简单的函数方程
函数的Cauchy-Riemann方程解析
函数的Cauchy-Riemann方程解析引言在复分析中，Cauchy-Riemann方程是一个重要的方程组，它描述了复函数在某一点处的可微性。
该方程组以奥古斯丁·路易·柯西和伯恩哈德·黎曼的名字命名，他们于19世纪独立地发现了它。
Cauchy-Riemann方程Cauchy-Riemann方程由两个方程组成：u x=v yu y=−v x其中u和v是复函数f(z)的实部和虚部，z=x+iy是复数。
推导Cauchy-Riemann方程可以通过使用复微分的定义来推导出。
复微分的定义如下：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ如果f(z)在z=z0处可微，那么该极限存在，并且与ℎ无关。
现在，让我们将复微分的定义应用于函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
我们得到：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)+iv(x+ℎ,y+k)−u(x,y)−iv(x,y)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)−u(x,y)ℎ+ilimℎ→0v(x+ℎ,y+k)−v(x,y)ℎ=u x(x,y)+iv x(x,y)同样的，我们可以得到：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)+iv(x+ℎ,y+k)−u(x,y)−iv(x,y)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)−u(x,y+k)ℎ+ilimℎ→0v(x+ℎ,y+k)−v(x,y+k)ℎ=u y(x,y)−iv y(x,y)将这两个方程结合起来，我们得到：u x(x,y)+iv x(x,y)=u y(x,y)−iv y(x,y)等式两边取共轭，可得：u x(x,y)−iv x(x,y)=u y(x,y)+iv y(x,y)将这两个方程加起来，我们得到：2u x(x,y)=2u y(x,y)2v x(x,y)=−2v y(x,y)将这两个方程除以 2，我们得到：u x(x,y)=u y(x,y)v x(x,y)=−v y(x,y)这就是Cauchy-Riemann方程。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
指数与对数函数的方程与不等式
指数与对数函数的方程与不等式指数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍指数与对数函数的方程与不等式的求解方法和应用。
一、指数函数方程的求解指数函数方程是形如y=a^x的方程，其中a为常数，x和y为变量。
求解指数函数方程的一般步骤如下：1. 将指数函数方程转化为对数函数方程。
对于y=a^x，我们可以将其转化为对数形式：x=loga(y)。
2. 根据对数函数的性质，将对数函数方程进行化简。
例如，利用对数函数的指数与对数互为反函数的性质，可以将方程简化为x=logay。
3. 求解化简后的对数函数方程。
利用对数函数的性质和求对数的方法，我们可以得到方程的解。
例如，求解指数函数方程2^x=8，我们可以将其转化为对数函数方程x=log2(8)，再利用对数函数的性质将其化简为x=3。
因此，方程2^x=8的解为x=3。
二、对数函数方程的求解对数函数方程是形如y=loga(x)的方程，其中a为常数，x和y为变量。
求解对数函数方程的一般步骤如下：1. 利用对数函数的性质将对数函数方程进行化简。
例如，利用对数函数的底数和真数的换底公式将方程化简为一个常用底数（如10或e）的对数函数方程。
2. 求解化简后的对数函数方程。
利用求对数的方法和对数函数的性质，我们可以得到方程的解。
例如，求解对数函数方程log2(x)=3，我们可以利用对数函数的性质将其化简为log(x)/log(2)=3，再通过计算得到log(x)=3log(2)，最后解得x=2^3=8。
因此，方程log2(x)=3的解为x=8。
三、指数函数不等式的求解指数函数不等式是形如y>a^x或y<a^x的不等式，其中a为常数，x 和y为变量。
求解指数函数不等式的一般步骤如下：1. 将指数函数不等式转化为对数函数不等式。
例如，将y>a^x转化为x<loga(y)。
2. 根据对数函数的性质，将对数函数不等式进行化简。
函数方程的几种方法
函数方程三、求解函数方程的几种方法：可能会遇到函数方程的问题，在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。
一．代换法 1．解函数方程：x xx f x f +=-+1)1()( (1) 解：令1,0,1≠-=y y y x ；则x y -=11，将此代入（1：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或 x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。
(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x ；则z =此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(， 即x f x f +-)()11(。
(3)将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(x x f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)－：x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。
经检验是原函数方程的解． 2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R R f →:得)3(3)()(1)(1)(y y f bx y f b b b x f y x f yy-+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。
解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f bx y x yb x f b y x f ， (x , y ∈①令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈②在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。
1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。
微分方程求解公式
学了两三学期的微积分以后就要利用导数来完整地练习解微分方程了。
导数是一种数据相对于另一种的变化速率。
例如，速度随着时间的变化率就是速度关于时间的导数（和斜率相比较一下）。
每天这种变化率都会出现很多次，例如，复利定律中，利息增加的速度和账户金额成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出来（P就是初始金额），V(t)是时间的函数，表示目前的账户金额数（用以不断评估利息），r是目前利率（dt是极短的时间间隔，dV(t)是无穷小金额，是V(t)在这个时间的变化，他们的商是增加速率）。
虽然信用卡利息通常是每日累积计算，以APR（年度增加率）来表示，这个微分方程还是可以可以解出一个方程，得到连续解V(t)= Pe ^(rt)。
本文将教你如何解决最常见类型的微分方程，尤其是力学和物理方程。
方法1基本方法以Solve Differential Equations Step 1为标题的图片1定义导数。
当变量倾向于0的时候，函数（一般是y）增量和变量（一般是x）增量的比值会取得一个极限值，这就是导数（也称为微分系数，特别在英国）。
或者说在一瞬间，变量的微小变化造成的函数的微小变化。
以速度距离，速度就是距离对时间的瞬时变化。
下面比较一阶导数和二阶导数:一阶导数即原导数的函数。
例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。
”二阶导数即函数导数的导数。
例:“加速度是距离对时间的二阶导数。
”以Solve Differential Equations Step 2为标题的图片2不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。
最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。
导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。
比如图一的微分方程是二阶、三次导数。
3了解如何区别通解、完全解和特解。
完整解包含一些任意常数，任意常数的数目和导数的最高阶数相等（要解开n阶微分方程，需要进行n次积分，每次积分都需要加入一项任意常数）。
简单函数方程的解法
简单函数方程的解法1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。
其中f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理(柯西函数方程的解)若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=- ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法(或换元法)把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那麽f(x)=______________。
略解：设t=2x-1，则x= (t+1)，那麽f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t2+t+故f(x)= x2+x+(2) 已知f( +1)=x+2 ，那麽f(x)=____________。
解简单的三角函数方程
解简单的三角函数方程三角函数方程是初中数学中的一个重要内容，它涉及到三角函数的性质和运算。
本文将介绍如何解简单的三角函数方程，希望能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、正弦函数方程的解法正弦函数方程的一般形式为sin(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程sin(x) = 0.5，可以通过查找正弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在正弦函数值表中，我们可以找到sin(30°) = 0.5，因此x = 30°是这个方程的一个解。
但是，正弦函数是周期函数，它的周期是360°（或2π），所以除了30°，还有无数个解。
根据正弦函数的对称性，我们可以得到sin(150°) = 0.5，sin(210°) = 0.5，sin(390°) = 0.5，等等。
所以，x = 150°，x = 210°，x = 390°等也都是这个方程的解。
综上所述，sin(x) = 0.5的解是x = 30° + k × 180°，其中k为整数。
二、余弦函数方程的解法余弦函数方程的一般形式为cos(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程cos(x) = 0.8，可以通过查找余弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在余弦函数值表中，我们可以找到cos(36.87°) ≈0.8，因此x ≈ 36.87°是这个方程的一个解。
同样地，余弦函数也是周期函数，它的周期也是360°（或2π），所以除了36.87°，还有无数个解。
根据余弦函数的对称性，我们可以得到cos(323.13°) ≈ 0.8，cos(683.13°) ≈ 0.8，cos(1003.13°) ≈ 0.8，等等。
函数 方程
函数方程函数方程，是指包含一个或多个未知函数的方程式。
在数学中，函数方程的学习是函数论中的重要内容之一，一直以来都在数学领域中扮演着重要的角色。
本文将从以下几个角度来给大家讲解函数方程。
一、函数方程的基本概念函数方程是关于函数的一个方程，形式上可以是一个或多个未知函数的方程式。
与一般的方程不同，函数方程的解不是数的解，而是一个函数或一组函数。
函数方程是函数论中的研究方向之一，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
二、常见的函数方程1. 函数递推方程函数递推方程指满足某一递推条件的函数关系式。
通常以递归的方法来定义一个新的函数，它可以通过前面的函数值来确定。
这里可以给大家提供一个简单的例子：f(0) = 1f(n) = f(n-1) + 1我们可以得出 f(n) = n+1。
2. 函数迭代方程函数迭代方程是指通过反复迭代某个函数得到的方程。
通常迭代的方式是将函数的输出结果作为输入，再次输入到函数中，以此不断迭代。
这里给大家提供一个简单的例子：f(x) = 2xf(f(x)) = 2f(x) = 4x3. 函数积分方程函数积分方程通常是通过对函数进行积分得到的，它可以帮助我们求解复杂的计算问题。
我们可以给大家举个例子：f(x) = 1 + ∫[0,x]f(t)dt我们可以通过求解 f(x) 来得到满足该方程的函数。
三、函数方程的解法解析法是求解函数方程的最常用方法，它通过对方程中的函数进行代数变形求解。
解析法解题时通常要根据方程中的条件来进行转换，具体方法有以下几种：1. 点带入法点带入法是指将方程中的一个或几个未知量带入到方程式中，从而使得方程中的未知量逐渐减少，最终求得解。
2. 比较法比较法是通过比较多个方程的解来求得函数方程的解。
3. 变异法变异法是指通过对方程式中的某些项进行变形，从而引出新的方程式来求得函数方程的解。
四、函数方程的应用函数方程在实际应用中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些实际问题。
一次函数与指数函数的联立方程
一次函数与指数函数的联立方程在数学中，一次函数和指数函数是常见的函数类型。
联立方程是将两个或多个方程放在一起解决的过程。
本文将探讨一次函数与指数函数的联立方程，并通过例子展示如何解决这类方程。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b为常量，x为自变量。
指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常量，x为自变量。
当我们需要将一次函数与指数函数联立时，我们可以将两个函数等式相等，建立起方程。
例如，假设我们有一次函数y = 2x + 1和指数函数y = 3^x，我们可以将它们联立为2x + 1 = 3^x。
现在让我们通过解决一个具体的例子来更好地理解一次函数与指数函数的联立方程。
例子：假设我们有以下一次函数和指数函数：y = 2x + 1和y = 3^x。
我们的目标是找到它们的交点，也就是联立方程的解。
我们可以将联立方程写为2x + 1 = 3^x。
要解决这个方程，我们可以采用试错法或图像法。
试错法首先让我们将x的值设定为一个整数，然后代入方程进行验证。
如果等式两边的值相等，那么我们就找到了一个解。
如果不相等，我们可以继续试下一个整数。
通过这个过程，我们可以找到x = 1是一个解。
现在我们可以将x = 1代入原方程来找到对应的y值。
根据一次函数y = 2x + 1，我们得到y = 2(1) + 1 = 3。
因此，联立方程2x + 1 = 3^x的解为x = 1和y = 3。
除了试错法，我们还可以使用图像法来解决联立方程。
我们可以将一次函数和指数函数的图像绘制在坐标系上，然后找到它们的交点。
在这个例子中，一次函数y = 2x + 1的图像为一条直线，指数函数y =3^x的图像是一条经过原点的递增曲线。
通过观察图像，我们可以发现它们在x = 1处相交。
无论使用哪种方法，我们都可以找到联立方程的解。
综上所述，一次函数和指数函数的联立方程是一种将两个函数等式相等的过程。
我们可以通过试错法或图像法来解决这类方程。
常微分方程常见形式及解法
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬 5
一阶线性常微分方程
01
对于一阶线性常微分方程，常用的方法 是常数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求 出C(x)的值
常微分方程 毕文彬 6
二阶常系数齐次常微分方程
也可能是一个向量函数
或是矩阵函数，后者可
对应一个由常微分方程
组成的系统。微分方程
的表达通式是：
常微分方程常依其阶 数分类，阶数是指自 变数导数的最高阶数， 最常见的二种为一阶 微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝 塞尔方程：
（其中y为应 变数）为二 阶微分方程， 其解为贝塞 尔函数。
常见例子
以下是常微分方程的一些例
02
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用 方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬 7
一般通解
可分离方程 一般一阶微分方程 一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶)
A
子，其中u为未知的函数，自
变数为x，c及ω均为常数。
B
非齐次一阶常系数线性微分 方程：
C
齐次二阶线性微分方程：
D
描述谐振子的齐次二阶常系 数线性微分方程：
E
非齐次一阶非线性微分方程：
F
描述长度为L的单摆的二阶非 线性微分方程：
常微分方程 毕文彬 3
解简单的对数函数方程
解简单的对数函数方程对数函数是初中数学中的重要内容之一，掌握对数函数的性质和解题方法对学生来说非常重要。
在解对数函数方程时，需要注意一些常见的题型和解题技巧。
一、基本概念回顾在解对数函数方程之前，我们先来回顾一下对数函数的基本概念。
对数函数是指以底数为a的对数函数，记作y=logₐx。
其中，a为正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数的性质有以下几点：1. logₐa=1，即对数函数的底数和底数相等时，对数函数的值为1。
2. logₐ1=0，即对数函数的底数为a时，对数函数的值为0。
3. logₐa^b=b，即对数函数的底数为a时，对数函数的值为b的幂。
二、对数函数方程的解题步骤在解对数函数方程时，我们可以按照以下步骤进行：1. 将对数函数方程转化为指数方程。
2. 解指数方程得到解集。
3. 检验解的可行性。
下面我们通过几个例子来说明解对数函数方程的具体步骤。
例1：求解方程log₂(x-1)=3。
解：首先，将对数函数方程转化为指数方程，得到2³=x-1。
解得x=9。
然后，我们需要检验解的可行性。
将x=9代入原方程中，得到log₂(9-1)=3。
计算可得左边等于3，右边等于3，两边相等。
所以x=9是原方程的解。
例2：求解方程log₃(x+2)=2。
解：同样地，将对数函数方程转化为指数方程，得到3²=x+2。
解得x=7。
然后，我们检验解的可行性。
将x=7代入原方程中，得到log₃(7+2)=2。
计算可得左边等于2，右边等于2，两边相等。
所以x=7是原方程的解。
三、对数函数方程的注意事项在解对数函数方程时，需要注意以下几点：1. 对数函数方程的底数必须为正实数且不等于1。
2. 对数函数方程的解集可能为空集，也可能为实数集。
3. 在解对数函数方程时，要注意检验解的可行性，确保解的合理性。
四、总结通过对对数函数方程的解题步骤和注意事项的介绍，我们可以看出解对数函数方程并不是一件困难的事情。
初二函数知识点
初二函数知识点初二函数知识点是中学高数教育中很重要的一部分，许多初中学生在接触该知识点时会遇到困难。
以下就对初二函数知识点进行深入的讲解，以便任何初中学生都能掌握函数的概念和技能。
一、函数概念函数是由一组输入和一组输出之间的关系决定的。
简单来说，函数就是给定一个输入，得到一个输出。
例如，用$f(x)=x+2$表示，当x=3时，输出$f(3)=3+2=5$；当x=4时，输出$f(4)=4+2=6$。
二、函数的表示方式函数可以用符号来表示，也可以用图形图象的方式表示。
1、函数方程函数的一种简单有效的表示方式是函数方程，如$y=f(x)$。
在这里，y是函数的输出，x是函数的输入，f是函数本身。
例如，$f(x)=x+2$就是一个用函数方程表示的函数。
2、函数图像函数图像是把函数函数方程用图表表示出来的。
例如，用$f(x)=x+2$表示，可以用下图表示：图1：f(x)=x+2的函数图像三、函数的基本概念1、定义域定义域是指函数的输入变量x可以取得的值所组成的集合，称为函数的定义域。
例如，对于$f(x)=x+2$来说，它的定义域是所有实数集合。
2、值域值域是指函数的输出y可以取得的值所组成的集合，称为函数的值域。
例如，对于$f(x)=x+2$来说，它的值域是所有大于等于2的实数集合。
3、增减性函数的增减性指的是当输入变量的值变化时，函数的输出值的变化规律。
如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值也增加，则称函数f(x)为增函数；如果当输入变量x的值减小时，函数的输出值也减小，则称函数f(x)为减函数。
4、凹凸性函数的凹凸性指的是函数曲线的凹凸性，也就是当输入变量的值变化时，函数的输出值的变化规律。
如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值先增加后减小，称函数为凹函数；如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值先减小后增加，称函数为凸函数。
四、函数的应用1、函数在学术计算中的应用函数在学术计算中起着重要作用，可以将复杂的数学运算转变为简单的函数运算，大大减少了计算的工作量，同时也提高了计算的效率，为学术研究和计算准确性提供了巨大的帮助。
数学中的函数与方程式
数学中的函数与方程式是数学的基础概念，它们在数学领域中起着重要的作用。
函数是一种数学关系，用来描述输入与输出之间的关系。
方程式则是含有未知数的等式，用来求解未知数的值。
函数可以理解为一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。
例如，函数f(x) = 2x表示输入x与输出值的关系是将输入值乘以2。
函数的输入可以是任何数，而函数的输出则是乘以2后的结果。
函数可以用多种方式表示，例如表格、图像或公式。
函数在数学中有着广泛的应用。
在几何学中，函数可以描述曲线或图形上的点的位置；在代数学中，函数可以用来求解方程组；在微积分中，函数则是求导和积分的基本工具。
函数在各个学科中都有不可或缺的作用。
方程式是数学中的另一个重要概念。
方程式是一个含有一个或多个未知数的等式，它要求找到使得等式成立的未知数的值。
方程式通常以等号连接一个式子的左右两边，例如x + 2 = 5就是一个方程式，要求找到x的值，使得方程式成立。
方程式的解是方程式的解集，它包含了所有使得方程式成立的未知数的值。
方程式的解可以是一个数、一组数、或者是一个范围。
方程式的解可以使用不同的方法求解，例如代入法、化简法或者图形法。
方程式的求解是数学中一个重要的技巧，它在很多实际问题的建模和求解中都有应用。
函数与方程式之间存在着密切的联系。
实际上，函数可以看作是方程式的特殊情况。
当方程式只有一个未知数，并且将该未知数表示为函数的形式时，方程式就可以看作是函数。
例如，方程式x + 2 = 5可以写成函数f(x) = x + 2 = 5。
函数和方程式都可以用来描述数学中的关系，它们共同构成了数学的基础框架。
函数与方程式在数学中有着广泛的应用。
它们不仅仅是数学教学中的内容，还在数学建模、物理学、经济学、计算机科学等其他学科中发挥着重要作用。
函数与方程式的研究不仅仅是数学的一部分，也是解决实际问题的有效工具。
第三讲 函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M) f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2) f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M) 2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？问题：一个老人有n 头马，他打算把a1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a1+b1+c 1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a1+b1+c1=1n n 满足条件a<b<c且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质： ① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}② 对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③ [x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]；④ [x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ；⑤ 对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]； ⑨⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
数学的积分方程
数学的积分方程在数学领域中，积分方程是一类具有特殊形式的方程，其中未知函数出现在积分的形式中。
积分方程在许多科学领域中都具有广泛的应用，如物理学、工程学和经济学等。
本文将介绍积分方程的定义、分类以及解法。
一、积分方程的定义积分方程是一种特殊的方程形式，其中未知函数出现在方程的积分中。
一般来说，积分方程可以表示为以下形式：\[ \varphi(x) = f(x) + \int_a^bK(x, t)\varphi(t)dt \]其中，\(\varphi(x)\) 为未知函数，\(f(x)\) 为已知函数，\(K(x, t)\) 为已知的核函数，而 \(a\) 和 \(b\) 是积分的上下限。
二、积分方程的分类根据核函数 \(K(x, t)\) 的性质以及方程形式的不同，积分方程可以被分类为以下几种常见的类型：1. 第一类积分方程：当核函数 \(K(x, t)\) 中不包含未知函数\(\varphi(t)\) 时，方程称为第一类积分方程。
这类方程通常可以通过代数方法解决。
2. 第二类积分方程：当核函数 \(K(x, t)\) 包含未知函数 \(\varphi(t)\) 时，方程称为第二类积分方程。
这类方程的求解方法较为复杂，通常需要借助函数分析和数学变换等技巧。
3. 弱奇异方程：当核函数的奇异性较弱时，方程称为弱奇异方程。
这类方程的求解方法相对容易，可以通过常规的积分技巧得到解析解。
4. 强奇异方程：当核函数的奇异性较强时，方程称为强奇异方程。
这类方程的求解方法比较困难，通常需要利用数值方法或近似方法进行求解。
三、积分方程的解法初等函数法、特征函数法和迭代法是常见的积分方程求解方法。
1. 初等函数法：这是一种基于已知函数的积分性质进行积分方程求解的方法。
通过对方程进行一系列的代数运算和积分变换，可以将积分方程转化为代数方程，从而求解出未知函数。
2. 特征函数法：这种方法是通过将未知函数表示为一组正交函数的线性组合来求解积分方程。
沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及简单三角方程
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2
x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,
6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2
（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y
2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o
2
o
x
-
1
x
2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当
时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2
指数与对数函数的方程与不等式
指数与对数函数的方程与不等式指数与对数函数是数学中重要的函数类型，对于解方程与不等式而言也起到了至关重要的作用。
本文将围绕指数与对数函数的方程与不等式展开讨论，介绍相关概念及解题方法，并通过具体例子加以说明。
一、指数函数的方程与不等式指数函数是以底数为常数、指数为变量的函数类型。
解指数函数的方程与不等式，一般需要借助对数函数来进行求解。
1.1 指数函数的方程指数函数的方程包括形如 a^x = b 的式子，其中 a 为底数，x 为未知数，b 为给定的常数。
解这类方程时，常用的方法是将其转化为对数方程。
具体步骤如下：步骤一：将指数函数转化为对数函数，即x = logₐ(b)。
这里的logₐ表示以底数 a 进行求对数的函数。
步骤二：根据底数和对数的对应关系，求出方程的解。
例如，对于方程 2^x = 8，可以通过对数函数转化为求解 log₂(8) = x，进而得到 x = 3。
因此，方程的解为 x = 3。
1.2 指数函数的不等式指数函数的不等式包括形如 a^x < b 或a^x ≥ b 的式子。
解这类不等式时，可以利用指数函数的单调性来确定不等号的方向，并通过求对数将不等式转化为对数函数的不等式。
例如，对于不等式 3^x < 27，可以通过求对数转化为 log₃(3^x) <log₃(27)，进而得到 x < 3。
因此，不等式的解为 x < 3。
二、对数函数的方程与不等式对数函数是以底数为常数、真数为变量的函数类型。
解对数函数的方程与不等式，可以利用对数函数的性质和相关的数学运算进行求解。
2.1 对数函数的方程对数函数的方程包括形如logₐ(x) = b 的式子，其中 a 为底数，x 为未知数，b 为给定的常数。
解这类方程时，可以根据底数和对数的对应关系进行求解。
例如，对于方程 log₂(x) = 3，可以推出 x = 2³ = 8。
因此，方程的解为 x = 8。
解简单的指数函数方程
解简单的指数函数方程指数函数是数学中的一种重要函数形式，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
解指数函数方程是初中数学中的重要内容之一，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
本文将介绍如何解简单的指数函数方程，并通过具体的例子进行说明。
首先，我们来看一个简单的指数函数方程：2^x = 8。
要解这个方程，我们需要找出一个数x，使得2的x次方等于8。
我们可以通过观察和试验的方法来找到这个数。
首先，我们知道2的1次方等于2，2的2次方等于4，2的3次方等于8。
所以，方程2^x = 8的解为x = 3。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的指数函数方程：3^(x + 1) = 27。
要解这个方程，我们需要找出一个数x，使得3的x + 1次方等于27。
同样，我们可以通过观察和试验的方法来找到这个数。
首先，我们知道3的1次方等于3，3的2次方等于9，3的3次方等于27。
所以，方程3^(x + 1) = 27的解为x + 1 = 3，即x = 2。
通过上面两个例子，我们可以总结出解简单的指数函数方程的一般步骤：1. 观察指数函数的底数和等式中的数值，找出它们之间的关系。
2. 通过试验的方法，找出能够使等式成立的解。
3. 验证解的正确性，将解代入原方程，验证等式是否成立。
除了观察和试验的方法，我们还可以使用对数的概念来解指数函数方程。
对数是指数函数的逆运算，可以将指数函数方程转化为对数方程来求解。
例如，对于方程2^x = 8，我们可以将其转化为对数方程log2(8) = x。
在这个方程中，log2表示以2为底的对数。
通过计算，我们可以得到log2(8) = 3，所以方程的解为x = 3。
同样地，对于方程3^(x + 1) = 27，我们可以将其转化为对数方程log3(27) = x + 1。
通过计算，我们可以得到log3(27) = 3，所以方程的解为x + 1 = 3，即x = 2。
通过使用对数的概念，我们可以将指数函数方程转化为对数方程，从而更方便地求解。
反正切函数分解公式
反正切函数分解公式在数学领域，反正切函数是一个重要的三角函数。
它的定义域为实数集，值域为[-π/2, π/2]。
反正切函数的定义为：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)。
在实际应用中，我们常常需要对反正切函数进行分解，以便于进一步求解问题。
一、反正切函数的定义与性质反正切函数是对角度θ的函数，其定义域为实数集，值域为[-π/2, π/2]。
在单位圆上，反正切函数的值等于点的纵坐标除以点的横坐标。
反正切函数具有以下性质：1.周期性：tan(θ + π) = tan(θ)2.奇函数：tan(-θ) = -tan(θ)3.反函数：arctan(x) = θ，其中θ为tan(x)的反正切值二、反正切函数的分解公式根据韦达定理，我们可以将反正切函数分解为以下形式：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)= (sin(θ)*cos(α) + cos(θ)*sin(α)) / (cos(θ)*cos(α) - sin(θ)*sin(α))其中，α为任意实数。
通过选择合适的α值，我们可以将反正切函数分解为两个三角函数的比值。
三、分解公式的应用与实例1.化简三角表达式：利用分解公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的三角函数表达式。
例如，将tan(θ)表示为sin(θ)/cos(θ)的形式，进而求解相关问题。
2.求解三角方程：利用分解公式，我们可以将含有反正切函数的方程转化为含有正弦、余弦函数的方程，从而简化求解过程。
例如，求解tan(x) = 2的解集。
3.计算反正切函数的值：利用分解公式，我们可以通过计算sin(θ)和cos(θ)的值，进而求得反正切函数的值。
例如，计算tan(π/4)的值。
四、分解公式在不同领域的应用1.物理学：在物理学中，反正切函数常用于研究振动、波动等问题。
利用分解公式，可以将振动方程化简为简单的正弦或余弦函数方程，便于分析振动特性。
2.工程学：在工程学中，反正切函数常用于研究信号与系统、通信原理等问题。
反三角函数简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件；（4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
名称 函数式定义域值域奇偶性 单调性 反正弦函数x y arcsin =[]1,1-增⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ 奇函数增函数反余弦函数x y arccos =[]1,1-减[]π,0x x arccos )arccos(-=-π非奇非偶 减函数反正切函数arctan y x =R 增⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ 奇函数增函数反余切函数 cot y arc x =R 减()π,0cot()cot arc x arc x π-=-非奇非偶减函数2、最简单的三角方程方程 方程的解集a x =sin1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a(){}Z k a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa x =cos1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|πtan x a = {}|arctan ,x x k a k Z π=+∈ cot x a ={}|cot ,x x k arc a k Z π=+∈其中： （1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单的函数方程
函数方程的概念：
1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f (x ＋1)=x 、f (－x )=f (x )、f (－x )= －f (x )、f (x ＋2)=f (x )等。
其中f (x )是未知函数
2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f (x )=x －1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解
3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程
4.定理（柯西函数方程的解）
若f (x )是单调（或连续）函数且满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y ) (x,y ∈R )、则f (x )=xf (1) 证明：由题设不难得
f (x 1＋x 2＋…＋x n )=f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )
取x 1=x 2=…=x n =x ，得f (nx )=nf (x ) (n ∈N +)
令x =0，则f (0)=nf (0)，解得f (0)=0 --------- （1）
x =1，则f (n )=nf (1)
x =n m ，则f (m )=nf (n m ) ，解得f (n m )=n 1f (m )= n
m f (1) --------- (2) x =－n
m ，且令y =－x ＞0，则f (x )＋f (y )=f (x ＋y )=f (0)=0 ∴f (x )=－f (y )=－yf (1)=xf (1) (m,n ∈N +,且(m,n )=1) ---------(3)
由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x 均有f (x )=xf (1)
另一方面，对于任意的无理数x ，因f (x )连续，取以x 为极限的有理数
序列{x n }，则有 ：f (x )=∞→n lim f (x n )=∞
→n lim x n f (1)=xf (1) 综上所述，对于任意实数x ，有f (x )=xf (1)
函数方程的解法：
1.代换法（或换元法）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数
例1 （1）已知f (2x －1)=x 2＋x ，那麽f (x )=______________。
略解：设t =2x －1，则x =
21 (t ＋1)，那麽f (t )= 41 (t ＋1)2＋21 (t ＋1)= 41t 2＋t ＋
43
故f (x )= 4
1x 2＋x ＋43 (2) 已知f (x ＋1)=x ＋2x ，那麽f (x )=____________。
略解：f (x ＋1)=(
x ＋1)2－1，故f (x )=x 2－1 (x ≥1) (3) 已知f (x ＋x 1
)=x 2＋
21x ，那麽f (x )=_______________。
略解：f (x ＋x 1
)=(x ＋x 1)2－2，故f (x )=x 2－2 (|x |≥2)
例2 设ab ≠0,a 2≠b 2，求af (x )＋bf (x 1)=cx 的解
解：分别用x =t
1，x =t 代入已知方程，得 af (t 1)＋bf (t )= t
c ------(1) af (t )＋bf (t
1)=ct ------(2) 由（1），（2）组成方程组解得 f (t )= 222()()c at b a b t
-- 即： f (x )=
222()()c ax b a b x --
2.待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
例3 已知f (x )是一次函数，且f {f [f ---f (x )]}=1024x ＋1023。
求f (x )
10次
解：设f (x )=ax ＋b (a ≠0)，记f {f [f …f (x )]}=f n (x )，则
n 次
f 2(x )=f [f (x )]=a (ax ＋b )＋b =a 2x ＋b (a ＋1)
f 3(x )=f {f [f (x )]}=a [a 2x ＋b (a ＋1)]＋b =a 3x ＋b (a 2＋a ＋1)
依次类推有：f 10(x )=a 10x ＋b (a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10
x ＋10(1)1b a a --
由题设知：
a 10
=1024 且a a b --1)1(10=1023 ∴a =2，b =1 或 a =－2，b =－3
∴f (x )=2x ＋1 或 f (x )=－2x －3
3.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）
由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法 例4 设f (x )定义在正整数集上，且f (1)=1,f (x ＋y )=f (x )＋f (y )＋xy 。
求f (x )
解：令y =1，得f (x ＋1)=f (x )＋x ＋1
再依次令x =1，2，…，n －1，有
f (2)=f (1)＋2
f (3)=f (2)＋3
……
f (n －1)=f (n －2)＋(n －1)
f (n )=f (n －1)＋n
依次代入，得
f (n )=f (1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n =(1)2
n n + ∴f (x )= (1)2
x x + (x ∈N +)
例5 ，已知f (1)=51且当n ＞1时有(1)2(1)1()12()
f n nf n f n f n --+=-。
求f (n ) (n ∈N +) 解：把已知等式（递推公式）进行整理，得
f (n －1)－f (n )=2(n ＋1)f (n )f (n －1) ∴)(1
n f 1(1)
f n -=2(n ＋1) 把n 依次用2，3，…，n 代换，得
)2(1f －)
1(1f =2×3 )
3(1f －)2(1f =2×4 ……
)(1
n f 1(1)
f n -=2(n ＋1)
上述(n －1)个等式相加，得
)
(1
n f )1(1f =2[3＋4＋…＋(n ＋1)]=(n －1)(n ＋4) ∴)(1n f = )
1(1f ＋(n －1)(n ＋4)=n 2＋3n ＋1 ∴f (n )= 2131n n ++ 4.柯西法
在f (x )单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解
例6 设f (x )连续且恒不为0，求函数方程f (x ＋y )=f (x )f (y )的解
解：∵f (x )=f (2x ＋2x )=f (2x )f (2
x )≥0 若存在x 0∈R ，使f (x 0)=0。
则对一切实数x ，有
f (x )=f (x －x 0＋x 0)=f (x －x 0)f (x 0)=0
这与f (x )不恒为0矛盾，故f (x )＞0
对题设f (x ＋y )=f (x )f (y )两边取自然对数，得
㏑f (x ＋y )=㏑f (x )f (y )
∴㏑f (x ＋y )=㏑f (x )＋㏑f (y )
令g (x )=㏑f (x )
∵f (x )＞0且连续 ∴g (x )连续且满足g (x ＋y )=g (x )＋g (y ).由定理知： g (x )=g (1)x
故 ㏑f (x )=x ㏑f (1)
∴f (x )=e x ㏑f (1)=f (1)x
令f (1)=a ，则f (x )=a x (a ＞0)
类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：
（1） 若f (xy )=f (x )＋f (y ) (x ＞0,y ＞0),则f (x )=㏒a x
（2） 若f (xy )=f (x )f (y ) (x ＞0,y ＞0),则f (x )=x 2
（3） 若f (x ＋y )=f (x )＋f (y )＋kxy,则f (x )=ax 2＋bx
（4） 若f (x ＋y )＋f (x －y )=2f (x ),则f (x )=ax ＋b
课后练习：
1、下面四个数中，满足2
x y f 骣+琪琪桫=21[f (x )＋f (y )]的函数是 （ ） A .㏑x B . x
1 C .3x D .3x 2、如果对x ∈R 有2f (1－x )＋1=xf (x )，那麽f (x )=__________。
3、对任意实数x,y ，函数f (x )有f (x ＋y )=f (x 2)＋f (2y )，则f (1985)=( )
A .1985
B . 1985
C .3990
D .以上答案都不对
4、已知f (1)=1,f (n )－f (n －1)=a n ,n ∈N +。
求f (n )
5、解方程 xf (x )＋2f (11
x x -+)=1 6、已知f (x )连续且定义在非零实数集上，满足()()()()()f x f y f x y f x f y +=
+，
求f (x )。