的掌握，属于中档题.【解析】根据题意可知，f′（x）ax=+3bx2，x>0．f′（1）=a+3b，因此函数f（x）在点（1，﹣1）的切线方程是y+1=（a+3b）（x﹣1）．又因为切线经过点（0，1），所以1+1=（a+3b）（0﹣1），化简得到a+3b=﹣2．又因为f（1）=﹣1，代入函数f（x）表达式，得b=﹣1．所以a=﹣2﹣3b=1，则a+b=0．故选C．【点评】根据在点过点求出切线方程，函数f（x）满足点（1，﹣1），再根据导数等于切线的斜率可以求得关于a、b的两个等式，解方程组即可得到a、b的值，即可求得a+b．9．已知{F n}是斐波那契数列，则F1=F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n=（）A．10B．18C．20D．22【答案】B【命题意图】本题主要考查程序框图的循环结构，需要通过模拟运行，得出结果，是基础题.【解析】根据框图可知i=1，a=1，b=1，满足i<10，则循环，输出斐波那契数列的前2项，a=2，b=3，i=2满足i<10，则循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，a=5，b=8，i=3重复进行，每次循环，输出了斐波那契数列的2项，i=9时，共输出了斐波那契数列的前18项，得到i=10，不满足条件，退出循环体．因此该程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，n=18．故选B．【点评】通过程序框图知，程序的功能是循环结构计算并输出变量a，b的值，通过计算程序的运行过程，分析循环中变量变化情况，最终得到答案．10．已知双曲线C：22221(00)x ya ba b-=>>，的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2=a2+b2与C在第一象限的交点为M，若△MF1F2的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A B C．2D【答案】A【命题意图】主要考查双曲线的定义，性质，以及离心率的求法，根据直径所对的圆周角为直角及勾股定理等内容，联立求得a,c之间的关系，考查基本知识及计算化简能力，属于中档题.【解析】假设设|MF1|=m，|MF2|=n，根据双曲线的定义可知m﹣n=2a，①根据|OM|=|ON|，|OF1|=|OF2|，则四边形F1NF2M为平行四边形，在圆O：x2+y2=a2+b2=c2中，根据直径所对的圆周角为直角，可知四边形F1NF2M为矩形，则m2+n2=4c2，②且S12=mn=ab，③根据①②③可得4c2﹣4ab=4a2，即b=a，得eca==A．【点评】假设|MF1|=m，|MF2|=n，根据双曲线的定义、勾股定理以及矩形的周长和面积公式，联立化简求值，可得a，c的关系．最终得到离心率ca．11．将函数f （x ）=a sin x +b cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到g （x ）的图象，若g （x ）的对称中心为坐标原点，则关于函数f （x ）有下述四个结论： ①f （x ）的最小正周期为2π ②若f （x ）的最大值为2，则a =1 ③f （x ）在[﹣π，π]有两个零点 ④f （x ）在区间[5π6-，π6]上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②④D ．①③【答案】D【命题意图】本题主要借助于命题形式考查三角函数图像性质，平移，单调，对称等内容，需要一定的计算能力及推理能力，属于中档题.【解析】f （x ）=a sin x +b cos xx x ⎫=⎪⎭()x θ=+．根据题意f （x ）向右平移π3个单位长度得到g （x ）的图象，即g （x ）π3x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又因为g （x ）的对称中心为坐标原点，所以πsin 03θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππ3k θ-=，则θππ3k =+，k ∈Z ．所以f （x ）ππ3x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以f （x ）的最小正周期T =2π，故①正确；如果f （x ）的最大值为22=，a 不一定为1，因此②错误； 由f （x ）=0，得sin （x ππ3k ++）=0，即sin （x π3+）=0，在[﹣π，π]有两个零点π3-，2π3， 因此③正确； 当x ∈[5π6-，π6]时，x ππ3k ++∈ππππ22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，当k 为偶数时，f （x ）单调递增，当k 为奇数时，f （x ）单调递减，因此④错误． 所以其中正确结论是①③．故选D ．【点评】根据辅助角公式化简，再结合函数左加右减上加下减的性质，以及三角函数对称性求出θ，最后得到函数f （x ）的解析式，然后再根据解析式分别求解周期，零点，最值单调性为题．12．已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）A ．2B CD ．4【答案】B【命题意图】主要考查空间想象能力、计算能力及线面角的大小关系，利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，属于困难题．【解析】通过转化分类的思想，跟所有的棱成的角相等，实际上只要跟两两互相垂直的三条棱所成的角相等即可．如图所示正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等， 根据图示所截得的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），的等边三角形，因此正方体在平面α内的正投影面积为S =212⨯=B ．【点评】通过题意可以得到正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形，的等边三角形，可以求出正方体在平面α内的正投影面积． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()26a =-r，，()3b m =r ，，若a b a b +=-r r r r ，则m =__________．【答案】1【命题意图】主要考查向量线性运算中比较特殊的对角线相等，可得垂直，再根据垂直点乘积为0，可得到m 的值，属于基础题．【解析】由题意可知若a b a b +=-r r r r ，相当于平行四边形对角线相等，即矩形，则a r •b =r0，得2×3﹣6m =0，则m =1，故答案为：1．【点评】先根据模长相等，再根据向量垂直的充要条件点乘积为0，即a r •b =r0，再求出m 的值．14．已知点A （0，2），动点P （x ，y ）的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则|P A |的最小值是__________．【命题意图】本题主要考查数形结合及转换思想，转化为点到直线的距离公式，属于中档题.【解析】由题意可知，可以在平面直角坐标系中表示出动点P （x ，y ）的可行域，如图所以：由图可知，|AP |的最小值可转化成为点A 到直线y =x 的距离d ==．【点评】根据题意转化为点到直线的距离的最小值．15．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点M 0出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点N 0出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形．假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是__________．【答案】121【命题意图】本题主要考查几何概型，概率只与长度，面积或体积的大小有关，与位置无关．首先求出各个部分的面积，再根据目标事件的面积比总面积，最后得到概率，具体步骤为求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P ()N A N=求解．属于基础题.【解析】如图所示：根据题意可知点M 运动两秒钟，OM 扫过的是半径为2，圆心角为120°的扇形AOB ； 面积为：120360⨯π×224π3=； 点N 运动两秒钟，ON 扫过的是半径为1，圆心角为180°的扇形COF ；面积为：12π×1212=π； 公共部分是半径为1，圆心角为30°的扇形COD ；面积为：30360⨯π×12π12=；所以概率为：p π1124π1π21π3212==+-．因此答案为：121．【点评】主要考查几何概型，目标面积比总面积为所求概率，通过该内容转化为求扇形面积问题． 16．若数列{a n }满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{a n }为“差半递增”数列．若数列{a n }为“差半递增”数列，且其通项a n 与前n 项和S n 满足()*221n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】（﹣∞，12） 【命题意图】本题为新定义题型，但是核心还是考查数列通项公式的求法，考查一定的推理能力及计算能力，属于中档题.【解析】由题意知S n =2a n +2t ﹣1，则S n ﹣1=2a n ﹣1+2t ﹣1， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1，即12nn a a -=， 又因为S 1=2a 1+2t ﹣1，所以a 1=1﹣2t ， 则数列{a n }是公比为2的等比数列， 因此a n =a 1×2n ﹣1=（1﹣2t ）×2n ﹣1，112n a -=（1﹣2t ）×2n ﹣2， 所以a n 12-a n ﹣1=3（1﹣2t ）×2n ﹣3，a n +112n a -=3（1﹣2t ）×2n ﹣2，（a n +112n a -）﹣（a n 12-a n ﹣1）=3（1﹣2t ）×2n ﹣2﹣3（1﹣2t ）×2n ﹣3>0，即t 12<，故答案为：（﹣∞，12）．【点评】根据S n =2a n +2t ﹣1，则S n ﹣1=2a n ﹣1+2t ﹣1，两式相减，得到a n =2a n ﹣2a n ﹣1，则12nn a a -=，又因为S 1=2a 1+2t ﹣1，所以a 1=1﹣2t ，则数列{a n }是公比为2的等比数列，求得通项公式，再根据题意代入化简求值即可得到答案.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．已知等差数列{a n }满足a n +1+n =2a n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．【命题意图】题目主要考查等差数列的定义、通项公式，求和，裂项相消，主要注意充分利用题目中所给条件，主要两式相减得到公差，最后求得通项公式，需要一定计算化简能力及推理能力，属于中档题． 【解析】（1）根据题意可知{a n }等差数列，设公差为d ．则①当n ≥2时，1121121n n nn a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩，两式相减可得d +1=2d ，即d =1，②当n =1时，a 2+1=2a 1+1，即 a 1=1． 因此a n =1+n ﹣1=n ；（2）()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111112212122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 【点评】（1）根据等差数列，可以表示出1n a +与n a 的关系，即相差公差d ，将n 换为n ﹣1，两式相减可得公差d =1，再令n =1，即可得到1a ，从而求得通项公式； （2）根据等差数列前n 项和可知S n ，即可得到()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由裂项相消，即可得到所求和．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （1，0），动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度． （1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=-u u u r u u u r，求直线l 的方程．【命题意图】该题考查抛物线的定义及直线与圆锥曲线的位置关系，需要注意分情况讨论，需要一定的计算能力及推理能力，属于中档题．【解析】（1）根据点F 是否在定直线上分类讨论，1.当F 点不在定直线上时，由抛物线的定义可知，动点Q 的轨迹是以F 为焦点，以x =﹣1为准线的抛物线，即动点Q 的轨迹方程E 为：y 2=4x ． 2.当F 点在定直线上时，动点Q 的轨迹方程E ：y =0（x <0）， 综上所述，动点Q 的轨迹方程E 为：y =0（x <0）或y 2=4x（2）①当l 的斜率不存在时，直线垂直于x 轴，与题目已知条件48FA FB ⋅=-≠-u u u r u u u r矛盾，不符合条件，舍去；②当l 的斜率存在且不为0时，设l ：y =k （x ﹣1），()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，联立方程组得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可知212224k x x k ++=，x 1•x 2=1．由于向量FA u u u r ，FB u u u r方向相反，所以()()()1212122411148FA FB FA FB x x x x x x k ⎛⎫⋅=-=-++=-+++=-+=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，即k 2=1，即k =±1，因此直线l 的方程为y =x ﹣1或y =﹣x +1． 【点评】（1）根据题意可知满足抛物线定义，求出Q 的轨迹方程；（2）假设直线方程跟抛物线联立方程组，根据韦达定理及数量积的定义可得直线方程.注意讨论直线斜率是否存在.19．底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA =DH =DB =4，AE =CG =3． （1）求证：EG ⊥DF ；（2）求三棱锥F ﹣BEG 的体积．【命题意图】该题主要考查线线垂直的证明及体积的求法，线线垂直通过线面垂直转化得，再根据几何知识证明，需要空间想象能力及推理能力，考查几何体的体积求法，属于中档题.【解析】（1）连接AC ，由AE ∥CG ，AE =CG ，得四边形AEGC 为平行四边形，∴EG ∥AC ， 根据题意得AC ⊥BD ，AC ⊥BF ，∴EG ⊥BD ，EG ⊥BF ， ∵BD ∩BF =B ，∴EG ⊥平面BDHF ， 又DF ⊂平面BDHF ，∴EG ⊥DF ； （2）设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ， 根据题意可知，面ADHE ∥面BCGF ， ∴EH ∥FG ，同理EF ∥HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，得P 为EG 的中点， 又O 为AC 的中点，∴OP ∥AE 且OP =AE ，由OP =3，DH =4，根据梯形中位线定理得BF =2． ∴142BFG S BF BC =⨯⨯=V ． ∵EA ∥FB ，FB ⊂面BCGF ，EA ⊄面BCGF ，∴EA ∥面BCGF ，∴点A 到面BCGF 的距离等于点E 到面BCGF 的距离，为∴13F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---===⨯=V ．【点评】（1）证明线线垂直转化为线面垂直，一条直线垂直于一个平面则垂直于平面内所有直线．连接AC ，知四边形AEGC 为平行四边形，得EG ∥AC ，再证EG ⊥BF ，得EG ⊥平面BDHF ，可得EG ⊥DF ； （2）求体积中点求点到平面的距离即几何体的高，设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ，证EH ∥FG ，EF ∥HG ，得四边形EFGH 为平行四边形，则P 为EG 的中点，由OP =3，DH =4，梯形中位线定理得BF =2．求出三角形BFG 的面积，再证EA ∥平面BCGF ，可得A 到平面BCGF 的距离等于E 到平面BCGF 的距离．再根据等积法求三棱锥F ﹣BEG 的体积．20．某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．（i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．【命题意图】该题主要考查了统计抽样方法及古典概型的计算问题，需要一定的分析能力及推理能力，属于中档题.【解析】（1）根据系统抽样抽取，得到的编号组成以25为首项，以90为公差的等差数列， 因此样本编号之和即为该数列的前10项之和， 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=； （2）（i ）根据分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个， 按照分值降序排列分别记为x 1，x 2，…，x 6；同理B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y 1，y 2，y 3，y 4； 记样本平均数为x ，样本方差为s 2； 根据题意得()()126123456 5.545.21010x x x y y y y x +++++++⨯+⨯===L ，()()2222( 5.2)[50.2](5)20.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+，i =1，2， (6)()()2222( 5.2)[ 5.50.3]( 5.5)20.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+，i =1，2， (4)()()()()()222222126145.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-++-+-++-=L L222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===；根据样本估计总体可知该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．（ii ）根据选做题阅卷分值都是整数，且选取的样本中，A 、B 题目成绩的中位数都是5.5， 容易得知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为x 1，x 2，x 3； B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为y 1，y 2；因此从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，分别为： （x 1，x 2），（x 1，x 3），（x 2，x 3），（y 1，y 2），（x 1，y 1）， （x 2，y 1），（x 3，y 1），（x 1，y 2），（x 2，y 2），（x 3，y 2）， 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，分别为： （x 1，y 1），（x 2，y 1），（x 3，y 1），（x 1，y 2），（x 2，y 2），（x 3，y 2）；记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ，所以()63105P A ==． 【点评】（1）理解系统抽样的定义，相隔距离相同，即等差数列，计算编号之和即为该数列的前10项和，即可求出；（2）（i ）根据题意可以计算样本的平均数与方差，再根据样本估计总体平均数和方差；（ii ）根据题意可知样本汇总A 、B 题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 21．已知函数()sin x af x x e=+，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当a =1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）若函数f （x ）在π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，上存在极值点，求实数a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查含有参数的导数极值点问题及恒成立问题，需要进行分类讨论，需要考虑全面，计算量大，属于困难题． 【解析】（1）将a =1代入，则()1sin x f x x e =+，求导得()1'cos xf x x e -=+， 当x ∈（﹣∞，0]时，0<e x ≤1，则11xe -≤-，又因cos x ≤1， 因此当x ∈（﹣∞，0]时，()1'cos 0x f x x e-=+≤，仅x =0时，f '（x ）=0，所以f （x ）在（﹣∞，0]上是单调递减，因此f （x ）≥f （0）=1，即f （x ）≥1． （2）()'cos xa f x x e -=+，因π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以cos x >0，e x >0， 分类讨论①当a ≤0时，f '（x ）>0恒成立，因此f （x ）在π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，没有极值点． ②当a >0时，()'cos x a f x x e -=+在区间π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单增， 由π2π'02f a e ⎛⎫-=-⋅< ⎪⎝⎭，f '（0）=﹣a +1．可知当a ≥1时，π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，f '（x ）≤f '（0）=﹣a +1≤0， f （x ）在π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单减，无极值点．当0<a <1时，f '（0）=﹣a +1>0，所以存在0π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，使f '（x 0）=0， 当0π2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，f '（x ）<0，x ∈（x 0，0）时，f '（x ）>0， 所以f （x ）在x =x 0处取得极小值，x 0为极小值点．综上所述，若要函数f （x ）在π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，上存在极值点，即实数a ∈（0，1）．【点评】（1）证明恒成立问题将a =1代入函数，在求导求极值最值证明即可；（2）存在极值点，即导函数存在变号零点，对f （x ）求导，()'cos xaf x x e -=+，再对a 进行分类讨论，判断函数f （x ）的极值情况，再确定a 的范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程； （2）设P 是曲线C 1上一点，此时参数φπ4=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转π3交曲线C 2于点Q ，记曲线C 1的上顶点为点T ，求△OTQ 的面积．【命题意图】本题考查参数方程极坐标方程以及直角坐标方程的互相转化，需要对三者之间关系理解掌握，需要一定的计算能力，属于中档题.【解析】（1）由sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），消参φ，得曲线C 1的直角坐标方程方程为2212x y +=， 根据x =ρcos θ，y =ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ﹣2=0．根据ρ=ρ2=2，得C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2；（2）当φπ4=，P （1，2），sin ∠xOP 3=，cos 3xOP ∠=，由题意将射线OP 绕原点O 逆时针旋转π3，交曲线C 2于点Q ，又因为曲线C 1的上顶点为T ，可得|OQ |=|OT |=1，则根据三角形面积公式可得1π1sin 262OTQS OQ OT xOP ⎫⎛⎫=⋅⋅-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V ．【点评】（1）根据sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），消参φ，即可得到曲线C 1的直角坐标方程，再结合x =ρcos θ，y =ρsin θ，可以得到曲线C 1的极坐标方程．根据ρ=ρ2=2，即C 2的直角坐标方程可求；（2）当φπ4=，P （1），sin ∠xOP =，cos xOP ∠=，由题意进行旋转，交曲线C 2于点Q ，又因为曲线C 1的上顶点为点T ，可以求出|OQ |=|OT |=1，再求出∠QOT 的正弦值，代入三角形面积公式即可求解． [选修4–5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）b c aa b c++≥3；（2>2． 【命题意图】本题考查了不等式的基本性质以及基本不等式的推广，需要对不等式的相关知识加以掌握，考查逻辑推理证明能力，属于中档题．【解析】（1）a ，b ，c >0，b c a a b c++≥3=；当且仅当a =b =c 时等号成立，因此原命题成立；（2）由题意可知a ，b ，c 分别为一个三角形的三边长，要证>2，转化为证明()22a b c >++，只需要证a b c +>++，则2b c a +=++>>a =>，b +>c >，左右累加可得a b c >++，因此命题成立.【点评】（1）根据基本不等式的推广，三元基本不等式即可证明；（2>2，即证()22a b c +>++，只需证a b c ++>++，根据2b c a =++>+>a =>，三式相加即可得到结论．。
2020届河南省高考数学文科适应性试卷(1)(有答案)(加精)
河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（1）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，2，4}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．4 C．2 D．3．函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．4．某中学对1000名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于80分为优秀，则优秀人数是（）A．250 B．200 C．150 D．1005．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣26．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），且其渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．x2﹣=17．给出下列四个结论：①已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③函数f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴是x=；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．139．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．2710．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣311．已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n的值为（）A．24 B．23 C．22 D．1112．函数f（x）=的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知P（x，y）在不等式组所确定的平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．15．已知正实数x，y满足xy+x+y=17，则x+2y+3的最小值为______．=a n+，a1=，S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的n∈16．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+1N*，不等式≥1恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，c=2，求△ABC的面积．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）100 102 108 114 116PM2.5的浓度y（微克/立方米）78 80 84 88 90（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，点E为AB上一点，且=m，点F为PD中点．（Ⅰ）若m=，证明：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={0，2，4}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={0，2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}，则集合A∪B中元素个数为4，故选：C，2．如果复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．4 C．2 D．【考点】复数求模．【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则|z|=||===．故选：D．3．函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．4．某中学对1000名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于80分为优秀，则优秀人数是（）A．250 B．200 C．150 D．100【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出优秀学生的人数．【解答】解：由频率分布直方图得，优秀学生的频率为：（0.015+0.010）×10=0.25，∴这1000名学生中优秀人数是：1000×0.25=250．故选：A．5．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得tanθ=2，而sin2θ+6cos2θ=，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ=2可得答案．【解答】解：由题意可得向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ====2．故选：B．6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），且其渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），可得c=4，a2+b2=16，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=3的圆心（2，0），半径为．渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，可得：，解得b=2，a=2，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：C．7．给出下列四个结论：①已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③函数f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴是x=；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据直线垂直的等价条件进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的对称性进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0时，l2：x+1=0，若l1⊥l2，则a=0，此时满足a=﹣3b，综上l1⊥l2的充要条件是a=﹣3b；故①正确；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x=时，f（）=2sin（2×+）=2sin=﹣2，为函数的最小值，则此时函数关于x=对称，故③正确，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2.5个单位．故④错误，故正确是①③，故选：B8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】绘制结构图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选：A9．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．27【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．10．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】函数的值．【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln （）﹣，从而求得．【解答】解：由题意知，f（a）=ln（2a+）﹣=1，故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣=﹣ln（2a+）﹣2+=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3，故选：D．11．已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n的值为（）A．24 B．23 C．22 D．11【考点】数列的函数特性．【分析】由{a n}为等差数列，且它的前n项和S n有最大值，得数列的公差d小于0，再由＜﹣1，得到a13＜0＜a12，由此求得S n取得最小正值时的n的值．【解答】解：∵S n有最大值，∴d＜0则a12＞a13，又＜﹣1，∴a13＜0＜a12，∴a12+a13＜0，S24=12（a1+a24）=12（a12+a13）＜0，S23=23a12＞0，又a1＞a2＞…＞a12＞0＞a13＞a14，S12＞S11＞…＞S2＞S1＞0，S12＞S13＞…＞S23＞0＞S24＞S25，又∵S23﹣S1=a2+a3+…+a23=11（a12+a13）＜0，∴S23为最小正值．故选：B．12．函数f（x）=的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数．【解答】解：当x≤0时，f（x）=﹣x2+2x+3，令f（x）=0，x＜0，解得x=﹣1．当x＞0时，f（x）=|lnx|﹣2，令f（x）=0解得lnx=±2，解得x=e2或x=e﹣2．故函数f（x）=的零点个数为3，分别为﹣1，e﹣2、e2故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知P（x，y）在不等式组所确定的平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（9，﹣1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线=﹣2x+z过A（9，﹣1）时，z最大，z的最大值是17，故答案为：17．14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为50π．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算． 【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， ∵长方体的对角线长等于球的直径， ∴2R==5， ∴R=， 外接球的表面积S=4πR 2=50π． 故答案为：50π． 15．已知正实数x ，y 满足xy +x +y=17，则x +2y +3的最小值为 12 ．【考点】基本不等式．【分析】由xy +x +y=17，可得x=＞0，解得0＜y ＜17．可得x +2y +3=+2y +3=+2（y +1），再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由xy +x +y=17，可得x=＞0，解得0＜y ＜17． ∴x +2y +3=+2y +3=+2（y +1）≥=12，当且仅当y=2，x=5时取等号． 故答案为：12．16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式≥1恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 【考点】数列的求和．【分析】由各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，变形为：a n +1﹣=（a n ﹣），利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式可得：a n ，S n ，不等式≥1化为：，再利用数列的单调性即可得出． 【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，∴a n +1﹣=（a n ﹣），∴数列成等比数列，首项为3，公比为． ∴a n ﹣=，可得：a n =+，S n =+3×=+6，∴12+n ﹣2S n =． ∴不等式≥1化为：，∵数列单调递减， ∴．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，c=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及平面向量数量积运算可得ccosB+（b﹣2a）cosC=0，利用正弦定理可得sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，可求cosC=，又C∈（0，π），从而可求C的值．（Ⅱ）利用余弦定理可得（a+b）2﹣3ab=c2，可解得ab，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．∴ccosB+（b﹣2a）cosC=0，∴sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，…3分可得：sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，又∵C∈（0，π），∴C=…6分（Ⅱ）∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴（a+b）2﹣3ab=c2，可得：36﹣3ab=12，解得：ab=8…10分=absinC=2×8×=2…12分∴S△ABC18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）100 102 108 114 116PM2.5的浓度y（微克/立方米）78 80 84 88 90（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）将x=200代入回归方程计算．【解答】解：（Ⅰ）×=108，（78+80+84+88+90）=84．=（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6=144，=（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82=200．∴=，=84﹣0.72×108=6.24．∴y关于x的线性回归方程为=0.72x+6.24．（II）当x=200时，=0.72×200+6.24=150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，点E为AB上一点，且=m，点F为PD中点．（Ⅰ）若m=，证明：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，推导出四边形AEMF为平行四边形，由此能证明直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，求出AE=ADcos30°=，推导出平面PDE⊥平面PAB，由此能求出存在一个常数m==．使得平面PED⊥平面PAB．【解答】证明：（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，∵点M为PD的中点，∴FM=CD，∵m=，∴AE==FM，又FM∥CD∥AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．解：（Ⅱ）存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，此时AB=AD=2，∠DAB=30°，∴AE=ADcos30°=，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面PDE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PDE⊥平面PAB，∴m==．20．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）构造函数m（x）=+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2﹣1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=﹣+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，g（x）=e x﹣ex+1．g'（x）=e x﹣e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a﹣1，∴a≤2．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由圆O的方程为x2+y2=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=﹣，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x2+y2=4，①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，），∵，解得t=﹣2．②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），∴直线OQ：y=﹣，则P（x0，kx0），Q（﹣tx，t），在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，∴=2，即=4[（x0+kt）2+（kx0﹣t）2]，，∴，∴，又由，∴，又由，∴，∴，∴=0，∴t2=8，解得t=．∴点Q的纵坐标的值为．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；（II）利用圆的性质可得=．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是==．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC2=BD•BE，代入解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴=．∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△CBD∽△EBC，∴==．设BD=x，BC=3x，又BC2=BD•BE，∴（3x）2=x•（x+4）．解得：x1=0，x2=，∵BD=x＞0，∴BD=．∴OA=OB=BD+OD=．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的复合函数形式，通过讨论x的范围，求出各个阶段上的x的范围，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为：|ab+1|＞|a+b|，通过作差法证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣1≥9，解得：x＜﹣5，当﹣3≤x≤2时，f（x）≥9不成立，当x＞2时，由2x+1≥9，解得：x≥4，∴不等式的解集是{x|x≤﹣5或x≥4}；（Ⅱ）证明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab+1）2﹣（a+b）2=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|，故所证不等式成立．。
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2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B．2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DB A 1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。