最新高一第二次月考数学试卷
安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考(9月)数学试卷
安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考（9月）数学试卷一、单选题1．已知集合(){}ln 4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{5}B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．已知31cos(),cos()55αβαβ-=-+=，则sin sin αβ=（ ）A ．35-B ．25-C ．25D ．353．已知命题p ：“tan 2α=”，命题q ：“3cos25α=-”，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均为x 轴正半轴，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan2αβ+=（ ）A ．3-或13B ．3或13- C ．3- D ．135．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．40,3⎛⎤⎥⎝⎦ C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭6．当x θ=时，()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知23ln 2,2ln3,3ln a b c πππ===,则( ) A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()()()2,42f x g x f x g x ''+=--=，若()g x 为偶函数，则()()20222024f g '+=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4二、多选题9．先将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2g x ⎤∈⎥⎝⎦D ．其图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的的极小值点B ．(2)(2)4f x f x ++-=-C ．当π02x <<时，()2(sin )sin f x f x >D ．不等式4(21)0f x -<-<的解集为{}12x x <<11．在ABC V 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（ ）A ．若CD 是高，则1514CD =B ．若CD 是中线，则CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若3CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为． 13．已知a 、b 、c 分别为ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC V 面积的最大值为．14．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点且212x x ≥，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值.16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B ． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin cos sin2cos sin 1cos2A A BA A B+=-+．(1)若π3C =，求A 的大小； (2)求222c a b+的取值范围．18．设函数2π()(sin cos )22f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 单调递减区间. (2)已知函数21π()()1sin 26g x f x x ⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦， ①证明：函数()g x 是周期函数，并求出()g x 的一个周期； ②求函数()g x 的值域.19．已知函数()ln(1)sin f x x x λ=+-． (1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当1λ=时，判断函数()f x 在π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上零点的个数；(3)已知()()21e xf x ≥-在[0,π]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．。
高一上学期第二次月考数学试卷
高一上学期第二次月考数 学一. 选择题(每小题5分,满分60分)1.已知集合{}2,1=A ，集合B 满足{}32,1，=B A ，则集合B 有A.4个B.3个C.2个D.1个 2.下列函数中与函数x y =相等的函数是A.2)(x y =B.2x y =C.x y 2log 2=D.x y 2log 2= 3.函数)1lg(24)(2+--=x x x f 的定义域为A. ]21，（-B.]22[，-C. ]2001，（），（ -D. ]2002[，（）， - 4.若1.02=a ，21.0=b ，1.0log 2=c ，则（ ）A.c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a c b >> 5. 方程2=-x e x 在实数范围内的解有（ ）个A. 0B.1C.2D.36. 若偶函数)(x f 在[]2,4上为增函数，且有最大值0，则它在[]4,2--上 A ．是减函数，有最小值0 B ．是减函数，有最大值0 C ．是增函数，有最小值0 D ．是增函数，有最大值07. 设函数330()|log |0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则())1(-f f 的值为A.1-B.21C. 1D. 2 8. 已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．7- B ．7 C ．5- D ．59. 若幂函数322)(--=a a x x f 在)0(∞+上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),3()1,(+∞--∞B.)3,1(-C. ),3[]1,(+∞--∞D. ]3,1[-10.235log 25log log 9⋅=（ ）A.6B. 5C.4D.3 11. 设函数()()0ln 31>-=x x x x f ，则()x f y = ( ) A ．在区间( 1e ，1)、(1，e)内均有零点B ．在区间( 1e，1)、(1，e)内均无零点C ．在区间( 1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间( 1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点12. 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a ，且1≠a ），满足1)(0≤<x f ，则函数|1|log xy a =的图象大致是二.填空题(每小题5分,满分20分) 13. 已知函数)10(,32)(1≠>+=-a a ax f x 且,则其图像一定过定点14. 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．15. 若定义在(－1,0)内的函数()()1log 2+=x x f a 满足()0>x f ，则a 的取值范围是________．16. 对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]208.1,31.3-=-=，[]22=，定义函数()[]x x x f -=，则下列命题中正确的是 .（填上你认为正确的所有结论的序号）①函数()x f 的最大值为1； ②函数()x f 最小值为0； ③函数()()21-=x f x G 有无数个零点； ④函数()x f 是增函数. 三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17. （本小题满分10分）已知集合{}{}m x x C x B x x x A x>=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛<=≤--=|,42121|,02|2.（I ）求()B A C B A R ,； （II ）若C C A = ，求实数m 的取值范围. 18. （本小题满分12分） 计算：（1） 2.5221log 6.25lgln(log (log 16)100+++； (2) 已知14,x x -+=求224x x -+-的值.19. （本小题满分12分）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,222x mx x x x x x x f 为奇函数. （I ）求()1-f 以及实数m 的值； （II ）写出函数()x f 的单调递增区间； （III ）若()1=a f ，求a 的值.20. （本小题满分12分）当x 满足2)3(log 21-≥-x 时，求函数()1241+-=--x xx f 的最值及相应的x 的值.21. （本小题满分12分）某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 AB=a （a ＞2），BC=2，且 AE=AH=CF=CG ，设 AE=x ，花坛面积为y ．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）当 AE 为何值时，花坛面积y 最大？22. （本小题满分12分）定义在(0，＋∞)上的函数()x f ，对于任意的()+∞∈,0,n m ，都有()()()n f m f mn f +=成立，当1>x 时，()0<x f .(1)求证：1是函数()x f 的零点； (2)求证：()x f 是(0，＋∞)上的减函数； (3)当()212=f 时，解不等式()14>+ax f .高一数学参考答案1-12ADCDC BCBDA DA13. 16 14. 0 15. 0<a <1216.17.解：（1121116633233232-=⨯⨯⨯⨯= 1111102633332323++-⨯=⨯=（2）原式＝2lg5＋23lg23＋lg5×lg(10×2)＋lg 22＝2lg5＋2lg2＋lg5＋lg5×lg2＋lg 22＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝3.18. (1)3.5 (2) 1019.解:根据集合中元素的互异性, 0x ≠ 且0y ≠,则0xy ≠,又A=B,故lg()0xy =,即1xy =①,所以xy y =②或xy x =③,①②联立得1x y ==,与集合互异性矛盾舍去,①③联立得1x y ==(舍去),或者1x y ==-，符合题意，此时22881log ()log 23x y +==. 21. 解：（1）S △AEH =S △CFG =x 2，（1分）S △BEF =S △DGH =（a ﹣x ）（2﹣x ）．（2分）∴y=S ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF =2a ﹣x 2﹣（a ﹣x ）（2﹣x ）=﹣2x 2+（a+2）x ．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x 2+（a+2）x ，0＜x≤2（7分） （2）当＜2，即a ＜6时，则x=时，y 取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）．22.解：(1)对于任意的正实数m，n都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，所以令m＝n ＝1，则f(1)＝2f(1)．∴f(1)＝0，即1是函数f(x)的零点．(2) 设0<x1<x2，∵f(mn)＝f(m)＋f(n)，∴f(mn)－f(m)＝f(n)．∴f(x2)－f(x1)＝f(x2x1)．因0<x1<x2，则x2x1>1.而当x>1时，f(x)<0，从而f(x2)<f(x1)．所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(3) 因为f(4)＝f(2)＋f(2)＝1，所以不等式f(ax＋4)>1可以转化为f(ax＋4)>f(4)．因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax＋4<4.当a＝0时，解集为 ；当a>0时，－4<ax<0，即－4a<x<0，解集为{x|－4a<x<0}；当a<0时，－4<ax<0，即0<x<－4a，解集为{x|0<x<－4a}．。
广东省佛山市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
答案第41 页，共22 页
【分析】求出 ar × cr 即可判断 A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断 B；求出两向量夹 角的余弦值，从而可判断 C，根据投影向量的计算公式计算即可判断 D.
【分析】由 f (x) =
2
cos
æ çè
2x
-
π 4
ö ÷ø
可得
f
(
x)
的最大值为
2 ，故 A 错误；将 y =
2 cos 2x 的
图象向右平移 p 个单位长度得到 y = 2 sin 2x 的图象，所以 B 错误；根据余弦函数的减区 4
间可知
f
(
x)
在
æ çè
ππ, 4
3 8
ö ÷ø
上单调递减，所以
2．下列函数中最小正周期为 π 且是奇函数的为（ ）
D． 5 2
A． y = tan2x
B．
y
=
tan
æ çè
x
+
π 4
ö ÷ø
C．
y
=
cos
æ çè
2πx
+
3 2
ö ÷ø
D．
y
=
sin
æ çè
2x
+
π 2
ö ÷ø
3．
uuur AB
=
ur e1
-
uur e2
，
uuur BC
=
ur 3e1
+
uur 2e2
=
cos
2x
为偶函数，故
D
错误.
故选:C. 3．A
【分析】由已知可求
uuur AC
=
ur 4e1
高一下学期第二次月考数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级 数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（ ）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（ ）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（ ）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（ ）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（ ）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（ ）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（ ）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（ ）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析 （2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、作图题19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x £时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．(1)作出0x>时，函数()f x的增区间；f x的图象，并写出函数()(2)写出当0x>时，()f x的解析式；(3)用定义法证明函数()f x在()-¥-上单调递减.,1七、解答题20．已知：a，b，c为ABCV的三边长，(1)当222V的形状，并证明你的结论；a b c ab ac bc++=++时，试判断ABC(2)判断代数式2222-+-值的符号.a b c ac值；若不存在，说明理由.由图可知，()f x 的增区间是()()1,0,1,-+¥．（2）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，当0x >时，0x -<，22()()()22f x f x x x x x =-=--=-，所以，当0x >时，2()2f x x x =-．（3）当(),1x Î-¥-时，()22f x x x =+，设()121,,x x -¥-Î，且12x x <，222212112121212122()()()()2()()(2)22f x f x x x x x x x x x x x x x +--=-=+-=-+++，∵()121,,x x -¥-Î，且12x x <，∴12120,20x x x x -<++<，则12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，∴函数()f x 在(),1-¥-上单调递减．20．(1)等边三角形，证明见解析(2)符号为负【分析】借助完全平方公式整理可得()()()2220a b b c a c -+-+-=，进而得到a b c ==，从而求解；。
2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题
2024级高一数学试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（ ）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（ ）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（ ）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（ ）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（ ）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（ ）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（ ）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。
最新高一上学期第二次月考数学试卷
数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）。
1、已知集合，则（ ） A.B.C.1， D.1，2． 函数lg()242y x x =+⋅- 的定义域为（ ） A.[,)20- B.(,)02 C.[,)22- D.(,)22- 3.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A. y ＝e －x B. C. y ＝ln x D. y ＝|x | 4.不等式的解集为（ ） A.B.C.D.5.函数()f x ax x =++243的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,)(,]4003-∞ B. (,]43-∞ C. [,)43+∞ D. (,)43+∞ 6.已知函数2log (3-)y ax =在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (1,3)C. (0,1)(1,3)D. (0,3)7．设函数()200x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A. (]1-∞-，B. ()1+∞，C. ()10-，D. ()0-∞， 8.已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.9、已知是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则（ ）A. B. 2 C. D. 9810、函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A.B. C. D.11.函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (0，)B. (-1，1)C. (0，1)D. (1，)12.已知函数()()2243,2f x x g x kx x =+-=+，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在21,3x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B.12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. 以上都不对二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13、若函数x x f x2log 4)(+=，则的值为)1(f _______． 14.若集合,,则______．15.函数的值域是_______.16. 关于函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,有下列结论:①. )(x f 的定义域为(-1, 1); ②. )(x f 的值域为(2ln -, 2ln ); ③. )(x f 的图象关于原点成中心对称; ④. )(x f 在其定义域上是减函数;⑤. 对)(x f 的定义城中任意x 都有)(2)12(2x f x xf =+. 其中正确的结论序号为__________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(10分)已知全集,集合,集合.（1）求; (2)求.18.(12分)化简求值（每小题6分）: （1）（2）..19.（12分）已知幂函数)(x f y =的图象过点(,)22， （1）求函数)(x f 的解析式，并求出它的定义域； （2）试求满足)3()1(a f a f ->+的实数a 的取值范围．20.（12分）已知函数()1221x x f x m +=++是奇函数，（1）求实数m 的值；（2）判断函数)(x f 的单调性并用定义法加以证明；（3）若函数)(x f 在]3,[log 2a 上的最小值为16a ，求实数a 的值．21. (12分)已知函数（1）求单调区间（2）求时，函数的最大值.22. (12分)已知)(x f 定义域为R ,对任意x ,R y ∈都有1)()()(-+=+y f x f y x f ,当0>x 时, 1)(<x f ,0)1(=f .（1）求)1(-f ，（2）试判断)(x f 在R 上的单调性,并证明; （3）解不等式:4)(2)232(2>+--x f x x f .数学试题答案四、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1-6，B C B D C D 7-12，B A A C C A五、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.4，14. 15.16.①③⑤六、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17、解：解答(1),解得,, ; ………………………………5分(2),故.………………………………5分18.解答(1);∴; …………………………3分∴.…6分（2）.……………………………………………………………………………12分19.解：（1）设()f x x α=，由条件得12α=，即()12f x x == ………3分故函数)(x f 的定义域为[,)0+∞。
广东省佛山市高一下学期第二次月考数学试题(解析版)
高一数学试题审题人：高一数学备课组本试卷共4页，全卷满分150分．考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知向量，，则（ ）(2,3)a = (3,2)b =r |2|a b -=A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】【分析】求出，求模即可.2(1,4)a b -=【详解】∵，，∴，(2,3)a =(3,2)b =r 2(1,4)a b -=∴. |2|a b -==故选：C.2. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） πA.B.tan2y x =πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. D.3cos 2π2y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】的最小正周期为,故A 错误； tan2y x =π2为非奇非偶函数，故B 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为，故C 正确；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2ππ2=为偶函数，故D 错误.πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选:C.3. ，，，且三点共线，则=（ ） 12AB e e =- 1232BC e e =+122C e D ke =+ A C D 、、k A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可求，由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出124AC e e =+A C D 、、AC CD A k的值.【详解】由题得,121212324AC AB BC e e e e e e =+=-++=+因为三点共线,A C D 、、所以,AC CD A 所以存在实数,使得,λAC CD λ=所以,()121212422e e ke e k e e λλλ+=+=+所以,解得. 421k λλ=⎧⎨=⎩1,82k λ==故选：A4. 若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为（ ）． 90︒πA. 2 B. 1C.D.1214【答案】C 【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】如图，设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，l r由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则， 90︒π21ππ4l =2l =从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2. 故扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得， π2π2⨯=2ππr =12r =所以该圆锥的底面半径为. 12故选：C.5. 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）,a b a a = b ()30,b a a λ-⊥λA. B. 2C. D.2-12-12【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅=即，故， 20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B6. 在中，已知，那么一定是（ ）ABC A 2cos c a B =⋅ABC A A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可 【详解】解：已知， 2c a cosB A ＝则：，2sinC sinAcosB ＝整理得：， ()2sin A B sinAcosB +＝则：， ()0sin A B -＝所以：. A B ＝故选：B7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选OT 取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，O A B 105OBA ∠=︒45OAB ∠=︒45m AB =，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ）B T OTA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. AOB A OB =BOT A tan 30OT OB =︒【详解】依题意，中，，，即，AOB A 30AOB ∠=︒sin sin AB OB AOB OAB ∴=∠∠45sin 30sin 45OB=︒︒解得. OB =在中，，即. BOT A tan tan 30OTOBT OB =∠=︒tan 30OT OB =︒==故选：A.8. 对于函数，下列结论中正确的是（ ） ()2sin (cos sin )1f x x x x =-+A. 的最大值为 ()f x 1B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 ()f x 2y x =π4C. 在上单调递减 ()f x 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 的图象关于点中心对称 ()f x π,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由可得，故A 错误；将的图象向π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2y x =右平移个单位长度得到的图象，所以B 错误；根据余弦函数的减区间可知在4π2y x =()f x上单调递减，所以C 正确；由可知D 不正确. 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭π()8f =【详解】，2π()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+=- ⎪⎝⎭所以当，，即，时，，故A 错误； π22π4x k -=Z k ∈ππ8x k =+Z k ∈()f x将的图象向右平移个单位长度得到2y x =4π的图象，所以B 错误；ππ22242y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得，所以是的一个单调π2π2π2π()4k x k k ≤-≤+∈Z π5πππ()88k x k k +≤≤+∈Z π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 递减区间，所以在上单调递减，所以C 正确； ()f x3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭因为不是的图象的对称中心，所以D 不正确.πππ()884f =⨯-=π,18⎛⎫⎪⎝⎭()f x 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知向量，则（ ）(2,1),(3,1)a b ==-A. ，则B.c = a c ⊥ ()a b a+∥C. 与D. 向量在向量上的投影向量为 a a b - ab 12b - 【答案】ACD 【解析】【分析】求出即可判断A ；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，a c ⋅从而可判断C ，根据投影向量的计算公式计算即可判断D. 【详解】解：对于A ，因为， 0a c ⋅==所以，故A 正确；ac ⊥对于B ，，(1,2)a b +=-因为，所以与不平行，故B 错误；112250-⨯-⨯=-≠()a b +a对于C ，，()5,0a b -=则，()cos ,a b a a b a a b a-⋅-===-所以与，故C 正确； aa b -对于D ，向量在向量上的投影向量为，故D 正确. ab 12a b b b bb⋅⋅==-故选：ACD . 10. 已知，关于该函数有下列说法中的是（ ）． ()1sin 22f x x =A. 的最小正周期是 ()f x 2πB. 在上单调递增()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 当时，的取值范围为 ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到()f x ()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8【答案】BC 【解析】【分析】对于ABC ，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D ，利用三角函数平移的性质即可判断.【详解】对于，它的最小正周期，故A 错误；()1sin 22f x x =2ππ2T ==当时，， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B 正确；sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，所以， ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以的取值范围为，故C 正确； ()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象向左平移个单位长度得到解析式为()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8，故D 错误；1ππ1π1sin 2sin 2cos 2284222y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BC ．11. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则下ABC A sin :sin :sin 2:A B C =6b =列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 ABC A B.3C π=C. 周长为ABC A 10+D. 的外接圆面积为ABC A 1123π【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得. 【详解】因为，sin :sin :sin 2:A B C =所以， ::2:a b c =6b =∴， 4,a c ==∴，故，a cb <<A C B<<，(2222244436a c b +=+=>=所以B 为锐角，故为锐角三角形，故A 错误；ABC A 由，，可得，故B 正确；2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈3C π=由上可知周长为C 正确；ABC A 10+由正弦定理可得的外接圆直径为，即， ABCA 2sin c R C ===R =的外接圆面积为，故D 错误. ABC A 2283R ππ=故选：BC.12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=11AACC 角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）O E 1BBA. 直三棱柱的体积是1B. 直三棱柱的外接球表面积是8πC. 三棱锥的体积与点的位置有关 1E AAO -E D. 的最小值为 1AE EC +【答案】AD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A ；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，， 111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=所以其体积， 111212V Sh ==⨯⨯⨯=故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得， 111ABC A B C -其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，，=所以其外接球的表面积为， 24π6π⨯=故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，1//BB 11AAC C 1BB，111122ABC S =⨯⨯=A三棱锥的高，1E AAO -h111112222AA O AA C S S ==⨯=A A，11136-∴==E AA O V 故三棱锥的体积为定值，故C 错误； 1E AAO -将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内， 11BCC B 1BB 11ABB A 11BCC B 此时，连接与相交于点E ，此时最小， 1111112=+=AC A B C B 1AC 1BB 1AE EC +即，11AE EC AC +===故D 正确． 故选：AD .三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若且，则__________． 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin π2α-=【答案】## 2425-0.96-【解析】【分析】先由三角函数的平方关系求得，再利用正弦函数的倍角公式即可求出结果. 3cos 5α=-【详解】因为，，所以， 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5α==-所以. ()4324sin π2sin 22sin cos 25525αααα⎛⎫-===⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：. 2425-14. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【解析】【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以 11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15. 记函数的最小正周期为T ，若为的()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<()f T =9x π=()f x 零点，则的最小值为____________． ω【答案】 3【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从T ()f T =ϕπ9x =ω而得解；【详解】解： 因为，（，） ()()cos f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<所以最小正周期，因为， 2πT ω=()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭又，所以，即，0πϕ<<π6ϕ=()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又为的零点，所以，解得， π9x =()f x ππππ,Z 962k k ω+=+∈39,Z k k ω=+∈因为，所以当时； 0ω>0k =min 3ω=故答案为： 316. 如图,摩天轮的半径为40m ,O 点距地面的高度为50m ,摩天轮作匀速转动,每12分钟转一圈,摩天轮上P 点的起始位置在最低处,那么在t 分钟时,P 点距地面的高度________（m ）．h =【答案】5040cos 6tπ-【解析】【分析】根据每12分钟转一圈,可以求出周期,再根据圆的半径可以求出振幅,最后可以写出在t 分钟时,P 点距地面的高度的表达式. h 【详解】每12分钟转一圈,所以.圆的半径为40,所以振幅A 为40m . 摩天轮上P 点的起2=12=6ππωω⇒始位置在最低处,此时高度为50-40=10,所以P 点距地面的高度.5040cos6h tπ=-【点睛】本题考查了根据实际背景求余弦型函数的解析式,考查了数学阅读能力.四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在菱形中，.ABCD 1,22CF CD CE EB ==（1）若，求的值；EF xAB y AD =+23x y +（2）若，求.6,60AB BAD ∠==AC EF ⋅ 【答案】（1）1（2）9【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.EF,x y 23x y +（2）先求得，然后利用转化法求得.AB AD ⋅ AC EF ⋅ 【小问1详解】 因为， 1122CF CD AB ==-2CE EB = 所以， 2233EC BC AD == 所以， 21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- 所以， 12,23x y =-=故.231x y +=【小问2详解】，AC AB AD =+ ， ()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭为菱形，，ABCD ||||6,60AD AB BAD ∠∴=== 所以，66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= . 2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= 18. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转ABCD AD AB ⊥//AD BC AB 一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）；（2）. 68π1403π【分析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可； （2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，， 214282S ππ=⨯⨯=半球，(25)35S ππ=+=圆台侧.2525S ππ=⨯=圆台底故所求几何体的表面积为.8352568ππππ++=（2）， 221254523V πππ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球所求几何体体积为. 161405233V V πππ-=-=圆台半球【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 19. 已知，且 π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3cos π5α-=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）若，求的值. ()3sin 5αβ-=sin β【答案】（1）7-（2）1【解析】 【分析】（1）结合诱导公式可得，根据同角三角函数关系可得，再由两角差的正切公3cos 5α=-tan α式，即可得出结果；（2）根据题中条件，得到，根据平方关系可得，再由π02αβ<-<()4cos 5αβ-=，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦【小问1详解】因为，所以， ()3cos πcos 5αα-=-=3cos 5α=-又因为，所以， ,2ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4sin 5α==因此， sin tan s 43co ααα==-所以. 4π1tantan π34tan 7π441tan tan 143ααα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-【小问2详解】因为，所以， π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ22αβ-≤-≤又，所以， ()3sin 5αβ-=π02αβ<-<所以， ()4cos 5αβ-==所以，()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦即. 4433sin 15555β=⨯+⨯=20. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A 22cos b c a C =+（1）求角A 的值；（2）若，求面积的最大值．2a =ABCA 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用正弦函数的和差公式化简即可求得角A ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形的面积公式即可求得面积的最大4bc ≤ABC A 值.【小问1详解】因为，22cos b c a C =+所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos B C A C =+又，()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣所以，()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+所以，2cos sin sin A C C =因为，则，所以， 0πC <<sin 0C ≠1cos 2A =因为，所以. ()0,πA ∈π3A =【小问2详解】由（1）得，又， π3A =2a =所以由余弦定理，得，即， 2222cos a b c bc A =+-22π42cos 3b c bc =+-224b c bc =+-所以，可得，当且仅当时，等号成立，2242b c bc bc +=+≥4bc ≤2b c ==所以的面积 ABC A 1sin 2S bc A ==≤所以ABC A 21. 建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温0C ︒（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足0C ︒t 024t ≤≤关系. 3π()sin((0,0)4f t A t b A ωω=-+>>（1）求的表达式；()y f t =（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.【答案】（1） ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭（2）8小时【解析】【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式； ,,A b ω()f t （2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即π3π1sin 1242t ⎛⎫-<-⎪⎝⎭sin y x =可求出结果.【小问1详解】如图，因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为()3πsin (0,0)4f t A t b A ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭()3,4-，()15,12所以， ()1248,15312,448422T A b A --===-==-+=-+=所以，又，所以， 2π24T ω==0ω>π12ω=所以. ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭【小问2详解】 根据题设，由（1）得，即， π3π8sin 40124t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭π3π1sin 1242t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭由的图像得， sin y x =7ππ3π11π2π2π,Z 61246k t k k +<-<+∈解得，23243124,Z k t k k +<<+∈又因为，024t ≤≤当时，，当时，，1k =-07t ≤<0k =2324t <≤所以或,07t ≤<2324t <≤所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.22. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两P ,AB AC 边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台120︒2,AB AC ,M N 到建造两条观光线路，测得千米，千米．P ,M N ,PM PN 2AM =2AN =(1)求线段的长度；MN (2)若，求两条观光线路与之和的最大值．60MPN ∠=︒PM PN【答案】（1）千米；（2）千米【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表AMN ∆PMN α∠=α示出和，从而可将整理为，根据的范围可知PM PN PM PN +()30α+ α()sin 301α+=时，取得最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得： AMN ∆ 2222212cos12022222122MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭MN ∴=（2）设，因为，所以PMN α∠=60MPN ∠= 120PNM α∠=- 在中，由正弦定理得： PMN ∆()sin sin sin 120MN PM PN MPN αα==∠-， 4sin MN MPN ==∠ ()4sin 120PM α∴=- 4sin PN α=()14sin 1204sin 4sin 4sin 2PM PN ααααα⎫∴+=-+=++⎪⎪⎭()6sin 30ααα=+=+0120α<< 3030150α∴<+<当，即时，取到最大值∴3090α+= 60α= PM PN +两条观光线路距离之和的最大值为 ∴【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.。
2022-2023学年江苏省连云港市市赣榆高一年级上册学期第二次月考数学试卷
江苏省连云港市赣榆第一中学2022—2023学年第一学期第二次月考高一数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{|13}A x x =≤≤{|24}B x x =<<A B = A. 3} B.{|2x x <≤{}|12x x ≤<C.D.}{}|14x x ≤<{|24x x ≤<2.命题“，”的否定是（ ）x R ∀∈20x ≥A. ， B. 不存在，x R ∀∈2x <x ∈R 2x <C. ，D. ，0x R ∃∈200x ≥0x R ∃∈200x <3.如果，且，则是（ ）cos 0α<tan 0α<αA. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角D. 第四象限的角4.函数的最小值是（ ）22812y x x =++A. 7B.C. 9D. 7-9-5.已知，则（）20.30.3,2,2a b c ===A. B. b c a <<b a c <<C.D. c a b <<a b c<<6. 函数的零点个数是（ ）.226,0()log (2)2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+->⎩A. 1B. 2C. 3D. 47. 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国GDP 年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP 要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（）（参考数据：lg2≈0.301 0，lg1.078≈0.032 6，结果保留整数)A. 17年B.18年C.19年D. 20年8．已知函数，若不等式（e 是自然对21()21x x f x -=+()()222180k f m m f m e -+-++>数的底数），对任意的恒成立，则整数k 的最小值是（ ）[]2,4m =-A ．5B ．4C ．3D ．2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ． B.eq B.eq>C.eq> D ．ac 3<bc 31122a b ＜1b ab 10. 下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是( )A ．y ＝|x ＋1|B ．y ＝2－xC ．y ＝D ．y ＝x 2－x ＋11x 11.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原()sin f x x=3π来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）12()g x A ．函数是偶函数B ．x ＝－是函数的一个零点(3g x π-π6()g x C ．函数在区间上单调递增D ．函数的图象关于直线x ＝对称()g x [－5π12，π12]()g x π1212. 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称C ．f (x )的周期为4D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则的值为__________.tan 2θ=2sin cos 3sin 2cos θθθθ+-14.方程的解为___________.22log (3)log (21)x x =+15.若不等式的一个充分条件为，则实数a 的取值范围是__________.||x a <01x <<16. 某种动物的繁殖数量y (数量：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知集合A={x|x 2-x-2=0},B={x|x 2+mx+m-1=0}.(1)当m=1时,求(∁R B )∩A ；(2)若(∁R A )∩B=⌀,求实数m 的取值.18. （1）已知，当是第三象限角，且sin()cos()()3cos 2f παπααπα-+=⎛⎫- ⎪⎝⎭α时，求的值.31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭()f α（2）计算：.()2lg 2lg5lg 20lg 0.1+⨯+19. 已知函数．()4f x x -=（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．()f x (0,)+∞20. 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造2200m 2m价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设2m 2m 矩形的长为，总造价为（元）.(m)x y（1）将表示为关于的函数；y x （2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.x 21.设m 为实数，.2(1)1y m x mx m =+-+-（1）若方程有实数根，求m 的取值范围；0y =（2）若不等式的解集为，求m 的取值范围；0y >∅（3）若不等式的解集为，求m 的取值范围.0y >R 22. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示.(A >0，ω>0，|φ|<π2)(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)当x ∈[0，4]时，求f (x )的值域.答案1. A 【解析】.故选A.A B ={}|23x x <≤2.D 【解析】命题“，”的否定是：，.故选D.x R ∀∈20x ≥0x ∃∈R 200x <3. B 【解析】因为，则角是第二，第三象限角，，则角是第二，cos 0α<αt an 0α<α四象限角，综合得角是第二象限角.故选B.α4. C 【解析】，当且仅当时，即2281219y x x =+++≥=2282x x =时取等号.x =所以函数的最小值为.故选 C.95. D 【解析】因为，，，所22c ==2000.30.31a <=<=00.3112222b =<=<=以.故选D.a b c <<6. B 【解析】由题意，当时，令，解得或（舍去）；当0x ≤260x x +-=3x =-2x =时，令，即，解得，所以函数有2个0x >2log (2)20x +-=2log (2)2x +=2x =()f x 零点.故选B.7. C 【解析】假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标．根据题意，得89442×(1＋7.8%)x ＝89 442×4，即1.078x ＝4，故x ＝log 1.0784＝≈19.故约经过19年，我lg4lg1.078国GDP 就能实现比2000年翻两番的目标.故选C.8. B 【解析】因为函数的定义域为R ，关于原点对称，又21()21x xf x -=+2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++所以是奇函数，又在R 上是增函数，()f x 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++所以对任意的恒成立，等价于：()()222180k f m m f m e -+-++>[]2,4m ∈-对任意的恒成立，()()22218k f m m f m e --+-<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，()()22218k f m m f m e -+<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，22218km m m e -+<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，令，22101ke m m >-+[]2,4m ∈-22101t m m -=+因为，所以，所以，解得，所以整数k 的最小值是[]2,4m ∈-max 29t =29k e >ln 29k >4故选B9. ABC 【解析】函数在上单调递增，，则，A 正确；12y x =[0,)+∞0b a >>1122a b <因为y ＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，B 正确；因，则，1x 1a 1b 0b a >>110b a a b ab --=>，即，，B ，C 正确；因，取，22202(2)a a b a b b b b +--=>++11a b >22a a b b +>+R c ∈0c =，D 不正确.故选：ABC33ac bc =10. BCD 【解析】解：函数，所以该函数在上单调递1,111,1x x y x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩()0,1增，故A 不符合；函数在区间上单调递减，B 符合；2y x =-()0,1函数在区间上单调递减，C 符合；1y x =()0,1函数在上单调递减，在上单调递增，故D 不符2213124y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭合；故选：BC.11. BCD 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得()sin f x x=3π，sin 3y x π=+()再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，12()sin 3g x x π=+(2)对于A 选项，令，()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦则，，故函数不是偶函数，A 不正确；π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B 选项，因为，故是函数的一个零点，B 正确；πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭π6x =-()g x 对于C 选项，当时，，所以函数在区间5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()g x 上单调递增，C 正确；5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D 选项，因为对称轴满足，解得，2π,Z32x k k ππ+=+∈ππ,Z 122k x k =+∈则时，，所以函数的图象关于直线对称，D 正确．0k =π12x =()g x π12x =故选：BCD ．12. ACD 【解析】∵，则的图象关于直线对称，故A 正确，()()22f x f x +=-()f x 2x =B 错误；∵函数的图象关于直线对称，则，又，()f x 2x =()()4f x f x -=+()()f x f x -=∴，∴函数的周期为4，故C 正确；()()4f x f x =+()f x ∵函数，故()()()()()()4444424f x f x f x f x f x -+=--=-=-+⨯=+为偶函数，故D 正确．()4y f x =+故选：ACD.13. （或1.25）【解析】.故答案为（或1.25）.542sin cos 2tan 153sin 2cos 3tan 24θθθθθθ++==--5414. 【解析】由得，且，解得1x =22log (3)log (21)x x =+321x x =+3>021>0x x +，，1x =检验：当，，所以方程的解为.1x =3>021>0x x +，22log (3)log (21)x x =+1x =15.【解析】由不等式，当时，不等式的解集为空集，显然不成[1,)+∞||x a <0a ≤||x a <立；当时，不等式，可得，要使得不等式的一个充分条件为0a >||x a <a x a -<<||x a <，则满足，所以，即实数a 的取值范围是01x <<{|01}{|}x x x a x a <<⊆-<<1a ≥.[1,)+∞16. 300【解析】由题意知100＝a log 2(1＋1)⇒a ＝100，当x ＝7时，可得y ＝100log 2(7＋1)＝300.17.【解析】解方程x 2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1,或x=2.故A={-1,2}.(1)当m=1时,方程x 2+mx+m-1=0为x 2+x=0,解得x=-1,或x=0.故B={-1,0},∁R B={x|x ≠-1,且x ≠0}.所以(∁R B )∩A={2}.(2)由(∁R A )∩B=⌀可知,B ⊆A.方程x 2+mx+m-1=0的判别式Δ=m 2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0，即m=2时，方程x 2+mx+m-1=0为x 2+2x+1=0，解得x=-1，故B={-1}.此时满足B ⊆A.②当Δ>0，即m ≠2时，方程x 2+mx+m-1=0有两个不同的解，故集合B 中有两个元素.又因为B ⊆A ，且A={-1，2}，所以A=B.故-1，2为方程x 2+mx+m-1=0的两个解，由根与系数之间的关系可得-(-1)2-1(-1)2m m =+⎧⎨=⨯⎩，，解得m=-1.综上，m 的取值为2或-1.18. 【解析】（1），即，是第三象限角，31cos sin 25παα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭ 1sin 5α=- α，cos α∴==.()sin cos sin()cos()()cos 3sin cos 2f ααπαπαααπαα⋅--+====-⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）原式()()()2lg 2lg 5lg 2101lg 2lg 2lg 5lg 211=+⨯⨯-=⨯++-.()lg 2lg 2lg 5lg 51lg 2lg 510=++-=+-=19. 【解析】（1）根据题意，函数为偶函数，()f x 证明：，其定义域为，441()f x x x -=={}0x x ≠有，则是偶函数；4411()()()f x f x x x -===-()f x （2）证明：设，120x x <<则，()()()()()()221212121244121211x x x x x x f x f x x x x x 4-++-=-=-又由，则，120x x <<()()221212120,0,0x x x x x x -<+>+>必有，()()120f x f x ->故在上是减函数．()f x (0,)+∞20. 【解析】（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，2200m 200x 绿化的面积为，20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭中间区域硬化地面的面积为，()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭故，8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得到，由可得，8000040018400y x x =++4020040x x ->⎧⎪⎨->⎪⎩050x <<故.8000040018400,050y x x x =++<<（2）由基本不等式可得，80000400184004001840018400x x ++≥⨯=当且仅当x =故当.x =18400+21. 【解析】（1）方程有实数根，即有实根，0y =2(1)10m x mx m +-+-=①当，即时，方程的根为，符合题意；10m +=1m =-2x =②当，即时，由题意，，解得10m +≠1m ≠-()()2(1)104m m m ∆-+-=≥-m ≤≤所以，且；m ≤≤1m ≠-综上，m 的取值范围是m ≤≤（2）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题10m +=1m =-0y >20x ->()2,+∞意；②当时，由题意有，解得；10m +≠()()2104(1)10m m m m +<⎧⎪⎨∆=--+-≤⎪⎩m ≤综上，m 的取值范围是.m ≤（3）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题10m +=1m =-0y >20x ->()2,+∞意；②当时，由题意有，解得；10m +≠()()2104(1)10m m m m +>⎧⎪⎨∆=--+-<⎪⎩m >综上，m 的取值范围是m >22.【解析】（1）由函数图像可知，2A =∵,∴,∴则37164T =-=28T πω==4πω=由图像可知,函数的经过点,()f x (1,2)∴,∴(1)2sin 24f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2,42k k Zππϕπ+=+∈∵∴，∴||2ϕπ<4πϕ=()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令,得,44x k k Zπππ+=∈41x k =-所以函数的图像的对称中心为()f x (41,0),k k Z-∈（2）由（1）可知()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵,∴[0,4]x ∈5,4444x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知当,即时,的最大值为2442x πππ+=1x =()f x 当,即时,的最小值为5444x πππ+=4x =()f x ∴的值域为()f x [2]。
高一数学 第二次月考试卷(含答案)
高一数学 第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、0150tan 的值为（ A ） A.33- B ．33 C ．3- D. 3 2、终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（B ）A 、{}0022545，B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k ，ππαα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k 2，ππαα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k 4k ，ππαα 3、若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos （ B ） A 、54 B 、53- C 、43 D 、43- 4、角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，1tan =γ，090+=αβ，则βsin =（A ） A.22 B ．22- C ．21 D. 21- 5、已知3)tan(=+απ，则)cos()sin()cos()sin(απαπααπ+-+-+-的值为（B ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 6、已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(,则B 中所含元素的个数为( D ) A.3 B.6 C.8 D.107、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()4(x f x f =+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则=)7(f （ A ） A.-2 B.2 C.-98 D.988、函数)23(log 21-=x y 的定义域是 ( D )A 、[)+∞,1B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛1,329、函数)1(log )1(log 22-++=x x y 在定义域上是（ C ）A 、偶函数B 、奇函数C 、增函数D 、减函数10、已知函数)91(,log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（C ） A.6 B.13 C.22 D.3311、设函数)0(,ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ D ） A.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点 B. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点 C. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点 D. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点 12、若方程0)5()2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（A ）A 、(]4,5--B 、(]4,-∞-C 、()2,-∞-D 、()()4,55,---∞-二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设扇形的周长为8cm,面积为42cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。
2022-2023学年河北正定中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北正定中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2220x x ++<”的否定是（ ） A ．R x ∃∈，2220x x ++≥ B ．R x ∀∈，2220x x ++≥ C ．R x ∃∈，2220x x ++> D ．R x ∀∉，2220x x ++≥【答案】B【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题， 所以原命题的否定为R x ∀∈，2220x x ++≥. 故选：B2．已知集合{}30M x x =-<<，{}11N x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[)1,1-B ．()3,1--C ．(][),31,-∞--+∞D ．(]3,1-【答案】B【分析】根据给定的韦恩图，求出阴影部分的集合表示，再用补集交集的运算作答. 【详解】由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为()U M N ，由{}11N x x =-≤≤得：N {|1Ux x =<-或1}x >，而30{|}M x x =<<-，所以()(3,1)U M N =--.故选：B3．函数234x x y --+= ）A ．[]4,1-B ．[)4,0-C ．(]0,1D ．[)(]4,00,1-【答案】D【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为y =所以23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，解得41x -≤≤且0x ≠，故y =[)(]4,00,1-.故选：D.4．已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】分析可知函数()f x 在()2,∞+为增函数，由已知条件可得1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <， 所以()f x 在()2,∞+为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+， 即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.5．1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，2()(1)g x x f x =-，则()g x 的递减区间（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1)C ．[1,)+∞D ．[1,0]-【答案】B【分析】首先求()1f x -，然后求得()g x ，进而求得()g x 的递减区间. 【详解】()1,110,11,1x f x x x >⎧⎪-==⎨⎪-<⎩，()22,10,1,1x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，所以()g x 的减区间为[0,1).故选：B6．“对所有(]14x ∈，，不等式²0x mx m -+>恒成立”的充分不必要条件是（ ）A ．4m >B ．163m <C ．4m <D ．2m <【答案】D【分析】利用不等式恒成立和构造基本不等式可确定4m <，即可求解.【详解】由不等式²0x mx m -+>恒成立，得²1x m x >-恒成立， 因为()()2212(1)1111221241111x x x x x x x x x -+-+==-++≥-⋅+=----， 当且仅当111x x -=-，即=2x 时取得等号， 所以不等式²0x mx m -+>恒成立，则4m <， 因为2m <是4m <的充分不必要条件， 故选:D.7．已知()f x ，()g x 均是定义在[]22-,的函数，其中函数()f x 是奇函数且()f x 在[]2,0-上的图象如图1，函数()g x 在定义域上的图象如图2，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】根据函数()f x 的图象及性质确定零点及所在区间，再由函数()g x 图象确定其取值情况作答. 【详解】由函数()f x 的图象知，当()0f t =时，(2,1)t ∈--或0=t ，而函数()f x 是奇函数， 因此函数()f x 有3个零点,0,,(2,1)t t t -∈--，由函数()g x 的图象知，()g x 在[2,1]--上递增，函数值从-2递增到2，在[1,2]-上递减，函数值从2递减到-2，由方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦得，()g x t =或()0g x =或()g x t =-，显然()g x t =有2个根，()0g x =有2个根，()g x t =-有2个根，所以方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦的根的个数是6. 故选：D8．已知()21,01,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据给定的分段函数，分段讨论求解不等式作答.【详解】函数21,0()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，当12x >时，102x x >->，不等式1()()12f x f x +->化为：2211()112x x ++-+>恒成立，则12x >，当102x <≤时，102x -≤，不等式1()()12f x f x +->化为：211112x x ++-+>恒成立，则102x <≤，当0x ≤时，102x x -<≤，不等式1()()12f x f x +->化为：11112x x ++-+>，解得14x >-，则014x -<≤，所以x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C二、多选题 9．设函数331()f x x x =-，则()f x （ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．在(0,)+∞上单调递增 D ．在(0,)+∞上单调递减【答案】AC【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义判断函数的性质. 【详解】()f x 定义域为{}|0x x ≠，0x ∀≠，则0x -≠.331()()f x x f x x -=-+=-， 所以，()f x 是奇函数. 12,0x x ∀>，且12x x <，则331212331211()()f x f x x x x x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭=()3333331212123333121211x x x x x x x x x x ⎛++⎫--=- ⎪⎝⎭=()()212121233123114x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.∵120x x << ，∴120x x -<， ∴12())0(f x f x -<， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增. 故选：AC.10．狄里克雷（Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859）是德国数学家，对数论､数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是x 与y 之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名的“狄里克雷函数”：()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，下列叙述中正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．()()1D x D x += C．(()D x D x += D ．()()1D D x =【答案】ABD【分析】根据题设中的狄里克雷函数的解析式，分x 为有理数和无理数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，对于A 中，当x 为有理数，则x -也为有理数，满足()()1D x D x -==； 当x 为无理数，则x -也为无理数，满足()()0D x D x -==， 所以函数()f x 为偶函数，所以A 正确；对于B 中，当x 为有理数，则1x +也为有理数，满足()()11D x D x =+=； 当x 为无理数，则1x +也为无理数，满足()()10D x D x =+=， 所以()()1D x D x +=成立，所以B 正确；对于C 中，例如：当1x =时，则1()(11,10D D ==； 可得()(11D D ≠，所以C 不正确；对于D 中，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =， 当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =， 所以()()1D D x =，所以D 正确. 故选：ABD.11．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式一定正确的有（ ） A ．ac bc >B ．24b ac >C ．12,2c a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．222125a b c<<+【答案】BCD【分析】由不等式的性质从已知条件分析得0a >，0c <，然后由不等式性质判断A ，由实数的正负直接判断B ，对0a b c ++=进行放缩即把b 换成a 或c 得不等式关系后可判断C ，同样利用()b a c =-+替换后，222a b c+可化为关于c a 的代数式，然后根据选项C 中范围结合二次函数性质，不等式性质可得范围，从而判断D ．【详解】∵a b c >>且0a b c ++=，∴0a >，0c <， 再由a b >得ac bc <，A 错；40ac <，而20b ≥，所以24b ac >，B 正确；a b c >>，∴2a b c a c ++>+，20a c +<，2ac ，又0a >，所以12c a <-， 2a b c a c ++<+，20a c +>，2a c -<，2ca-<， 所以122c a -<<-，C 正确； 由已知()b a c =-+22222222221()222()21a a a c c b c a c c a ac c a a===+++++⋅+⋅+，22112()212()22c c c a a a ⋅+⋅+=++，又122c a -<<-，∴21112()5222c a <++<， ∴211252()21c c a a<<⋅+⋅+，因此D 正确． 故选：BCD ．12．对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）A ．[]1,0-是函数()22f x x x =-的一个“和谐区间”B ．函数()13f x x=-+存在“和谐区间”C ．函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、[]0,1、[]1,1-D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()312f x x =-的一个“和谐区间”【答案】BC【分析】根据题意得，()f x 在定义域内满足()()f a a f b b =⎧⎨=⎩或()()f a bf b a =⎧⎨=⎩时，则区间[],a b 就为函数()f x 的一个和谐区间，或者直接求出()f x 的值域判断，据此解答即可.【详解】对于A ，因为函数()22f x x x =-在区间[]1,0-上单调递减，但()()()211213f -=--⨯-=，()()()200200f =-⨯=，即()f x 值域为[]0,3，不符合题意，故A 错误；对于B ，假设()f x 存在“和谐区间”，因为函数()13f x x =-+在(),0∞-，()0,∞+单调递增，则()()f a a f b b=⎧⎨=⎩，则,a b 为方程13x x -+=的两个根，解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又()0,⊂+∞⎣⎦，所以()f x 存在“和谐区间”，故B 正确； 对于C ，中函数()3f x x =在R 上单调递增，即()()f a a f b b=⎧⎨=⎩，则,a b 是关于方程3x x =的两根得10x =，21x =，31x =-，所以函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]0,1，[]1,0-，[]1,1-，故C 正确；对于D ，因为()321,32313221,23x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩， 当2253x ≤<时，()312f x x =-单调递减，故()20,5f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当223x ≤≤时，()312f x x =-单调递增，故()[]0,2f x ∈；综上：()[]0,2f x ∈，即2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =， 若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意． 若1m =-，则函数为1y x=，满足题意． 故答案为：1-．1461210.252-⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭________. 【答案】3-【分析】根据给定条件，利用根式运算及指数运算法则计算作答.616321110.2561(723222-⎛⎫+⨯=--+⨯=-+⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：3-15．已知函数()()2,R f x x ax b a b =++∈，方程()0f x =有两个相等的实数根，若关于x 的不等式()f x t >的解集为()(),8,m m -∞-+∞，则实数t 的值为________.【答案】16【分析】由判别式为0得24a b =，由不等式的解集得一元二次方程的两根，题意说明两根差的绝对值为8，利用韦达定理可求得t ．【详解】方程()0f x =有两个相等的实数根，则240a b ∆=-=，24a b =，关于x 的不等式()f x t >的解集为()(),8,m m -∞-+∞，所以方程2204a x ax t ++-=的两根为8m -和m ，两根记为12,x x ，则128x x -=，又12x x a +=-，2124a x x t =-，所以128x x-==，16t=，故答案为：16.16．设20a b>>，那么()442ab a b+-的最小值是________.【答案】32【分析】由基本不等式求(2)b a b-的最大值，然后由不等式的性质转化，再由基本不等式求224aa+最小值即可得．【详解】20a b>>，20a b->，2211221(2)2(2)()2228b a bb a b b a b a+--=-≤⋅=，当且仅当22b a b=-，即4a b=时等号成立，()442224448()832128a aab a b aa++≥=+≥⨯-，当且仅当224aa=，即22a=时等号成立，又0a>，所以a=4b=时，()442ab a b+-取得最小值32.故答案为：32.四、解答题17．设函数()f x A，集合{}121B x m x m=+≤≤-．(1)求函数()f x的定义域A；(2)若A B B=，求实数m的取值范围．【答案】(1)[)2,4-(2)5,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭【分析】（1）根据偶次根式和分式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果；（2）根据交集结果可得B A⊆，分别在B=∅和B≠∅的情况下，由包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）由题意得：2040xx+≥⎧⎨->⎩，解得：24x-≤<，f x的定义域[)2,4A=-.（2）A B B=，B A∴⊆；当B =∅时，满足B A ⊆，则211m m -<+，解得：2m <； 当B ≠∅时，由B A ⊆得：12112214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-<⎩，解得：522m ≤<；综上所述：实数m 的取值范围为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.18．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)在直角坐标系xOy 中，画出函数()f x 的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若关于x 的方程()f x k =无解，直接写出k 的范围.【答案】(1)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩； (2)答案见解析； (3)14k <-．【分析】（1）由偶函数的定义求解析式；（2）作出0x ≥时，()(1)f x x x =-的图象，再关于y 轴对应后可得图象，由图象可得单调区间； （3）由函数图象得函数最小值后可得k 的范围． 【详解】（1）()f x 是偶函数，0x <时，0x ->，()()(1)(1)f x f x x x x x =-=---=+，所以(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩．（2）先作出二次函数(1)y x x =-在0x ≥的图象，再作出其关于y 轴的图象，如图即为()f x 的图象，由图象得增区间是1(,0)2-，1(,)2-+∞，减区间是1(,)2-∞-，1(0,)2．（0，12±处写成闭区间也可）．（3）由图象知12x =±时，函数取得最小值14-，所以14k <-时，()f x k =无解．19．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意,R a b ∈，都有()()()1a a b b f f f +=+-，当0x >时，()1f x >；且()23f =，(1)求()0f 及()1f 的值；(2)判断函数()f x 在R 上的单调性，并给予证明；(3)若()()222f kx f kx -+-<对任意的x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)(0)1f =，(1)2f =； (2)单调递增，证明见解析； (3)08k ≤<.【分析】（1）根据给定恒等式，赋值计算作答.（2）根据给定恒等式，利用函数单调性定义推理判断作答.（3）由（2）的结论及已知恒等式，脱去法则“f ”，再借助一元二次型不等式恒成立求解作答. 【详解】（1）因对任意,R a b ∈，都有()()()1a a b b f f f +=+-，则当0a b 时，(0)(0)(0)1f f f =+-，解得(0)1f =，因()23f =，则当1a b ==时，(2)(1)(1)1f f f =+-，解得(1)2f =， 所以(0)1f =，(1)2f =.（2）函数()f x 在R 上单调递增，1212,R,x x x x ∀∈<，有210x x ->，因当0x >时，()1f x >，于是得21()1f x x ->，依题意，21211211()[()]()()1()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->，所以函数()f x 在R 上单调递增.（3）因()()()()2222211f kx f kx f kx f kx -+-<⇔-+--<，由已知及（1）得：2(2)(0)f kx kx f -+-<，由（2）知，220kx kx -+-<，即220kx kx -+>，依题意，对任意的x ∈R ，220kx kx -+>恒成立， 当0k =时，20>恒成立，则0k =，当0k ≠时，必有2Δ80k k k >⎧⎨=-<⎩，解得08k <<，因此08k <<， 所以实数k 的取值范围是08k ≤<.20．已知函数()2241f x mx x m =-+-.(1)若函数()g x [)0,∞+，求实数m 的取值范围；(2)若1m =，设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()h t ，求()h t 的表达式. 【答案】(1)[)0,∞+ (2)()2222,02,0124,1t t h t t t t t ⎧-≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】(1)根据函数的值域以及二次函数的性质即可求解；(2)根据二次函数在指定区间上的单调性与最值的关系即可求解.【详解】（1）当0m=时，()g x =1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，此时()410f x x =-+≥，所以()g x =[)0,∞+，满足题意； 当0m≠时，要使()g x [)0,∞+，则有20Δ168(1)0m m m >⎧⎨=--≥⎩解得0m >，综上实数m 的取值范围是[)0,∞+.（2）1m =,则()224f x x x =-，对称轴01x =，(i)若11t +≤，即0t ≤，()f x 在[],1x t t ∈+上单调递减， 则()()22min (1)214(1)22f x f t t t t =+=+-+=-；(ii) 若11t t <<+，即01t <<，()f x 在[],1t 上单调递减，[]1,1t +单调递增，则()min (1)2f x f ==-；(iii) 若1t ≥，()f x 在[],1x t t ∈+上单调递增，则()2min ()24f x f t t t ==-；所以()2222,02,0124,1t t h t t t t t ⎧-≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩.21．为打好扶贫攻坚战，突出帮扶对象，落实帮扶措施，村为某帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间(每间留一个面积为1平方米的门)，一面利用原有的墙(墙长a 米，12)a ，其他各面用砖砌成(如图).若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元(猪圈的地面和顶部不计费用)，砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪不圈靠墙一边长为x 米，猪圈的总造价为y 元.(1)求y 关于x 的关系式，并求出x 的取值范围；(2)当x 为多少米时，可使建成的两件猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 【答案】(1)36400()200y x x =++，1[,]22a x ∈ (2)当x 为6米时，可使建成的两件猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元【分析】（1）根据题意即可表示出y 关于x 的关系式，解得x 的取值范围. （2）利用基本不等式求等号成立的条件求得取得最小值时的x 的值. 【详解】（1）每间猪圈靠墙一边长为x 米，猪圈的总造价为y 元 由题意得2436(22232)1002100400()200y x x x x =⨯+⨯⨯-⨯+⨯=++，且122a x ， 故36400()200y x x =++，1[,]22a x ∈； （2）1[,]22ax ∈，12a ，3636400()20040022005000y x x x x∴=++⨯⋅=，当且仅当36x x =，即6x =时等号成立，∴当12a 时，当x 为6米时，可使建成的两件猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元.22．函数()y f x =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()32f x x 3x 6x 2=-+-.(1)利用上述材料，求函数()f x 的对称中心；(2)判断()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式()()2114f mx x f x ++++>（m ∈R ）.【答案】(1)()1,2(2)函数()f x 是R 上的增函数；当1m <-时，原不等式的解集为(1m ⎛⎛⎫-+ ⎪-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1m =-时，原不等式的解集为(()2,-∞+∞；当11m -<<时，原不等式的解集为R ；当1m =时，原不等式的解集为((),2,-∞-+∞；当1m >时，原不等式的解集为(1m ⎛⎛⎫-+ ⎪-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据题意，设()()g x f x a b =+-，化简()g x 的解析式，由奇函数的性质可得关于a 、b 的方程，解方程可得a 、b 的值，即可得答案；（2）利用函数单调性的定义，得到函数()f x 的单调性，从而得到函数()g x 的单调性，结合题设得到()2120x m x +++>，利用分类讨论即可得到不等式的解集.【详解】（1）由题意，设函数()()g x f x a b =+-（x ∈R ）， 则函数()()()()32362g x x a x a x a b =+-+++--，整理得：()()()3223231322362g x x a x a a x a a a b =+-+-++-+--，又由()g x 是奇函数，则()()g x g x -=-，即()32310,3620,a a a a b ⎧-=⎨-+--=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩， 故函数()f x 的对称中心为()1,2.（2）函数()f x 是R 上的增函数，证明如下：设1x ，2x ∈R ，且12x x <，则()()()()323212111222362362f x f x x x x x x x -=-+---+-()()()()()()()()3322221212121211221212123636x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+-=-++--++-()()()()2222121122121212122336336x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-++--+=-+-+-+⎣⎦，令()2212122336y x x x x x =+-+-+，则()()()()222222222234363253140x x x x x x ⎡⎤∆=---+=--+=--+<⎣⎦， 所以()22121223360y x x x x x =+-+-+>在R 上恒成立，又120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 是R 上的增函数；结合（1）得：函数()()12g x f x =+-是R 上的增函数，且()()g x g x -=-，由()()2114f mx x f x ++++>，得()()21212f x mx f x ++->-++，即()()21212f x mx f x ⎡⎤++->-+-⎣⎦⇒()()211g x mx g x ++>-+， 则()()211g x mx g x ++>--，所以211x mx x ++>--，整理得()2120x m x +++>，又()218m ∆=+-①当1m <-时，0∆>，解得：x >x <②当1m =-时，Δ0=，解得：x ≠③当11m -<<时，Δ0<，解得：x ∈R ；④当1m =时，Δ0=，解得：x ≠⑤当1m >时，0∆>，解得：x >或x <综上：当1m <-时，原不等式的解集为(1m ⎛⎛⎫-+ ⎪-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1m =-时，原不等式的解集为(()2,-∞+∞；当11m -<<时，原不等式的解集为R ；当1m =时，原不等式的解集为((),2,-∞-+∞；当1m >时，原不等式的解集为(1m ⎛⎛⎫-+ ⎪-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求解含有参数的一元二次不等式时，需要考虑二次项系数是否为0，能否分解因式，方程根的大小，从而对参数进行分类讨论.（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.。
(完整版)高一上学期第二次月考数学试卷及答案,推荐文档
高一年级上学期第二次月考数学试题卷时间：120分 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，．若，则（ ）{}1,2,4A ={}240x x x m B =-+={}1A B = B =A ．B ．C ．D ．{}1,3-{}1,0{}1,3{}1,52. 函数的定义域为（ ）()f x =A ．（-1,2）B ． C. D ．[1,0)(0,2)- (1,0)(0,2]- (1,2]-3. 函数是奇函数，且其定义域为，则（ ）3()2f x ax bx a b =++-[34,]a a -()f a =A ． B ． C ． D ．43214.已知直线，则该直线的倾斜角为( )20x -=A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°5. 已知两直线和 ，若且在轴上的截距1:80l mx y n ++=2:210l x my +-=12l l ⊥1l y 为-1，则的值分别为( ),m n A ．2，7 B ．0，8 C ．－1，2 D ．0，－86.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 ( )A ． 322πB ．324πC ． π24D ．π）（424+7. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）αβ，,a b A ． B ．//,//,//a b a b αα若则//,,a a b b αα⊥⊥若则C ．D ．//,,,//a b a bαβαβ⊂⊂若则,//,a a b b αα⊥⊥若则8.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9.若函数的两个零点分别在区间和上，则()()()2221f x m x mx m =-+++()1,0-()1,2的取值范围是（ ）m A. B. C. D.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视2图是一个半圆内切于边长为的正方形，则该机器零件的体积为（ ）2A ． B ．34π+38π+C. D ．π384+π388+11. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（ ）A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDD ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上12. 设函数的定义域为D ，若函数满足条件：存在，使得在()f x ()f x [],a b D ⊆()f x 上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍[],a b ,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()()2log 2x f x t =+缩函数”，则的取值范围是（ ）t A. B. C. D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,110,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 设，则的值为 .⎩⎨⎧≥-<=-2),1(log ,2,2)(231x x x e x f x ))2((f f 14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为1:9,截去的棱锥的高是2cm,则正棱台的高是 cm.15.如图，正方体中，交于，为线段上的一个动点，1111D C B A ABCD -AC BD O E 11D B 则下列结论中正确的有_______．①AC ⊥平面OBE②三棱锥E -ABC的体积为定值③B 1E ∥平面ABD ④B 1E ⊥BC 116. 已知函数若存在实数，满足32log ,03,()1108,3,33x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩,,,a b c d ，其中，则的取值范围为 ．()()()()f a f b f c f d ===0d c b a >>>>abcd 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分) 已知全集 ，，.UR =1242x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}3log 2B x x =≤（1）求 ； A B （2）求.()U C A B 18. (本小题满分12分)(1)已知直线过点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线的l (1,2)A l 方程．(2)求经过直线与的交点．且平行于直线1:2350l x y +-=2:71510l x y ++=的直线方程．230x y +-=19.(本小题满分12分)已知直线，．1:310l ax y ++=2:(2)0l x a y a +-+=（1）当l 1//l 2，求实数的值；a （2）直线l 2恒过定点M ，若M 到直线的距离为2，求实数的值．1l a20. (本小题满分12分) 如图，△中，，四边形是边长ABC AC BC AB ==ABED 为的正方形，平面⊥平面，若分别是的中点．a ABED ABC G F 、EC BD 、(1)求证：；//GF ABC 平面(2) BD EBC 求与平面所成角的大小21. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD P -⊥PD ABCD 是平行四边形，，为与ABCD BD AD PD AB BAD ====∠，，，3260 O AC 的交点，为棱上一点.BD E PB（1）证明：平面平面；⊥EAC PBD （2）若，求二面角的大小.EB PE 2=B AC E --22. (本小题满分12分) 对于函数与，记集合.()f x ()g x {}()()f g D x f x g x >=>（1）设，求集合；()2,()3f x x g x x ==+f g D >（2）设，若，求实数121()1,()(31,()03xx f x x f x a h x =-=+⋅+=12f h f h D D R >>⋃=的取值范围.a答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)C C B A B CD C C A B A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 2 14. 415. ①②③ 16.（21，24）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)解： ， B {}12A x x =-<<{}09B x x =<≤·······················4分（1） ····································································6分{}02A B x x =<< （2） ，或 .·····10分{}19A B x x =-<≤ (){1U C A B x x =≤- 9}x >18. (本小题满分12分)(1)解析：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)，令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－，2k S ＝(2－k )＝4，12(1－2k )即k 2＋4k ＋4＝0.∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.···················6分解法二 设l ：＋＝1(a >0，b >0)，x a yb 则{12ab ＝4，1a＋2b＝1.)a 2－4a ＋4＝0⇒a ＝2，∴b ＝4.直线l ：＋＝1.x 2y4∴l ：2x ＋y －4＝0.(2)联立，解得．设平行于直线 x +2y ﹣3=0的直线方程为 x +2y +n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x +18y ﹣4=0．···········12分19.(本小题满分12分)(1)a=3,或a=-1(舍)··························4分(2)M(-2,-1)···································8分得a=4··················12分2=20. (本小题满分12分)(1)证明： 连接EA 交BD 于F ，∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点，∴F 是EA 的中点，∴FG ∥AC .又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .··················6分(2)∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝AB ，22∴BC ⊥AC ，又∵BE ∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EBC .由(1)知，FG ∥AC ，∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，sin ∠FBG ＝＝.122a 2122a 4FG BF 12∴∠FBG ＝30°.························12分21. (本小题满分12分)解：（1）∵平面，平面，∴.⊥PD ABCD ⊂AC ABCD PD AC ⊥∵，∴为正三角形，四边形是菱形，60,=∠=BAD BD AD ABD ∆ABCD ∴，又，∴平面，BD AC ⊥D BD PD = ⊥AC PBD 而平面，∴平面平面.·········································6分⊂AC EAC ⊥EAC PBD （2）如图，连接，又（1）可知，又，OE AC EO ⊥BD ⊥AC∴即为二面角的平面角，EOB ∠B AC E --过作，交于点，则，E PD EH ∥BD H BD EH ⊥又，31,33,3,2,2=====OH EH PD AB EB PE 在中，，∴，EHO RT ∆3tan ==∠OHEHEOH 60=∠EOH 即二面角的大小为.·································································12分B AC E --6022. (本小题满分12分)解：（1） 当得； ······················2分0≥x 3,32>∴+>x x x当 ················4分1320-<∴+>-<x x x x ，时，得··············5分()()∞+⋃-∞-=∴>，31,g f D(2) ······· 7分()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅+=∞+=>>013)31(,121xxh f h f a x D D ， ，R D D h f h f =⋃>>21 ∴(]1,2∞-⊇>h f D 即不等式在恒成立 (9)01331>+⋅+xxa （1≤x 分时，恒成立，∴1≤x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a )31(91在时最大值为，··················11分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x y 31()91( 1≤x 94-故 ·············12分94->a。
高一数学上册二次月考试卷
高一数学上册二次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^2 + bC. y = ax + cD. y = a(x - h)^2 + k2. 如果二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值应该是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 二次函数y = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是：A. (0,1)B. (3/2, -1/2)C. (1, 2)D. (-1, 2)4. 对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，当a > 0且b^2 - 4ac > 0时，方程的解的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多5. 已知二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3，当x = 1时，函数值f(1)为：A. -2B. 0C. 1D. 26. 抛物线y = -3x^2 + 6x - 5的对称轴方程是：A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 37. 如果二次函数f(x) = kx^2 + 2x + 1的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是：A. k < 0B. k > 0C. k ≠ 0D. k ≥ 08. 已知二次函数f(x) = x^2 - 2x + 3，当x ∈ [0, 3]时，函数的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 49. 抛物线y = 4x^2 - 12x + 9的顶点坐标是：A. (0, 9)B. (3, 0)C. (-3, 9)D. (1, 4)10. 对于二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，其判别式b^2 - 4ac的值是：A. 0B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题2分，共20分）11. 二次函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是______。
四川高一下学期第二次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ） ()tan ,cos P αααA ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限. P tan 0,cos 0αα<<α【详解】因为点在第三象限， ()tan ,cos P αα所以，tan 0,cos 0αα<<由，可得角的终边在第二、四象限，t an 0α<α由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上， cos 0α<αx 所以角终边位置在第二象限， α故选：B.2．平面向量与的夹角为，则=（ ） a b 60 ()2,1,1,a b == a b ⋅A B C ．1 D 【答案】A【分析】由平面数量积的定义求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，， a b 60 ()2,11a b == ，=则1cos 6012a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯=故选：A.3．已知（ ） cos α=44cos sin αα-=A ．B ．C ．D ． 354512251225-【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.【详解】， cos α=442222cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα∴-=+-. 22223cos sin 2cos 1215ααα=-=-=⨯-=故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．已知向量满足则（ ） ,a b5,6,6,a b a b ==⋅=- a b += A ．3 B ．49C ．6D ．7【答案】D【分析】.【详解】. 7a +=== 故选：D5．已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）,,a b c ABC A ,,A B C 2cos 3a Cbc =+ABC A A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】D【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，2cos sin sin 03A C C +=2cos 3A =-得到，即可求解. ππ2A <<【详解】因为，由正弦定理得，2cos 3a Cbc =+2sin cos sin sin 3A C B C =+又因为，可得， πA C B +=-sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以，2cos sin sin 03A C C +=因为，可得，所以，(0,π)C ∈sin 0C >2cos 3A =-又因为，所以，所以为钝角三角形. (0,π)A ∈ππ2A <<ABC A 故选：D.6．在直角梯形中，，，，为的中点，则ABCD AB CD ∥AD AB ⊥4522B AB CD ︒∠===，M BCMA MD ⋅= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD 形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案.1122MA MD CB BA CB CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD形，BC=根据题意得21111122422MA MD CB BA CB CD CB CB CD CB BA BA CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2111111cos1352cos13521cos0122 42222︒︒︒=-⨯+⨯-⨯+⨯⨯=--++=故选:B.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题.7．已知是所在平面内一点，且点满足O ABCA O则点一定的（）AB AC BA BC CA CBOA OB OCAB AC BA BC CA CB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅-=⋅-=⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O ABCAA．外心B．重心C．内心D．垂心【答案】C【分析】表示与的角平分线垂直的向量，因为与垂直，所以AB ACAB AC-BAC∠OAAB ACAB AC-OA平行于的角平分线，即点位于的角平分线上，同理可得，点位于的角平BAC∠O BAC∠O ABC∠分线上以及的角平分线上，即点是的角平分线的交点，因此点是的内心.ACB∠O ABCA O ABCA【详解】因为，所以，AB ACOAAB AC⎛⎫⎪⋅-=⎪⎝⎭AB ACOA OAAB AC⋅=⋅即，cos()cos()AB ACOA OAB OA OACAB ACππ⋅-∠=⋅-∠即可得，即是的角平分线；OAB OAC∠=∠OA BAC∠同理可得是的角平分线，是的角平分线,OB ABC∠OC ACB∠所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.O ABCA O ABCA故选：C8．已知函数（其中）在区间上单调，且()()2sin f x x ωϕ=+π0,2ωϕ><ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当时，取得最大值，则不等式的解集为（ ）ππ2π263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π12x =()f x ()1f x >A ． B ．πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．D ．πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先根据三角函数的性质确定函数解析式，然后解正弦不等式即可.【详解】因为函数在区间上单调，且， ()()2sin f x x ωϕ=+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以和均不是的极值点，其极值应该在处取得， π2x =2π3x =()f x π2π7π23212x +==又，所以也不是的极值点，ππ(()62f f =-π6x =()f x 又时，取得最大值，所以为另一个相邻的极值点， π12x =()f x π12x =()f x 故函数的最小正周期，所以， ()f x 7ππ2(π1212T =⨯-=2π2T ω==又时，取得最大值，所以，即， π12x =()f x ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，所以，，可得，ππ22ϕ-<<0k =π3ϕ=()π2sin(23f x x =+由，得，()1f x >π1sin(232x +>所以，解得， ππ5π2π22π,Z 636k x k k +<+<+∈()ππππZ 124k x k k -+<<+∈所以不等式的解集为.()1f x >πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭故选：A二、多选题9．在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（ ）A ．B ． ()()120,0,1,2e e →→==()()121,2,5,2e e →→=-=-C ． D ．()()123,5,6,10e e →→==()()122,3,2,3e e →→=-=【答案】BD【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.【详解】对于A ，因为，所以，故两向量不能作为基底； 02100⨯-⨯=12//e e →→对于B ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底； ()125280-⨯--⨯=-≠对于C ，因为，所以，故两向量不能作为基底；310650⨯-⨯=12//e e →→对于D ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底. ()2323120⨯-⨯-=≠故选：BD.10．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的()sin 22f x x x =+()0ϕϕ>ϕ值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．π12π67π125π6【答案】AC【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出()f x 关于的等式，即可求得值.ϕϕ【详解】因为，()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，()f x ()0ϕϕ>得到函数的图象，()ππ2sin 22sin 2233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数为偶函数，则，π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()ππ2πZ 32k k ϕ+=+∈解得， ()ππZ 122k k ϕ=+∈，则当时，，时，.0ϕ> 0k =π12ϕ=1k =7π12ϕ=故选：AC.11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） ABC A A B C ､､a b c ､､A ．若,则A B >sin sin A B >B ．若，则为直角三角形 222c a b >+ABC A C ．若,则为直角三角形 222sin sin sin A B C +=ABC AD ．若，则满足条件的有两个 60,3,C c b === ABC A 【答案】AC【分析】根据正弦定理、余弦定理知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A 选项，若，则，由正弦定理可得，A B >a b >2sin 2sin R A R B >所以，，故A 选项正确；sin sin A B >对于B 选项，由可得：，则，222c a b >+2220a b c +-<222cos 02a b c C ab+-=<得到为钝角，故B 选项不正确；C ∠对于C 选项，若，由正弦定理可得， 222sin sin sin A B C +=222+=a b c 所以为直角三角形，故C 选项正确；.ABC A 对于D 选项，由正弦定理可得sin sin c b C B==故，由可得或，1sin 2B =()0,πB ∈π6B =5π6B =因为，则，故，故D 选项不正确. c b >C B >π6B =故选：AC. 12．已知函数，则（ ）sin cos ()2sin 2x xf x x+=+A ．既是周期函数又是奇函数 ()f x B ．的图像关于点对称()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．的图像关于直线对称 ()y f x =π4x =D ．的最大值为 ()f x 12【答案】BCD【分析】对于A ，找反例即可判断；对于B ，验证即可；对于ππ(()44f f -≠-π()2f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭C ，验证即可；对于D ，令，则原函数可化为，分π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos t x x =+21t y t =+结合基本不等式即可判断. 0,0t t =≠【详解】因为函数，sin cos sin cos ()2sin 222sin cos x x x xf x x x x++==++对于A ，，ππsin()cos()π44()0ππ422sin()cos()44f -+--===+--，则，ππsincos π44(ππ422sin cos 44f +===+ππ()(44f f -≠-所以不是奇函数， A 错误．()f x对于B ，因，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎛⎫⎝⎭⎝⎭--===- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于点对称，B 正确．()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，因为，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于直线对称．C 正确．()y f x =π4x =对于D ，令，则，πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭212sin cos t x x =+当时，；当或时，， 0=t 0y =[t ∈(211112t y t t t ==≤=++当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，D 正确． 1t =12故选：BCD三、填空题13．若非零向量与的夹角为，且，设为与同向的单位向量，则在方向上的投影a b 60 1a = e b a b 向量为__________. 【答案】12e【分析】根据投影向量及求出答案. b e b=【详解】，又为与同向的单位向量，故， 1cos 602a b a b ⋅=︒= e b b e b= 所以. ()212a b b a b b e b b b⋅⋅=⋅=故答案为：12e14．已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm ． 210cm 【答案】【分析】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得出，求解即可得出答案.l R 2210l RR =⎧⎨=⎩【详解】设扇形的弧长为，半径为， l R 由已知可得，圆心角，面积，2α=10S =所以有，即，解得212l R S R αα=⎧⎪⎨=⎪⎩2210l R R =⎧⎨=⎩R l ⎧=⎪⎨=⎪⎩故答案为：.15．已知是平面内两个夹角为的单位向量，若，且与的夹角为21,e e 120︒12122,a e e b e ke =-=+a b 锐角，则实数的取值范围是_______. k 【答案】()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案.()011222a b k k ⋅=--->//a b r r 【详解】因为与的夹角为锐角， a b所以， cos ,0a b a b a b ⋅=⋅> 又因为，12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- 则，()()()()2122121221222201212a b e e e ke e k e e e k k k +⋅=-⋅+=---⋅-=->解得， 45k <当时，，即，，解得. //a b r r a b λ= ()1212122e e e ke e k e λλλ+==-+ =12k λλ⎧⎨-=⎩=12k λ⎧⎨=-⎩综上所述：且 45k <2k ≠-故答案为：()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 16．如图，在中，，，直线交于点，若则ABC A 12BM BC = NC AC λ=AM BN Q 57BQ BN = λ=_________ .【答案】/0.635【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可,,A M Q μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r ,,A N C解得，利用向量的线性运算化简可得，即.47μ=35N A C C =u u u r u u u r 35λ=【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，,,A M Q 存在实数使得,μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r 又，所以，,5712B B M BC Q BN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ()57112BC BN BA μμ=+-u u ur u u u r u u r 又三点共线，所以，解得，,,A N C 57112μμ=+-47μ=即可得，所以，2355B BC N BA =+u u u r u u u r u u r ()()2355B BA A AN A BA C +=++u u r u u u r u ur u u u r u u r 所以，即，可得，25AN AC =25NC AC AC -=u u u r u u u r u u u r 35N A C C =u u u r u u u r 又，即可得.NC AC λ= 35λ=故答案为：.35四、解答题17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．x α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求；sin 2cos 2cos sin αααα-+(2)求的值．2sin sin 2αα+【答案】(1)15-(2) 85【分析】（1）分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可；cos αtan α（2）利用二倍角公式变形，1的代换变成分式，分子分母同除，即可变成的分式，代入cos αtan α求值即可.【详解】（1）因为角终边经过点，所以， α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭4tan 3α=所以；sin -2cos tan 212cos sin 2tan 5αααααα-==-++（2）.2222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin2sin 2sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα+++=+===++18．已知向量，，，（）(3,1)a =-(1,2)b =- m a kb =+ R k ∈(1)若向量与垂直，求实数的值m ak(2)当为何值时，向量与平行.k ma b + 【答案】(1)2 (2)1【分析】根据向量垂直的坐标公式可得； 根据向量平行的坐标公式可得.【详解】（1）由已知可得，(3,12)m k k =-+-因为向量与垂直，所以，m a3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=解得；2k =（2），因为与平行，(2,1)a b +=--m a b + 所以，解得，2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+1k =所以当时，向量与平行 1k =ma b + 19．已知，，.π0π2αβ<<<<1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()4sin 5αβ+=(1)求的值；sin 2β(2)求的值.cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)79-【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算； （2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.【详解】（1）.27sin 2cos 22cos 1449ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以，π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<又因为，所以，()4sin 05αβ+=>2παβπ<+<所以；()3cos 5αβ+==-因为，所以，2πβπ<<3444πππβ<-<所以sin 4πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭所以 ()cos cos 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos cos sin sin 44ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314535=-⨯+20．已知向量，函数. ()1sin ,1,,cos22m x n x x ⎫==⎪⎭()f x m n =⋅ (1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；()f x (2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值. ABC A ,,A B C ,,a b c ()1,22f A a ==ABC A 【答案】(1)，此时自变量的取值集合为 ()max 1f x =ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，()f x 由正弦型函数的最值即可得到结果；（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果. ()f x π3A =【详解】（1）由题知，， ()1cos cos 22f x m n x x x =⋅=+ 1πcos 2sin 226x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭当，即时，最大，且最大值为，即∴ππ22π,62x k k +=+∈Z ππ,6x k k =+∈Z ()f x ()f x 1()max 1f x =，此时自变量的取值集合为. ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）由（1）知，，则， ()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因为在中， ，所以， ABC A 0πA <<ππ132π666A <+<所以，所以， π5π266A +=π3A =又由余弦定理及，得：，2a =π3A =2222cos a b c bc A =+-即， 22222cos 3πb c bc =+-所以，即（当且仅当时等号成立）.22424b c bc bc +-=≥-4bc ≤b c =所以. 11sin 22ABC S bc A bc ==≤A 21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A 乘缆车到B ，再从B 匀速步行到50m /min 2min C ．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路AC 长为3150m ，经测量，130m /min . 123cos ,cos 135A C ==(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】(1)2600m (2)35min 37【分析】1）在△ABC 中，由cosA 和cosC 可得sinA 和sinC ，从而得sinB ，由正弦定理，可得AB ； sin sin AB AC C B =（2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值.x 【详解】（1）法一：由题意得： 54sin ,sin 135A C ==所以 ()5312463sin sin sin cos cos sin 13513565B AC A c A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理得: 3150,463sin sin 565AB AC AB C B==即所以. 2600m AB =法二：， 12cos 13A =3cos 5C =∴， 5tan 12A =4tan 3C =如图作于点D,BD CA ⊥设，则，，20BD k =15DC k =48AD k =52AB k =由，解得：633150m AC k ==50k =则522600m AB k ==（2）设乙出发 （）后到达点M ，此时甲到达N 点， min x 020x ≤≤如图所示，则，130AM xm =()502AN x m =+由余弦定理得：22222cos 74001400010000MN AM AN AM AN A x x =+-⋅=-+所以当时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 35min 37x =22．已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b = ()f x 征向量，同时称函数为向量的相伴函数. ()f x OM(1)设函数，试求的相伴特征向量； ()73sin πsin π62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM (2)若向量的相伴函数为，且在区间上单调递增，求实数的取值范ON =u u u r ()f x ()f x [,]m m -m 围；(3)已知，，为的相伴特征向量，，(2,3)A -(2,6)B (OT =u u u r π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭请问在的图象上是否存在一点P ，使得.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明()y x ϕ=AP BP ⊥ 理由.【答案】(1)12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(2) π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦(3)存在，(0,2)P【分析】（1）化简得到，得到相伴特征向量. ()1cos 2g x x x =+（2）确定，计算函数的单调区间，得到，解得答案. π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦（3）确定得到，再计算，，根据向量垂直关2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2cos 2x x ϕ=,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭系，结合三角函数有界性得到答案.【详解】（1）， ()11sin cos cos cos cos 62π2g x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+=+ ⎪⎝⎭的相伴特征向量为()gx 12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（2）向量的相伴函数为，故，ON =u u u r ()fx ()sin 2i πs n 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭取，得， πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈所以的单调递增区间为， ()f x 5ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故，且，即，且，解得 []5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m >-5π6π6m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩0m >0π6m <≤所以实数的取值范围为. m 06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，（3），相伴特征向量为， 1()sin sin cos 62πh x m x x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(OT =u u u r 故，则， 2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()2sin 2sin 2cos 232362π2ππ2πx x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，， ,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,3),(2,6)A B -故，， 2,2cos 32A x P x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2,2cos 62B x P x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故， AP BP ⊥ (2)(2)2cos 32cos 6022AP B x P x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即，， 2244cos 18cos 18022x x x -+-+=229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，， 22cos 22x -≤≤13952cos 2222x -≤-≤-故，又， 225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭2252544x -≤当且仅当时，和同时等于，等式成立， 0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -254故在图像上存在点，使得. ()y h x =(0,2)P AP BP ⊥。
高一年级数学第二学期第二次月考试卷
高一数学第二学期第二次月考试卷本试题分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷两部分。
考试结束后；将答题卡和Ⅱ卷答题纸上交。
本试卷共150分；考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分；共65 分） 1．)619sin(π-的值是 ( ) A.21 B. 21- C. 23 D. 23- 2．时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 ( )A.π34 B. π92C. π92-D. π34-3. 已知1sin 1cos 2αα+＝－；则cos sin 1αα－的值是 ( )A ．12B ．12－ C ．2 D ．－24．sin163sin 223sin 253sin313+= ( )A ．12-B ．12C ．32-D ．325．若,(0,)2παβ∈；且sin cos 0αβ-<； 则 ( )A ．αβ<B ．αβ>C ．2παβ+< D ．2παβ+>6．与图中曲线对应的函数是 ( ) A. y =|sin x | B. y =sin|x | C. y = - sin|x | D.y = - |sin x |7. (1+tan25°)(1+tan200°)的值是( ) A . 2 B. -2 C. 1 D. -18.下列命题是真命题的是：①⇔b a //存在唯一的实数λ；使=aλb ；②⇔b a //存在不全为零的实数μλ，；使λ+aμ0 =b ；③a 与b 不共线⇔若存在实数μλ，；使λ+aμ0 =b ；则0==μλ；④a 与b 不共线⇔不存在实数μλ，使λ+aμ0 =b ．( )A ．①和③ B．②和③ C．①和② D． ③和④9．已知,7||,10==AC 则 ||BC 的取值范围是 ( )A ．[3；17]B ．（3；17）C ．[3；10 ]D ．（3；10）10．函数f （x ）=cos(3x+φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ） A. φ=π2 B . φ= kπ+π2 (k ∈Z)C. φ= kπ (k ∈Z)D. φ= 2kπ-π2(k ∈Z)11．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象；可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度12．把函数y =sin(2x +34π)的图象向右平移φ (φ>0)个单位；所得的图象关于y 轴对称；则φ的最小值是 ( ) A.65π B.125π C.32π D.6π 13．已知关于x 的方程012sin 2sin cos 22=++--a x x x 在区间02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解；则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(]11-，B ．()11-，C ．[)01，D ．[)10-，二、填空题（每小题5分；共25 分）14．函数y=15 sin(3x-π3) ),0[+∞∈x 的周期是 ；振幅是 ；频率是 ；初相是_________．15．1e ；2e 是两个不共线的向量；已知=AB 212e k e +；=CB 213e e +；=CD 212e e -且D B A ，，三点共线；则实数k = 16．在ABC ∆中；点D ；E ；F 分别是BC ；CA ；AB 的中点； 则CF BE BC AD AB ++++= ．17．若tan θ=2；则2sin 2θ－3sin θcos θ= 。
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一、选择题（每小题5分，共60分）1、若实数,,a b c R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 22a b >B.1ab> C.a c b c ->- D ．ac bc > 2、在等差数列{}n a 中， 79416,1a a a +==，则12a 的值是( )A. 15B. 30C.31 D ．643、已知△ABC 中，a x =，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x < C. 2x <<．2x <<4、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A ．210 B ．220 C. 230 D ．2405、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知︒===60,7,2B b a ．则ABC ∆的面积为（ ）A ．223 B.233 C ．33 D ．332 6、已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －y 的取值范围是( ) A ．[－1，20] B.[－7，26] C.[4，15] D ．[1，15]7、在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若ac B b c 3tan a 222=-+）（，则角B 的值为( ) A ．323ππ或B ．3πC ．4πD ．43π 8、若{n a }为等差数列,n S 是其前n 项的和,且1122,{}3n S b π=为等比数列, 4275π=∙b b ,则66tan()a b +的值为( )AB ．C ．±D ．39、意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...即()),3)(2()1()(,12)1(+∈≥-+-===N n n n F n F n F F F ，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，=2017b ( )A ．-1B ．0C ．1D ．0或110、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且4:3:2::=c b a ，则CBA 2s i n s i n 2s in -＝( )A ．－2B ．12 C ．1 D. 211、数列{a n }中，)(20192018*N n n n a n ∈--=，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A ．4544,a aB ．4445,a aC ．4342,a aD ．4243,a a 12、在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知12cos 13B =，且a 、b 、c 成等比数列，ABC △的面积52S =，则c a +的值等于( ) A ．72 B ．73 C ．7 D ．7黄骅中学2018－2019年度第二学期高中一年级第一次月考数学试卷第Ⅱ卷（共90分）注意事项：第Ⅱ卷共 2页，用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上。
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、不等式224x x-<的解集为________14、等差数列与的前项和为分别为和，若，则 ．15、在中, 角所对边的长分别是，已知，则的形状为________．16、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n n =+，1cos(1)n n n b a a n π+=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是_______ 三、解答题（共70分） 17、（本小题10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且203510+=S S ，122a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18、（本小题12分）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向600km 处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长？19、（本小题12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足()2c o s c o s b c A a C-=. (1)求角A 的大小;(2)若2,4a b c =+=,求ABC ∆的面积.20. （本小题12分）已知数列{}n a 的首项12a =，且满足11232n n n a a ++=+⋅，()*n N ∈.(1) 设2nn na b =，证明数列{}n b 是等差数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .21、（本小题12分）已知关于x 的不等式2320ax x -+>()a R ∈．（1）若关于x 的不等式2320ax x -+>()a R ∈的解集为{|1x x <或}x b >，求,a b 的值； （2）解关于x 的不等式2325ax x ax -+>-()a R ∈.22、（本小题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6,131==S a ，正项数列{}n b 满足1232ns n b b b b ⋅⋅⋅=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 （2）若*∈>N n a b n 对nλ均成立，求实数λ的取值范围。
答案 CACA B AA DCD BB 13、(1,2).- 14、233115、 等腰三角形 16、(,5]-∞- 17、 （Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得()⎩⎨⎧=++=+d a d a d a 1112010534510，解得12{2a d ==，所以*2n a n n N =∈，；....5分 （Ⅱ）∵()211122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，.........6分∴1111111212231n T n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ (10)分18、解：设从现在起经过xh 后该码头受到热带风暴的影响，经xh 后热带风暴到达A 点，则问题转化为A 点到O 点距离小于或等于450km，而由余弦定理得，-------5分∴由450≤得，解得，故该码头受到热带风暴影响时间约为------------12分19．(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+，()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+=，()0πB ∈，，sin 0B ∴≠，1cos 2A ∴=．........4分 ()0πA ∈，，π3A ∴=．........6分(2)由(1)知π3A =由余弦定理得2222π42cos 3b c bc b c bc =+-=+-， ()234b c bc ∴+-=，4b c +=，4bc ∴=，∴Δ11sin 422ABC S bc A ==⨯=．故ABC…………12分20.解(1)111111123232222n n n n n n n n n n n a a a a b b +++++++-⋅-=-===. ∴数列{}n b 是以1112a b ==为首项，3为公差的等差数列.…………4分 (2)由(1)可知()13132n b n n =+-=-，∴()322n n a n =-⋅.…………6分 ∴()23124272322n n S n =⋅+⋅+⋅+∧+-⋅①()()23121242352322n n n S n n +=⋅+⋅+∧+-⋅+-⋅②①-②得：()2312323232322n n n S n +-=+⋅+⋅+∧+⋅--⋅()()()2111212233225321012n n n n n -++-=+⋅--⋅=-⋅--…………11分∴()135210n n S n +=-⋅+.…………12分21、解：(1)解：由题，方程2320ax x -+=的两根分别为11x =，2x b =，于是9803{1 21a b a b a∆=->+=⋅=解得1,2a b ==.………4分（2）原不等式等价于()2330ax a x +-->，等价于()()130x ax +->………5分 ①当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x <-；………6分 ②当0a ≠时，11x =-，23x a=， 当0a >时，原不等式的解集为{|1x x <-或3}x a>；………8分 当0a <时，（i ）若31a >-，即3a <-时，原不等式解集为3{|1}x x a -<<………9分 （ii ）若31a <-，即30a -<<时，原不等式解集为3{|1}x x a <<-………10分（iii ）当31a=-，即3a =-时，原不等式的解集为∅.………11分综上所述 ………12分22．解：由题意可得1,11==d a 所以n n a =⨯-+=1)1(1nn s n b b b b 2321=∙∙∙ （1）1-21-321n s n b b b b =∙∙∙ ()2≥n （2）（1）（2）联立可得)2(2221-≥===-n b n a s s n n n n又222111===s b 满足上式，故)(2*∈=N n b n n ……………6分(2) *∈>N n a b n 对nλ均成立,即*∈>N n n n 对2λ均成立， 设，时，则当1n212n ,21≤+=≥=+n c c nc n n n n，即数列{}n c 单调递减，又21c c = 所以()21,2121max >===λ故c c c n 实数λ的取值范围⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21……………12分。