光的发射和吸收解析

8.ξ光的发射和吸收的半经典处理

关于原子结构的认识，主要来自对光（辐射场）与原子相互作用的研究， 在光照射下，原子可能吸收光而从低能级跃迁到高能级，或从较高能级跃迁到较

低能级而放出光，这分别叫光的吸收和受激辐射，实验还观察到没有外界光照射原子从激态发光跃迁到低能级而发光的自发辐射现象。

对原子吸收或放出的光进行光谱分析，可获得原子能级及相关性质的知识，光谱分析中有两个重要观测量——谱线频率和谱线相对强度。前者取决于初末态的能量差，后者则与跃迁速率成正比。

光的吸收与辐射，涉及到光子的产生和湮灭，严格处理要用量子电动力学，即要把电磁场量子化（光子就是电磁场量子）。但对光的吸收和受激辐射，可用半经典方法处理。即把光子产生和湮灭的问题，转化为在电磁场作用下原子在不同能级之间跃迁的问题，此时，原子被作为一个量子力学体系对待；但辐射场仍用一个连续变化的电磁场来描述，并未进行量子化，即把光辐射场作为一个与时间有关的外界微扰，用微扰论近似计算原子的跃迁几率。这个办法对处理自发辐射（无外界微扰——原子的H ∧

是守恒量，如果初始时刻原子处于某定态——H ∧的本征态，则原子应保持在该定态，不会跃迁到较低能级，没有自发辐射）无能为力。但有趣的是，爱因斯坦在量子力学和量子电动力学建立之前，基于热力学和统计物理中平衡概念的考虑，回避了光子的产生和湮灭，巧妙地说明了原子的自发辐射。

1.爱因斯坦的发射和吸收系数

如下图：

自发发射系数mk A ：原子的单位时间内由m ε能级自发跃迁到k ε能级的几率。 受激发射系数mk B 吸收系数mk B ：设作用于原子的光波在d ωωω→+频率范围的能量密度是()I d ωω，则在单位时间内原子m ε能级受激跃迁到k ε能级并发出能量为mk ω的光子几率为()mk B I ω；原子由k ε能级吸收能量mk ω的光子并跃迁到m ε能级的几率为()mk B I ω。

利用热平衡条件及普朗克里体辐射公式推得，三个系数之间的关系为：

332,mk mk km mk mk B B A B c ωπ

== 2、用微扰理论计算发射和吸收系数。

光射到原子上时，光波中的电场E →和磁场B →都会对原子中的电子产生作用，但相对于电场的作用，磁场对电子的作用弱的多，可以忽略，只考虑电场的作用，作用范围是原子大小范围——电子出现的空间。

对可见光，λ在()10100400070001010m a m --⨯≈（原子线度），于是在原子范围内，电场变化很小，可以看作均匀电场。

①设入射光为单色平面波，0cos x E E E t ω==则电子在此电场中的势能为： '0cos x H exE exE t ω==，它远小于电子在原子中的势能，可看作微扰。将'H 写成

指数形式，有：()'

02i t i t eE x H e e ωω-=+与P156（5.7.9）式比较：现在012F eE x ∧=。 于是，单位时间内原子由k Φ态跃迁到m Φ态的几率为：

()()()22220222022

2k m mk m k mk m k mk mk W F e E x e E x πεεωπεεωπωω→=

δ--=δ--=δ-

由电动力学知，电磁波的能量密度是：

220011122E D H B E B εμ→→→→⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 所以光波在一个周期内的平均值为：

()22200022

2

211223

4s

k m mk mk B I E E e I x πεεμπωωω→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴=δ- ②实际光源发出的光并非单色光，而是在一定的频率范围内连续分布。设频率在d ωωω→+之间的能量密度为()I d ωω。

于是，在频率连续分布的平面光作用下，原子在单位时间内由k Φ跃迁到m Φ的几率为：

()()()

2222222244s k m mk mk s mk mk e x I d e x I πωωωωωπω→=

δ-=⎰ ③若入射光非平面波，而是各向同性的实际光源发出的光。 则：

()()222222222

244s k m mk mk mk mk s

mk mk e I x y z e I r πωωπω→→⎡⎤=++⎣⎦=

而根据爱因斯坦关于三个跃迁系数的定义，原子在单位时间内由k ε能级跃迁到m ε能级，并吸收能量为mk ω的光子的几率是()mk mk B I ω。

所以，

2

22222222233223243

4343s mk mk s mk km mk mk mk s mk mk mk mk e B r e B B r e A B r r c c

ππωωπ→→→→=====∝于是

讨论：①发射光谱中，可见光区的谱线是自发跃迁而来的。P167 ②自发跃迁的辐射强度的计算：P167

③激发态m Φ原子数目随时间的变化规律P167——P168