数学建模 微分方程模型ppt课件
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《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助 您进一步学习微分方程和数 学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
数学建模-微分方程模型.pptx
2019年11月8
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
谢谢你的阅读
1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
谢谢你的阅读
2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
谢谢你的阅读
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
谢谢你的阅读
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
谢谢你的阅读
29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
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1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
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2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
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51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
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t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
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29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
数学建模微分方程模型44页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数学建模微分方程模型
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数学建模微分方程模型
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
《微分方程建模》PPT课件
h(t) ( H B g t)2 这就是水位与时间的关系。 A2
在h=0，即水放光时
t* A 2H Bg
2.耐用消费品的销售—新产品的销售量
一种耐用消费品进入市场后，一般是开始销得慢，逐渐加快， 当普及了之后，速度又逐步减小，Product Life Cycle产品生 命周期。有人认为应该是钟型曲线，请建模分析一下PLC曲线。
度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为：
k8%d/n，含量变为： 8%(1- kd )
n
第二层吸收了
k8%(1- kd ) d nn
第二层后浓度 8%(1- kd )-k8%(1- kd ) d
n
nn
= 8%(1 kd )2
n
依此类推，最后第n层后的浓度为
8%(1 kd )n n
从而n→∞即无限细分通过d厘米后出口浓度
建立模型：
记潜在市场人数为K，n(t)为t时刻已购买者的人数， t到t+△t之间△n1为完全由消费者外信息交流造成的增加量, △n2为由消费者内部造成的消费增加量。
假设
假设 所以
△n1与未购买者成正比，即△n1=a(K-n(t)) △t, △n2与未购买者成正比，也与已购买者成正比， △n2=bn(t)(K-n(t))△t,其中a,b为比例系数（常数）
（2）要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm
练习： 1.用处理放水问题和耐用消费品销售量的方法推出出口
浓度与吸收层厚度的关系模型。 2.推出线长度为L的单摆的周期计算公式。 马上拿纸做，下课交，做什么程度算什么样。
引入变量t：0 t d 表示厚度的变化，
引入函数f(t)表示通过厚度t后的浓度：8% f (t) f (d)
数学建模竞赛---微分方程模型PPT课件
tr tr
F(r,t)0r p(s,t)ds
p0 (r)
tr
N(t)0rm p(s,t)ds
14 0
f (t)
t
生育率的分解
k(r,t) ~(女性 )性别比函数 b(r,t)~(女性 )生育数[r1,r2 ] ~ 育龄区间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
19
建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
2）平均年龄 R(t)N1(t)0rmrp(r,t)dr
3）平均寿命
S(t) e d t(r,t)dr 0
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数 (t)R (t)/S(t)
控制生育率
17
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
二、 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
36
模型3
di/dt
dii(1i)i
dt
i
/
ddtii[i(11)]
>1
i0
>1
数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时 速度方向始终指向走私船，
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
2021精选ppt
22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
2021精选ppt
x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
2021精选ppt
drawnow
end2021精选ppt来自29电影动画制作（zxy7_3)
moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
2021精选ppt
12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
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22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
2021精选ppt
x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
2021精选ppt
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end2021精选ppt来自29电影动画制作（zxy7_3)
moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
2021精选ppt
12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
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建模 N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
dt
i(1
i)
i(0) i0
< >15
模型2
di
i(1
i)
dt
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
微 分 方 程模型
§1 微分方程模型 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
1
§1 微分方程模型
一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、 社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关 变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微 分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
< >16
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
0
1-1/ 1 i
0
t0
t
i()
1
1
,
1
0,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
1 i(t)按S形曲线增长
i0小
感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
< >18
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
< >17
模型3 di i(1 i) i / di i[i (1 1 )]
dt
i
dt
di/dt
>1
i0
>1
i
1
1-1/
i0 di/dt < 0
i0
< >3
模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
< >4
模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。
模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
< >8
从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。
< >9
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
< >11
(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中， 许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。
< >12
问题
§2 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >13
模型1 已感染人数 (病人) i(t) 假设 • 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平
衡值，就不必去求解微分方程了！
< >10
至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程模型。
< >2
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。
di i
dt i(0) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t) i0et
ti ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
< >14
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
< >6
体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），
当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw 5429 69w 1296 16w
dt 41868
10000
w |t0 w0
< >7
16t
129616W (129616W0 ) e 10000
< >5
模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考 虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天） =5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。