高考高中数学方差
高考高中数学方差知识讲解
因此第iC5一o名py同r学ig的ht射2击0成04绩-2稳0定1性1 较As差i5p，o第se二P名t同y 学Lt的d.射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差
Profile
5.2
从C而oEpXyrig1h1t 220014-2301114As1po5se1 P6ty1Ltd3..5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
D(aX b) a2DX
Evaluation only. ted w（it2h）A方s差p的os几ne个.S恒li等de变s形for .NET 3.5 Client Profile 5.2
CDopXyrigh(txi20E0X4)-22p0i 11 Aspose Pty Ltd. i 1 E( X EX )2 EX 2 (EX )2
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
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随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标
准差，记为 X
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
高中数学方差与标准差
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题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 14分为了保护学生的视力;教室内的日光灯在使用一段 时间后必须更换;已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使 用天数如下表：
自学导引 1 一组数据的 最大值与 最小值 的差称为极差
2．设一组样本数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 s2
＝
1 n
n
(xi－ x )2
i＝1
为这个样本的方差，其算术平方根 s
＝
1 n
n
xi－ x 2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标
i＝1
准差．
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方差 s2＝51[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87 －85)2]＝1.6.
标准差 s＝ 1.6＝25 10.
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题型二 方差与标准差的应用 例2 从甲 乙两种玉米苗中各抽10株;分别测得它们的株高单 位：cm如下： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：1哪种玉米的苗长得高 2哪种玉米的苗长得齐 思路探索 本题主要考查利用平均数和标准差 方差分析数据 的特征 看哪种玉米的苗长得高;只要比较甲 乙两种玉米苗的均高 即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐;只要看两种玉米的株高的 方差即可;因为方差体现一组数据波动大小的特征
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高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算与应用概率与统计是高中数学中的重要分支，它是数学与现实生活相结合的一门学科。
在概率与统计中，期望与方差是举足轻重的两个概念。
本文将为您总结概率与统计的基本概念、公式以及期望和方差的计算与应用。
一、基本概念1. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的范围在0和1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
2. 随机变量：将样本空间中每一个样本赋予一个实数值的函数，通常用大写字母X表示。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况的函数。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布。
二、常用公式1. 期望：用来描述随机变量平均取值的大小。
对于离散随机变量X，期望的计算公式为E(X) = Σ(x·P(X=x))，其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值的概率。
对于连续随机变量X，期望的计算公式为E(X) = ∫(x·f(x))dx，其中f(x)为概率密度函数。
2. 方差：用来描述随机变量取值的离散程度。
对于离散随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = Σ((x-E(X))^2·P(X=x))；对于连续随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = ∫((x-E(X))^2·f(x))dx。
三、期望与方差的计算1. 期望的计算方法：a. 对于离散随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率乘以相应取值的结果，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率密度函数乘以相应取值的结果，然后对这些结果进行积分即可。
2. 方差的计算方法：a. 对于离散随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率密度函数，然后对这些结果进行积分即可。
高中数学知识点：方差
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s (即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 要点诠释：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.。
方差的计算公式高中
方差的计算公式高中方差是统计学中常用的一个概念，它用来衡量一组数据的离散程度。
在高中数学中，我们学习了方差的计算公式以及相关的概念与性质。
方差的计算公式如下：方差= (∑(x - μ)²) / n其中，x代表每个数据点，μ代表所有数据点的平均值，n代表数据点的个数。
方差的计算需要先求出数据的平均值，然后计算每个数据点与平均值之差的平方，并对所有差值求和，最后再除以数据点的个数。
方差是用来衡量一组数据的离散程度的指标。
如果一组数据的方差较大，表示数据点之间的差异较大，数据的离散程度较高；反之，如果方差较小，则表示数据点之间差异较小，数据的离散程度较低。
方差的计算公式可以帮助我们更加准确地描述数据的分布情况。
通过计算方差，我们可以了解数据的离散程度，从而对数据进行更深入的分析和解读。
方差的计算公式中，我们首先要计算数据的平均值。
平均值是一组数据的算术平均数，可以通过将所有数据点相加，然后除以数据点的个数来计算得到。
平均值代表了一组数据的集中趋势，它可以帮助我们了解数据的整体水平。
接下来，我们需要计算每个数据点与平均值之差的平方。
这一步的目的是为了消除正负号对方差的影响，使得方差只表示数据点与平均值的距离的大小，而不受数据的正负影响。
我们将所有差值的平方相加，并除以数据点的个数，得到方差的值。
方差的单位是原数据单位的平方，因此方差的值并不直接展示数据的实际大小，而是用来衡量数据的离散程度。
方差的计算公式在统计学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们比较不同数据集的离散程度，从而进行数据分析和决策。
在实际应用中，我们可以通过计算方差来评估产品质量的稳定性、衡量股票投资组合的风险、分析科学实验的可靠性等。
方差是统计学中常用的一个概念，它用来衡量一组数据的离散程度。
方差的计算公式可以帮助我们更准确地描述数据的分布情况，从而进行数据分析和决策。
通过学习方差的计算公式，我们可以更好地理解数据的离散程度，提高数据分析的准确性和可靠性。
方差的计算公式高中
方差的计算公式高中方差是统计学中常用的一种衡量数据变异程度的指标。
在高中数学中，方差的计算公式是学生们需要了解和掌握的重要内容之一。
本文将介绍方差的计算公式以及其在高中数学中的应用。
方差是一个关键的统计量，用于描述一组数据的离散程度。
它衡量的是每个数据点与平均值之间的差异。
方差计算的公式如下：方差= ∑(xi - x̄)² / N其中∑表示求和，xi表示第i个数据点，x̄表示数据的均值，N表示数据的总数。
方差的计算步骤如下：1. 计算数据的均值：将所有数据相加，然后除以数据的总数，即可得到数据的均值x̄。
2. 将每个数据点与均值的差异求平方：对于每个数据点xi，将其与均值x̄的差异求平方，即(xi - x̄)²。
3. 求和：将所有(xi - x̄)²的结果相加，得到总和。
4. 除以数据的总数：将总和除以数据的总数N，得到方差的值。
方差计算公式的解读：方差的计算公式其实是将每个数据点与均值的差异进行平方，并加权求和。
平方的操作使得方差只考虑了离均值的距离的大小，而不考虑数据点是偏离均值的方向。
这样可以确保方差始终为非负数，并且方差值越大，数据的离散程度越高。
方差的计算公式在高中数学中的应用：方差的计算公式在高中数学中常常用于描述实验数据的离散程度。
例如，如果一个班级进行了一次小测验，学生们的分数可以被看作是一组数据。
通过计算这组数据的方差，我们可以判断学生们的成绩分布是否比较集中，或者分散程度是否较高。
此外，方差的计算公式也在高中统计学中起到重要的作用。
在统计学中，我们经常使用样本数据来推断总体数据。
通过计算样本数据的方差，可以帮助我们估计总体数据的方差，并进一步进行统计推断。
总结：方差的计算公式是高中数学中涉及的重要内容之一。
方差通过测量数据点与平均值之间的差异，能够帮助我们判断数据的离散程度。
方差的计算公式简洁明了，易于理解和应用。
在实际应用中，方差的计算公式可以帮助我们分析数据的分布情况，并进行推断和预测。
高中数学教案概率分布的方差与标准差
高中数学教案概率分布的方差与标准差高中数学教案：概率分布的方差与标准差概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机事件发生的规律性。
在高中数学课程中，我们需要了解概率分布的方差与标准差，它们是衡量概率分布离散程度的指标。
本教案将详细介绍方差与标准差的计算方法、性质以及在实际问题中的应用。
1. 方差的计算方法方差是用来度量概率分布离散程度的统计量。
对于离散型随机变量X，其方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)]其中，Xi表示随机变量X的取值，μ表示随机变量X的期望值，P(Xi)表示Xi取值的概率。
例如，某班级学生的考试成绩服从离散型随机变量X，其取值为{60, 70, 80, 90, 100}，对应的概率分别为{0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2}。
求该班级学生考试成绩的方差。
解：首先计算随机变量X的期望值μ：μ = Σ(Xi * P(Xi)) = 60*0.1 + 70*0.2 + 80*0.3 + 90*0.2 + 100*0.2 = 82然后计算方差Var(X)：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)] = (60-82)²*0.1 + (70-82)²*0.2 + (80-82)²*0.3 + (90-82)²*0.2 + (100-82)²*0.2 = 1362. 标准差的计算方法标准差是方差的平方根，它衡量了概率分布离散程度相对于期望值的距离。
标准差的计算公式如下：σ = sqrt(Var(X))继续以前述班级学生考试成绩为例，求该班级学生考试成绩的标准差。
解：首先计算方差Var(X)：Var(X) = 136然后计算标准差σ：σ = sqrt(Var(X)) = sqrt(136) ≈ 11.663. 方差与标准差的性质方差和标准差具有以下性质：- 方差和标准差都是非负的。
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识讲解】1．若离散型随机变量ξ的分布列为X x 1x 2 … x i… x n Pp 1 p 2 … p i…p n(1)则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
(2)把 叫做随机变量方差，D ξ的算术平方根D ξ叫做随机变量ξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 偏离于均值的平均程度 。
其中标准差与随机变量本身有 相同单位 。
2．均值与方差的计算公式(1)若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________； (2)若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ；(3)若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：(1)曲线在 ；(2)曲线关于直线 对称； (3)曲线在x μ=时 ；(4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
【巩固练习】离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知随机变量X 的分布列为X －2 －10 1 2 3 P 112 m n 112 16 112其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝16，则m ，n 的值分别为( )A.112，12B.16，16C.14，13D.13，14 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4004．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10 D．2－85．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6二、填空题(每小题6分，共24分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝______. 7．(2009·上海)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝__________(结果用最简分数表示)．8．(袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.三、解答题(共41分)10．(13分)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．11．(14分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．12．(14分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物 化学 物理 数学 周一 14 14 14 14 12 周三 12 12 12 12 23 周五1313131323(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【巩固练习】均值与方差、正态分布基础热身1．下面说法正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (2X ＋1)等于( )A.54B.52C ．3D.72 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X ，则X 的数学期望是( )A.15B.310C.45D.654．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X ，则X 的数学期望是( ) A.14 B.12 C.316 D.34能力提升5．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．206．[2010·课标全国卷] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．已知离散型随机变量X的概率分布列为X 13 5P 0.5m 0.2则其方差D(X)等于()A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.48．[2010·广东卷] 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15859．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8 B．8 C．16 D．15.610．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为23，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．14．(10分)[2011·泰兴模拟] 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．15．(13分)[2011·南漳一中月考] 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望E(X)．难点突破16．(12分)[2011·衡阳联考] 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n 人，统计结果如图K63－1表示抽查的n 人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，下表表示抽查的n 人中回答正确情况的统计表．图K63－1广告一 广告二 回答正确 的人数 占本组人 数的频率 回答正确 的人数 占本组人数 的频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60)150.2560.1(1)分别写出n ，a ，b 的值；(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．基础知识参考答案：1.【提示】1122n n x P x P x P +++ ,平均水平,21()nii i D xE P ξξ==-∑,标准差,σξ,偏离于均值的平均程度,相同单位2.【提示】AE ξ+b ，a 2D ξ，P ，P （1－P ），nP ，nP(1－P)3.【提示】22()21,2x e x R μσπσ--∈4.【提示】,()bax d x μσϕ⎰，μ和σ，2(,)N μσ，2~(,)X N μσ5.【提示】位于x 轴上方，与x 轴不相交，x μ=，达到峰值12πσ，1，越“矮胖”，分散巩固练习参考答案：10. 解 (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (ξ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ 23 4 P35310110(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝2·35＋3·310＋4·110＝52；随机变量ξ的方差 D (ξ)＝(2－52)2·35＋(3－52)2·310＋(4－52)2·110＝920.P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425， 故ξ的分布列为ξ 23 4 P9251225425故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－124×23＝18； P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×23＝724；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×23＝13； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×23＝316； P (ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫124×23＝124.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ 01 2 3 4 5 P1481872413316124故E (ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝83.【基础热身】1．C [解析] 离散型随机变量X 的期望E(X)反映了X 取值的平均水平，它的方差反映X 取值的离散程度．2．D [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72. 3．D [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝C 22C 25＝110，P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P(X ＝2)＝C 23C 25＝310.所以E(X)＝65.4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为316.4次摸奖中奖的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫316，4，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×316＝34.【能力提升】5．B [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E(X)＝n2，又E(X)＝15，则n ＝30. 所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E(Y)＝30×13＝10. 6．B [解析] X 的数学期望概率符合(n ，p)分布；n ＝1 000，p ＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200. 7．C [解析] 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.8．B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－P 2≤X ≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B .9．A [解析] X 的取值为6,9,12，相应的概率P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．1.4 [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X ＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X ＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.11.139 [解析] 试验次数X 的可能取值为1,2,3，且P(X ＝1)＝23， P(X ＝2)＝13×23＝29，P(X ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P232919所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫12，8，故D(X)＝8×12×12＝2.13．(1 000,20 000) [解析] X 表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为X 100 100－a P0.9950.005E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－a200.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a ∈(1 000,20 000)．14．[解答] (1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝C 23C 26＝15.(2)X 可取1,2,3,4.P(X ＝1)＝C 13C 16＝12，P(X ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P(X ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P(X ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120；故X 的分布列为X 1 2 3 4 P12310320120E(X)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：X 的数学期望为74.15．[解答] (1)由题意知随机变量X 的取值为2,3,4,5,6.P(X ＝2)＝210×210＝125，P(X ＝3)＝210×310＋310×210＝325，P(X ＝4)＝210×510＋510×210＋310×310＝29100，P(X ＝5)＝310×510＋510×310＝310，P(X ＝6)＝510×510＝14.所以随机变量X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P1253252910031014(2)随机变量X 的期望为E(X)＝2×125＋3×325＋4×29100＋5×310＋6×14＝235.【难点突破】16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为900.5＝180.根据频率分布直方图可得180n ＝0.015×10，得n ＝1200，∴a ＝45180＝14，160b ＝1200×0.02×10，b ＝23.∴n ＝1200，a ＝14，b ＝23.(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P 1＝12，P 2＝14.大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P 3＝23，P 4＝12.设随机变量X 表示该家庭获得的资金数，则X 的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列为X 020 30 40 50 60 70 80 100 P116316112181414816116124∴E(X)＝0×116＋20×316＋30×112＋40×18＋50×14＋60×148＋70×16＋80×116＋100×124＝4556.。
高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美
EX)2 的期望，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX . 方差越小，则随机变量的取值就越 集中 在其均值周 围；反之，方差越大，则随机变量的取值范围就越 分散．
2．常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布，则 EX＝ p ，DX＝ p(1－p) ； (2)若 X～B(n，p)，则 EX＝ np ，DX＝ np(1－p) ； (3)若 X 服从参数为 N，M，n 的几何分布，则 EX＝ nM N .
0.56<DX，乙稳定．
5．(2011· 上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表： x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？
请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处完全无法看 清， 且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数 值相同．据此，小牛给出了正确答案 Eξ＝________.
[答案]
2
[解析]
nM 4×5 EX＝ N ＝ 10 ＝2.
7．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值．
[解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 则 Eξ＝p＝0.6. (2)由题意，重复 5 次投篮，命中次数 η 服从二项分布， 即 η～B(5,0.6)．则 Eη＝5×0.6＝3. 0 0.4 1 0.6
课堂典例讲练
离散型随机变量的均值
[例 1]
袋中有同样的 5 个球， 其中 3 个红球， 2 个黄球，
现从中随机且不返回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球 都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 X 为此时已摸球的次 数． (1)求随机变量 X 的概率分布列； (2)求随机变量 X 的均值． [分析] 解题的关键是确定随机变量的取值和应用排列
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、 期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξ x 1 x 2 x 3 … x n … PP 1P 2P 3…P n…则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。
E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P2、 方差、标准差定义：D ξ=(x 1-E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。
D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。
若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一 期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P (ξ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (ξ＋2)2，(21)D ξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：ξ 110 120 125 130 135P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．ηη 100 115 125 130 145P0.10.20.40.10.2考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
高一方差的计算公式
高一方差的计算公式在我们高中数学的学习中，方差可是一个重要的概念呢。
说起方差，它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数据分布的秘密之门。
方差的计算公式是：$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2]$ 。
这里的$n$表示样本数量，$\overline{x}$表示样本的平均数，$x_i$表示第$i$个样本值。
咱们来举个例子理解一下这个公式哈。
比如说，有一组同学的数学考试成绩分别是 85 分、90 分、95 分、100 分、105 分。
首先，咱们得算出这组成绩的平均数，也就是把这几个数加起来再除以 5 。
（85 + 90 + 95 + 100 + 105）÷ 5 = 95 分，这个 95 分就是平均数$\overline{x}$ 。
接下来，咱们就用方差公式来算方差。
第一个成绩 85 分，它与平均数的差是 85 - 95 = -10 ，平方一下就是(-10)^2 = 100 。
第二个成绩 90 分，与平均数的差是 90 - 95 = -5 ，平方就是 (-5)^2 = 25 。
第三个成绩 95 分，与平均数的差是 95 - 95 = 0 ，平方还是 0 。
第四个成绩 100 分，与平均数的差是 100 - 95 = 5 ，平方就是 5^2 = 25 。
第五个成绩 105 分，与平均数的差是 105 - 95 = 10 ，平方就是 10^2 = 100 。
然后把这些平方差加起来：100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 。
最后，再除以样本数量 5 ，得到方差就是 250÷5 = 50 。
这就意味着这组同学的成绩分布相对比较集中还是分散呢？通过方差的值我们就能判断出来啦。
再比如说，前段时间我们班组织了一次物理实验，测量同一物体在不同条件下的长度。
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
高中数学必修三方差计算公式
高中数学必修三方差计算公式方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，是高中数学必修三课本的重点内容，下面小编给大家带来数学必修三方差计算公式，希望对你有帮助。
高中数学必修三方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X)=72;Y：73，70，75，72，70 E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
高中数学必修三方差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取);证：特别地D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值)3.若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3++xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3xn表示这组数据具体数值)方差公式：S^2=〈(M-x1)^2+(M-x2)^2+(M-x3)^2++(M-xn)^2〉╱n 高中数学必修3统计知识点分层抽样(1)分层抽样(类型抽样)：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
【高中数学】高中数学知识点：标准差方差
【高中数学】高中数学知识点：标准差方差【高中数学】高中数学知识点：标准差、方差
方差和标准差的定义：
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
设置一组数据
的平均数为
然后
，其中s
二
表示方差，s表示标准差。
通常，均值、方差和标准差具有以下特性：
若数据
平均数字是
，方差为s
二
，标准差为s.则新数据
平均数字是
a
＋b
，方差为
，标准差为
特别地，如a＝1，则新数据的方差、标准差与原数据相同，分别为s
二
，s。
因此，当一组数据均较大且接近某个常数时，可先将每个数同时减去这个常数，再计算这组新数据的方差，它与原数据的方差相等.
方差和标准差的显著性：
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的波动
大小，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
人口的数字特征由样本的数字特征估计，可分为两类：
①用样本平均数估计总体平均数．
② 通过样本方差和标准差估计总体方差和标准差。
样本量越大，估计越准确
计算标准差的算法：
（1）计算样本数据的平均值；
(2)算出每个样本数据与样本平均数的差
;
(3)算出
（4）算计
这n个数的平均数，即为样本方差s
二
；
（5）计算方差的算术平方根，即样本标准偏差s。
高中方差公式
高中方差公式高中方差公式是在数学中的一种概念，它用来度量一组数据值分布的离散程度。
它的定义如下：方差（variance）: 是指一组数据值中各个数据值与平均值之间的差值的平方和除以数值的个数所得的值。
公式：总体方差：$σ^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$样本方差：$S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$其中：$N$：数据的个数$x_i$：单个数据中的每个数值$\bar{x}$：数据平均值方差公式的本质是用来度量一组数据的离散程度的，也可以理解为数据的离散程度：当两个数字相距较近时，他们的差值较小，故方差较小；当两个数字之间的差值较大时，方差就会较大。
它与均值，标准差和原始数据分布紧密相关，在平均水平分析和样本分析方面有着重要的应用价值。
一、高中方差公式是什么1、定义：方差（variance）: 是指一组数据值中各个数据值与平均值之间的差值的平方和除以数值的个数所得的值。
2、公式推导：总体方差：$σ^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$样本方差：$S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$其中：$N$：数据的个数$x_i$：单个数据中的每个数值$\bar{x}$：数据平均值3、应用：方差公式的本质是用来度量一组数据的离散程度的，也可以理解为数据的离散程度。
它与均值，标准差和原始数据分布紧密相关，在平均水平分析和样本分析方面有着重要的应用价值。
二、如何计算方差1、理解公式：首先要理解方差公式中的变量，例如，$N$ 是表示数据的个数，$x_i$ 是表示单个数据中的每个数值，$\bar{x}$ 是数据平均值等。
2、计算步骤：（1）求平均值：将所有数据相加，再除以数据个数得到平均值。
（2）求每个数据与平均值的差值：遍历数据集，对每个数据减去对应的平均值，得到每个数据与平均值的差值。
【高中数学】第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差
7.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列如表所示．X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n我们用X 所有可能取值x i 与E (X )的偏差的平方(x 1－E (X ))2，(x 2－E (X ))2，…，(x n －E (X ))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E (X )的偏离程度．我们称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差(variance)，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X )．知识点二 离散型随机变量方差的性质 1．设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．D (c )＝0(其中c 为常数)．1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × ) 2．若a 是常数，则D (a )＝0.( √ )3．离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( √ ) 4．若a ，b 为常数，则D (ax ＋b )＝a D (x ).( × )一、求离散型随机变量的方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又由E (η)＝aE (ξ)＋b ，得1.5a ＋b ＝1，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X 的意义，写出X 的所有取值； ②求出X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④计算E (X )； ⑤计算D (X )．(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b ，则D (η)＝a 2D (ξ)． 跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E (ξ)，D (ξ)，D (ξ)； (2)设η＝2ξ＋3，求E (η)，D (η)．解 (1)E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，D (ξ)＝53. (2)E (η)＝2E (ξ)＋3＝73，D (η)＝4D (ξ)＝209.二、方差的应用例2有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．反思感悟均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．跟踪训练2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些． 三、分布列、均值、方差的综合应用例3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X ，求X 的分布列、均值及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝13×13＝19.P (X ＝1)＝13×23＋23×14＝718，P (X ＝2)＝23×34＝12.故X 的分布列为E (X )＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－25182×19＋⎝⎛⎭⎫1－25182×718＋⎝⎛⎭⎫2－25182×12＝149324. ∴σ(X )＝D (X )＝14918. 反思感悟 处理综合问题的方法第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率． 第三步：列分布列，并计算均值及方差．跟踪训练3 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝xy ，求： (1)X 所取各值的分布列；(2)随机变量X 的均值与方差．解 (1)由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,4.“X ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P (X ＝0)＝1－23×23＝59，“X ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P (X ＝1)＝13×13＝19，“X ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (X ＝2)＝2×13×13＝29，“X ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (X ＝4)＝13×13＝19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P59192919(2)E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E (X 甲)＝E (X 乙)，方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案 B3．(多选)下列说法中错误的是( )A ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值答案 ABD解析 E (X )反映了X 取值的平均水平，D (X )反映了X 取值的离散程度．4．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pabc112答案512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.1．知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差． (2)离散型随机变量的方差的性质． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：方差公式套用错误．1．随机变量X 的方差，反映其取值的( )A ．平均水平B ．分布规律C ．波动大小D ．最大值和最小值答案 C2．(多选)已知X 的分布列为则( ) A ．E (X )＝2912B ．D (X )＝121144C ．D (X )＝179144D ．E (X )＝1712答案 AC解析 ∵E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144. 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙均可 D ．无法确定答案 A解析 ∵E (X 1)＝E (X 2)＝1.1，D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好．4．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k (1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )，D (X )的值分别是( ) A ．0和1 B ．p 和p 2 C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p答案 D解析 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ， 故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．5．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.6．已知随机变量X 的分布列如表所示：则a ＝________，D (X )＝________. 答案 0.5 3.56解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a ＝1，所以a ＝0.5， E (X )＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D (X )＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.7．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5 解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－p 1＋p 3＝0.1，1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89，p 1＋p 2＋p 3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.8．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________，此时p ＝________.答案 14 12解析 随机变量X 的所有可能的取值是0,1，并且P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝1－p . 从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2 ＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14. ∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (X )取最大值，最大值是14.9．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. 同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)>E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． 10．已知X 的分布列为(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎫1＋142×14＝1116. (3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2， D (Y )＝42D (X )＝11.11．设随机试验的结果只有A 发生和A 不发生，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则X 的方差D (X )等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )答案 D解析 显然X 服从两点分布，∴D (X )＝m (1－m )． 12．(多选)已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3 P13ab若E (X )＝116，则( )A ．a ＝12B ．b ＝16C ．D (X )＝1736D ．D (X )＝2318答案 ABC解析 由题意得a ＋b ＝23.①由E (X )＝13＋2a ＋3b ＝116，②得2a ＋3b ＝32，联立①②，得a ＝12，b ＝16.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1162×13＋⎝⎛⎭⎫2－1162×12＋⎝⎛⎭⎫3－1162×16＝1736.故选ABC. 13．已知随机变量ξ的分布列为ξ m n P13a若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无法计算 答案 D解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝2(n －2)2，当n ＝2时，D (ξ)取得最小值，此时m ＝2，不符合题意，故D (ξ)无法取得最小值．14．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 答案 3解析 由已知得 ⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，2⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫x 2－432＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2， 又x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3.15．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E (ξ)＝________，D (ξ)＝________. 答案 1 1解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.16．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别如下表：(1)在A ，B 两个投资项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资项目A ，(100－x )万元投资项目B ，f (x )表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B 所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值．解 (1)根据题意，知Y 1和Y 2的分布列分别如下表：从而E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2)＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝12 500(4x 2－600x ＋30 000) ＝1625(x －75)2＋3， 当x ＝75时，f (x )取得最小值3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
人教课标版(B版)高中数学必修3方差、标准差知能阐释
方差、标准差知能阐释一、要点剖析1．样本方差一般地，样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数222212()()()n x x x x x x S n -+-++-=叫做样本方差。
（1）样本方差越大，说明样本的差异和波动性大；（2）当样本容量较大时，样本方差很接近反映总体差异和波动大小的特征数——总体方差，我们通常都是用样本方差去估计、推断总体方差的。
（3）两个简化公式①22222121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦； ②22/2/2/2/121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦。
其中/11x x a =-，/22x x a =-，…，/nn x x a =-，a 是接近原数据的平均数的一个常数。
2．样本标准差（1）样本标准差：方差的算术平方根(n S x x =++-叫做样本的标准差。
它是一个用来衡量一组数据波动大小的重要的量。
（2）标准差的计算步骤：①算出样本数据的平均数x ； ②算出每个样本数据与平均数的差i x x -（1i =，2，3，…，n ）；③算出②中的i x x -（1i =，2，3，…，n ）的平方；④算出③中n 个平方数的平均数；⑤算出④中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
（3）标准差的应用标准差反映了数据对平均数的离散程度，标准差越大，数据的离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小。
在实际应用中，标准差通常被理解为稳定性，标准差越小，说明产品的质量越稳定。
3．样本方差与标准差的异同二、范例剖析例1 计算下面这组数据的方差和标准差（结果精确到0.1）：423，421，419，420，421，417，422，419，423，418分析：方差有三个计算公式，计算方差时要灵活选用，以便减轻运算量。
解析：方法1：222221423421418(423421418)101010S ⎡⎤+++⎛⎫=+++-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2140231766559101010⎡⎤⎛⎫=-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦[]117665591766520.910=- 138.110=⨯ 3.8≈。
高中样本方差计算公式
高中样本方差计算公式在高中数学的学习中，样本方差计算公式可是个相当重要的知识点呢！咱们今天就来好好聊聊它。
不知道大家有没有这样的经历，比如说学校组织了一场义卖活动，每个班级都要统计自己的销售额。
老师把咱们班同学的销售额都记录下来，想要知道这组数据的离散程度，也就是大家销售额的差异大小。
这时候，样本方差计算公式就派上用场啦！咱们先来说说什么是样本方差。
简单来说，样本方差就是用来衡量一组样本数据离散程度的统计量。
它反映了样本中各个数据与样本均值的偏离程度。
那样本方差的计算公式到底是啥呢？它是这样的：假设一组样本数据为$x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$，样本均值为$\overline{x}$，那么样本方差$S^2$的计算公式就是：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 。
这个公式看起来有点复杂，是吧？别担心，咱们来拆解一下。
首先，$(x_i - \overline{x})$表示的是每个数据与均值的差值，把这些差值平方后再求和，然后除以$n - 1$，就得到了样本方差。
比如说，咱们班同学的销售额分别是 100 元、120 元、90 元、110 元、130 元。
先算出均值：$(100 + 120 + 90 + 110 + 130)÷ 5 = 110$ 元。
接下来算每个数据与均值的差值：$(100 - 110)^2 = (-10)^2 = 100$$(120 - 110)^2 = 10^2 = 100$$(90 - 110)^2 = (-20)^2 = 400$$(110 - 110)^2 = 0^2 = 0$$(130 - 110)^2 = 20^2 = 400$把这些差值的平方加起来：$100 + 100 + 400 + 0 + 400 = 1000$ ，再除以$5 - 1 = 4$，得到样本方差$S^2 = 1000÷ 4 = 250$ 。
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成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩
在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DX p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 DX np(1 p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k 2Cnk pk (1 p)nk n(n 1) p2 np
k 0
n
2np kCnk pk (1 p)nk 2n2 p2 k 0
n
n p n2 p2 Cnk pk (1 p)nk 2 2 k 0
第二步得 DX np(1 p)
3、方差的性质
（1）线性变化 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
因为 EX1 EX 2 , DX1 D，X所2 以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
（三）、练习
1 .已知 ~ Bn, p, E 8, D 1.6 ，则 n, p 的值分别是（ D ）
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i 8)2 P( X1 i) 1.50 ,DX 2 (i 8)2 P( X 2 i) 0.82
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
D(aX b) a2DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX (xi EX )2 pi i 1 E( X EX )2 EX 2 (EX )2
注：要求方差则先求均值
4、应用举例 （1）计算
例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2
…
xi
…
xn
P p1 p2 …
pi
…
pn
则 (xi EX )2描述了 xi (i 1, 2,..., n相) 对于均值 EX
的偏离程度. n
而 DX (xi EX )2 p为i 这些偏离程度的加权平均，刻画 i 1
了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为
(1800 -1400) 2 0. 1 40 000
EX 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400
DX 2 (1000 -1400)2 0. 4 (1 400 -1400)2 0.3 (1800 -1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
X1
2 34 5 6
.
1
11
P
6从而 EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
6
6
6
6
(5 3.5)2 1 (6 3.5)2 1 2.92
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X1 , X 2的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
6
6
X DX 1.71
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P 2
探究:
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX1 (1200 -1400) 2 0. 4 (1400 -1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标
准差，记为 X
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差