三角函数的图像与性质优秀教案

三角函数图像与性质复习

教案目标：

1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。

2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数)

sin(ϕω+=x A y 的图象。

难点：一般函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与性质。

【教案内容】

1、引入：

有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。”

2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数：

注意：

最小正周期：

一般函数)sin(ϕω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示

及频率： ，相位： 。

正切函数：

3、三角函数的图象：

值域:tan ;tan .2

2

22

x x x x x x π

π

π

π

<

→

→+∞>-

→-→-∞当且时，当且时，

单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22

k k π

π

ππ-

+内，函数单调递增.

对称性:对称中心：(

,0)()2

k k Z π

∈，无对称轴。 五点作图法的步骤：

（由诱导公式画出余弦函数的图象）

【例题讲解】

例1 画出下列函数的简图

(1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈

例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 (2)3[,

]22x ππ

∈-

解不等式3

sin 2

x ≥-

4([,])33x ππ∈-

例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3

4

4

f x x x x π

π

π

=-+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域。

例4已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02

A π

ωϕ>><<

）的周期为π，

且图象上一个最低点为2(

,2)3

M π

-. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0,

]12

x π∈，求()f x 的最值.

例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性：

(1)1tan()26

y x π=-；(2)tan(2)4y x π

=-．

【过手练习】

1、函数sin(2)3

y x π

=+

图像的对称轴方程可能是（）

A ．6x π

=-

B ．12

x π

=-

C ．6x π

=

D ．12

x π

=

2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像

如下，那么ω=（）

A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 3

1

3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

32

D. －2，

32

4、函数y=

2cos 2

2sin 1

x x --定义域是____________________.

5、函数sin(2)3

y x π

=-

的单调递增区间是_____________________

x y 2cos =的单调递增区间是_____________________________

6、使函数x y tan =和x y sin =同时为单调递增函数的区间是．

【拓展训练】

1、已知函数2

π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭

（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围．

2、已知函数f （x ）=x

x x 2cos 1

cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其

值域.

3、求证：（1）x x y cos sin += 的周期为

2

π

． 补充：设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．

（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4

[0,]3

x ∈时

()y g x =的最大值．

【课后作业】

1、在[0,2]π上，满足1

sin 2

x ≥

的x 的取值范围是（ ） A.[0,]6π B. 5[,

]66ππ C.2[,]63ππ D.5[,]6

π

π 2、cos y x =的图象向左平移2

π

个单位后，得到()y g x =的图象，则()g x 的解读式（ ）

A.sin x -

B. sin x

C.cos x -

D.cos x